Энергия электрического поля
– Емкость плоского конденсатора:
\[
C=\varepsilon \varepsilon_{0} s / d .
\]
– Энергия взаимодействия системы точечных зарядов:
\[
W=\frac{1}{2} \sum q_{i} \varphi_{i} .
\]
– Полная электрическая энергия системы с непрерывным распределением заряда:
\[
W=\frac{1}{2} \int \varphi \rho d V .
\]
– Полная электрическая энергия двух заряженных тел:
\[
W=W_{1}+W_{2}+W_{12} \text {, }
\]

где $W_{1}$ и $W_{2}$ – собственные энергии тел, $W_{12}$ – энергия взаимодействия.
– Энергия заряженного конденсатора:
\[
W=q U / 2=q^{2} / 2 C=C U^{2} / 2 .
\]
– Плотность энергии электрического поля:
\[
w=\mathbf{E} / 2=\varepsilon \varepsilon_{0} E^{2} / 2 .
\]
2.111. Найти емкость шарового проводника радиуса $R_{1}=$ $=100$ мм, окруженного прилегающим к нему концентрическим слоем диэлектрика проницаемости $\varepsilon=6,0$ и наружного радиуса $R_{2}=200 \mathrm{MM}$.

2.112. К напряжению $U=100$ В подключили последовательно два одинаковых конденсатора, каждый емкости $C=40$ пф. Затем один из них заполнили диэлектриком проницаемости $\varepsilon=3,0$. Во сколько раз уменьшилась напряженность электрического поля в этом конденсаторе? Какой заряд пройдет в цепи?
2.113. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 толщины $d_{1}$ и $d_{2}$ и проницаемости $\varepsilon_{1}$ и $\varepsilon_{2}$. Площадь каждой обкладки равна $S$. Найти:
a) емкость конденсатора;
б) плотность $\sigma^{\prime}$ связанных зарядов на границе раздела слоев, если напряжение на конденсаторе равно $U$ и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2 .
2.114. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен диэлектриком, проницаемость которого меняется в перпендикулярном обкладкам направлении – растет линейно от $\varepsilon_{1}$ до $\varepsilon_{2}$. Площадь каждой обкладки $S$, расстояние между ними d. Найти:
a) емкость конденсатора;
б) объемную плотность связанных зарядов как функцию $\varepsilon$, если заряд конденсатора $q$ и поле $\mathbf{E}$ в нем направлено в сторону возрастания $\varepsilon$.
2.115. Найти емкость сферического конденсатора, радиусы обкладок которого $a$ и $b$, причем $a<b$, если пространство между обкладками заполнено диэлектриком:
a) проницаемости $\varepsilon$;
б) проницаемость которого зависит от расстояния $r$ цо центра конденсатора как $\varepsilon=\alpha / r$, где $\alpha$ – постоянная.
2.116. То же, что и в предыдущей задаче, но конденсатор цилиндрический длины $l$ и в пункте б) $r$ – расстояние до оси системы. Краевыми эффектами пренебречь.
2.117. Найти емкость сферического конденсатора, радиусы внутренней и внешней обкладок которого равны $a$ и $b$, если пространство между обкладками заполнено наполовину (см. рис. 2.15) однородным диэлектриком проницаемости $\varepsilon$.
2.118. Два длинных прямых провода одинакового радиуса сечения $a$ расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между их осями равно $b$. Найти взаимную емкость проводов $C_{1}$ на единицу их длины при условии $a \ll b$. Вычислить $C_{1}$, если $a=1,00$ мм и $b=50$ мм .
2.119. Длинный прямой провод расположен параллельно проводящей плоскости. Радиус сечения провода $a$, расстояние между осью провода и проводящей плоскостью $b$. Найти взаимную емкость этой системы на единицу длины провода при условии $a \ll b$.
2.120. Найти взаимную емкость системы из двух одинаковых металлических шариков радиуса $a$, расстояние между центрами которых $b$, причем $a \ll b$. Система находится в однородном диэлектрике проницаемости $\varepsilon$.
2.121. Определить взаимную емкость системы, которая состоит из металлического шарика радиуса $a$ и проводящей плоскости, отстоящей от центра шарика на расстояние $l$, при условии $a \ll l$.
2.122. Найти емкость системы одинаковых конденсаторов между точками $A$ и $\boldsymbol{B}$, которая показана:
a) на рис. 2.17 ;
б) на рис. 2.18 .
Рис. 2.17
Рис. 2.18
2.123. Четыре одинаковые металлические пластины расположены в воздухе на расстоянии $d=1,00$ мм друг от друга. Площадь каждой пластины $S=220 \mathrm{~cm}^{2}$. Найти емкость системы между точками $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$, если пластины соединены так, как показано:
а) на рис. 2.19 ; б) на рис. 2.20 .
Рис. 2.19
Рис. 2.20
2.124. Конденсатор емкости $C_{1}=1,0$ мкФ выдерживает напряжение не более $U_{1}=6,0 \mathrm{kB}$, а конденсатор емкости $C_{2}=2,0$ мк $\Phi$ – не более $U_{2}=4,0 \mathrm{kB}$. Какое напряжение может выдержать система их этих двух конденсаторов при последовательном соединении?
2.125. В схеме (рис. 2.21) найти разность потенциалов между точками $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$, если ЭДС $\mathscr{E}=110$ В и отношение емкостей $C_{2} / C_{1}=\eta=2,0$.

