1.1. Волна смещений частиц среды имеет вид $\xi =a\sin (\alpha t-\beta x)$, где $a$, $\alpha ,\beta$ — положительные постоянные. Найти отношение амплитуды скорости частиц среды к скорости волны.
Решени е. Скорость частиц $\partial \xi /\partial t=a\alpha \cos (\alpha t-\beta x)$, где $a\alpha -$ амплитуда скорости ( $u_m$ ). Скорость волны находим из условия $\alpha t$ — $\beta x=$ const. Продифференцировав это выражение по $t$, получим: $\dot{x}=\alpha /\beta$. Искомое отношение $u_m/\dot{x}=a\beta$.
1.2. Точечный изотропный источник испускает гармонические звуковые колебания. Найти коэффициент затухания $\gamma$ волны, если амплитуда колебаний частиц среды на расстоянии $r$ от источника в $\eta$ раз меньше, нежели на расстоянии $r_0$.
Р ешение волна, испускаемая точечным источником, сферическая. Ее амплитуда $a=(\alpha /r)\exp (-\gamma r)$. По условию, $\eta =a\left(r_0\right)/a(r)=\left(r/r_0\right)\exp \left[\gamma (r-r_0)\right]$. Отсюда
$$\gamma =\ln \left(\eta r_0/r\right)/(r-r_0).$$
1.3. Найти волновой вектор $\mathbf{k}$ плоской волны с частотой $\omega$, если ее фазовые скорости в положительных направлениях осей $X,Y,Z$ равны $v_1,v_2,v_3$.
Р е ш е и е. Волновой вектор $\mathbf{k}=k\mathbf{n}$, где $\mathbf{n}$ — орт нормали к волновой поверхности: $\mathbf{n}={\mathbf{e}}_x\cos \alpha +{\mathbf{e}}_y\cos \beta +{\mathbf{e}}_z\cos \gamma ,\alpha ,\beta ,\gamma -$ углы между вектором $\mathbf{n}$ и ортами осей координат. Остается учесть, что $k=\omega /v,v-$ фазовая скорость вдоль вектора $\mathbf{k},\cos \alpha =v/v_1$, $\cos \beta =v/v_2,\cos \gamma =v/v_3$.
В результате получим:
$$\mathbf{k}=\omega ({\mathbf{e}}_x/v_1+{\mathbf{e}}_{\xi }/v_2+{\mathbf{e}}_z/v_3).$$
1.4. Поток энергии. Точечный изотропный источник звука мощности $P$ находится в центре круглого полого цилиндра радиуса $R$ и высоты $h$. Найти средний по времени поток энергии, падающей на боковую поверхность цилиндра, полагая, что его стенки полностью поглощают звук, т. е. нет отражений.
Р е ш е и и Сначала найдем поток энергии $\mathrm{d}\mathrm{\Phi }$, падающий на бесконечно узкую кольцевую полоску, отстояцую на расстояние $z$ от средней плоскости (рис. 1.14):
$$\begin{array}{l}\mathrm{d}\mathrm{\Phi }=j_n\mathrm{d}S=j\cos \alpha \mathrm{d}S=\\ =\left(P/4\pi r^2\right)\cos \alpha \cdot 2\pi R\mathrm{d}z.\end{array}$$

Поскольку $z=R\mathrm{tg}\alpha ,\mathrm{d}z=R\mathrm{d}\alpha /{\cos }^2\alpha$. Кроме того, $r=R/\cos \alpha$.
После подстановки выражений для $\mathrm{d}z$
Рис. 1.14
и $r$ в (1) получим:
$$\mathrm{d}\mathrm{\Phi }=(P/2)\cos \alpha \mathrm{d}\alpha .$$

Остается проинтегрировать это уравнение по $\alpha$ от 0 до ${\alpha }_0$, соответствующего краю цилиндра, и умножить на 2 , ибо такой же вклад дает и нижняя половина цилиндра. В итоге:
$$\mathrm{\Phi }=P\sin {\alpha }_0=P/\sqrt{1+(2R/h{)}^2}.$$
1.5. Найти звуковую мощность $P$ точечного изотропного источника, если на расстоянии $r$ от него интенсивность звука равна $I$ и коэффициент затухания волны $\gamma$.
Р е ш н и е. Поток звуковой энергии сквозь сферу радиуса $r$, в центре которой находится источник, равен
$$\mathrm{\Phi }=4\pi r^{2}I=A{\mathrm{e}}^{-2\gamma r},$$

где учтено, что интенсивность $I$ пропорциональна квадрату амплитуды волны, $A$ — некоторая постоянная, не зависящая от $r$. При $r=0$ поток $\mathrm{\Phi }={\mathrm{\Phi }}_0=P$. Поэтому $A=P$, и из (1) следует, что
$$P=\mathrm{\Phi }{\mathrm{e}}^{2\gamma r}=4\pi r^{2}I{\mathrm{e}}^{2\gamma r}.$$

1.6. Стоячая волна. Стержень длины $l$ из материала, модуль Юнга которого $E$ и плотность $\rho$, закреплен на одном конце, другой — свободен. Найти число $N$ продольных собственных колебаний этого стержня в диапазоне частот от $u_1$ до $u_2$.
Р еш ени е. Поскольку закреплен только один конец, то это значит, что на нем будет узел, а на свободном конце — пучность. Следовательно, на длине стержня должно укладываться, вообще говоря, целое число полуволн и одна четверть волны:
$$l=m\lambda /2+\lambda /4=(2m+1)\lambda /4,m=0,1,2,\dots$$

