2.1. Плоская электромагнитная волна $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{m} \cos (\omega t-\mathbf{k r})$ распространяется в вакууме. Найти вектор $\mathrm{H}$ как функцию времени в точке с радиусом-вектором $\mathbf{r}=0$.
Р еше н и е. Искомый вектор $\mathbf{H}=\mathbf{H}_{m} \cos \omega t$, где $\mathbf{H}_{m}$ можно найти из условия, что векторы $\mathbf{E}_{m}, \mathbf{H}_{m}$ и $\mathbf{k}$ составляют правую тройку, откуда $\mathrm{H}_{m} \uparrow \uparrow\left[\mathbf{k E}_{m}\right]$. Кроме того, $\sqrt{\varepsilon_{0}} E_{m}=\sqrt{\mu_{0}} H_{m}$. Поэтому $\mathrm{H}_{m}=H_{m} \mathbf{e}_{H}$, где $\mathrm{e}_{H}$ – орт вектора $\mathrm{H}_{m}$, равный $\left[\mathrm{kE}_{m}\right] / k E_{m}$, и, следовательно, $H_{m}=\sqrt{\varepsilon_{0} / \mu_{0}} E_{m} \cdot\left[\mathrm{kE}_{m}\right] / k E_{m}$. В результате получим:
\[
\mathbf{H}=\frac{1}{k} \sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}}\left[\mathbf{k E}_{m}\right] \cos \omega t .
\]
2.2. Вектор Пойнтинга. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна, амплитуда электрической составляющей которой равна $E_{m}$. Найти среднюю за период колебаний плотность потока энергии.
Р еше е и е. Модуль вектора Пойнтинга, $S=E H$, с учетом (2.14) примет вид $S=\sqrt{\varepsilon_{0} / \mu_{0}} E_{m}^{2} \cos ^{2} \omega t$. Отсюда
\[
\langle S\rangle=\sqrt{\varepsilon_{0} / \mu_{0}} E_{m}^{2} / 2,
\]

где принято во внимание, что $\left\langle\cos ^{2} \omega t\right\rangle=1 / 2$.
2.3. В вакууме вдоль оси $X$ распространяются две плоские электромагнитные волны, электрические составляющие которых изменяются по закону $\mathbf{E}_{1}=\mathbf{E}_{0} \cos (\omega t-k x)$ и $\mathbf{E}_{2}=\mathbf{E}_{0} \cos (\omega t-k x+\varphi)$. Найти среднее значение плотности потока энергии.
$\mathrm{P}$ е ш е и е. Исходим из соотношений $S=E H$ и $\sqrt{\varepsilon_{0}} E=\sqrt{\mu_{0}} H$. Отсюда $\langle S\rangle=\sqrt{\varepsilon_{0} / \mu_{0}}\left\langle E^{2}\right\rangle$, где в любой точке $E^{2}=E_{m}^{2} \cos ^{2} \omega t$ (начальная фаза не существенна). Найдем $E_{m}^{2}$. Согласно векторной (или фазовой) диаграмме эта амплитуда вектора $\mathbf{E}$ является суммой векторов $\mathbf{E}_{0}$, разность фаз между которыми равна $\varphi$ (рис. 2.9). Из теоремы косинусов имеем $E_{m}^{2}=2(1+\cos \varphi) E_{0}^{2}$. В ре-
Рис. 2.9 зультате искомая величина
\[
\langle S\rangle=\sqrt{\varepsilon_{0} / \mu_{0}}(1+\cos \varphi) E_{0}^{2},
\]

где учтено, что $\left\langle\cos ^{2} \omega t\right\rangle=1 / 2$.