Рис. 2.21
Рис. 2.22
2.126. Найти емкость бесконечной цепи, которая образована повторением одного и того же звена из двух одинаковых конденсаторов, каждый емкости $C$ (рис. 2.22).
2.127. В некоторой цепи имеется участок $A B$ (рис. 2.23). ЭДС $\mathscr{E}=10 \mathrm{~B}$, $C_{1}=1,0$ мк $Ф, C_{2}=2,0$ мкФ и разность потенциалов $\varphi_{A}-\varphi_{B}=5,0$ В. Найти напря-
Рис. 2.23
Рис. 2.24 жение на каждом конденсаторе.
2.128. В схеме (рис. 2.24) найти направление электрического поля в конденсаторах и напряжения на них, если $\mathscr{E}_{1}=10 \mathrm{~B}, \mathscr{E}_{2}=15 \mathrm{~B}, C_{1}=4,0$ мк $\Phi$ и $C_{2}=$ $=6,0 \mathrm{MK} \Phi$.
2.129. Найти разность потенциалов $\varphi_{A}-\varphi_{B}$ между точками $A$ и $B$ системы, показанной:
а) на рис. 2.25 ; б) на рис. 2.26 .
Рис. 2.25
Рис. 2.26
2.130. Конденсатор емкости $C_{1}=1,0$ мкФ, заряженный до напряжения $U=110 \mathrm{~B}$, подключили параллельно к концам системы из двух последовательно соединенных конденсаторов, емкости которых $C_{2}=2,0$ мкФ и $C_{3}=3,0$ мкФ. Какой заряд протечет при этом по соединительным проводам?

2.131. Какие заряды протекут после замыкания ключа $\boldsymbol{K}$ в схеме (рис. 2.27) через сечения 1 и 2 в направлениях, указанных стрелками?
2.132. В схеме (рис. 2.28) $\mathscr{E}=$ $=60 \mathrm{~B}, C_{1}=2,0 \mathrm{MK} \Phi$ и $C_{2}=3,0$ мК $\Phi$. Найти заряды, которые протекут после замыкания ключа $\boldsymbol{K}$ через

Рис. 2.27 сечения 1 и 2 в направлениях, указанных стрелками.
Рис. 2.28
Рис. 2.29
2.133. Найти емкость схемы (рис. 2.29) между точками $A$ и $\boldsymbol{B}$.
2.134. Три электрона, находившихся на расстоянии $a=$ $=10,0$ мм друг от друга, начали симметрично разлетаться под действием взаимного отталкивания. Найти их максимальные скорости.
2.135. Определить суммарную энергию взаимодействия точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со стороной $a$ в системах, которые показаны на рис. 2.30.
Рис. 2.30
2.136. Тонкий стержень длины $l$ расположен по оси тонкого кольца радиуса $R$ так, что один его конец совпадает с центром $O$ кольца. Кольцо и стержень имеют заряды $q_{0}$ и $q$, причем линейная плотность заряда на стержне изменяется вдоль него линейно, начиная с нуля в точке $O$. Найти электрическую энергию взаимодействия кольца со стержнем.
2.137. Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $l$ от проводящей плоскости. Найти:
a) энергию взаимодействия этого заряда с зарядами, индуцированными на плоскости;
б) собственную энергию зарядов на плоскости.
2.138. Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого $S=200 \mathrm{~cm}^{2}$ и расстояние между ними $d=5,0 \mathrm{~mm}$, поместили во внешнее однородное электрическое поле с $E=1,30 \mathrm{kB} / \mathrm{cm}$, перпендикулярное пластинам. Затем пластины замкнули проводником, после чего проводник убрали и конденсатор перевернули на $180^{\circ}$ вокрут оси, перпендикулярной направлению поля. Найти совершенную при этом работу против электрических сил.
2.139. Конденсатор емкости $C_{1}=1,0$ мкФ, заряженный до напряжения $U=300 \mathrm{~B}$, подключили параллельно к незаряженному конденсатору емкости $C_{2}=2,0$ мкФ. Найти приращение электрической энергии системы к моменту установления равновесия. Объяснить полученный результат.
2.140. Сколько теплоты выделится при переключении ключа $\boldsymbol{X}$ из положения 1 и 2 в цепи, показанной:
a) на рис. 2.31 ; б) на рис. 2.32 .
Рис. 2.31
Pис. 2.32
2.141. Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек с радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$ и соответствующими зарядами $q_{1}$ и $q_{2}$. Найти собственную энергию $W_{1}$ и $W_{2}$ каждой оболочки, энергию взаимодействия $W_{12}$ оболочек и полную электрическую энергию $W$ системы.
2.142. Заряд $q$ распределен равномерно по объему шара радиуса $R$. Считая проницаемость $\varepsilon=1$, найти:
a) собственную электрическую энергию шара;

