Главная > ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ (И.Е.Иродов)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3.1. Отражение света. Показать, что при отражении от зеркала выполняется условие
e=e02(e0n)n,

где е и e0 — орты отраженного и падающего лучей, n — орт нормали к плоскости зеркала.
Р е ш е и е. Согласно рис. 3.8 , можно записать:
e=e0+Δe
Рис. 3.8

Найдем вектор Δ. Его модуль, как видно из рисунка, |Δe|=2|e0|cosα=21(cosβ)=2(e0n). И сам вектор
Δe=2(e0n)n,

что и требовалось показать.
3.2. Воспользовавшись формулой из предыдущей задачи, показать, что луч света, последовательно отразившийся от трех взаимно перпендикулярных плоских зеркал, изменит свое направление на прямо противоположное. Это так называемый уголковый отражатель — идеальный объект для радаров.
Р еш е н и е. Согласно формуле из предыдущей задачи можно записать
e1=e02(e0n1)n1,e2=e12(e1n2)n2,e3=e22(e2n3)n3.

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим после сокращения:
e3=e02[(e0n1)n1+(e1n3)n2+(e2n3)n3].

В этом выражении ( e1n2)=(e0n2) — это следует из (1), если первое равенство умножить скалярно на n2. Поступая аналогично, найдем: (e2n3)=(e1n3)=(e0n3). После этого (2) можно переписать так:
e3=e02[(e0n1)n1+(e0n2)n2+(e0n3)n3].

Величины в круглых скобках — это направляющие косинусы орта e0 относительно координат с ортами n1,n2,n3. Значит, величина в квадратных скобках есть просто e0 и e3=e0, что и требовалось доказать.
3.3. Свет интенсивности I0 падает нормально на идеально прозрачную пластинку. Считая, что коэффициент отражения каждой поверхности ее ρ=0,05, найти интенсивность I прошедшего через пластинку света с учетом:
a) только однократных отражений;
б) многократных отражений.
Р ешения и е. После первой поверхности интенсивность будет равна I0(1ρ), после второй поверхности
I=I0(1ρ)2I0(12ρ)=0,9I0.

б) После прохождения двух поверхностей интенсивность равна I0(1ρ)2. При этом часть I0(1ρ)ρ отражается от второй поверхности и затем, отразившись от первой поверхности, станет равной I0(1ρ)ρ2. И световая волна при прохождении второй поверхности будет иметь интенсивность I0(1ρ)2ρ2— это после двукратного отражения. Следующая волна испытает четырехкратное отражение и выйдет из пластинки с интенсивностью I0(1ρ)2ρ4. Затем надо учесть вклады от шести-, восьми- и т. д. кратных отражений.
В сумме интенсивность проходящего света можно представить как
I=I0(1ρ)2(1+ρ2+ρ4+)=I0(1ρ)/(1+ρ)0,9I0,

где учтено, что сумма геометрической прогрессии 1+ρ2+ρ4+= =1/(1ρ2).

Полученный результат практически совпадает с найденным в предыдущем пункте (отличие составляет всего ΔI/Iρ2=0,25% ). Поэтому, как правило, многократными отражениями пренебрегают.
3.4. Преломление света. При каком значении угла падения ϑ1 луч, отраженный от поверхности прозрачного диэлектрика, будет перпендикулярен преломленному лучу, если показатель преломления диэлектрика равен n ?
Р еш ен и е. В этом случае должны быть выполнены два условия:
sinϑ1=nsinϑ2,ϑ1+ϑ2=π/2,

где ϑ1 — угол отражения, равный углу ϑ1. Поэтому первое равенство запишем так:
sinϑ1=nsin(π/2ϑ1)=ncosϑ1.

Отсюда следует, что tgϑ1=n.
3.5. Пучок параллельных лучей интенсивности I0 падает на поверхность прозрачного диэлектрика с показателем преломления n. Угол падения ϑ1 таков, что tgϑ1=n. При этом ρ-часть светового потока отражается. Найти интенсивность преломленною пучка.

Рис. 3.9
Р е ш е и е. Пусть пучок параллельных лучей падает на поверхность диэлектрика площади S (рис. 3.9). Исходим из того, что для потоков должно выполняться равенство
Φ0=Φ+Φ
(именно для потоков, а не для интенсивностей, поскольку сечения падающего и преломленного пучков при наклонном падении не одинаковы).
Теперь представим с помощью рис. 3.9 потоки как произведения интенсивностей на сечения пучков. Тогда предыдущее равенство примет вид:
I0Scosϑ1=ρI0Scosϑ1+IScosϑ2.

Отсюда I=(1ρ)I0cosϑ1/cosϑ2. Из условия tgϑ1=n имеем sinϑ1=ncosϑ1. Сопоставив последнее равенство с выражением для закона преломления (3.15), видим, что cosϑ1=sinϑ2. Отсюда следует, что cosϑ2=sinϑ1. И выражение для искомой интенсивности I примет вид:
I=(1ρ)I0/n.
3.6. Показать, что при преломлении в призме с малым преломляющим углом θ луч отклоняется от своего первоначального направления на угол α=(n1)θ независимо от угла падения, если он также мал.
Р еш ен и е. Вследствие малости углов падения (и преломления) синусы в законе Снелла (3.15) можно опустить. Тогда условия преломления на передней и задней поверхностях призмы (рис. 3.10) примут вид:
ϑ1=nϑ1,nϑ2=ϑ2,ϑ1+ϑ2=θ.

