– кПД тепловой машины:
\[
\eta=A / Q_{1}=1-Q_{2}^{\prime} / Q_{1},
\]

где $Q_{1}$ – тепло, получаемое рабочим телом, $Q_{2}^{\prime}$ – отдаваемое тепло.
– кПД цикла Карно:
\[
\eta=\left(T_{1}-T_{2}\right) / T_{1},
\]

где $T_{1}$ и $T_{2}$ – температуры нагревателя и холодильника.
– Неравенство Клаузиуса:
\[
\oint 8 Q / T \leqslant 0,
\]

где $8 Q$ – элементарное тепло, полученное системой.
– Приращение энтропии системы:
\[
\Delta S \geqslant \int \delta Q / T .
\]
– Основное уравнение термодинамики для обратимых процессов:
\[
T d S=d U+p d V .
\]
– Свободная энергия:
\[
F=U-T S, \quad A_{T}=-\Delta F .
\]
– Связь между энтропией и статистическим весом $\Omega$ :
\[
S=k \ln \Omega,
\]
6.137. У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура $T$ нагревателя в $n=1,60$ раза больше температуры холодильника. За один цикл машина производит работу $A=12,0$ Қж. Какая работа за цикл затрачивается на изотермическое сжатие рабочего вещества?
6.138. Моль идеального газа из жестких двухатомных молекул совершает цикл Карно. Температура нагревателя $T_{1}=400 \mathrm{~K}$. Найти КПД цикла, если при адиабатическом сжатии газа затрачивается работа $A^{\prime}=2,0$ кДж.
6.139. В каком случае кПД цикла Карно повысится болыше: при увеличении температуры нагревателя на $\Delta T$ или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину?
6.140. Водород совершает цикл Карно. Найти КПД цикла, если при адиабатическом расширении:
a) объем газа увеличивается в $n=2,0$ раза;
б) давление уменьшается в $n=2,0$ раза.
6.141. Холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, должна поддерживать в своей камере температуру $-10^{\circ} \mathrm{C}$ при температуре окружающей среды $20^{\circ} \mathrm{C}$. Какую работу надо совершить над рабочим веществом машины, чтобы отвести от ее камеры $Q_{2}=140$ Дж теплоты?
6.142. Тепловую машину, работавшую по циклу Карно с КПД $\eta=10 \%$, используют при тех же тепловых резервуарах как холодильную машину. Найти ее холодильный коэффициент $\varepsilon$.
6.143. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из чередующихся изотерм и адиабат (рис. 6.3). Температуры, при которых происходят изотермические процессы, равны $T_{1}, T_{2}$ и $T_{3}$. Найти КПД такого цикла, если при каждом изотермическом расширении объем газа увеличивается в одно и то же число раз.
6.144. Найти КПД цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат, если в пределах цикла объем идеального газа изменяется в $n=10$ раз. Рабочим веществом является азот.
6.145. Найти КПД цикла, состоящепо Рис. 6.3 из двух изобар и двух адиабат, если в пределах цикла давление изменяется в n раз. Рабочее вещество – идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$.
6.146. Идеапьный газ с показателем адиабаты $\gamma$ совериает цикл, состояций из двух изохор и двух изобар. Найти КПД такого цикла, если температура $T$ газа возрастаст в $n$ раз как при изохорическом нагреве, так и при изобарическом расширении.
6.147. Идеальный газ совершает цикл, состонщий из:
a) изохоры, адиабаты и изотермы;
б) изобары, адиабаты и изотермы, причем изотсрмический процесс происходит при минилальной температуре цикла. Найти КПД каждого цикла, сели темперагура $T$ в его пределах изменяется в $n$ раз.
6.148. То же, что в предыдуцей задаче, только изотермический процесс ироисходит при максимальной температуре циғта,
6.149. Идеальный газ совернает цикл, состояпий из изотермы, политропы и адиабаты, причем изотермический процесс происходит ири максинальнй температуре цика. Найти КПД такого цикла, еспи температура $T$ в ею предепах изменяется в $n$ раз.
