Двупреломляющая пластинка. Исследуем более подробно случай, представляющий наибольший практический интерес, когда свет распространяется в одноосном кристалле перпендикулярно оптической оси кристалла. При этом условии пространственного разделения обыкновенных и необыкновенных лучей не будет.

Пусть на кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси $O O^{\prime}$ (рис. 6.10), падает нормально линейно-поляризованный свет, плоскость поляризации которого составляет угол $\varphi$ с оптической осью пластинки (обычно делают так, чтобы угол $\varphi$ был равен $45^{\circ}$ по причинам, которые станут ясными далее). В этом случае в кристалле в одном и том же на-
Pис. 6.10
Рис. 6.11

правлении (перпендикулярно оптической оси) будут распространяться две волны с разными скоростями ( $v_{o}=c / n_{o}$ и $v_{e}=c / n_{e}$ ), поляризованные взаимно ортогонально. Это показано на рис. 6.11, где свет распространяется перпендикулярно к плоскости рисунка. На этом рисунке $P$ — плоскость поляризации падающего на пластинку света, $\mathbf{E}$ — его вектор-амплитуда, $O O^{\prime}$ оптическая ось кристалла, $\mathbf{E}_{o}$ и $\mathbf{E}_{e}$ — векторы-амплитуды обыкновенной и необыкновенной волн в кристаллической пластинке.

В зависимости от толщины $h$ пластинки обе волны выходят из пластинки с той или иной разностью фаз $\delta$, которая зависит от оптической разности хода данных волн, равной
\[
\Delta=h\left(n_{o}-n_{e}\right) .
\]

Учитывая, что $\delta=2 \pi \Delta / \lambda$, где $\lambda$ — длина волны в вакууме, получим:
\[
\delta=2 \pi \frac{h\left(n_{o}-n_{e}\right)}{\lambda} .
\]

Итак, из кристаллической пластинки выходят две взаимно ортогональные плоскополяризованные волны: одна поляризована перпендикулярно к главному сечению кристалла, другая — в плоскости этого сечения (см. рис. 6.10). Это значит, что в произвольной точке за кристаллической пластинкой соответствующие колебания светового вектора будут выглядеть так:
\[
\begin{array}{l}
E_{o x}=E_{o} \cos \omega t, \\
E_{e y}=E_{e} \cos (\omega t+\delta) .
\end{array}
\]

Далее мы будем предполагать (но в эксперименте в этом надо убедиться), что оптическая разность хода обыкновенной и необыкновенной волн меньше длины когерентности (лучше, чтобы $\Delta<l_{\text {ког }} / 2$ ), тогда обе волны можно считать когерентными* и их разность фаз $\delta$ не зависящей от времени.
* Оценим толщину $h$ пластинки, при которой это условие выполняется. Пусть $\lambda \approx 0,60$ мкм и $\Delta \lambda \approx 0,010$ мкм, тогда $l_{\text {коr }} \approx \lambda^{2} / \Delta \lambda=36$ мкм и
\[
h<\frac{l_{\text {ког }}}{2\left|n_{o}-n_{e}\right|}=-\left\{\begin{array}{l}
\left.2 \text { мм (кварц, } n_{e}-n_{o}=0,009\right), \\
0,1 \text { мм (исландский шпат, } n_{o}-n_{e}=0,17 \text { ). }
\end{array}\right.
\]

Характер поляризации результирующей волны будет зависеть от толщины данной кристаллической пластинки, т. е. в конечном счете от разности фаз $\delta$. В общем случае уравнения (6.7) — это уравнение эллипса в параметрической форме. Следовательно, вышедший из кристаллической пластинки свет явРис. 6.12 ляется эллиптически-поляризованным. У него результирующий вектор $\mathbf{E}$ вращается с угловой скоростью $\omega$, изменяясь при этом периодически по модулю (рис. 6.12).

Таким образом, сложение двух взаимно ортогональных когерентных колебаний приводит в общем случае к зллиптической поляризации. Вид и ориентация эллипса зависят от отношения амплитуд ортогональных колебаний, $\mathbf{E}_{o}$ и $\mathbf{E}_{e}$, а также и от их разности фаз $\delta$.

Справедливо и обратное утверждение: эллиптически-поляризованный свет всегда можно представить как сумму двух взаимно ортогональных когерентных колебаний.

В зависимости от значений амплитуд $\mathbf{E}_{o}, \mathbf{E}_{e}$ и разности фаз $\delta$ эллиптически-поляризованый свет может вырождаться в плоскополяризованный или поляризованный по кругу (подробнее этот вопрос мы рассмотрим ниже).

На рис. 6.11 ось $Z$ направлена на нас, предполагается, что и световая волна распространяется в направлении оси $Z$, т. е. тоже на нас. Глядя на рисунок, мы смотрим навстречу волне. Условились, что если при наблюдении навстречу волне вращение вектора Е в фиксированной точке пространства происходит по часовой стрелке, то такую волну называть правополяризованной, если же против часовой стрелки, то — левополяризованной. Рис. 6.12 соответствует правополяризованной волне.

