При отражении от плоскопараллельной пластинки. Пусть на прозрачную плоскопараллельную пластинку падает плоская монохроматическая световая волна, направление распространения которой показано падающим лучом на рис. 4.14. В результате отражений от обеих поверхностей пластинки исходная волна расщепится на две, что и показано лучами 1 и 2 . Амплитуды этих волн мало отличаются друг от друга – это важно для получения достаточно контрастной интерференции.
Рис. 4.14
Заметим, что, кроме этих двух отраженных волн (1 и 2), возникает еще многократное отражение. Однако их вклад практически пренебрежимо мал (см. задачу 3.3), и мы ограничимся только волнами, возникшими при однократном отражении.

Оптическую разность хода волн 1 и 2 определим, согласно рис. 4.14, как
\[
\Delta=n(A B+B C)-A D,
\]

где $n$ – показатель преломления вещества пластинки. Кроме того, видно, что $A B=B C=2 b / \cos 9^{\prime}$ и $A D=2 b \operatorname{tg} \vartheta^{\prime} \cdot \sin \vartheta, b-$ толщина пластинки. В результате подстановки этих выражений в (4.29) получим
\[
\Delta=2 n b \cos \vartheta^{\prime} .
\]

Следует также учесть, что при отражении от верхней поверхности пластинки (от среды, оптически более плотной) в соответствии с (3.11) происходит скачок фазы на $\pi$ у отраженной волны, т. е., как говорят, «потеря» полуволны ( $\pm \lambda / 2$ ). Учитывая еще, что $\sin \vartheta=n \sin \vartheta^{\prime}$, получим
\[
\Delta=2 b \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \vartheta}-\lambda / 2
\]
(здесь можно было написать и $+\lambda / 2$, но это не существенно).
Если отраженные волны 1 и 2 когерентны между собой (а мы об этом позаботимся), то максимумы отражения будут наблюдаться при условии
\[
2 b \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \vartheta}-\lambda / 2=m \lambda,
\]

где $m$ – целое число (порядок интерференции).
Меняя угол падения 9 , мы будем наблюдать последовательную смену максимумов и минимумов отражения. (Заметим, что при минимуме отражения наблюдается максимум проходящего через пластинку света, и наоборот.) Если бы обе отраженные волны были некогерентными, то такого явления мы не наблюдали бы: по мере увеличения угла падения интенсивность отраженного света монотонно уменьшалась бы.

Теперь выясним условия, при которых отраженные волны будут когерентными и смогут интерферировать, т. е. выполняются соотношения (4.13) и (4.14).

Проиллюстрируем ситуацию с помощью рис. 4.15. Выделим в падающей волне некоторую область когерентности $l_{\text {ког }} \cdot h_{\text {ког }}$ (она слегка затенена на рисунке) и проследим за ее дальнейшей судьбой. После расщепления падающей волны расщепится и выделенная область когерентности, причем так, что в отраженных волнах эти области когерентности сместятся относительно друг друга (рис. $4.15, a$ ). Если они при этом перекрываются (на рисунке более темный участок), интерференция будет наблюдаться и тем более отчетливо, чем больше степень перекрытия.

Pис. 4.15
Нетрудно видеть, что для пластинки с большей толщиной область перекрытия когерентных участков уменьшается (рис. 4.15, б), и интерференция будет наблюдаться все менее отчетливо. Начиная с некоторой толщины пластинки итерференция исчезнет совсем.

Из рис. 4.15 видно, что смещение расчлененных частей области когерентности происходит как вдоль распространения волны (оно не должно превосходить длину когерентности $l_{\text {ког }}$ ), так и поперек распространения волны (смещение не должно превосходить ширину когерентности $h_{\text {ког }}$ ). Интерференция будет наблюдаться лишь в том случае, когда будут удовлетворены оба эти условия. Напомним, что для лучшей видности мы договорились брать половины значений $l_{\text {ког }}$ и $h_{\text {ког }}$.

Перейдем к расчету. Согласно (4.13), необходимо, чтобы оптическая разность хода $\Delta \leqslant l_{\text {ког }} / 2$. Следовательно,
\[
2 b \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \vartheta}-\lambda / 2 \leqslant l_{\text {ког }} / 2 .
\]

Для оценки необходимого значения толщины пластинки $b$ будем считать, что корень в этом выражении равен величине порядка единицы (что обычно и бывает), а также пренебрежем $\lambda / 2$. Тогда получим
\[
2 b \leqslant l_{\text {ког }} / 2,
\]
т. е. необходимо, чтобы удвоенная толщина пластинки была не более половины длины когерентности используемого излучения. Например, если $\lambda=600 \mathrm{нм,} \mathrm{а} \Delta \lambda=3$ нм, то толщина пластинки
\[
b \leqslant \lambda^{2} / 4 \Delta \lambda=3 \cdot 10^{4} \mathrm{HM}=30 \mathrm{MKM} .
\]

