Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Уравнение стоячей волны. При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн возникает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды оказываются векторной суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это называют принципом суперпозиции (наложения) волн. Рассмотрим практически важный случай, когда две гармонические волны с одинаковыми частотой $\omega$ и амплитудой $a$ распространяются в противоположных направлениях оси $X$ : Чтобы не усложнять формулы, начала отсчета времени и координаты выбраны так, чтобы добавочные фазы $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ были равны нулю. Это и есть уравнение стоячей волны. Видно, что ее частота та же, т.е. $\omega$, а амплитуда равна $|A \cos k x|$ и, в отличие от бегущей гармонической волны, зависит от $x$. В точках, где $|\cos k x|=1$, мы имеем максимумы — пучности, а где $\cos k x=0$, 一 минимумы узлы. Период $|\cos k x|$ равен $\pi$, поэтому $k \Delta x=\pi$ и $\Delta x=\pi / k=\lambda / 2$. Т. е. интервалы между соседними пучностями или узлами равны половине длины волны (рис. 1.8, где показаны крайние смещения $\xi$ через половину периода). Рис. 1.8 Энергия стоячей волны. Переходя к распределению энергии в стоячей волне, определим сначала с помощью (1.54) выражение для скорости $\dot{\xi}$ частиц среды и ее относительной деформации $\varepsilon=\partial \xi / \partial x$ : Видно, что обе величины, $\dot{\xi}$ и $\varepsilon$, тоже стоячие волны, причем они сдвинуты относительно друг друга по фазе на $\pi / 2$ — как в пространстве, так и во времени. Кроме того, узлы и пучности скорости $\dot{\xi}$ частиц среды совпадают с узлами и пучностями их смещения $\xi$. Узлы же и пучности деформации $\varepsilon$ совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения. Это показано на рис. 1.9 для моментов $t=0$ и $t=T / 4$, здесь узлы смещения отмечены жирными точками. В момент $t=0$, когда $\xi$ и $\varepsilon$ становятся максимальными, скорость $\dot{\xi}$ обращается в нуль, и наоборот ( $t=T / 4)$. Соответственно происходят превращения энергии стоячей волны: то полностью в потенциальную (упругую), то полностью в кинетическую (аналогичное происходит при колебаниях маятника). На рис. 1.10 показано распределение плотности энергии в момен- Рис. 1.9 Пример. В тонком стержне установилась продольная стоячая волна вида $\xi=a \sin k x \cdot \sin \omega t$. Найдем проекцию вектора Умова на ось $X$, взятую вдоль стержня. Видно, что $j_{x}$ периодически меняет знак, а значит вектор $\mathbf{j}$ направление. Но в любом сечении $\left\langle j_{x}\right\rangle=0$, а в сечениях, где $2 k x=n \pi, n$ — целое число, $j_{x}=0$ постоянно. Эти сечения отстоят друг от друга на $\lambda / 4$. Колебания струны (стержня). В натянутой струне, закрепленной с обоих концов, при возбуждении какого-либо произвольного поперечного возмущения возникнет довольно сложное нестационарное движение. Стационарное же движение в виде стоячей волны возможно лишь при вполне определенных частотах. Это связано с тем, что на закрепленных концах струны должны выполняться определенные граничные условия: в них смещение $\xi$ все время должно равняться нулю. Значит, если в струне возбуждается стоячая волна, то концы струны должны быть ее узлами. Отсюда следует, что на длине струны $l$ должно укладываться целое число $n$ полуволн: $l=n \cdot \lambda / 2$. Из этого условия находим возможные длины волн: Соответствующие частоты где $v$ — фазовая скорость волны, определяемая, согласно (1.30), силой $F$ натяжения струны и линейной плотностью $\rho_{1}$, т. е. массой единицы ее длины. Частоты $ Колебания струны примечательны тем, что в рамках классической физики возникает дискретный спектр одной из величин (частоты). Такая дискретность для классической физики является исключением, в отличие от квантовой физики. Приведенные выше соображения относятся не только к струне, но и к стержням, закрепленным различным образом в середине, на одном конце ит. д. Отличие заключается лишь в том, что свободный конец стержня является пучностью. Это касается как поперечных, так и продольных колебаний. Пример. Найдем собственные частоты стержня, закрепленного на одном конце, если длина стержня $l$, модуль Юнга материала стержня $E$ и его плотность $\rho$. u_{n}=v / \lambda_{n}=\sqrt{E / \rho}(2 n+1) / 4 l, \quad n=0,1,2, \ldots
|
1 |
Оглавление
|