1.1. Волна смещений частиц среды имеет вид $\xi=a \sin (\alpha t-\beta x)$, где $a$, $\alpha, \beta$ — положительные постоянные. Найти отношение амплитуды скорости частиц среды к скорости волны.
Решени е. Скорость частиц $\partial \xi / \partial t=a \alpha \cos (\alpha t-\beta x)$, где $a \alpha-$ амплитуда скорости ( $u_{m}$ ). Скорость волны находим из условия $\alpha t$ — $\beta x=$ const. Продифференцировав это выражение по $t$, получим: $\dot{x}=\alpha / \beta$. Искомое отношение $u_{m} / \dot{x}=a \beta$.
1.2. Точечный изотропный источник испускает гармонические звуковые колебания. Найти коэффициент затухания $\gamma$ волны, если амплитуда колебаний частиц среды на расстоянии $r$ от источника в $\eta$ раз меньше, нежели на расстоянии $r_{0}$.
Р ешение волна, испускаемая точечным источником, сферическая. Ее амплитуда $a=(\alpha / r) \exp (-\gamma r)$. По условию, $\eta=a\left(r_{0}\right) / a(r)=\left(r / r_{0}\right) \exp \left[\gamma\left(r-r_{0}\right)\right]$. Отсюда
\[
\gamma=\ln \left(\eta r_{0} / r\right) /\left(r-r_{0}\right) .
\]
1.3. Найти волновой вектор $\mathbf{k}$ плоской волны с частотой $\omega$, если ее фазовые скорости в положительных направлениях осей $X, Y, Z$ равны $v_{1}, v_{2}, v_{3}$.
Р е ш е и е. Волновой вектор $\mathbf{k}=k \mathbf{n}$, где $\mathbf{n}$ — орт нормали к волновой поверхности: $\mathbf{n}=\mathbf{e}_{x} \cos \alpha+\mathbf{e}_{y} \cos \beta+\mathbf{e}_{z} \cos \gamma, \alpha, \beta, \gamma-$ углы между вектором $\mathbf{n}$ и ортами осей координат. Остается учесть, что $k=\omega / v, v-$ фазовая скорость вдоль вектора $\mathbf{k}, \cos \alpha=v / v_{1}$, $\cos \beta=v / v_{2}, \cos \gamma=v / v_{3}$.
В результате получим:
\[
\mathbf{k}=\omega\left(\mathbf{e}_{x} / v_{1}+\mathbf{e}_{\xi} / v_{2}+\mathbf{e}_{z} / v_{3}\right) .
\]
1.4. Поток энергии. Точечный изотропный источник звука мощности $P$ находится в центре круглого полого цилиндра радиуса $R$ и высоты $h$. Найти средний по времени поток энергии, падающей на боковую поверхность цилиндра, полагая, что его стенки полностью поглощают звук, т. е. нет отражений.
Р е ш е и и Сначала найдем поток энергии $\mathrm{d} \Phi$, падающий на бесконечно узкую кольцевую полоску, отстояцую на расстояние $z$ от средней плоскости (рис. 1.14):
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{d} \Phi=j_{n} \mathrm{~d} S=j \cos \alpha \mathrm{d} S= \\
=\left(P / 4 \pi r^{2}\right) \cos \alpha \cdot 2 \pi R \mathrm{~d} z .
\end{array}
\]
Поскольку $z=R \operatorname{tg} \alpha, \mathrm{d} z=R \mathrm{~d} \alpha / \cos ^{2} \alpha$. Кроме того, $r=R / \cos \alpha$.
После подстановки выражений для $\mathrm{d} z$
Рис. 1.14
и $r$ в (1) получим:
\[
\mathrm{d} \Phi=(P / 2) \cos \alpha \mathrm{d} \alpha .
\]
Остается проинтегрировать это уравнение по $\alpha$ от 0 до $\alpha_{0}$, соответствующего краю цилиндра, и умножить на 2 , ибо такой же вклад дает и нижняя половина цилиндра. В итоге:
\[
\Phi=P \sin \alpha_{0}=P / \sqrt{1+(2 R / h)^{2}} .
\]
1.5. Найти звуковую мощность $P$ точечного изотропного источника, если на расстоянии $r$ от него интенсивность звука равна $I$ и коэффициент затухания волны $\gamma$.
Р е ш н и е. Поток звуковой энергии сквозь сферу радиуса $r$, в центре которой находится источник, равен
\[
\Phi=4 \pi r^{2} I=A \mathrm{e}^{-2 \gamma r},
\]
где учтено, что интенсивность $I$ пропорциональна квадрату амплитуды волны, $A$ — некоторая постоянная, не зависящая от $r$. При $r=0$ поток $\Phi=\Phi_{0}=P$. Поэтому $A=P$, и из (1) следует, что
\[
P=\Phi \mathrm{e}^{2 \gamma r}=4 \pi r^{2} I \mathrm{e}^{2 \gamma r} .
\]
1.6. Стоячая волна. Стержень длины $l$ из материала, модуль Юнга которого $E$ и плотность $\rho$, закреплен на одном конце, другой — свободен. Найти число $N$ продольных собственных колебаний этого стержня в диапазоне частот от $
u_{1}$ до $
u_{2}$.
