– Основное уравнение динамики идеальной жидкости (уравнение Эйлера):
\[
\rho d \mathbf{v} / d t=\mathbf{f}-
abla p,
\]
где $\rho$ – плотность жидкости, f – объемная плотность массовых сил (в случае силы тяжести $\mathbf{f}=\boldsymbol{p g}),
abla p-$ градиент давления.
– Уравнение Бернулли. В стационарном потоке идеальной жидкости вдоль любой линии тока
\[
\rho v^{2} / 2+\rho g h+p=\text { const. }
\]
– Сила трения между двумя слоями жидкости:
\[
F_{\mathrm{Tp}}=\eta|d v / d z| S,
\]
где $\eta$ – вязкость жидкости.
– Формула Пуазейля. Поток жидкости через поперечное сечение трубы (в единицах $\mathrm{m}^{3} / \mathrm{c}$ )
\[
Q=\frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \frac{p_{1}-p_{2}}{l},
\]
где $R$ и $l$ – радиус и длина трубы, $p_{1}-p_{2}$ – разность давлений на ее концах.
– Число Рейнольдса, определяющее характер течения вязкой жидкости:
\[
\operatorname{Re}=\rho v l / \eta,
\]
где $l$ – некоторый характерный размер.
– Формула Стокса. Сила сопротивления движению шарика радиусом $r$ в вязкой жидкости:
\[
F=6 \pi \eta r v .
\]
1.367. Идеальная жидкость течет по плоской трубе одинакового сечения, расположенной в горизонтальной плоскости и изогнутой, как показано на рис. 1.76 (вид сверху). Поток стационарный. Одинаковы ли давления и скорости жидкостей в точках 1 и 2? Какой вид имеют линии тока?
1.368. Две манометрические трубки установлены на горизонтальной трубе переменного сечения в местах, где
Рис. 1.76 сечения трубы равны $S_{1}$ и $S_{2}$ (рис. 1.77). По трубе течет вода. Найти объем воды, протекающий в единицу времени через сечение трубы, если разность уровней воды в манометрических трубках равна $\Delta h$.
Рис. 1.77
Рис. 1.78
1369. Трубка Пито (рис. 1.78) установлена по оси газопровода, площадь внутреннего сечения которого равна $S$. Пренебрегая вязкостью, найти объем газа, проходящего через сечение трубы в единицу времени, если разность уровней в жидкостном манометре равна $\Delta h$, а плотность жидкости и газа – соответственно $\rho_{0}$ и $\rho$.
1.370. Вертикальная струя идеальной жидкости вытекает из горизонтального отверстия радиуса $r_{0}$ со скоростью $v_{0}$. Найти радиус струи на расстоянии $h$ ниже отверстия.
1.371. Идеальная жидкость течет стационарным потоком по наклонной плоскости. Глубина потока уменьшается в $\eta=2,0$ paза на расстоянии $l$. На каком расстоянии $l^{\prime}$ глубина потока уменьшится в $\eta^{\prime}=4,0$ раза.
1.372. На столе стоит щирокий цилиндрический сосуд высоты $h=50$ см. Сосуд наполнен водой. Пренебрегая вязкостыо, найти, на какой высоте от дна сосуда следует сделать небольшое отверстие, чтобы струя из него била в поверхность стола на максимальное расстояние $l_{\text {макс }}$ от сосуда. Чему равно $l_{\text {макс }}$ ?
1.373. Какую работу необходимо совершить, чтобы, действуя постоянной силой на поршень (рис. 1.79), выдавить из горизонтально расположенного цилиндра всю воду за Рис. 1.79 время $t$ ? Объем воды в цилиндре равен $V$, площадь сечения отверстия $s$, причем $s$ значительно меньше площади поршня. Трение и вязкость пренебрежимо малы.
1.374. Из отверстия в дне высокого цилиндрического сосуда вытекает вода. Площадь сечения сосуда в $\eta=100$ раз больше сечения отверстия. Найти ускорение, с которым перемещается уровень воды в сосуде.