Длина волны $\lambda =v/v$, где $v=\sqrt{E/\rho }$. Поэтому из первой формулы возможные значения $m$ будут следующие:
$$m=2lv/\sqrt{E/\rho }-1/2.$$

Подставив в это выражение значения $v$, равные $v_1$ и $v_2$, найдем соответствующие $m_1$ и $m_2$ (они будут не целочисленными). Тогда искомое число собственных колебаний
$$N=[m_2-m_1],$$

где квадратные скобки означают, что надо взять целое число от величины $m_2-m_1$.
1.7. Суперпозиция волн. В упругой однородной среде распространяются две плоские волны, одна вдоль оси $X$, другая вдоль оси $Y$ :
$${\xi }_1=a\cos (\omega t-kx),{\xi }_2=a\cos (\omega t-ky).$$

Найти характер движения частиц среды в плоскости $x,y$, если обе волны поперечные и направление колебаний одинаково.
Р еш ен и е. В тех точках, где разность фаз $k(y-x)$ равна кратному $2\pi$, колебания будут происходить в фазе. Отсюда
$$y=x\pm m\lambda ,m=0,1,2,\dots ,$$
т. е. максимумы амплитуды колебаний, равные $2a$, будут располагаться вдоль таких прямых (рис. 1.15). Вдоль прямых

Рис. 1.15 $y=x\pm (m+1/2)\lambda$ располагаются минимумы амплитуды, равные нулю (штриховые прямые на рисунке).

1.8. Эффект Доплера. Неподвижный источник испускает звук частоты $v_0$. Найти частоту звука, отраженного от стенки, которая удаляется от источника с постоянной скоростью $u$. Скорость звука $v$. Считать, что $u\ll v$.
Р е ш е и и. Рассмотрим процесс отражения звука в две фазы. Сначала стенка играет роль приемника и воспринимаемая ею частота, согласно (1.60), равна
$$v=v_0(v-u)/v.$$

На второй стадии стенка играет роль удаляющегося источника звука с частотой $v$, поэтому частота отраженного звука
$$v^{\prime }=vv/(v+u)\text{. }$$

Подставив (1) в (2), получим
\[

u^{\prime}=
u_{0}(v-u) /(v+u) \approx
u_{0}(1-2 u / v),
\]

где учтено, что $u\ll v$.
1.9. Эффект запаздывания. Источник коротких звуковых импульсов с частотой $v_0$ и приемник находятся в одной точке. В момент $t=0$ источник начинает удаляться от приемника с постоянным ускорением $a$. Найти частоту импульсов, воспринимаемых приемником в момент $t$, если скорость звука равна $v$.
Р еш ен и е. Здесь следует учесть эффект запаздывания. Это значит, что воспринимаемые в момент $t$ импульсы были испущены источником в предшествующий момент $t^{\prime }$. Поэтому согласно (1.60),
$$v(t)=v_{0}v/(v+u_{t^{\prime }}).$$

Скорость источника в момент $t^{\prime }$ равна $u_{t^{\prime }}=a{t}^{\prime }$, где $t^{\prime }$ найдем из условия
$$a{t}^{\prime 2}/2=v(t-t^{\prime }),$$
т. е. путь, пройденный источником к моменту $t^{\prime }$, равен произведению скорости звука на время запаздывания полученных сигналов. Определив $t^{\prime }$ из (2), найдем $u_t$, и с помощью (1) — искомую частоту:
$$v(t)=v_0/\sqrt{1+2at/v}.$$

1.10. Источник звука $S$, собственная частота которого $v_0$, движется равномерно по прямой, отстоящей от неподвижного наблюдателя $P$ на расстояние $l$ (рис. 1.16). Скорость источника составляет $\eta$-ю часть скорости звука. Найти:
a) частоту звука, воспринимаемую наблюдателем в момент, когда источник окажется в точке 0 ;
б) расстояние между источником и наблюдателем в момент, когда воспринимаемая наблюдателем частота $v=v_0$.
Р е ш е н и е. а) Ясно, что в этот момент наблюдателя достигнут сигналы, испущенные источником, когда он находился еще в некоторой точке $S$ (рис. 1.16). Ее положение должно быть таким,
Рис. 1.16
чтобы за время, пока источник движется со скоростью $и$ до точки 0 , сигнал со скоростью $v$ достиг бы точки $P$. Отсюда проекция скорости источника на направление $SP$ равна $u_x=u\cos \alpha$, где $\cos \alpha =u/v=\eta$. Искомая частота, согласно (1.60),
$$v=u_{0}v/(v-u\cos \alpha )=u_0/(1-{\eta }^2)\text{. }$$
б) Источник, от которого дошел сигнал с частотой $v=v_0$, должен был находиться в точке 0 . Пока звук дошел до точки $P$ (за время $\tau =l/v$ ), сам источник переместился вправо на расстояние $x=u\tau$. Из рис. 1.16 следует, что искомое расстояние
$$r=\sqrt{l^2+(u\tau {)}^2}=l\sqrt{1+{\eta }^2}.$$