Заметим, что направление поляризации (правая или левая) зависит от разности фаз $\delta$, точнее от того, колебание по какой оси ( $X$ или $Y$ ) опережает — это при условии, что в формуле (6.7) $\delta$ выбрано так, чтобы его значение было заключено между $-\pi$ и $+\pi$. Последнее можно сделать всегда, исключая из $\delta$ целое число $2 \pi$ — это ничего не меняет.

Если колебание опережает по оси $Y(0<\delta<\pi)$, то сначала $E_{y}$ и лишь затем $E_{x}$ достигают максимальных значений. Следовательно, движение конца вектора $\mathbf{E}$ будет происходить по часовой стрелке — поляризация будет правой.

Если же колебание по оси $Y$ отстает $(0>\delta>-\pi)$, то сначала $E_{x}$ и лишь затем $E_{y}$ достигают максимальных значений — движение конца вектора $\mathbf{E}$ будет против часовой стрелки, значит поляризация левая.

В зависимости от толщины $h$ данной кристаллической пластинки, вырезанной параллельно оптической оси, характер поляризации прошедшего через нее света будет отличаться друг от друга. Рассмотрим несколько частных случаев, представляющих наибольший практический интерес.
1. Пластинка в четверть волны (короче $\lambda / 4$ ) — это пластинка, толщина $h$ которой удовлетворяет условию
\[
h\left|n_{o}-n_{e}\right|=m \frac{\lambda}{4}, \quad \text { где } m=1,3,5, \ldots,
\]
т. е. при нечетных значениях $m$. Эта пластинка согласно (6.6) вносит дополнительную разность фаз $\delta=\pi / 2$ (точнее, $m \pi / 2, m-$ нечетное) между проходящими через нее обыкновенной и необыкновенной волнами, поляризованными во взаимно перпендикулярных плоскостях. Эти плоскости определяют в пластинке два направления, называемые главными направлениями пластинки: одна параллельна оптической оси, другая — перпендикулярна ей.
При таких значениях $\delta$ свет, прошедший через пластинку, будет в соответствии с формулой (6.7) эллиптически-поляризованным, причем эллипс будет приведен к осям $X$ и $Y$ (рис. 6.13, где ось $O O^{\prime}$ — оптическая ось). Направления вращения вектора $\mathbf{E}$ чередуются: если, например, при $m=1$ по часовой стрел-
Рис. 6.13 ке, то при $m=3$ против и т. д.
Если линейно поляризованный свет падает на пластинку так, что угол между его плоскостью поляризации $P$ и оптической осью пластинки $\varphi=45^{\circ}$ (см. рис. 6.11), то амплитуды обыкновенной и необыкновенной волн будут одинаковы, и на выходе из пластинки мы получим круго-поляризованный свет — эллипс вырождается в окружность (рис. 6.14).

Пластинки в $\lambda / 4$ изготовляют обычно из кварца. Качество пластинки (насколько она соответствует четвертьволновой) можно проверить, исследуя с помощью поляроида (анализатора) выходящий из нее круго-поляризованный свет: враще-
Pис. 6.14

ние анализатора вокруг оси пучка не должно приводить к изменению интенсивности света.

Пластинку в $\lambda / 4$ можно использовать и для обратного превращения круго-поляризованного света в линейно-поляризованный. Плоскость поляризации выходящего света при этом составляет угол $45^{\circ}$ с оптической осью пластинки.
2. Пластинка в полволны (короче $\lambda / 2$ ). Ее толщина $h$ удовлетворяет условию
\[
h\left|n_{o}-n_{e}\right|=m \frac{\lambda}{2}, \quad \text { где } m=1,3,5, \ldots,
\]
т. е. тоже при нечетных значениях $m$. На выходе из такой пластинки между обыкновенной и необыкновенной волнами возникает согласно (6.6) дополнительная разность фаз $\delta=\pi$ (точнее $m \pi, m$ — нечетное). Это значит, что свет, вышедший из пластинки, остается линейно-поляризованным, однако направление колебаний вектора $\mathbf{E}$ (плоскость поляризации) повернется на угол $2 \varphi$ симметрично главному сечению пластинки (рис. 6.15). При $\varphi=45^{\circ}$ такая пластинка «поворачивает» плоскость поляризации на $90^{\circ}$, т. е. плоскость поляризации прошедшего через пластинку света будет ортогональна плоскости поляризации падающего света. Необходимость такого «поворота» нередко встречается в экспериментальных установках.

Следует также обратить внимание на то, что при четных значениях $m(2,4, \ldots)$ в формуле (6.9) прошедший через пластинку свет остается линейно-поляризованным в той же плоскости, что и падающий свет. Т. е. такая пластинка ничего нового не вносит. Ее часто называют пластинкой в целую волну.

Pис. 6.15
Рис. 6.16
3. Компенсатор. Для анализа поляризованного света наряду с пластинкой $\lambda / 4$ используют устройства, позволяющие скомпенсировать до нуля (или дополнить до $\pi$ ) любую разность фаз между двумя взаимно ортогональными колебаниями. Это так называемые компенсаторы.

