Уравнение стоячей волны. При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн возникает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды оказываются векторной суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это называют принципом суперпозиции (наложения) волн.

Рассмотрим практически важный случай, когда две гармонические волны с одинаковыми частотой $\omega$ и амплитудой $a$ распространяются в противоположных направлениях оси $X$ :
\[
\xi_{1}=a \cos (w t-k x) \text { и } \xi_{2}=a \cos (w t+k x) .
\]

Чтобы не усложнять формулы, начала отсчета времени и координаты выбраны так, чтобы добавочные фазы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ были равны нулю.
Суперпозиция этих волн дает:
\[
\xi=\xi_{1}+\xi_{2}=A \cos k x \cdot \cos \omega t, \quad \text { где } A=2 a .
\]

Это и есть уравнение стоячей волны. Видно, что ее частота та же, т.е. $\omega$, а амплитуда равна $|A \cos k x|$ и, в отличие от бегущей гармонической волны, зависит от $x$. В точках, где $|\cos k x|=1$, мы имеем максимумы – пучности, а где $\cos k x=0$, 一 минимумы узлы. Период $|\cos k x|$ равен $\pi$, поэтому $k \Delta x=\pi$ и $\Delta x=\pi / k=\lambda / 2$. Т. е. интервалы между соседними пучностями или узлами равны половине длины волны (рис. 1.8, где показаны крайние смещения $\xi$ через половину периода).

Рис. 1.8
Между двумя соседними узлами все точки среды колеблются синфазно, при переходе же через узел фаза изменяется на $\pi$, т. е. колебания по разные стороны от узла (в пределах полуволны) происходят в противофазе. Узлы смещения как бы разделяют среду на автономные области, в которых гармонические колебания совершаются независимо. Никакой передачи движения из одной области к другой, а значит и перетекания энергии через узлы не происходит. Другими словами, нет никакого распространения возмущения вдоль оси $X$. Именно поэтому возмущения, описываемые формулой (1.54), и называют стоячей волной.

Энергия стоячей волны. Переходя к распределению энергии в стоячей волне, определим сначала с помощью (1.54) выражение для скорости $\dot{\xi}$ частиц среды и ее относительной деформации $\varepsilon=\partial \xi / \partial x$ :
\[
\begin{array}{l}
\dot{\xi}=-A \omega \cos k x \cdot \sin \omega t, \\
\varepsilon=-A k \sin k x \cdot \cos \omega t .
\end{array}
\]

Видно, что обе величины, $\dot{\xi}$ и $\varepsilon$, тоже стоячие волны, причем они сдвинуты относительно друг друга по фазе на $\pi / 2$ – как в пространстве, так и во времени. Кроме того, узлы и пучности скорости $\dot{\xi}$ частиц среды совпадают с узлами и пучностями их смещения $\xi$. Узлы же и пучности деформации $\varepsilon$ совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения. Это показано на рис. 1.9 для моментов $t=0$ и $t=T / 4$, здесь узлы смещения отмечены жирными точками. В момент $t=0$, когда $\xi$ и $\varepsilon$ становятся максимальными, скорость $\dot{\xi}$ обращается в нуль, и наоборот ( $t=T / 4)$.

Соответственно происходят превращения энергии стоячей волны: то полностью в потенциальную (упругую), то полностью в кинетическую (аналогичное происходит при колебаниях маятника). На рис. 1.10 показано распределение плотности энергии в момен-

Рис. 1.9
ты $t=0$ и $t=T / 4$. В процессе колебаний происходит перетекание энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний же по времени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю.
Рис. 1.10

Пример. В тонком стержне установилась продольная стоячая волна вида $\xi=a \sin k x \cdot \sin \omega t$. Найдем проекцию вектора Умова на ось $X$, взятую вдоль стержня.
Воспользовавшись формулой (1.52), запишем:
\[
\begin{aligned}
j_{x}=-E \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial \xi}{\partial t} & =-E(a k \cos k x \cdot \sin \omega t)(a \omega \sin k x \cdot \cos \omega t)= \\
& =-\frac{1}{4} E a^{2} k \omega \sin 2 k x \cdot \sin 2 \omega t .
\end{aligned}
\]

Видно, что $j_{x}$ периодически меняет знак, а значит вектор $\mathbf{j}$ направление. Но в любом сечении $\left\langle j_{x}\right\rangle=0$, а в сечениях, где $2 k x=n \pi, n$ – целое число, $j_{x}=0$ постоянно. Эти сечения отстоят друг от друга на $\lambda / 4$.

Колебания струны (стержня). В натянутой струне, закрепленной с обоих концов, при возбуждении какого-либо произвольного поперечного возмущения возникнет довольно сложное нестационарное движение. Стационарное же движение в виде стоячей волны возможно лишь при вполне определенных частотах. Это связано с тем, что на закрепленных концах струны должны выполняться определенные граничные условия: в них смещение $\xi$ все время должно равняться нулю. Значит, если в струне возбуждается стоячая волна, то концы струны должны быть ее узлами. Отсюда следует, что на длине струны $l$ должно укладываться целое число $n$ полуволн: $l=n \cdot \lambda / 2$. Из этого условия находим возможные длины волн:
\[
\lambda_{n}=2 l / n, n=1,2, \ldots
\]

Соответствующие частоты
\[
v_{n}=\frac{v}{\lambda_{n}}=\frac{v}{2 l} n,
\]

где $v$ – фазовая скорость волны, определяемая, согласно (1.30), силой $F$ натяжения струны и линейной плотностью $\rho_{1}$, т. е. массой единицы ее длины.

Частоты $
u_{n}$ называют собственными частотами струны. Частоту $v_{1}(n=1)$ называют основной частотой, остальные $v_{2}, v_{3}, \ldots$ обертонами. Гармонические колебания с частотами (1.57) называют собственными колебаниями, или гармониками. В общем случае колебания струны представляют собой суперпозицию различных гармоник (спектр).

Колебания струны примечательны тем, что в рамках классической физики возникает дискретный спектр одной из величин (частоты). Такая дискретность для классической физики является исключением, в отличие от квантовой физики.

Приведенные выше соображения относятся не только к струне, но и к стержням, закрепленным различным образом в середине, на одном конце ит. д. Отличие заключается лишь в том, что свободный конец стержня является пучностью. Это касается как поперечных, так и продольных колебаний.

Пример. Найдем собственные частоты стержня, закрепленного на одном конце, если длина стержня $l$, модуль Юнга материала стержня $E$ и его плотность $\rho$.
Поскольку свободный конец стержня должен быть пучностью, на длине стержня установится целое число полуволн и еще четверть волны, т. е. $l=n \lambda / 2+\lambda / 4=(2 n+1) \lambda / 4$. Отсюда найдем возможные значения $\lambda_{n}$, а затем, учитывая (1.26), и собственные частоты:
\[

u_{n}=v / \lambda_{n}=\sqrt{E / \rho}(2 n+1) / 4 l, \quad n=0,1,2, \ldots
\]