Далее, поперечный сдвиг частей области когерентности не должен превосходить половины ширины когерентности $h_{\text {ког }}$. Этот сдвиг, как видно из рис. 4.14, равен отрезку $D C$. Значит, необходимо, чтобы $D C \leqslant h_{\text {ког }} / 2$. Из рис. 4.14 следует, что
\[
D C=2 b \operatorname{tg} \vartheta^{\prime} \cos \vartheta=b \frac{\sin 2 \vartheta}{\sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \vartheta}} .
\]

Это смещение существенно зависит от угла падения 9. Чем меньше угол падения, тем меньше смещение $D C$, тем меньше может быть $h_{\text {ког }}$. И основную роль в этом случае будет играть длина когерентности. При $9=0$ смещение происходит только вдоль распространения волн, поперек – оно равно нулю, и ширина когерентности $h_{\text {ког }}$ становится практически не существенной.

Обратимся к вопросу, что следует понимать под словами \”тонкая\” пластинка. Когда говорят, что интерференция происходит при отражении от тонкой пластинки, то имеют в виду, что ее толщина меньше (в той или иной степени) $l_{\text {ког }}$ и $h_{\text {ког }}$ (если $\vartheta
eq 0$ ). Причем – это важно – при нормальном падении интерференция обеспечивается только соотношением между толщиной пластинки и $l_{\text {ког }}$.

Для солнечного света ( $l_{\text {ког }} \approx 5 \lambda$ ) пластинка будет тонкой, если ее толщина порядка нескольких длин волн. Длину когерентности можно увеличить с помощью светофильтров, соответственно увеличивается и толщина пластинки, которую мы называем тонкой. Для лазерного же излучения тонкой будет пластинка в десятки сантиметров и метров (в зависимости от длины когерентности излучения используемого лазера).

Итак, мы выяснили, что при падении плоской световой волны на плоскопараллельную тонкую пластинку интенсивность отраженного света зависит от угла падения. Изменяя этот угол, мы будем наблюдать чередование максимумов и минимумов отраженного света. Это можно использовать для получения интерференционной картины в виде привычной системы полос. Достаточно использовать в качестве падающего рассеянный монохроматический свет (он содержит волны, падающие на пластинку одновременно под разными углами), а на пути отраженного света поставить линзу и в ее фокальной плоскости экран (рис. 4.16).

Максимумы на экране будут располагаться в местах, соответствующих условию (4.32). Полоса данного порядка интерференции обусловлена светом, падающим на пластинку под одним и тем же углом 9 , но с разных направлений. Поэтому такие полосы называют полосами равного наклона. При расположении линзы как показано на рисунке, эти полосы имеют вид концентрических колец с центром в ее фокусе $F$. Порядок интерференции $m$ растет с уменьшением угла падения 9 , и в центре картины он максимален.

Поскольку для наблюдения интерференционной картины в данном случае экран помещают в фокальной плоскости линзы, т. е. так, как его располагают для получения на нем изображения бесконечно удаленных предметов, то говорят, что полосы равного наклона локализованы в бесконечности. Роль линзы и экрана может играть хрусталик и сетчатка глаза. В этом случае для наблюдения полос равного наклона глаз нужно аккомодировать (настраивать) так, как при рассмотрении удаленных предметов.

В белом свете интерференционные полосы окрашены. Поэтому такое явление называют цвета тонких пластинок.

Клиновидные пластинки. Пусть стеклянная пластинка имеет форму клина с углом раствора $\alpha$ « 1 , и на нее падает плоская монохроматическая световая волна. Теперь отраженные от поверхностей клина световые волны будут распространяться не в одном направлении, а под некоторым углом (рис. 4.17).

Выясним прежде всего, где будет локализована интерференционная картина. Это проще всего сделать с помощью рис. 4.18, на котором показано, что происходит с областью когерентности после расщепления волны при отражении от по-
Рис. 4.17
Рис. 4.18
верхностей клина. Ясно, что при небольших значения $l_{\text {ког }}$ и $h_{\text {ког }}$ область перекрытия когерентных частей отраженных волн локализована в основном вблизи поверхности клина и становится все более узкой по мере перемещения в сторону утолщения клина, постепенно исчезая совсем (рис. 4.19). На рисунке область локализации несколько затемнена.

Так как разность хода лучей, отразившихся от различных участков клина, неодинакова, в области локализации интерференции появятся светлые и темные полосы, параллельные ребру клина. Каждая из таких полос возникает в результате отражений от участков клина с одинаковой толщиной, поэтому их называют полосами равной толщины.