Р еш ени е. Поскольку закреплен только один конец, то это значит, что на нем будет узел, а на свободном конце — пучность. Следовательно, на длине стержня должно укладываться, вообще говоря, целое число полуволн и одна четверть волны:
\[
l=m \lambda / 2+\lambda / 4=(2 m+1) \lambda / 4, \quad m=0,1,2, \ldots
\]
Длина волны $\lambda=v / v$, где $v=\sqrt{E / \rho}$. Поэтому из первой формулы возможные значения $m$ будут следующие:
\[
m=2 l v / \sqrt{E / \rho}-1 / 2 .
\]
Подставив в это выражение значения $v$, равные $v_{1}$ и $v_{2}$, найдем соответствующие $m_{1}$ и $m_{2}$ (они будут не целочисленными). Тогда искомое число собственных колебаний
\[
N=\left[m_{2}-m_{1}\right],
\]
где квадратные скобки означают, что надо взять целое число от величины $m_{2}-m_{1}$.
1.7. Суперпозиция волн. В упругой однородной среде распространяются две плоские волны, одна вдоль оси $X$, другая вдоль оси $Y$ :
\[
\xi_{1}=a \cos (\omega t-k x), \quad \xi_{2}=a \cos (\omega t-k y) .
\]
Найти характер движения частиц среды в плоскости $x, y$, если обе волны поперечные и направление колебаний одинаково.
Р еш ен и е. В тех точках, где разность фаз $k(y-x)$ равна кратному $2 \pi$, колебания будут происходить в фазе. Отсюда
\[
y=x \pm m \lambda, \quad m=0,1,2, \ldots,
\]
т. е. максимумы амплитуды колебаний, равные $2 a$, будут располагаться вдоль таких прямых (рис. 1.15). Вдоль прямых
Рис. 1.15 $y=x \pm(m+1 / 2) \lambda$ располагаются минимумы амплитуды, равные нулю (штриховые прямые на рисунке).
1.8. Эффект Доплера. Неподвижный источник испускает звук частоты $v_{0}$. Найти частоту звука, отраженного от стенки, которая удаляется от источника с постоянной скоростью $u$. Скорость звука $v$. Считать, что $u \ll v$.
Р е ш е и и. Рассмотрим процесс отражения звука в две фазы. Сначала стенка играет роль приемника и воспринимаемая ею частота, согласно (1.60), равна
\[
v=v_{0}(v-u) / v .
\]
На второй стадии стенка играет роль удаляющегося источника звука с частотой $v$, поэтому частота отраженного звука
\[
v^{\prime}=v v /(v+u) \text {. }
\]
Подставив (1) в (2), получим
\[
u^{\prime}=
u_{0}(v-u) /(v+u) \approx
u_{0}(1-2 u / v),
\]
где учтено, что $u \ll v$.
1.9. Эффект запаздывания. Источник коротких звуковых импульсов с частотой $v_{0}$ и приемник находятся в одной точке. В момент $t=0$ источник начинает удаляться от приемника с постоянным ускорением $a$. Найти частоту импульсов, воспринимаемых приемником в момент $t$, если скорость звука равна $v$.
Р еш ен и е. Здесь следует учесть эффект запаздывания. Это значит, что воспринимаемые в момент $t$ импульсы были испущены источником в предшествующий момент $t^{\prime}$. Поэтому согласно (1.60),
\[
v(t)=v_{0} v /\left(v+u_{t^{\prime}}\right) .
\]
Скорость источника в момент $t^{\prime}$ равна $u_{t^{\prime}}=a t^{\prime}$, где $t^{\prime}$ найдем из условия
\[
a t^{\prime 2} / 2=v\left(t-t^{\prime}\right),
\]
т. е. путь, пройденный источником к моменту $t^{\prime}$, равен произведению скорости звука на время запаздывания полученных сигналов. Определив $t^{\prime}$ из (2), найдем $u_{t}$, и с помощью (1) — искомую частоту:
\[
v(t)=v_{0} / \sqrt{1+2 a t / v} .
\]
1.10. Источник звука $S$, собственная частота которого $v_{0}$, движется равномерно по прямой, отстоящей от неподвижного наблюдателя $P$ на расстояние $l$ (рис. 1.16). Скорость источника составляет $\eta$-ю часть скорости звука. Найти:
a) частоту звука, воспринимаемую наблюдателем в момент, когда источник окажется в точке 0 ;
б) расстояние между источником и наблюдателем в момент, когда воспринимаемая наблюдателем частота $v=v_{0}$.
Р е ш е н и е. а) Ясно, что в этот момент наблюдателя достигнут сигналы, испущенные источником, когда он находился еще в некоторой точке $S$ (рис. 1.16). Ее положение должно быть таким,
Рис. 1.16
чтобы за время, пока источник движется со скоростью $и$ до точки 0 , сигнал со скоростью $v$ достиг бы точки $P$. Отсюда проекция скорости источника на направление $S P$ равна $u_{x}=u \cos \alpha$, где $\cos \alpha=u / v=\eta$. Искомая частота, согласно (1.60),
\[
v=
u_{0} v /(v-u \cos \alpha)=
u_{0} /\left(1-\eta^{2}\right) \text {. }
\]
б) Источник, от которого дошел сигнал с частотой $v=v_{0}$, должен был находиться в точке 0 . Пока звук дошел до точки $P$ (за время $\tau=l / v$ ), сам источник переместился вправо на расстояние $x=u \tau$. Из рис. 1.16 следует, что искомое расстояние
\[
r=\sqrt{l^{2}+(u \tau)^{2}}=l \sqrt{1+\eta^{2}} .
\]
