Рассмотренное в § 1.6 изменение частоты звуковых сигналов, обусловленное эффектом Доплера, определяется скоростями движения источника и приемника относительно среды, являющейся носителем звуковых волн. Для электромагнитных же волн особой среды, которая служила бы их носителем, нет. Поэтому доплеровское смещение частоты электромагнитных волн (сигналов) определяется только скоростью источника относительно приемника.

Пусть в $K$-системе отсчета находится неподвижный приемник $P$ (рис. 2.5). К нему с релятивистской скоростью $v$ приближается $S$ – источник периодических электромагнитных (или световых) сигналов. В $K^{\prime}$-системе отсчета, связанной с источником, сигналы испускаются с частотой $v_{0}$ (собственная частота). Найдем частоту $v$, с которой воспринимаются эти сигналы приемником.
Рис. 2.5
Промежуток времени между двумя последовательными сигналами (импульсами) в $K^{\prime}$-системе, связанной с источником, равен $T_{0}=1 /
u_{0}$. Поскольку источник движется со скоростью $v$, то соответствующий промежуток времени в $K$-системе, согласно «эффекту замедления хода движущихся часов», будет больше, а именно
\[
T=T_{0} / \sqrt{1-\beta^{2}}, \quad \beta=v / c .
\]

Расстояние между соседними импульсами в $K$-системе
\[
\lambda=c T-v T=(c-v) T_{0} / \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]

Поэтому воспринимаемая приемником частота $v=c / \lambda$, или
\[
v=v_{0} \frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-v / c} .
\]

Если источник приближается (как в нашем случае), то $v>v_{0}$, если же удаляется, то $v<v_{0}$ (в этом случае знак перед $v$ меняется на противоположный). Полученная формула (2.33) соответствует продольному эффекту Доплера.

Как видно из приведенного вывода, эффект Доплера для электромагнитных волн является следствием двух явлений: замедления хода движущихся часов (корень в числителе последней формулы) и «уплотнения» (или разряжения) импульсов, связанного с изменением расстояния между источником и приемником – это учтено в первом равенстве формулы (2.32).
Рис. 2.6
Рассмотрим и более общий случай: в $K$-системе источник $S$ движется со скоростью $\mathbf{v}$, составляющей угол $\alpha$ с линией наблюдения (рис. 2.6). В этом случае в формуле (2.33) следует заменить $v$ на $v_{x}=v \cos \alpha$, где $v_{x}$ – проекция вектора $\mathbf{v}$ на ось $X$, положительное направление которой взято от $S$ к $P$. Тогда
\[
v=v_{0} \frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-v_{x} / c} .
\]

В процессе движения источника $S$ проекция скорости $v_{x}$, вообще говоря, меняется, поэтому необходимо учесть эффект запаздывания. Воспринимаемая приемником $P$ частота $v$ в момент $t$ будет обусловлена сигналами, испущенными источником $S$ в предшествующий момент $t^{\prime}=t-l / c$, где $l$ – расстояние от источника $S$ до $P$ в момент $t^{\prime}$. Поэтому значение $v_{x}$ надо брать в момент $t^{\prime}$. Итак, частоте $v(t)$ соответствует $v_{x}\left(t^{\prime}\right)$.

В отличие от акустического эффекта Доплера, при $\alpha=90^{\circ}$ $\left(v_{x}=0\right)$ наблюдается поперечный эффект Доплера:
\[
v=v_{0} \sqrt{1-\beta^{2}},
\]

при котором воспринимаемая приемником частота оказывается всегда меньше собственной частоты источника: $v<v_{0}$. Поперечный эффект является прямым следствием замедления хода движущихся часов. Этот эффект значительно слабее продольного: он зависит от $v / c$ не в первой степени, а во второй, т. е. является квадратичным относительно $v / c$. Поэтому экспериментально его можно наблюдать, проводя измерения перпендикулярно, например, пучку излучающих атомов, имеющему очень малый угол расходимости (чтобы практически исключить продольный эффект).