Локализованные вблизи поверхности клина интерференционные полосы можно наблюдать непосредственно глазом, фокусируя его на поверхность клина, либо с помощью линзы, сфокусированной также на поверхность клина. С помощью линзы интерференционную картину с поверхности клина можно отобразить на экран Э, расположенный в Рис. 4.19 плоскости, сопряженной с поверхностью клина (см. рис. 4.19).

Полосы равной толщины можно наблюдать в тонкой клиновидной прослойке воздуха между поверхностями двух прозрачных пластинок. Если направление наблюдения близко к нормальному, то оптическая разность хода лучей, отраженных от поверхностей клина в месте, где ширина зазора равна $b$, определяется как $\Delta=2 b-\lambda / 2$. Там, где $\Delta=(m-1 / 2) \lambda, m=1,2, \ldots$, возникают минимумы. Т. е. темные полосы возникают в тех местах, где толщина зазора $b=m \lambda / 2$. Переход от одной полосы к соседней (ширина полосы $\Delta x$ ) соответствует изменению толщины зазора на $\lambda / 2$. Каждая полоса соответствует определенной толщине зазора. Это используют для проверки качества оптических поверхностей при их шлифовке, наблюдая в отраженном свете прослойку между контролируемой и эталонной поверхностями.

Измеряя ширину полосы $\Delta x$ в монохроматическом свете с известной длиной волны $\lambda$, можно измерить углы порядка 0,1 угл. мин и меньше (см. задачу 4.6).

В предыдущих рассуждениях мы принимали во внимание только волны, отраженные от поверхностей воздушного клиновидного зазора, игнорируя волны, отраженные от наружных поверхностей пластинок. Это можно сделать лишь постольку, поскольку толщина пластинок обычно значительно превышает длину когерентности используемого света от обычных источников, и отраженные от этих поверхностей волны оказываются некогерентными.
Кольца Ньютона – это кольцевые полосы равной толщины, наблюдаемые при отражении света от поверхностей зазора между стеклянной пластинкой и соприкасающейся с ней выпуклой линзой (рис. 4.20). Волна, отраженная от верхней поверхности линзы, в силу небольшой длины когерентности обычных источников света, некогерентна с волна-
Рис. 4.20 ми, отраженными от поверхностей зазора, и участия в образовании интерференционной картины не принимает. Поэтому мы ее и не будем учитывать.

При нормальном падении света кольца в отраженном свете имеют вид концентрических окружностей с центром в точке соприкосновения линзы с пластинкой. Найдем радиусы $r$ темных колец (минимумов).

Сначала запишем условие образования темных колец. Они возникают там, где оптическая разность хода $\Delta$ волн, отраженных от обеих поверхностей зазора, равна нечетному числу полуволн:
\[
\Delta=2 b+\lambda / 2=(2 m+1) \lambda / 2,
\]

где $\lambda / 2$ связано с «потерей» полуволны при отражении от пластинки и $m=0,1,2, \ldots$ Отсюда
\[
2 b=m \lambda \text {. }
\]

Далее, согласно теореме Пифагора (см. рис. 4.20), $r^{2}=R^{2}-(R-b)^{2}$. Учитывая, что $b \ll R$, получим
\[
r^{2}=2 b R .
\]

Из (4.34) и (4.35) следует, что радиус $m$-го темного кольца
\[
r_{m}=\sqrt{m \lambda R}, \quad m=0,1,2, \ldots
\]

Заметим, что значению $m=0$ соответствует минимум темного пятна (не кольца). Аналогичный расчет можно провести и для светлых колец.
Пример. Найдем радиус 5-го светлого кольца, если радиус кривизны выпуклой поверхности линзы $R=16$ см и контакт ее с плоской поверхностью стекла идеальный (в точке). Длина волны света $\lambda=0,50$ мкм.
Условие максимумов в данном случае имеет вид
\[
2 b+\lambda / 2=m \lambda, m=1,2,3, \ldots,
\]

где $b$ – толщина зазора в месте $m$-го максимума (заметим, что если бы мы взяли $-\lambda / 2$, то значения $m$ надо было начинать с нуля). Согласно (4.35), $2 b=r_{m}^{2} / R$. Из этих двух соотношений следует, что искомый радиус
\[
r_{m}=\sqrt{(m-1 / 2) \lambda R}=0,6 \text { мкм. }
\]

Следует обратить внимание на то, что формула (4.36) справедлива лишь в случае идеального (точечного) контакта сферической поверхности линзы с пластинкой. Но идеальных контактов не бывает, номера колец не равны, вообщя говоря, порядку интерференции $m$, и это обстоятельство необходимо учитывать при расчетах (см. задачу 4.8).

Если линзу постепенно отодвигать от поверхности пластинки, то интерференционные кольца будут стягиваться к центру: это ведь кольца (полосы) равной толщины, а она при этом перемещается к центру.