1.375. Цилиндрический сосуд высоты $h$ с площадью основания $S$ наполнен водой. В дне сосуда открыли отверстие площадью $s \ll S$. Пренебрегая вязкостью воды, определить, через сколько времени вся вода вытечет из сосуда.
1.376. Тонкостенный цилиндрический сосуд погрузили в идеальную жидкость до верхнего (открытого) основания. В нижнем, закрытом торце имеется малое отверстие. Известны высота сосуда $h$, а также отнощение $\eta$ площади сечения отверстия к площади сечения сосуда, причем $\eta \ll 1$. Найти время, за которое наполнится сосуд.
1.377. Горизонтально расположенная трубка $A B$ длины $l$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг неподвижной вертикальной оси $O$, проходящей через конец $A$ (рис. 1.80). В
Рис. 1.80
трубке находится идеальная жидкость. Конец $A$ трубки открыт, а в закрытом конце $B$ имеется очень малое отверстие. Найти, с какой скоростью относительно трубки будет вытекать жидкость в зависимости от \”высоты\” ее столба $h$.
1.378. Показать, что в случае стационарного потока идеальной жидкости уравнение (1.7a) приводит к уравнению Бернулли.
1.379. С противоположных сторон широкого вертикального сосуда, наполненного водой, открыли два одинаковых отверстия, каждое площадью $S=0,50 \mathrm{~cm}^{2}$. Расстояние между ними по высоте $\Delta h=51 \mathrm{~cm}$. Найти результирующую силу реакции вытекающей воды.
1.380. В боковой стенке широкого цилиндрического вертикального сосуда высоты $h=75$ см сделана узкая вертикальная щель, нижний конец которой упирается в дно сосуда. Длина щели $l=50 \mathrm{cм}$, ширина $b=1,0$ мм. Закрыв щель, сосуд наполнили водой. Найти результирующую силу реакции вытекающей воды непосредственно после того, как щель открыли.
1.381. Вода течет со скоростью $v$ по U-образной трубке, лежащей в горизонтальной плоскости. Плоцадь сечения трубки $S$, радиус закругления $R$. Найти:
a) суммарный импульс воды в закругленной части трубки;
б) модуль силы, действующей со стороны текущей воды на стенки изогнутой части трубки.
1.382. Вода вытекает из большого бака по изогнутой под прямым углом трубке, внутренний радиус которой $r=0,50 \mathrm{~cm}$ (рис. 1,81). Длина горизонтальной части трубки $l=22 \mathrm{~cm}$. Расход воды $Q=0,50 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Найти момент сил реакции воды на стенки этой трубки относительно точки $O$, обусловленный течением воды.
1.383. Сечение ствола гидромонитора (рис. 1.82) меняется от $S_{1}=50 \mathrm{~cm}^{2}$ до $S_{2}=5,0 \mathrm{~cm}^{2}$. Найти модуль и направление горизонтальной силы, возникающей в креплении ствола (сечение 1), если скорость Рис. 1.82 струи на выходе $v_{0}=25 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Вязкостью пренебречь.
1.384. Цилиндрический сосуд с водой вращают вокруг его вертикальной оси с угловой скоростью $\omega$. Найти:
a) форму свободной поверхности воды;
б) распределение давления воды на дне сосуда вдоль его радиуса, если давление в центре дна равно $p_{0}$.
1.385. Тонкий горизонтальный диск радиуса $R=10$ см расположен в цилиндрической полости с маслом, вязкость которого $\eta=8 \mathrm{m \Pi a} \cdot$ с (рис. 1.83). Зазоры между диском и горизонтальными торцами полости одинаковы и равны $h=1,0$ мм . Найти мощность, которую развивают силы вязкости, цействующие на диск при вращении Рис. 1.83 его с $\omega=60 \mathrm{paz/c.}$ Краевыми эффектами пренебречь.