6.150. Идеальний газ с показателем адиабаты $\gamma$ совернает прямой цикл, состояций из ациабаты, изобары и изохоры. Найти КПД џикла, если при адиабатическом ироџессе объем идеального газа:
a) увеличиваетея в $n$ раз; б) уменьнается в $n$ par.
6.151. Воспользованшісь керавенством Клаузиуса, показать, что КПД всех циклов, у которых одинаковы максималыня температура $T_{\text {мазс }}$ и минимальная $T_{\text {ман }}$, мсиьне, чем у цикта Карно гіри $T_{\text {мавс }}$ и $T_{\text {маз }}$.
6.152. Какую максимальную рабогу может произвести тепловая манина, если в качестие нагревателя используется кусок железа массы $m=100 \mathrm{kI}$ начальной температурой $T_{10}=1500 \mathrm{~K}$, а в качестве холодильника – вода океана с температурой $T_{2}=285 \mathrm{~K}$ ?
6.153. Найти (в расчете на моль) прирацение эитропии углекислого газа при увеличении сго температуры $T$ в $n=$ $=2,0$ раза, если процесс нагревания:
a) изохорический; б) изобарический.

Газ считать идеальным.
6.154. Во сколько раз следует увеличить изотермически объем идеального газа в количестве $v=4,0$ моль, чтобы его энтропия испытала приращение $\Delta S=23$ Дж/К?
6.155. Два моля идеального газа сначала изохорически охладили, а затем изобарически расширили так, что температура газа стала равной первоначальной. Найти приращение энтропии газа, если его давление в данном процессе изменилось в $n=3,3$ раза.
6.156. Гелий массы $m=1,7 \mathrm{r}$ адиабатически расширили в $n=3,0$ раза и затем изобарически сжали до первоначального объема. Найти приращение энтропии газа.
6.157. Найти приращение энтропии двух молей идеального газа с показателем адиабаты $\gamma=1,30$, если в результате некоторого процесса объем газа увеличился в $\alpha=2,0$ раза, а давление уменьшилось в $\beta=3,0$ раза.
6.158. В сосудах 1 и 2 находится по $v=1,2$ моль газообразного гелия. Отношение объемов сосудов $V_{2} / V_{1}=\alpha=2,0$, а отношение температур гелия в них $T_{1} / T_{2}=\beta=1,5$. Считая газ идеальным, найти разность энтропий гелия в этих сосудах $\left(S_{2}-S_{1}\right)$.
6.159. Один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$ совершает политропический процесс, в результате которого температура $T$ газа увеличивается в $\tau$ раз. Показатель политропы $n$. Найти приращение энтропии газа в данном процессе.
6.160. Процесс расширения двух молей аргона происходит так, что давление газа увеличивается прямо пропорционально его объему. Найти приращение энтропии газа при увеличении его объема в $\alpha=2,0$ раза.
6.161. В результате политропического процесса сжатия идеального газа его объем уменьшился в $v$ раз, а работа, совершенная над газом, $A^{\prime}=2 \Delta U$, где $\Delta U$ – приращение его внутренней энергии. Найти приращение энтропии газа в этом процессе.
6.162. Идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$ совершает процесс по закону $p=p_{0}-\alpha \boldsymbol{V}$, где $p_{0}$ и $\alpha$ – положительные постоянные, $\boldsymbol{V}$ – объем. При каком значении объема энтропия газа окажется максимальной?
6.163. Один моль идеального газа совершает процесс, при котором энтропия газа изменяется с температурой $T$ по закону $S=a T+C_{V} \ln T$, где $a$ – положительная постоянная, $C_{v}$ – молярная теплоемкость данного газа при постоянном объеме. Найти, как зависит температура газа от его объема в этом процессе, если $T=T_{0}$ при $V=V_{0}$.