2.4. В вакууме распространяются две плоские электромагнитные волны, одна – вдоль оси $X$, другая – вдоль оси $Y$ :
\[
\mathbf{E}_{1}=\mathbf{E}_{0} \cos (\omega t-k x), \quad \mathbf{E}_{1}=\mathbf{E}_{0} \cos (\omega t-k y),
\]

где вектор $\mathbf{E}_{0}$ направлен параллельно оси $Z$. Найти среднее значение плотности потока энергии в точках плоскости $y=x$.
Р ешение е. Влоскости $y=x$ векторы $\mathbf{E}_{1}$ и $\mathbf{E}_{2}$ будут колебаться в фазе с амплитудой $E_{m}=2 E_{0}$. Векторы же $\mathbf{H}_{1}$ и $\mathbf{H}_{2}$ – тоже в фазе, но под углом $\pi / 2$ друг к другу, поэтому амплитуда результирующего вектора $H_{m}=\sqrt{2} H_{0}$, где $H_{0}$ связано с $E_{0}$ соотношением $\sqrt{\mu_{0}} H_{0}=\sqrt{\varepsilon_{0}} E_{0}$. Поэтому среднее значение плотности потока энергии в плоскости $y=x$ равно
\[
\langle S\rangle=\left\langle 2 E_{0} \cdot H_{0} \sqrt{2}\right\rangle=\sqrt{2 \varepsilon_{0} / \mu_{0}} E_{0}^{2},
\]

где учтено, что $\left\langle\cos ^{2} \omega t\right\rangle=1 / 2$.
2.5. Стоячая волна. Пусть электрическая составляющая стоячей электромагнитной волны имеет вид $E_{y}=E_{m} \cos k x \cdot \cos \omega t$. Найти с помощью уравнений (2.12) выражение для магнитной составляющей этой волны $H_{2}(x, t)$.
Р е ш е н и е. Согласно второму уравнению (2.12),
\[
\partial H_{z} / \partial x=-\varepsilon \varepsilon_{0} \partial E_{y} / \partial t=\varepsilon \varepsilon_{0} \omega E_{m} \cos k x \cdot \sin \omega t .
\]

Проинтегрировав это выражение по $x$, получим:
\[
H_{z}=\varepsilon \varepsilon_{0} v E_{m} \sin k x \cdot \sin \omega t+\text { const, }
\]

где $v=\omega / k=1 / \sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0} \mu \mu_{0}}$. Нас интересует только переменное поле, поэтому const $=0$. Учитывая связь (2.19) между амплитудами $E_{m}$ и $H_{m}$, найдем:
\[
H_{z}=H_{m} \sin k x \cdot \sin \omega t,
\]
т. е. $H_{z}$ имеет вид тоже стоячей волны, но сдвинутой в пространстве (по $x$ ) на четверть волны и по времени – на четверть периода.
2.6. Эффект Доплера. Радиолокатор работает на частоте $v_{0}$. Найти скорость $v$ приближающегося самолета, если частота биений между сигналами передатчика и отраженными от самолета равна $\Delta v$ (в месте расположения локатора).
Р е шен и е. Здесь мы имеем дело с нерелятивистским эффектом Доплера. Частота сигналов, воспринимаемая самолетом как приемником, к которому приближается локатор, согласно (2.36), равна
\[
v=v_{0} /(1-v / c)=
u_{0}(1+v / c),
\]

поскольку $v_{x}=v$. Сигналы такой же частоты $v$ самолет и отражает – уже как движущийся источник. Поэтому приемник локатора принимает сигналы с частотой
\[

u^{\prime}=v(1+v / c)=
u_{0}(1+v / c)^{2} \approx
u_{0}(1+2 v / c) .
\]

Частота биений $\Delta v=v^{\prime}-v_{0}=2 v_{0} v / c$. Отсюда $v=c \Delta v / 2 v_{0}$.
2.7. С какой скоростью должна была бы двигаться автомашина, чтобы красный свет светофора, $\lambda_{0} \approx 0,70$ мкм, воспринимался как зеленый, $\lambda_{0} \approx 0,55$ мкм (анекдот о Вуде)?
Р еше е и е. Согласно (2.34), $v=v_{0} \sqrt{(1+\beta)(1-\beta)}, \beta=v / c$.
Отсюда
\[
\beta=\frac{\left(
u /
u_{0}\right)^{2}-1}{\left(
u /
u_{0}\right)^{2}+1}=\frac{\left(\lambda_{0} / \lambda\right)^{2}-1}{\left(\lambda_{0} / \lambda\right)^{2}+1} .
\]

