Из уравнений Максвелла следует, как мы сейчас убедимся, важный вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать самостоятельно – без электрических зарядов и токов. При этом изменение его состояния (возмущение поля) обязательно имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме эти волны распространяются со скоростью, равной скорости света $c$.

Рассмотрим однородную нейтральную непроводящую среду с проницаемостями $\varepsilon$ и $\mu$, где
\[
\mathbf{B}=\mu \mu_{0} \mathbf{H}, \quad \mathbf{D}=\varepsilon \varepsilon_{0} \mathbf{E} .
\]

Поскольку в данном случае плотности зарядов и токов равны нулю ( $\rho=0$ и $\mathbf{j}=0$ ), уравнения Максвелла будут иметь вид:
\[
\begin{array}{c}

abla \times \mathbf{E}=-\dot{\mathbf{B}}, \quad
abla \times \mathbf{H}=-\dot{\mathbf{D}}, \\

abla \cdot \mathbf{B}=0, \quad
abla \cdot \mathbf{D}=0,
\end{array}
\]

где уравнения (2.2) выражают роторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$, а уравнения (2.3) дивергенции B и D. Точка над векторами $\dot{\mathbf{B}}$ и $\dot{\mathbf{D}}$ означает частную производную этих величин по времени.

Поскольку любые волновые процессы должны подчиняться волновому уравнению, связывающему вторые производные по времени и координатам, попытаемся придти к нему с помощью написанных выше уравнений Максвелла. Для этого продифференцируем второе уравнение из (2.2) по времени и затем используем первое уравнение:

\[
\varepsilon \varepsilon_{0} \frac{\partial^{2} \mathbf{E}}{\partial t^{2}}=\frac{\partial}{\partial t}(
abla \times \mathbf{H})=
abla \times \frac{\partial \dot{\mathbf{H}}}{\partial t}=-\frac{1}{\mu \mu_{0}}
abla \times(
abla \times \mathbf{E}) .
\]

Двойное векторное произведение в правой части, согласно правилу $\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a c})-\mathbf{c}(\mathbf{a b})$, – «бац минус цаб», можно записать так:
\[

abla \times(
abla \times \mathbf{E})=
abla(
abla \cdot E)-(
abla \cdot
abla) \mathbf{E}=-
abla^{2} \mathbf{E},
\]

так как $
abla \cdot \mathbf{E}=0$. Подставив (2.5) в (2.4), мы приходим к волновому уравнению для E. Аналогично можно получить подобное же волновое уравнение и для вектора $\mathbf{H}$.

Таким образом, мы приходим в результате к идентичным волновым уравнениям для векторов $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ :

Здесь коэффициент перед второй производной по времени есть не что иное как величина, обратная квадрату скорости $v$ распространения волны, согласно (1.23). Следовательно,
\[
v=c / \sqrt{\varepsilon \mu},
\]

где $c$ – скорость распространения электромагнитной волны в вакууме:
\[
c=1 / \sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}} .
\]

Оказалось, что $c=3 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, т. е. совпадает со скоростью света в вакууме. Это и дало основание Максвеллу предположить задолго до экспериментального подтверждения, что свет представляет собой электромагнитные волны.