С помощью колец Ньютона можно с достаточно высокой точностью контролировать качество изготовления, например, сферических поверхностей.

Рассмотрим теперь на конкретном примере вопрос, связанный с причиной локализации колец Ньютона в очень малой области для обычных линз (кольца приходится рассматривать в микроскоп).
Пример. Плосковыпуклая линза, радиус кривизны сферической поверхности которой $R=60 \mathrm{mм}$, соприкасается со стеклянной пластинкой. Оценим радиус наблюдаемой в отраженном свете интерференционной картины, если длина волны света $\lambda=0,60$ мм и $\Delta \lambda=0,06$ мкм. Свет падает практически нормально.
При нормальном падении света ограничивать интерференционную картину будет только длина когерентности $l_{\text {ког }}$. Кольца исчезают при условии $2 b \approx l_{\text {кor }}$, где $b$ – ширина зазора в месте исчезновения колец. Согласно (4.35), $r^{2}=2 b R$, а $l_{\text {ког }} \approx \lambda^{2} / \Delta \lambda$. Из этих формул получим $r^{2} / R \approx \lambda^{2} / \Delta \lambda$, откуда
\[
r \approx \lambda \sqrt{R / \Delta \lambda}=0,6 \mathrm{mм} .
\]

Число видимых колец равно, согласно (4.9), $\lambda / \Delta \lambda \approx 10$. Этот результат можно получить и с помощью (4.36).
Просветление оптики. В ее основе лежит интерференция света при отражении от тонких пластинок. Дело в том, что при прохождении света через каждую преломляющую поверхность линзы отражается примерно $4 \%$ падающего света. В сложных объективах такие отражения совершаются многократно и суммарная потеря светового потока оказывается весьма ощутимой. Например, в призменном бинокле она оставляет свыше $50 \%$.

В просветленной оптике на каждую поверхность линзы наносят путем напыления тонкую пленку прозрачного диэлектрика с показателем преломления $n^{\prime} \approx \sqrt{n_{1} n_{2}}$, где $n_{1}$ и $n_{2}$ – показатели преломления сред, между которыми находится пленка. При этом условии амплитуды отраженных от обеих поверхностей пленки волн оказываются, согласно (3.11), практически одинаковыми. Толщина же пленки делается такой, чтобы волны, отраженные от обеих поверхностей пленки, оказывались в противофазе, т. е. гасили друг друга.
Пример. Найдем показатель преломления $n^{\prime}$ пленки и ее толщину $b$, чтобы отражение света с длиной волны $\lambda=0,55$ мкм от поверхности стекла с показателем преломления $n=1,5$ отсутствовало при нормальном падении света.

Сначала найдем $n^{\prime}$, при котором амплитуды волн, отраженных от обеих поверхностей пленки, были бы одинаковыми (рис. 4.21). Для этого, согласно (3.11), нужно чтобы $E_{1}^{\prime} / E=E_{2}^{\prime} / E$. Мы будем пренебрегать многократными отражениями и считать, что амплитуды падающих на обе поверхности пленки волн практически Рис. 4.21 одинаковы. В нашем случае это выглядит так:
\[
\frac{1-n^{\prime}}{1+n^{\prime}} \approx \frac{n^{\prime}-n}{n^{\prime}+n},
\]

откуда $n^{\prime} \approx \sqrt{n}=1,22$. Твердых веществ с таким малым показателем преломления нет. Трудность может быть преодолена (что и делают) путем использования двухслойных покрытий с соответственно подобранными показателями преломления (в детали мы углубляться не будем).
Теперь определим толщину пленки, при которой отраженные волны будут в противофазе. Это значит, что оптическая разность хода этих двух отраженных волн на выходе из пленки должна быть равна полуцелому числу длин волн:
\[
2 b n^{\prime}=(m+1 / 2) \lambda, \quad m=0,1,2, \ldots
\]

Здесь учтено, что обе волны отражаются от оптически более плотных сред, и значит одинаково испытывают скачок фазы на $\pi$ («потерю» полуволны). Из последнего условия находим
\[
b=\frac{(m+1 / 2) \lambda}{2 \sqrt{n}} .
\]

Наименьшая толщина (при $m=0$ ) равна $b=\lambda / 4 \sqrt{n}=0,10$ мкм. У обычного света длина когерентности невелика, поэтому пленка должна иметь толщину порядка нескольких длин волн. Это обязывает с особой осторожностью относиться к таким покрытиям: малейшее механическое повреждение пленки разрушает ее действие.

Обычно просветление оптики проводят для средней (желто-зеленой) области видимого спектра. Для краев же этого спектра коэффициент отражения заметно отличается от нуля, и объективы кажутся в отраженном свете пурпурными, что соответствует смешению красного и фиолетового цветов.