1.386. Длинный цилиндр радиуса $R_{1}$ перемещают вдоль его оси с постоянной скоростью $
u_{0}$ внутри коаксиального с ним неподвижного цилиндра радиуса $R_{2}$. Пространство между цилиндрами заполнено вязкой жидкостью. Найти скорость жидкости как функцию расстояния $r$ от оси цилиндров. Течение ламинарное.
1.387. Жидкость с вязкостью $\eta$ находится между двумя длинными коаксиальными цилиндрами с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$, причем $R_{1}<R_{2}$. Внутренний цилиндр неподвижен, а внешний вращают с угловой скоростью $\omega_{2}$. Движение жидкости ламинарное. Имея в виду, что сила трения, действующая на единицу площади цилиндрической поверхности радиуса $r$, равна $\sigma=\eta r(\partial \omega / \partial r)$, найти:
a) угловую скорость вращающейся жидкости как функцию радиуса $r$;
б) момент сил трения, действующих на единицу длины внешнего цилиндра.
1.388. По трубе радиуса $R$ течет стационарный поток вязкой жидкости. На оси трубы ее скорость равна $v_{0}$. Найти скорость жидкости как функцию расстояния $r$ от оси трубы.
1.389. По трубе длины $l$ и радиуса $R$ течет стационарный поток жидкости, плотность которого $\rho$ и вязкость $\eta$. Скорость течения жидкости зависит от расстояния $r$ до оси трубы как $v=v_{0}\left(1-r^{2} / R^{2}\right)$. Найти:
a) объем жидкости, протекающий через сечение трубы ежесекундно;
б) кинетическую энергию жидкости в объеме трубы;
в) разность давлений на концах труб̄ы.
1.390. Жидкость, плотность которой $\rho$ и вязкость $\eta$, течет плоским стационарным потоком по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Толцина потока равна $h$. Найти объем жидкости, протекающей за единицу времени через поперечное сечение потока в расчете на единицу его ширины.
1.391. В системе (рис. 1.84) из широкого сосуда $A$ по трубке вытекает вязкая жидкость, плотность которой $\rho=1,0 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$. Найти скорость вытекающей жидкости, если $h_{1}=10$ см, $h_{2}=20 \mathrm{cм}$ и $h_{3}=35 \mathrm{cм}$. Расстояния $l$ одинаковы.
Рис. 1.84
1.392. Радиус сечения трубопровода монотонно уменьшается по закону $r=r_{0} \mathrm{e}^{-\alpha x}$, где $\alpha=0,50 \mathrm{~m}^{-1}, x$ – расстояние от начала трубопровода. Найти отношение чисел Рейнольдса в сечениях, отстоящих друг от друга на $\Delta x=3,2$ м.
1.393. При движении шарика радиуса $r_{1}=1,2$ мм в глицерине ламинарное обтекание наблюдается при скорости шарика, не превышающее $v_{1}=23 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. При какой минимальной скорости $v_{2}$ шара радиуса $r_{2}=5,5 \mathrm{~cm}$ в воде обтекание станет турбулентным? Вязкости глицерина и воды равны соответственно $\eta_{1}=1,39$ Па с и $\eta_{2}=1,1 \mathrm{mПа} \cdot \mathrm{c}$.
1.394. Свинцовый шарик равномерно опускается в глицерине, вязкость которого $\eta=1,39$ Па сс. При каком наибольшем диаметре шарика его обтекание еще ламинарное? Переход к турбулентному обтеканию соответствует числу $\mathbf{R e}=0,5$ (это значение $\mathbf{R e}$, при котором за характерный размер взят диаметр шарика).
1.395. Стальной шарик диаметра $d=3,0$ мм опускается $с$ нулевой начальной скоростью в прованском масле, вязкость которого $\eta=90 \mathrm{mПа} \cdot \mathbf{c}$. Через сколько времени после начала движения скорость шарика будет отличаться от установившегося значения на $n=1,0 \%$ ?