б) отношение энергии $W_{1}$ внутри шара к энергии $W_{2}$ в окружающем пространстве.
2.143. Точечный заряд $q=3,0$ мкКл находится в центре шарового слоя из однородного диэлектрика проницаемости $\varepsilon=3,0$. Внутренний радиус слоя $a=250$ мм, внешний $b=$ $=500$ мм. Найти электрическую энергию в данном слое.
2.144. Найти энергию электрического поля точечного заряда $q$ в пустом полупространстве, которое ограничено плоскостью, отстоящей на расстояние а от заряда.
2.145. Сферическую оболочку радиуса $R_{1}$, равномерно заряженную зарядом $q$, расширили до радиуса $R_{2}$. Найти работу, совершенную при этом электрическими силами.
2.146. В центре сферической оболочки, равномерно заряженной зарядом $q=5,0$ мкКл, расположен точечный заряд $q_{0}=1,50$ мкКл. Найти работу электрических сил при расширении оболочки – увеличении ее радиуса от $R_{1}=50 \mathrm{~mm}$ до $R_{2}=100 \mathbf{~ м M}$.
2.147. Сферическая оболочка заряжена равномерно с поверхностной плотностью о. Воспользовавшись законом сохранения энергии, найти модуль электрической силы на единицу поверхности оболочки.
2.148. Точечный заряд $q$ находится в центре $O$ сферического незаряженного проводящего слоя с малым отверстием вдоль радиуса. Внутренний и внешний радиусы слоя равны соответственно $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$. Какую работу надо совершить против электрических сил, чтобы медленно перенести заряд $q$ из точки $O$ на бесконечность?
2.149. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна $S$. Какую работу против электрических сил надо совсршить, чтобы увеличить расстояние между обкладками от $x_{1}$ до $x_{2}$, если при этом поддерживать неизменным:
a) заряд конденсатора $q$;
б) напряжение на конденсаторе $U$ ?
2.150. Внутри плоского конденсатора находится параллельная обкладкам пластина, толщина которой составляет $\eta=0,60$ расстояния между обкладками. Емкость конденсатора в отсутствие пластины $C=20$ нФ. Конденсатор сначала подключили к источнику постоянного напряжения $U=200 \mathrm{~B}$, затем отключили и после этого медленно извлекли пластину из зазора. Найти работу, совершенную против электрических сил при извлечении пластины, если она:
a) металлическая; б) стеклянная.

2.151. Плоский конденсатор, расстояние между пластинами которого $d=1,0 \mathrm{mм}$, опустили в горизонтальном положении в воду, которая целиком заполнила его. Затем конденсатор подключили к постоянному напряжению $U=500$ В. Найти приращение давления воды в конденсаторе.
2.152. Плоский конденсатор расположен горизонтально так, что одна его пластина находится над поверхностью жидкости, другая – под ее поверхностью. Диэлектрическая проницаемость жидкости $\varepsilon$, ее плотность $\rho$. На какую высоту поднимется уровень жидкости в конденсаторе после сообщения его пластинам заряда с поверхностной плотностью $\sigma$ ?
2.153. В цилиндрический конденсатор вводят длинный цилиндрический слой диэлектрика проницаемости $\varepsilon$, заполняющий практически весь зазор между обкладками. Средний радиус обкладок $R$, зазор между ними $d$, причем $d \ll R$. Обкладки конденсатора подключены к источнику постоянного напряжения U. Найти модуль электрической силы, втягивающей диэлектрик в конденсатор.
Рис. 2.33
2.154. Конденсатор состоит из двух неподвижных пластин, имеющих форму полукруга радиуса $R$, и расположенной между ними подвижной пластины из диэлектрика проницаемости $\varepsilon$, которая может свободно поворачиваться вокруг оси $O$ (рис. 2.33). Толщина подвижной пластины $d$, что практически равно расстоянию между неподвижными пластинами. Конденсатор поддерживают при постоянном напряжении $U$. Найти модуль момента сил относительно оси $O$, действующих на подвижную пластину в положении, показанном на рисунке.