5.1. Дифракция Френеля на круглом отверстии. Между точечным источником света и экраном находится диафрагма с круглым отверстием, радиус $r$ которого можно изменять. Расстояния от диафрагмы до источника и экрана равны соответственно $a$ и $b$. Найти длину волны света, если максимум освещенности в центре дифракционной картины на экране наблюдается при радиусе отверстия $r_{1}$ и следующий максимум – при $r_{2}\left(r_{2}>r_{1}\right)$.
$\mathrm{P}$ е ш е и и е. Максимумы соответствуют нечетному числу зон Френеля. Воспользовавшись формулой (5.5), запишем
\[
r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=\left(m_{2}-m_{1}\right) \lambda \frac{a b}{a+b} .
\]
Имея в виду, что в нашем случае $m_{2}-m_{1}=2$, получим:
\[
\lambda=\frac{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{2 a b}(a+b) .
\]
5.2. Плоская световая волна с $\lambda=0,64$ мкм и интенсивностью $I_{0}$ падает нормально на круглое отверстие радиуса $r=1,2$ мм. Найти интенсивность в центре дифракционной картины на экране, отстоящем от отверстия на расстояние $b=1,5$ м.
Р е ше е и е. Прежде всего вычислим число $m$ зон Френеля, укладывающихся в данном отверстии. Согласно формуле (5.6)
\[
m=r^{2} / \lambda b=1,5 .
\]
Это значение $m$ соответствует вектору $\mathbf{A}$ на рис. 5.36, где приведена «действующая»
Рис. 5.36 часть первого витка спирали Френеля. Из этого рисунка сразу видно, что $A \approx \sqrt{2} A_{0}$, а значит интенсивность $I=2 I_{0}$.
5.3. Плоская световая волна с $\lambda=0,60$ мкм падает нормально на достаточно большую стеклянную пластинку, на обратной стороне которой сделана круглая выемка (рис. 5.37). Для точки наблюдения $P$ она представляет собой первые полторы зоны Френеля. Найти глубину $h$ выемки, при которой интенсивность света в точке $P$ будет:
a) максимальной;
б) минимальной.
Р е ш е и е. Прежде всего изобразим на первом витке спирали Френеля интересующие нас векторы в отсутствие выемки (рис. 5.38), где изображенные векторы соответствуют амплитудам колебаний: от всей волновой поверхности ( $\mathbf{A}_{\infty}$ ), от первых полутора зон неля ( $\mathbf{A}_{1,5}$ ) и от всех остальных ( $\mathbf{A}_{\text {ост }}$ ). Видно, что $\mathbf{A}_{\infty}=\mathbf{A}_{1,5}+\mathbf{A}_{\text {ост }}$.
Рис. 5.37
Рис. 5.38
Теперь представим себе, что мы начали постепенно делать выемку – увеличивать $h$. Это приведет к тому, что колебания, проходящие через выемку, начнут опережать по фазе, поскольку их оптический путь уменьшится на $\Delta=h(n-1)$, что соответствует сдвигу по фазе на $\delta=2 \pi \Delta / \lambda$ и повороту вектора $\mathbf{A}_{1,5}$ на этот угол по часовой стрелке. Напомним, что отставание по фазе мы условились характеризовать поворотом против часовой стрелки, значит опережение – по часовой стрелке.
Рис. 5.39
a) Для получения максимума интенсивности, а значит и амплитуды, надо, чтобы вектор $\mathbf{A}_{1,5}$ оказался сонаправленным с вектором $\mathbf{A}_{\text {ост }}$ Для этого его следует повернуть, как показано на рис. 5.39, $a$, на угол $\delta=(3 / 4) \pi+2 \pi m$, где $m=0,1, \ldots$ Итак, из условия $\delta=2 \pi \Delta / \lambda$ получим
\[
\frac{3}{4} \pi+2 \pi m=2 \pi \frac{h(n-1)}{\lambda},
\]
откуда следует, что
\[
h=\frac{\lambda}{n-1}\left(m+\frac{3}{8}\right) .
\]
б) Для получения минимума нужно, чтобы вектор $\mathbf{A}_{1,5}$ оказался противоположно на́правленным вектору $\mathbf{A}_{\text {ост. }}$. Из рис. 5.39, б видно, что для этого его надо повернуть на угол $\delta=(7 / 4) \pi+2 \pi m, m=$ $=0,1,2, \ldots$ Следовательно,
\[
\frac{7}{4} \pi+2 \pi m=2 \pi \frac{h(n-1)}{\lambda},
\]
откуда искомая глубина выемки
\[
h=\frac{\lambda}{n-1}\left(m+\frac{7}{8}\right) \text {. }
\]
5.4. Дифракция Фраунгофера от щели. Плоская световая волна с . $\lambda=0,60$ мкм падает нормально на грань стеклянного клина с углом раствора $\theta=15^{\circ}$ и показателем преломления $n=1,5$. На противоположной непрозрачной грани клина имеется прозрачная щель шириной $b=10$ мкм, параллельная ребру клина. Пренебрегая отражениями, найти:
a) угол $\vartheta_{0}$ между направлением на центральный фраунгоферов максимум и направлением падающего света;
б) угловую ширину центрального максимума.