В нерелятивистском случае, когда $v \ll c$, вместо (2.31) можно считать, что $T=T_{0}$, поэтому формула (2.34) не будет содержать корня $\sqrt{1-\beta^{2}}$, и тогда воспринимаемая частота
\[

u=v_{0} /\left(1-v_{x} / c\right) \approx v_{0}\left(1+v_{x} / c\right) .
\]

Отсюда относительное изменение частоты ( $\left.v-v_{0}\right) / v_{0}$ равно
\[
\Delta v / v=v_{x} / c .
\]

При $v_{x}>0$ (источник приближается) $\Delta v / v>0$, если же $v_{x}<0$ (источник удаляется), то $\Delta v / v<0$. При $v_{x}=0$ и $\Delta v / v=0$.

Эффект Доплера нашел многочисленные практические применения. С его помощью определяют, например, скорость излучающих атомов в пучке, угловую скорость вращения Солнца. На эффекте Доплера основаны радиолокационные методы измерения скорости самолетов, ракет, автомашин и др. Именно этот эффект позволил открыть двойные звезды (системы, состояцие из двух звезд, движущихся вокруг общего центра масс) – объекты, которые невозможно разрешить даже самыми мощными телескопами. С помощью эффекта Доплера Хаббл (1929 г.) обнаружил явление, названное космологическим красным смещением: линии в спектре излучения внегалактических объектов смещены в сторону больших длин волн, т. е. в красноволновую часть спектра. Оно свидетельствует о том, что внегалактические объекты удаляются от нашей Галактики со скоростями, пропорциональными расстоянию до них.

Рассмотрим в заключение два примера на применение эффекта Доплера. Но предварительно преобразуем формулу (2.37) от частот к длинам волн. Частота $v=c / \lambda$, отсюда малое приращение частоты $\Delta v=-\left(c / \lambda^{2}\right) \Delta \lambda$. Подставив обе эти формулы в (2.37), получим
\[
\frac{\Delta \lambda}{\lambda}=-\frac{v_{x}}{c}=-\frac{v}{c} \cos \alpha,
\]

где $\alpha$ – угол между скоростью $\mathbf{v}$ и направлением наблюдения.
Пример 1. Одна из спектральных линий, испускаемых возбужденными ионами $\mathrm{He}^{+}$в состоянии покоя, имеет длину волны $\lambda$. Если эту линию наблюдать под углом $\alpha$ к пучку данных ионов, то обнаруживается ее доплеровское смещение $\Delta \lambda<0$, причем $|\Delta \lambda| \ll \lambda$. Определим скорость ионов в пучке.
Так как $|\Delta \lambda| \ll \lambda$, то это значит, что ионы движутся с нерелятивистской скоростью и справедливо соотношение (2.37′). Условие же $\Delta \lambda<0$ означает согласно (2.37′), что $\cos \alpha>0$, т. е. угол $\alpha<\pi / 2$. Искомая скорость
\[
v=\frac{c|\Delta \lambda|}{\lambda \cos \alpha} \text {. }
\]

Пример 2. При наблюдении спектральной линии $\lambda=0,51$ мкм в направлениях на противоположные края солнечного диска на его экваторе обнаружили различие в длинах волн на $\delta \lambda=8,0$ пм. Найдем период $T$ вращения Солнца вокруг собственной оси.
Так как данные края диска движутся при вращении Солнца в противополжных направлениях с одинаковой скоростью $v$, то доплеровское смещение этой линии будет одинаково по модулю, но противоположно по знаку. Поэтому суммарная разность смещенных длин волн равна удвоенному доплеровскому смещению:

\[
\begin{array}{l}
\qquad \frac{\delta \lambda}{\lambda}=2 \frac{v}{c}=2 \frac{\omega R}{c}=\frac{2}{c} \frac{2 \pi R}{T}, \\
\text { где } \omega-\text { угловая скорость Солнца, } R \text { – его радиус } \\
\left(\approx 7 \cdot 10^{8}\right. \text { м). } \\
\text { Отсюда следует, что период вращения Солнца }
\end{array}
\]

Отсюда следует, что период вращения Солнца
\[
T=\frac{4 \pi R \lambda}{c \delta \lambda}=25 \mathrm{cy \tau} .
\]