Рассмотрим несколько интерференционных схем, отличающихся от схемы Юнга бо́льшей светосильностью.

Бипризма Френеля. В этой схеме для разделения исходной световой волны используют двойную призму $B$ (бипризму) с малым преломляющим углом $\theta$ (рис. 4.11). Источником света служит ярко освещенная узкая щель $S$, параллельная преломляющему ребру бипризмы.

Поскольку преломляющий угол бипризмы очень мал (порядка десятка угловых минут), то, как можно показать (см. задачу 3.6), все лучи отклоняются бипризмой на практически оди-
* Далее мы увидим, что в разных интерференционных схемах под $d$ надо понимать расстояние между некоторыми характерными лучами в месте расщепления исходной световой волны. См., например, задачу 4.6.

Pис. 4.11
наковый угол $\alpha=(n-1) \theta$. В результате образуются две когерентные волны, как бы исходящие из мнимых источников $S_{1}$ и $S_{2}$, лежащих в одной плоскости со щелью $S$.

Ширину $\Delta x$ интерференционных полос находим по первой из формул (4.6), учитывая, что в данном случае $l=a+b$ и расстояние между изображениями $S_{1}$ и $S_{2}$ щели $S$ равно $d=a \cdot 2 \alpha$. Таким образом,
\[
\Delta x=\frac{\lambda}{2 \alpha}\left(1+\frac{b}{a}\right) .
\]

Видно, что ширина полос тем больше, чем больше расстояние $b$ от бипризмы до экрана.
Если же на бипризму падает плоская волна, т. е. $a \rightarrow \infty$, то
\[
\Delta x=\lambda / 2 \alpha .
\]

Откуда следует, что ширина полосы в этом случае не зависит от положения экрана (расстояния $b$ ).

При наблюдении в белом свете центральный максимум (нулевого порядка, $m=0$ ) получается белым, остальные окрашенными, поскольку $\Delta x \sim \lambda$.

Максимальное число $N$ возможных полос интерференции на экране, где ширина зоны интерференции $x=b \cdot 2 \alpha$ (см. рис. 4.11), определяется условием $N_{\text {макс }}=x / \Delta x$. Отсюда следует с учетом (4.15), что
\[
N_{\text {макс }}=\frac{4 \alpha^{2}}{\lambda} \frac{a b}{a+b} .
\]

Пример. Убедимся, что для получения интерференционной картины с шириной полос, например, $\Delta x=0,5$ мм при размерах установки $a=50 \mathrm{~cm}, b=100 \mathrm{cм}$ преломляющий угол бипризмы $\theta$ должен быть весьма малым. Будем считать, что показатель преломления стекла $n=1,5$, и длина волны света $\lambda=0,5$ мкм.
Из (4.15) следует, если учесть, что угол $\alpha=(n-1) \theta$ :
\[
\theta=\frac{\lambda(1+b / a)}{2(n-1) \Delta x}=3 \cdot 10^{-3} \text { рад } \approx 10 \text { угл. мин. }
\]

Найдем, кстати, и ширину $x$ зоны интерференции на экране:
\[
x=b \cdot 2 \alpha=2(n-1) \theta b=3 \text { мм. }
\]

Видно, что $x \ll b$. Это характерно для многих интерференционных схем, что мы ранее и учитывали, упрощая некоторые расчеты.
В предыдущем параграфе было показано, что условия, подобные рассмотренным нами сейчас для случая бипризмы Френеля, являются необходимыми, но еще не достаточными для получения интерференционной картины. Следует обязательно учесть роль ширины $s$ щели (она связана с шириной когерентности) и степень монохроматичности $\lambda / \Delta \lambda$ используемого света (которая связана с длиной когерентности). Оказывается (расчет можно посмотреть в задаче 4.4), для получения интерференционной картины с достаточно хорошей видностью нужно, чтобы ширина $s$ щели удовлетворяла условию
\[
s \leqslant \frac{\lambda}{4 \alpha}\left(1+\frac{a}{b}\right),
\]

а степень монохроматичности – условию
\[
\frac{\lambda}{\Delta \lambda} \geqslant \frac{4 \alpha^{2} a b}{\lambda(a+b)},
\]

где $\alpha=(n-1) \theta$.
Следует обратить внимание на то, что для увеличения ширины $\Delta x$ интерференционных полос нужно, согласно (4.15), увеличивать отношение $b / a$. А чтобы использовать более широкую щель $S$, т. е. добиться бо́льшей светосильности установки, надо, как видно из (4.18), наоборот – увеличивать обратное отношение $a / b$. Компромисс между этими двумя противоположными требованиями решается обычно экспериментально.