Р е ше ни е. а) Для центрального максимума (максимума порядка $m=0$ ) оптические пути всех лучей от одной пунктирной прямой до другой (рис. 5.40) должны быть одинаковы. Это значит,
Рис. 5.40
что оптическая длина ломаного отрезка $\mathrm{AB}$ не должна зависеть от $x$, т. е.
\[
n \cdot x \sin \theta+(b-x) \sin \varphi=\text { const. }
\]
Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$, тогда
\[
(n \cdot \sin \theta-\sin \varphi) x+b \sin \varphi=\text { const. }
\]
Чтобы левая часть этого равенства не зависела от $x$, выражение в скобках перед $x$ должно быть равно нулю. Отсюда
\[
n \sin \theta=\sin \varphi .
\]
Так как $\varphi=\theta+\vartheta_{0}$, то искомый угол
\[
\vartheta_{0}=\arcsin (n \sin \theta)-\theta \approx 8^{\circ} \text {. }
\]
б) Условие минимумов, ближайших к максимуму нулевого порядка, должно соответствовать разности хода колебаний от краев щели в одну длину волны, или согласно рис. $\mathbf{5 . 4 0}$
\[
b(\sin \varphi-n \sin \theta)= \pm \lambda .
\]
Отсюда при знаке *+ находим $\varphi_{+}$, а при знаке *-» $\varphi_{-}$, и значит
\[
\Delta \varphi=\varphi_{+}-\varphi_{-}=9_{+}-\vartheta_{-}=\Delta \vartheta=7,3^{\circ} .
\]
5.5. Дифракционая решетка. Свет с длиной волны $\lambda=535$ нм падает нормально на прозрачную дифракционную решетку. Найти ее период, если один из фраунгоферовых максимумов возникает под углом дифракции $\vartheta_{m}=35^{\circ}$ и наибольший порядок максимума равен пяти.
Р е ш е н и е. Запишем условия главных максимумов:
\[
\begin{array}{c}
d \sin \vartheta_{m}=m \lambda, \\
d \sin \vartheta_{\text {мaкc }}=5 \lambda .
\end{array}
\]
Из этих формул получим
\[
m=5 \frac{\sin \vartheta_{m}}{\sin \vartheta_{\text {maxc }}} .
\]
Для вычисления $m$ надо, чтобы значение $\sin 9_{\text {макс }}$ было равным как можно ближе к единице, но таким, чтобы $m$ было при этом целым. Это будет, как нетрудно установить, при $\sin \vartheta_{\text {макс }}=0,955$. Тогда $m=3$, и из формулы (1) найдем искомый период:
\[
d=\frac{m \lambda}{\sin \vartheta_{m}}=\frac{3 \cdot 0,535}{0,573} \text { мкм }=2,8 \text { мкм. }
\]
5.6. Свет с длиной волны $\lambda=0,53$ мкм падает на прозрачную дифракционную решетку с периодом $d=1,50$ мкм. Найти угол с нормалью к решетке, под которым образуется максимум наибольшего порядка, если свет падает на решетку под углом $\vartheta_{0}=60^{\circ} \mathrm{K}$ нормали.
Р еш е н и е. Максимуму наибольшего порядка должна отвечать максимальная разность хода $\Delta$ между соответствующими лучами 1 и 2 от соседних щелей, как показано на рис. 5.41. Для этого надо, чтобы
Рис. 5.41
\[
\Delta=A B+B C=d\left(\sin \vartheta_{0}+\sin \vartheta_{m}\right)=m \lambda .
\]
Сначала найдем максимальное значение $m$. Учитывая, что $\vartheta_{m}$ не может превосходить $\pi / 2$, положим $\sin \vartheta_{m}=1$. Тогда
\[
m_{\text {макс }}=\left[\frac{d}{\lambda}\left(\sin \vartheta_{0}+1\right)\right]=[5,3]=5,
\]
где квадратные скобки означают, что от полученного числового значения надо взять только целую часть.
Остается подставить $m_{\text {макс }}$ в (1), и мы получим:
\[
\sin \vartheta_{m}=m \lambda / d-\sin \vartheta_{0}=0,9 .
\]
Откуда $\vartheta_{m}=64^{\circ}$.
5.7. Разрешающая способность дифракционной решетки. Свет, содержащий две спектральные линии одинаковой интенсивности и с длинами волн $\lambda_{1}=600,00$ нм и $\lambda_{2}=600,05$ нм падает нормально на дифракционную решетку шириной $h=10,0$ мм. Найти угол 9, под которым эти линии окажутся на пределе разрешения (в соответствии с критерием Рэлея).
