Линейное волновое уравнение. Аналогично основному уравнению динамики, которое описывает все возможные движения материальной точки, и здесь, в области волновых процессов, существуют уравнения, являющиеся обобщенным выражением волн, независимо от их конкретного вида. Это дифференциальные уравнения в частных производных, связывающие изменения функций, характеризующих волну, во времени и пространстве.

Найдем эту связь для волн типа $\xi=f(t-x / v)$. Обозначим фазу волны буквой $\varphi$, т. е. $\varphi=t-x / v$. Тогда

\[
\frac{\partial \xi}{\partial t}=\frac{\partial \xi}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\xi_{p}^{\prime} \cdot 1 ; \quad \frac{\partial \xi}{\partial x}=\frac{\partial \xi}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial x}=\xi_{p}^{\prime}\left(-\frac{1}{v}\right)=-\xi_{p}^{\prime} / v .
\]

Сопоставив полученные выражения, получим
\[
\frac{\partial \xi}{\partial x}=-\frac{1}{v} \frac{\partial \xi}{\partial t} \text {. }
\]

Это уравнение справедливо, к сожалению, только для волн, распространяющихся в положительном направлении оси $X$. Для волн, распространяющихся в отрицательном направлении оси $X$, справа, как нетрудно проверить, должен стоять знак «+».
Таким образом, можно написать

где знаки «-» и «t» относятся только к тем волнам, которые распространяются соответственно в положительном или отрицательном направлении оси $X$.

Уравнение (1.19) является простейним волновым уравнением. Во многих случаях оно оказываетсл весьма полезным.

Выясним физический смысл производных, входящих в это волновое уравнение. Производная по времени $\partial \xi / \partial t=u_{x}$-то проекция скорости частицы среды, движущейся около своего положения равновесия, а $\partial / \bar{c} x=\varepsilon$ – относительная деформаиия среды. Последнее надо пояснить.

Выделим мысленно малый (по сравнению с изменением профиля волны) цилиндрический элемент среды $\Delta x$ (рис. 1.2) вдоль направления распространения волны. При прохождении продольной волны этот элемент будет смещаться и деформироваться. Например, левый его торец перемесРис. 1.2 тится на $\xi$, а правый — на $\xi+1 \xi$. По определению, относительная деформация
\[
\varepsilon=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta \xi}{\Delta x}=\frac{\partial \xi}{\partial x} .
\]

Эта величина алгебраическая, она может быть больше нуля (растяжение), равна нулю и меньше нуля (сжатие).
Пример. Продольная волна распространяется в длинном стержне (ось $X$ ). В некоторый момент смещения частиц из положения равновесия $\xi(x)$ имеют вид как на рис. 1.3. Зная, что волна распространяется в положительном направлении оси $X$, найдем (качественно) зависимость скорости частиц среды в этот момент от координаты $x$.
Рис. 1.3
Мы знаем, что $\partial \xi / \partial t$ зависит от $\partial \xi / \partial x$, согласно уравнению (1.19). Имея в виду, что производная $\partial \xi / \partial x$ в каждой точке характеризует наклон (или крутизну) кривой $\xi(x)$, изобразим грасик $\partial \xi / \partial x$ как функцию $x$ (штриховой линией).
Поскольку волна распространяется в положительном направлении оси $X$, в уравнении (1.19) должен быть знак – Это означает, что график $\partial \xi / c t(x)$ будет «зеркальным» по отношению к графику $\partial \breve{\zeta} / \partial x$. Он изображен точечной кривой.
Общее волновое уравнение. Уравнение (1.19) соответствует волне, распространяющейся или в положительном направлении оси $X$ (знак «-»), или в отрищательном (знак «十»). Можно однако получить уравнение, справедливое для волны любого направления, а также и для суперпозиции таких волн. Для этого продифференцируем выражения (1.17) еще раз по $t$ и по $x$ соответственно:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} \xi}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)=\frac{\partial}{\partial t}\left(\xi_{p}^{\prime}\right)=\frac{\partial \xi_{p}^{\prime}}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\xi_{\phi}^{\prime \prime}, \\
\frac{\partial^{2} \xi}{\partial x^{2}}=-\frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial x}\left(\xi_{\phi}^{\prime}\right)=-\frac{1}{v} \frac{\partial \xi_{\phi}^{\prime}}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial x}=-\frac{1}{v} \xi_{\phi}^{\prime \prime}\left(-\frac{1}{v}\right)=\frac{1}{v^{2}} \xi_{0}^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Из сопоставления этих выражений получим:

Это одномерное волновое уравнение 2-го порядка в частных производных. Ему удовлетворяют как возмущения вида (1.1), (1.2), так и более общее решение
\[
\xi=f_{1}(t-x / v)+f_{2}(t+x / v),
\]

где $f_{1}$ и $f_{2}$ – произвольные функции, соответствующие волнам, распространяющимся в противоположных направлениях оси $X$.

Заметим, что волновые уравнения (1.19) и (1.21) справедливы для однородных изотропных сред, затухание в которых пренебрежимо мало*.

Обобщение уравнения (1.21) на трехмерный случай приводит к волновому уравнению вида

где $
abla^{2} \xi=\frac{\partial^{2} \xi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \xi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \xi}{\partial z^{2}}$. Однако это уравнение мы не будем использовать. Отметим только, что выражения для сферических и цилиндрических волн являются решением волнового уравнения (1.23).

Волновые уравнения (1.21) и (1.23) играют весьма важную роль в теории волновых процессов. Если мы, исходя из законов механики при изучении некоторого явления, придем, например, к уравнению вида (1.23), то сразу можно утверждать, что имеем дело с волновым процессом, скорость распространения $v$ которого легко найти из сопоставления полученного уравнения с (1.23). В дальнейшем мы этим и воспользуемся.
* При наличии затухания одномерное волновое уравнение имеет вид
\[
\frac{\partial^{2} \xi}{\partial x^{2}}+2 \gamma \frac{\partial \xi}{\partial x}+\gamma^{2} \xi=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \xi}{\partial t^{2}}
\]

где $\gamma$ – коэффициент затухания волны.