Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Линейное волновое уравнение. Аналогично основному уравнению динамики, которое описывает все возможные движения материальной точки, и здесь, в области волновых процессов, существуют уравнения, являющиеся обобщенным выражением волн, независимо от их конкретного вида. Это дифференциальные уравнения в частных производных, связывающие изменения функций, характеризующих волну, во времени и пространстве. Найдем эту связь для волн типа $\xi=f(t-x / v)$. Обозначим фазу волны буквой $\varphi$, т. е. $\varphi=t-x / v$. Тогда \[ Сопоставив полученные выражения, получим Это уравнение справедливо, к сожалению, только для волн, распространяющихся в положительном направлении оси $X$. Для волн, распространяющихся в отрицательном направлении оси $X$, справа, как нетрудно проверить, должен стоять знак «+». где знаки «-» и «t» относятся только к тем волнам, которые распространяются соответственно в положительном или отрицательном направлении оси $X$. Уравнение (1.19) является простейним волновым уравнением. Во многих случаях оно оказываетсл весьма полезным. Выясним физический смысл производных, входящих в это волновое уравнение. Производная по времени $\partial \xi / \partial t=u_{x}$-то проекция скорости частицы среды, движущейся около своего положения равновесия, а $\partial / \bar{c} x=\varepsilon$ — относительная деформаиия среды. Последнее надо пояснить. Выделим мысленно малый (по сравнению с изменением профиля волны) цилиндрический элемент среды $\Delta x$ (рис. 1.2) вдоль направления распространения волны. При прохождении продольной волны этот элемент будет смещаться и деформироваться. Например, левый его торец перемесРис. 1.2 тится на $\xi$, а правый — на $\xi+1 \xi$. По определению, относительная деформация Эта величина алгебраическая, она может быть больше нуля (растяжение), равна нулю и меньше нуля (сжатие). Из сопоставления этих выражений получим: Это одномерное волновое уравнение 2-го порядка в частных производных. Ему удовлетворяют как возмущения вида (1.1), (1.2), так и более общее решение где $f_{1}$ и $f_{2}$ — произвольные функции, соответствующие волнам, распространяющимся в противоположных направлениях оси $X$. Заметим, что волновые уравнения (1.19) и (1.21) справедливы для однородных изотропных сред, затухание в которых пренебрежимо мало*. Обобщение уравнения (1.21) на трехмерный случай приводит к волновому уравнению вида где $ Волновые уравнения (1.21) и (1.23) играют весьма важную роль в теории волновых процессов. Если мы, исходя из законов механики при изучении некоторого явления, придем, например, к уравнению вида (1.23), то сразу можно утверждать, что имеем дело с волновым процессом, скорость распространения $v$ которого легко найти из сопоставления полученного уравнения с (1.23). В дальнейшем мы этим и воспользуемся. где $\gamma$ — коэффициент затухания волны.
|
1 |
Оглавление
|