Бизеркала Френеля. Здесь две когерентные световые волны получают при отражении от двух зеркал, плоскости которых образуют между собой небольшой угол $\alpha$ (рис. 4.12). Источник узкая ярко освещенная щель $S$, параллельная линии пересечения зеркал. Отраженные от зеркал пучки падают на экран $Э$ и там, где они перекрываются (зона интерференции), возникает интерференционная картина в виде полос, параллельных щели $S$. Отраженные от зеркал волны распространяются так, как если бы они исходили из мнимых источников $S_{1}$ и $S_{2}$, являющихся изображениями щели $S$.
Рис. 4.12
Найдем ширину $\Delta x$ интерференционных полос на экране $Э$. Воспользуемся первой из формул (4.6). В нашем случае $l=a+b$ и $d=2 \alpha \cdot a$, поэтому
\[
\Delta x=\frac{\lambda}{2 \alpha}\left(1+\frac{b}{a}\right) .
\]

Видно, что ширина полос растет с увеличением расстояния $b$. Если же на бизеркала падает плоская волна, т. е. $a \rightarrow \infty$, то
\[
\Delta x=\lambda / 2 \alpha,
\]

значит ширина полос в этом случае не зависит от расстояния $b-$ положения экрана.

Число возможных полос на экране $N=x / \Delta x$, где $x$ – ширина зоны интерференции на экране, $x=b \cdot 2 \alpha$. Следовательно,
\[
N=\frac{4 \alpha^{2}}{\lambda} \frac{a b}{a+b} .
\]

Но чтобы все эти полосы были действительно видны (и достаточно хорошо), нужно удовлетворить требованиям (4.13) и (4.14). Не вдаваясь в детали вывода (он аналогичен решению задачи 4.4 для бипризмы Френеля), получим, что ширина $s$ щели $S$ должна быть
\[
s \leqslant \frac{\lambda}{4 \alpha}\left(1+\frac{a}{b}\right),
\]

а степень монохроматичности используемого света
\[
\frac{\lambda}{\Delta \lambda} \geqslant \frac{4 \alpha^{2}}{\lambda} \frac{a b}{a+b} .
\]

Обращает на себя внимание то, что полученные формулы полностью идентичны с формулами для бипризмы Френеля.

Билинза Бийе. Обычную собирательную линзу разрезают пополам по диаметру, удаляя слой небольшой толщины, и обе половинки ее сдвигают (или немного раздвигают). Такую систему и называют билинзой. Рассмотрим билинзу, у которой толщина удаленного слоя равна $\delta$, а источник – ярко освещенная щель $S$ расположен в плоскости, соединяющей обе половинки бипризмы, и находится в ее фокальной плоскости на расстоянии $f$ от бипризмы (рис. 4.13). В этом случае оптический центр $O_{1}$ верхней половинки 1 бипризмы и оптический центр $O_{2}$ нижней половинки 2 расположены как показано на рисунке, и расстояние между этими оптическими центрами равно толщине удаленного слоя, т. е. $\delta$. Изобразив пунктиром побочные оптические оси, проходящие через щель $S$ и оптические центры обеих половинок бипризмы, можно построить и ход лучей через эти половинки.

Таким образом, мы видим, что бипризма расщепляет падающую на нее световую волну на две части, которые затем частично перекрываются (зона интерференции). На экране Э в области перекрывания волн должна возникнуть при определенных дополнительных условиях интерференционная картина.