6.164. Найти приращение энтропии одного моля ван-дерваальсовского газа при изотермическом изменении его объема от $V_{1}$ до $V_{2}$.
6.165. Один моль ван-дер-ваальсовского газа, имевший объем $V_{1}$ и температуру $T_{1}$, переведен в состояние с объемом $V_{2}$ и температурой $T_{2}$. Найти приращение энтропии газа, считая его молярную теплоемкость $C_{V}$ известной.
6.166. Один моль ван-дер-ваальсовского газа совершает политропический процесс $T(V-b)=$ const, где $b$ – постоянная Ван-дер-Ваальса. Считая теплоемкость $C_{V}$ известной и не зависящей от температуры, найти:
a) теплоемкость газа в этом процессе;
б) приращение энтропии газа, если его температура изменилась от $T_{1}$ до $T_{2}$.
6.167. При очень низких температурах теплоемкость кристаллов $C=a T^{3}$, где $a$ – постоянная. Найти энтропию кристалла как функцию температуры в этой области.
6.168. Найти приращение энтропии алюминиевого бруска массы $m=3,0 \mathrm{xr}$ при нагревании его от $T_{1}=300 \mathrm{~K}$ до $T_{2}=600 \mathrm{~K}$, если в этом интервале температур теплоемкость алюминия $c=a+b T$, где $a=0,77$ Дж $/(r \cdot K), b=0,46$ мДж $/\left(r \cdot K^{2}\right)$.
6.169. В некотором процессе температура вещества зависит от его энтропии $S$ по закону $T \sim S^{n}$, где $n$ – постоянная. Найти теплоемкость $C$ вещества как функцию $S$.
6.170. Найти температуру $T$ как функцию энтропии $S$ вещества для политропического процесса, при котором теплоемкость вещества равна $C$. Известно, что при температуре $T_{0}$ энтропия равна $S_{0}$.
6.171. Один моль идеального газа с известным значением теплоемкости $C_{V}$ совершает процесс, при котором его энтропия $S$ зависит от температуры $T$ как $S=\alpha / T$, где $\alpha$ – постоянная. Температура газа изменилась от $T_{1}$ до $T_{2}$. Найти:
a) молярную теплоемкость газа как функцию $T$;
б) количество теплоты, сообщенной газу;
в) работу, которую совершил газ.
6.172. Рабочее вещество совершает цикл, в пределах которого температура $T$ изменяется в $n$ раз, а сам цикл имеет вид, показанный:
a) на рис. $6.4 a$; б) на рис. $6.4 \sigma$, где $s$ – энтропия. Найти КПД цикла.
6.173. Идеальный газ в количестве $v=2,2$ моль находится в
Рис. 6.4
одном из двух теплоизолированных сосудов, соединенных между собой трубкой с вентилем. В другом сосуде — вакуум. Вентиль открыли, и газ заполнил оба сосуда, увеличив свой объем в $n=3,0$ раза. Найти приращение энтропии газа.
6.174. Теплоизолированный цилиндр разделен невесомым поршнем на две одинаковые части. По одну сторону поршня находится один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$, а по другую сторону – вакуум. Начальная температура газа $T_{0}$. Поршень отпустили, и газ заполиил весь цилиндр. Затем поршень медленно переместили в начальное положение. Найти прирацение внутренней энергии и энтропии газа в результате обоих процессов.
6.175. Идеальный газ, находившийся в некотором состоянии, адиабатически расширили до объема $V$. Одинаково ли будет установившееся давление газа в конечном состоянии, если процесс:
а) обратимый; б) необратимый?
6.176. Теплоизолированный сосуд разделен перегородкой на две части так, что объем одной из них в $n=2,0$ раза больше объема другой. В меньшей части находится $v_{1}=0,30$ моль азота, а в большей части $v_{2}=0,70$ моль кислорода. Температура газов одинакова. В перегородке открыли отверстие, и газы перемешались. Найти приращение энтронии системы, считая газы идеальными.