Рис. 3.10
Рис. 3.11

Искомый угол α, как видно из рисунка, равен
α=(ϑ1ϑ1)+(ϑ2ϑ2).

После подстановки углов из (1) в (2) получим α=(n1)θ.
3.7. Принцип Ферма. Вывести с помощью этого принципа закон преломления света на границе раздела двух прозрачных диэлектриков с показателями преломления n1 и n2.
Р е ш е и е. Найдем точку C (рис. 3.11), в которой должен преломиться луч, распространяясь от A к B, чтобы оптическая длина пути L была экстремальной. Пусть отрезок AB=b, тогда, как видно из рисунка,
L=n1s1+n2s2=n1a12+x12+n2a22+(bx)2.

Продифференцируем это выражение по x и приравняем производную нулю:
dL dx=n1xa12+x2n2(bx)a22+(bx)2=n1xs1n2bxs2=0.

Множители при n1 и n2 равны соответственно sinϑ1 и sinϑ2. Таким образом, получаем n1sinϑ1=n2sinϑ2, что и требовалось.
3.8. Вывести с помощью принципа Ферма формулу преломления параксиальных лучей на сферической поверхности радиуса R, разделяющей среды с показателями преломления n и n :
nsns=nnR

Рис. 3.12
Ре ше ни е. Пусть S — точечный источник света и S — его изображение (рис. 3.12). По принципу Ферма оптические длины всех лучей, вышедших из S и собравшихся в S, должны быть одинаковы. Проведем дуги окружностей из центров S и S радиусами SO и SN. Тогда оптические пути DN и OB должны быть равны:
nDN=nOB

Для параксиальных лучей DNAO+OC. Найдем последние два отрезка. Сначала AO : из рисунка видно, что r2=(SD)2(SA)2= =(SD+SA)(SDSA)2(s)AO, откуда AO=r2/(2s).
Аналогично OC=r2/2R. Отсюда находим сумму AO+OC, т. е. DN.
В свою очередь OB=OCBC=r2/2Rr2/2s. Подставив это выражение в (1) и имея в виду, что rr, получим искомое соотношение.
3.9. Тонкая линза. Найти с помощью формулы преломления на сферической границе раздела (см. предыдущую задачу) формулу тонкой линзы в воздухе.
Р еш ен и е. Применим указанную формулу последовательно для передней и задней поверхностей линзы. Для передней поверхности (рис. 3.13), полагая, что за ней всюду среда с показателем преломления n, запишем:
nd+s01s=n1R1.

Для задней поверхности линзы источник S0 находится справа (он мнимый), и мы имеем:
1sns0=1nR2,
1де s0>0, а R2<0 (в соответствии с правилом знаков).

Рис. 3.13
Сложив отдельно левые и правые части этих равенств с учетом того, что толщина линзы d пренебрежимо мала, получим:
1s1s=(n1)(1R11R2).
3.10. Найти построением продолжение хода луча за собирающей и рассеивающей тонкими линзами (рис. 3.14, где OO — главная оптическая ось, F и F — передний и задний фокусы линзы). Обратить внимание на то, что фокусные расстояния, переднее и заднее, разные.
Рис. 3.14
Р е ш е н и е. а) Прежде всего отметим, что переднее фокусное расстояние больше заднего, а это значит, согласно (3.18), что показатель преломления среды слева от линзы больше, чем справа, n>n. Ход построения: вспомогательные лучи изобразим штриховыми линиями и последовательно перенумеруем (рис. 3.15,a ), — это позволяет легко восстанавливать последовательность самого построения. Следует обратить внимание на то, что луч, падающий параллельно заданному лучу и проходящий, не преломляясь, через линзу и изображение S, определяет положение замечательной точки K (ее называют узловой), которая играет роль оптического центра линзы: любой луч, проходящий через точку K, не преломляется линзой, например, луч KK. Луч же, проходящий через центр линзы (здесь он не является оптическим центром), преломляется, что легко проверить с помощью построения. Для точечного источника, помещенного в точку κ, линзы как бы нет.

Pис. 3.15
б) Здесь, согласно (3.18), справа от линзы показатель преломления среды больше, n>n. Ход построения показан на рис. 3.15 , б. Вспомогательный луч 1 , параллельный падающему и проходящий через передний фокус F (он справа от линзы), должен за линзой стать параллельным оси OO, это луч 2. Его точка пересечения с задней фокальной плоскостью 3 (она слева от линзы) определяет положение мнимого изображения — точки S : Продолжение исходного луча за линзой должно проходить через точку S луч 4 . Положение узловой точки K найдем, проведя через точку S прямую, параллельную исходному лучу. Точка пересечения этой прямой с оптической осью OO и есть точка к. Любой луч, проходящий через эту точку, линзой не преломляется (например, луч KK ).

1
Оглавление
email@scask.ru