Р еш ен и е. Из критерия Рэлея следует, что разрешающая способность $\lambda / \delta \lambda=m N$. С другой стороны, условие главных фраунгоферовых максимумов утверждает, что $d \sin \vartheta_{m}=m \lambda$. Из этих двух соотношений находим искомый угол:
\[
\sin \vartheta_{m}=\frac{\lambda^{2}}{h \delta \lambda}=0,72, \vartheta_{m}=46^{\circ},
\]
где учтено, что ширина решетки $h=N d$.
5.8. Разрешающая способность и угловая дисперсия решетки. Свет падает нормально на дифракционную решетку, ширина которой $h=20$ мм. При достаточно малых углах дифракции, когда $\cos \vartheta \approx 1$, уголовая дисперсия решетки $D=5,0$ угл. мин/нм. Найти (согласно критерию Рэлея) максимально возможную разрешающую способность решетки в этих условиях.
Р е ш е и е. В соответствии с критерием Рэлея разрешающая способность (5.32) $\lambda / \delta \lambda=m N$. Угловая же дисперсия (5.30) $D=m / d$, поскольку в нашем случае $\cos 9 \approx 1$. Из этих двух формул находим
\[
\frac{\lambda}{\delta \lambda}=\frac{m}{d} N d=D h=\frac{5 \cdot 10^{9}}{60 \cdot 57,3} 20 \cdot 10^{-3}=3 \cdot 10^{4} .
\]
5.9. Дифракция рентеновского излучения. Узкий пучок рентгеновских лучей с длиной волны $\lambda$ падает под углом скольжения $\alpha=60^{\circ}$ на естественную грань монокристалла $\mathrm{NaCl}$, плотность которого $\rho=2,16 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$. При зеркальном отражении от этой грани образуется максимум второго порядка ( $m=2$ ). Определить $\lambda$.
Р е ш е и е. Согласно формуле Брэгга-Вульфа (5.36)
\[
\lambda=2 d \sin \alpha / m .
\]
Как видно, решение задачи сводится к нахождению межплоскостного расстояния $d$. Последнее равно ребру элементарной кубической ячейки, в узлах которой попеременно находятся атомы $\mathrm{Na}$ и $\mathrm{Cl}$ (рис. 5.42). На такую ячейку от каждого атома приходится $1 / 8$ часть. Значит, на всю ячейку приходится $4 \cdot(1 / 8)=1 / 2$ атома $\mathrm{Na}$ и $1 / 2$ атома $\mathrm{Cl}$, т. е. масса $M$, приходящаяся на объем $d^{3}$, равна половине массы $M_{M}$ молекулы NaCl: $M=M_{M} / 2$.
Рис. 5.42
Плотность – это отношение массы, приходящейся на каждую ячейку, к ее объему: $\rho=M / d^{3}$. Отсюда
\[
d=\sqrt[3]{M / \rho}=\sqrt[3]{M_{M} / 2 \rho} .
\]
В результате получим:
\[
\lambda=\frac{2}{m}\left(\frac{M_{M}}{2 \rho}\right)^{1 / 3} \sin \alpha=\frac{2}{2}\left(\frac{58,45}{6,025 \cdot 10^{23} \cdot 2 \cdot 2,16}\right)^{1 / 3} 0,866=244 \text { пм. }
\]
5.10. Дебайграмма. При прохождении узкого пучка рентгеновских лучей с длиной волны $\lambda=17,8 \mathrm{~nm}$ через поликристаллический образец, на экране, расположенном на расстоянии $l=15 \mathrm{cм}$ от образца, возникает система концентрических дифракционных колец-максимумов. Определить радиус светлого кольца, соответствующего второму порядку отражения от системы плоскостей с межплоскостным расстоянием $d=155$ пм.
Р е ш е н и е. Согласно формуле Брэгга-Вульфа
\[
2 d \sin \alpha=m \lambda \text {. }
\]
Угол скольжения $\alpha$ найдем с помощью рис. 5.43 , откуда видно, что
\[
r=l \operatorname{tg} 2 \alpha .
\]
Рис. 5.43
Преобразуем $\operatorname{tg} 2 \alpha$ через $\sin \alpha$ :
\[
\operatorname{tg} 2 \alpha=\frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1-\operatorname{tg}^{2} \alpha}}=\frac{2}{\sqrt{1 / \sin ^{2} \alpha-2}},
\]
где $\sin \alpha$ определяется уравнением (1).
Решив совместно эти три уравнения, получим:
\[
r=l / \sqrt{(d / m \lambda)^{2}-1 / 2}=3,5 \mathrm{~cm},
\]
где $m=2$.