В результате находим $v=\beta c \approx 7 \cdot 10^{4} \mathrm{~km} / \mathrm{c}$ !
2.8. Эффект запаздывания. Источник $S$, испускающий электромагнитные сигналы с частотой $v_{0}$, движется с релятивистской скоростью $v$ по прямой, отстоящей на некоторое расстояние от неподвижного наблюдателя $P$ (рис. 2.10). Найти частоту сигналов, воспринимаемых наблюдателем в момент, когда:
a) источник окажется в точке 0 ;
б) наблюдатель увидит его в точке 0 .
P еш е н и е. а) В этот момент в точку $P$ должны прийти сигналы, испущенные источником $S$ левее точки 0 , когда его скорость составляла некоторый угол $\alpha$ с прямой $S P$. Этот угол должен удовлетворять условию $\cos \alpha=v \tau / c \tau=v / c$, где $\tau-$ время, за которое источник из точки $S$ достигнет точки 0 . За это же время сигналы до-
Рис. 2.10 стигнут $P$. Тогда, согласно (2.34),
\[
v=
u_{0} \frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-(v / c) \cos \alpha}=
u_{0} \frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta \cdot \beta}=\frac{
u_{0}}{\sqrt{1-\beta^{2}}}, \beta=v / c \text {. }
\]

б) В этом случае будет наблюдаться чисто поперечный эффект Доплера: $
u=
u_{0} \sqrt{1-\beta^{2}}$.
2.9. Излучение диполя. Электромагнитная волна, излучаемая диполем, распространяется в вакууме так, что в волновой зоне на луче, перпендикулярном оси диполя, на расстоянии $r$ от него интенсивность равна $I_{0}$. Найти среднюю мощность $P$ излучения диполя.
$P$ е ш н и е. Прежде всего найдем мощность $\mathrm{d} P$ излучения, проходящего через кольцевую полоску $d S$ на сфере радиуса $r$ (рис. 2.11). Площадь этой полоски равна произведению еє длины $2 \pi r \sin 9$ на ширину $r \mathrm{~d} 9$. Учитывая, кроме того, что, согласно (2.40), интенсивность под углом 9 относится к интенсивности под углом $\vartheta=90^{\circ}$ как $I / I_{0}=\sin ^{2} \vartheta$, запишем
\[
\mathrm{d} P=I \mathrm{~d} S=I_{0} \sin ^{2} \vartheta \cdot 2 \pi r \sin \vartheta r \mathrm{~d} \vartheta .
\]

Рис. 2.11

Проинтегрировав это выражение по 9 от 0 до $\pi$, получим:
\[
P=(8 \pi / 3) r^{2} I_{0} .
\]
2.10. Постоянный по модулю электрический диполь $p$ вращают с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, перпендикулярной оси диполя и проходящей через его середину. Найти мощность излучения такого диполя.
Р е ш е и е. Согласно (2.41), вопрос сводится к определению второй производной вектора $\mathbf{p}$ по времени. За время $\mathrm{d} t$ модуль приращения ветора $\mathbf{p}$ равен $|\mathrm{d} p|=p \omega \mathrm{d} t$, значит $\mathrm{dp}=[\omega \mathrm{p}] \mathrm{d} t$ и $\dot{\mathbf{p}}=[\omega \mathbf{p}]$ Из последнего равенства видно, что при вращении постоянного по модулю вектора $\mathbf{p}$ его производная по времени $\dot{\mathbf{p}}$ определяется как векторное произведение $\omega$ на вектор $\mathbf{p}$. Это справедливо для любого вектора, в частности и для $\mathbf{~}$. Его производная по времени, т. е. $\ddot{\mathbf{p}}=[\omega \dot{\mathbf{p}}]=[\omega[\omega \mathbf{p}]]$, или по модулю $|\ddot{\mathrm{p}}|=\omega^{2} p$. После подстановки этого выражения в (2.41) получим
\[
P=\left(\mu_{0} / 6 \pi c\right) p^{2} \omega^{4} .
\]