6.177. Кусок меди массы $m_{1}=300 \mathrm{r}$ при $t_{1}=97^{\circ} \mathrm{C}$ поместили в калориметр, где находится вода массы $m_{2}=100$ г при $t_{2}=7^{\circ} \mathrm{C}$. Найти приращение энтропии системы к моменту выравнивания температур. Теплоемкость калориметра пренебрежимо мала.
6.178. Два одинаковых теплоизолированных сосуда, соединенные трубкой с вентилем, содержат по одному молю одного и того же идеального газа. Температура газа в одном сосуде $T_{1}$, в другом $T_{2}$. Молярная теплоемкость газа $C_{V}$ известна. После открывания вентиля газ пришел в новое состояние равновесия. Найти $\Delta S$ – приращение энтропии газа. Показать, что $\Delta S>0$.
6.179. Один моль ван-дер-ваальсовского газа расширили изотермически при температуре $T$ от объема $V_{1}$ до $V_{2}$. Найти приращение свободной энергии газа.
6.180. Найти энтропию одного моля азота при температуре $T=300 \mathrm{~K}$, если при обратимом адиабатическом сжатии его в $\eta=\mathbf{5 , 0}$ раз приращение свободной энергии $\Delta F=-48,5$ кДж. Газ считать идеальным.
6.181. Зная зависимость свободной энергии от температуры и объема $F(T, V)$, показать, что давление $p=-(\partial F / \partial V)_{T}$ и энтропия $S=-(\partial F / \partial T)_{V}$.
6.182. Идеальный газ находится при нормальных условиях. Найти его объем $V$, в котором средняя квадратичная флуктуация числа молекул составляет $\eta=1,0 \cdot 10^{-8}$ среднего числа молекул в этом объеме.
6.183. $N$ атомов гелия находятся при комнатной температуре в кубическом сосуде объемом $1,0 \mathrm{~cm}^{3}$. Найти:
a) вероятность того, что все атомы соберутся в одной половине сосуда;
б) примерное числовое значение $N$, при котором это событие можно ожидать на протяжении $t \approx 10^{10}$ лет (возраст Вселенной).
6.184. Найти статистический вес наиболее вероятного распределения $N=10$ одинаковых молекул по двум одинаковым половинам сосуда. Определить вероятность такого распределения.
6.185. $N$ молекул идеального газа находятся в некотором сосуде. Разделим мысленно сосуд на две одинаковые половины $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$. Найти вероятность того, что в половине $A$ сосуда окажется $n$ молекул. Рассмотреть случаи, когда $N=5$ и $n=$ $=0,1,2,3,4,5$.
6.186. В сосуде объемом $V_{0}$ находится $N$ молекул идеального газа. Найти вероятность того, что в некоторой выделенной части этого сосуда, имеющей объем $V$, окажется $n$ молекул. Рассмотреть, в частности, случай $V=V_{0} / 2$.
6.187. Идеальный газ находится при нормальных условиях. Найти диаметр сферы, в объеме которой относительная флуктуация числа молекул $\eta=1,0 \cdot 10^{-3}$. Каково срецнее число молекул внутри такой сферы?
6.188. Макросистема, энтропия которой равна 10 Дж/К, состоит из трех частей. Энтропия одной из них 6 Дж/К. Найти статистический вес $\Omega$ каждой из двух оставшихся, если их макросостояния одинаковы.
6.189. Какое количество тепла необходимо сообщить макроскопической системе, чтобы изотермически при $T=350 \mathrm{~K}$ увеличить ее статистический вес в $\eta=1,0 \cdot 10^{9}$ раз?
6.190. Один моль идеального газа, состоящего из одноатомных молекул, находится в сосуде при $T_{0}=300 \mathrm{~K}$. Как и во сколько раз изменится статистический вес этой системы (газа), если ее нагреть изохорически на $\Delta \boldsymbol{T}=1,0 \mathrm{~K}$ ?