Простейший компенсатор состоит из двух кварцевых клиньев (рис. 6.16). Вместе они образуют кристаллическую пластинку, оптическая ось которой параллельна ее граням (это показано штриховкой на рисунке). Один из клиньев можно перемещать относительно другого с помощью микрометрического винта, изменяя таким образом толщину компенсатора-пластинки, а значит и вносимую этой системой разность фаз между обыкновенной и необыкновенной волнами.

Если на компенсатор падает нормально линейно-поляризованный свет, плоскость которого составляет угол $45^{\circ}$ с его оптической осью, то с увеличением толщины компенсатора растет и разность фаз взаимно ортогональных волн, проходящих через него. В результате мы будем наблюдать картину (рис. 6.17), показывающую как меняется характер поляризации прошедшего света с ростом разности фаз $\delta$. Напомним, что согласно (6.7) значения $\delta$ на рис. 6.17 определяют насколько (по фазе) колебания $E_{y}$ опережают колебания $E_{x}$ (опережают — в алгебраическом смысле).

Из рис. 6.17 видно, что направление поляризации, как было отмечено ранее, периодически меняется. Если сначала было правое, т. е. по часовой стрелке (для наблюдателя), то затем с ростом толщины $h$ компенсатора-пластинки, а значит и $\delta$, оно переходит в левое, т. е. против часовой стрелки и т. д.

Анализ поляризованного света. В практике часто встречается необходимость выяснить, каков характер поляризации исследуемого света, как отличается характер поляризации одного света от другого. Рассмотрим несколько наиболее типичных случаев.
1. Свет плоскополяризованный. В этом можно убедиться с помощью любого поляризатора: при вращении его плоскости пропускания вокруг направления пучка интенсивность проходящего света будет изменяться, и при некотором положении свет полностью гасится. Значит, исследуемый свет плоскополяризованный.
2. Свет естественный и поляризованный по кругу. Как их различить? Для этого одного поляризатора недостаточно: в обоих случаях при вращении его плоскости пропускания вокруг напрвления пучка интенсивность проходящего света не меняется. Если же предварительно ввести пластинку $\lambda / 4$, то поляризованный по кругу свет превращается в плоскополяризованный, поскольку эта пластинка вносит дополнительную разность фаз $\pm \pi / 2$. Результирующая разность фаз окажется равной 0 или $\pi$, и свет станет плоскополяризованным. Его можно погасить поляризатором. Если же свет естественный, то он останется таковым и после прохождения пластинки $\lambda / 4$. В этом случае погасить свет не удастся: при любом положении плоскости пропускания поляризатора интенсивность прошедшего света будет одинаковой.
3. Свет эллиптически-поляризованный и частично-поляризованный. Для их различия опять следует поместить в световом пучке пластинку $\lambda / 4$, а за ней поляризатор. Если вращением пластинки вокруг направления пучка найдется такое положение, при котором свет, прошедший через нее, можно погасить, вращая поляризатор, то свет эллиптически-поляризованный. Если это сделать не удастся, то свет частично-поляризованный.

Конечно, есть и более сложные случаи, но мы их рассматривать не будем, поскольку это связано лишь с техническим усложнением процедуры определения.

4. Право- и левополяризованный свет. Для отличия правой круговой поляризации от левой поступают аналогично: на пути светового пучка ставят пластинку $\lambda / 4$, на которой указано направление колебаний, распространяющихся с бо́льшей скоростью, его называют $\beta$-направлением. Эти колебания опережают по фазе на $\pi / 2$ колебания, ортогональные $\beta$-направлению.
Рис. 6.18
Допустим для определенности, что поляризация правая (рис. 6.18, a, где оси $X$ и $Y$ выбраны произвольно), т. е. вращение вектора $\mathbf{E}$ происходит по часовой стрелке (для наблюдателя). В этом случае перед пластинкой колебания $E_{y}$ опережают колебания $E_{x}$ по фазе на $\pi / 2$ (это было объяснено на стр. 192). Установив пластинку $\lambda / 4$ в пучок, мы к имеющейся разности фаз $\pi / 2$ добавим еще $\pi / 2$. В результате получим, что разность фаз между ортогональными колебаниями окажется равной $\pi$, а это значит, что свет станет плоскополяризованным, причем его плоскость поляризации будет повернута влево относительно $\beta$-направления пластинки $\lambda / 4$ на угол $45^{\circ}$.

Если же поляризация была левая (рис. 6.18, б), то колебания $E_{y}$ отстают от колебаний $E_{x}$ по фазе на $\pi / 2$. Совместив $\beta$-направление нашей пластинки с произвольно выбранной осью $Y$, мы компенсируем отставание на $\pi / 2$, и в результате разность фаз окажется равной нулю, т. е. из пластинки будет выходить свет, плоскость поляризации которого повернута вправо относительно $\beta$-направления (рис. 6.18 , б) тоже на угол $45^{\circ}$.

Направление плоскости поляризации в обоих случаях легко найти с помощью поляризатора.