Рис. 4.13
Ширину $\Delta x$ интерференционной полосы можно найти с помощью второй из формул (4.6), для этой цели она более удобна. Имея в виду, что угол между направлениями распространения двух плоских волн, как видно из рис. 4.13, равен $\alpha=\delta / f$, получим:
\[
\Delta x=\lambda f / \delta \text {. }
\]

Отсюда следует, что ширина полосы в данном случае не зависит от расстояния между экраном и билинзой.

Для подсчета числа полос на экране надо учесть, что зона интерференции здесь имеет вид вытянутого ромба, максимальная ширина $x_{\text {макс }}$ которого равна половине диаметра $D$ билинзы: $x_{\text {макс }}=D / 2$. Поэтому важно знать, в каком месте этого «ромба» находится экран. Если он расположен ближе места, где $x=x_{\text {макс }}$ (обычно так и бывает), то ширина зоны интерференции на экране будет $x=b \alpha=b \delta / f$. И число $N$ возможных полос интерференции окажется $N=x / \Delta x$, т. е.
\[
N=b \delta^{2} / f^{2} \lambda \text {. }
\]

Проведем некоторые оценки, чтобы иметь представление о порядке величин, с которыми приходится иметь дело в подобных интерференционных схемах. Для этого рассмотрим следующий числовой пример.
Пример. Пусть билинза, о которой шла речь, имеет фокусное расстояние $f=400$ мм и диаметр $D=50$ мм. Толщина удаленного слоя $\delta=1,0$ мм, длина волны света $\lambda=0,50$ мкм. Щель находится в фокальной плоскости билинзы. Вычислим ширину полосы $\Delta x$, расстояние $b$, на котором число полос может быть максимальным $N_{\text {макс }}$, и значение $N_{\text {макс }}$.

Согласно (4.25), $\Delta x=\lambda f / \delta=0,2$ мм. В нашем случае $\Delta x$ не зависит от расстояния $b$, поэтому максимальное число полос будет в том месте, где ширина зоны интерференции тоже максимальна и равна, как видно из рис. 4.13, $D / 2$. Из этого рисунка также видно, что $D / 2 \approx b \cdot \alpha$, где $\alpha=\delta / f$. Отсюда
\[
b=D / 2 \alpha=D f / 2 \delta=10 \mathrm{~m} .
\]

На этом расстоянии можно было бы наблюдать максимальное число полос
\[
N_{\text {maxc }}=(D / 2) / \Delta x=D \delta / 2 \lambda f \approx 125 .
\]

Обычно берут расстояние $b \sim 1 \mathrm{~m}$, на котором можно наблюдать 12 полос.
Остается выяснить дополнительные условия, которым должны удовлетворять ширина $s$ щели $S$ и степень монохроматичности $\lambda / \Delta \lambda$ используемого света, чтобы интерференционную картину можно было получить, причем с достаточно хорошей видностью. Эти условия мы найдем с помощью соотношений (4.14) и (4.9). Предоставив желающим в этом убедиться самостоятельно, выпишем их для нашего случая, когда щель находится в фокальной плоскости билинзы:
\[
\begin{array}{c}
s \leqslant \lambda f^{2} / b \delta, \\
\lambda / \Delta \lambda \geqslant m_{\text {макс }} \approx b \delta^{2} / 2 \lambda f^{2},
\end{array}
\]

где $m_{\text {макс }}$ – максимальный порядок интерференции на экране, отстоящем на расстояние $b$ от билинзы (он равен отношению полуширины зоны интерференции к ширине интерференционной полосы).

В заключение следует заметить, что обзор интерференционных схем на этом, разумеется, не ограничивается. На трех рассмотренных схемах мы продемонстрировали общность подхода к расчету интерференционных картин, поучаемых подобными схемами. Из существующих в настоящее время интерференционных схем можно назвать еще и такие: зеркало Ллойда (см. задачу 4.1), интерферометр Рэлея (см. задачу 4.2), звездный интерферометр Майкельсона (см. в конце предыдущего параграфа), интерферометр Маха-Цендера и др. Некоторые из них нашли широкое применение при проведении очень тонких и высокочувствительных измерений.

Параллельно была разработана другая идея получения и интерференции когерентных волн – путем расщепления первичной волны при отражении от двух границ раздела прозрачных диэлектриков. $К$ изучению этого метода мы и переходим.