– Сила Лоренца:
\[
\mathbf{F}=q \mathbf{B}+q[\mathbf{v} \mathbf{B}] .
\]
– Уравнение движения релятивистской частицы:
\[
\frac{d}{d t} \frac{m \mathbf{V}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}=\mathbf{F} .
\]
– Период обращения заряженной частицы в однородном магнитном поле:
\[
T=2 \pi m_{r} / q B,
\]

где $m_{r}$ – релятивистская масса частицы, $m_{r}=m / \sqrt{1-(v / c)^{2}}$.
– Бетатронное условие – условие движения электрона по круговой орбите в бетатроне:
\[
B_{0}=\frac{1}{2}\langle B\rangle,
\]

где $B_{0}$ – индукция магнитного поля на орбите, $\langle\boldsymbol{B}\rangle$ – среднее значение индукции внутри орбиты.
2.405. В момент $\boldsymbol{t}=0$ из одной пластины плоского конденсатора вылетел электрон с пренебрежимо малой скоростью. Между пластинами приложено ускоряющее напряжение $U=\varepsilon t$, где $\varepsilon=100 \mathrm{~B} / \mathrm{c}$. Расстояние между пластинами $l=5,0 \mathrm{~cm}$. С какой скоростью электрон подлетит к противоположной пластине?
2.406. Протон, ускоренный разностью потенциалов $U$, попадает в момент $\boldsymbol{t}=0$ в однородное электрическое поле плоского конденсатора, длина пластин которого в направлении движения равна $l$. Напряженность поля меняется во времени как $E=\varepsilon t$, где $\varepsilon$ – постоянная. Считая протон нерелятивистским, найти угол между направлениями его движения до и после пролета конденсатора. Краевыми эффектами пренебречь.
2.407. Частица с удельным зарядом $q / m$ движется прямолинейно под действием электрического поля $E=E_{0}-\varepsilon x$, где $\varepsilon-$ положительная постоянная, $x$ – расстояние от точки, в которой частица первоначально покоилась. Найти расстояние, пройденное частицей до остановки.
2.408. Электрон начинает двигаться в однородном электрическом поле напряженности $E=10 \mathrm{kB} / \mathrm{cm}$. Через сколько времени после начала движения кинетическая энергия электрона станет равной его энергии покоя?
2.409. Релятивистский протон в момент $\boldsymbol{t}=0$ влетел со скоростью $\mathbf{v}_{0}$ в область, где имеется поперечное однородное электрическое поле напряженности $\mathbf{E}$, причем $\mathbf{v}_{0} \perp \mathbf{E}$. Ней: зависимость от времени угла ө между скоростью $\mathbf{v}$ протона и первоначальным направлением его движения.
2.410. Протон, ускоренный разностью потенциалов $U=500 \mathrm{kB}$, пролетает поперечное однородное магнитное поле с индукцией $B=$ $=0,51$ Тл. Толщина области с полем $d=10$ см (рис. 2.111). Найти угол $\alpha$ отклонения протона от первоначального направления движения.
2.411. Заряженная частица дви-
Рис. 2.111
жется по окружности радиуса $r=$ $=100$ мм в однородном магнитном поле с индукцией $B=$ $=10,0$ мТл. Найти ее скорость и период обращения, если частицей является:
a) нерелятивистский протон; б) релятивистский электрон.
2.412. Для каких значений кинетической энергии период обращения электрона и протона в однородном магнитном поле на $\eta=1,0 \%$ больше периода их обращения при нерелятивистских скоростях?

2.413. Электон, ускоренный разностью потенциалов $U=$ $=1,0 \mathbf{~ k B}$, движется в однородном магнитном поле под углом $\boldsymbol{\alpha}=30^{\circ}$ к вектору В, модуль которого $\boldsymbol{B}=29$ мТл. Найти шаг винтовой траектории электрона.
2.414. Слабо расходящийся пучок нерелятивистских заряженных частиц, ускоренных разностью потенциалов $U$, выходит из точки $A$ вдоль оси прямого соленоида. Пучок фокусируется на расстоянии $l$ от точки $A$ при двух последовательных значениях индукции магнитного поля, $B_{1}$ и $B_{2}$. Найти удельный заряд $q / m$ частиц.
2.415. Из точки $A$, лежащей на оси прямого соленоида, вылетает нерелятивистский электрон со скоростью $v$ под углом $\boldsymbol{\alpha}$ к оси. Индукция магнитного поля $\boldsymbol{B}$. Найти расстояние $\boldsymbol{r}$ от оси до точки попадания электрона на экран, расположенный перпендикулярно оси на расстоянии $l$ от точки $A$.
2.416. С поверхности цилиндрического провода радиуса $a$, по которому течет постоянный ток $I$, вылетает электрон с начальной скоростью $v_{0}$, перпендикулярной поверхности провода. На какое максимальное расстояние удалится электрон от оси провода, прежде чем повернуть обратно под действием магнитного поля тока?
Рис. 2.112
Рис. 2.113
2.417. Нерелятивистская заряженная частица пролетает электрическое поле цилиндрического конденсатора и затем попадает в однородное поперечное магнитное поле с индукцией $B$ (рис. 2.112). В конденсаторе частица движется по дуге окружности, в магнитном поле – по полуокружности радиуса $r$. Разность потенциалов на конденсаторе $U$, радиусы обкладок $a$ и $b$, причем $a<b$. Найти скорость частицы и ее удельный заряд $q / m$.
2.418. Из начала координат $O$ области, где созданы однородные параллельные оси $\boldsymbol{y}$ электрическое и магнитное поля с напряженностью $E$ и индукцией $B$ (рис. 2.113), вылетает в направлении оси $x$ нерелятивистская частица с удельным зарядом $q / m$ и начальной скоростью $v_{0}$. Найти:

a) координату $y_{n}$ частицы в момент, когда она $n$-й раз пересечет ось $y$;
б) угол $\alpha$ между скоростью частицы и осью $y$ в этот момент.
2.419. Узкий пучок одинаковых ионов с удельным зарядом $q / m$, имеющих различные скорости, входит в точке $O$ (см. рис. 2.113) в область, где созданы однородіые параллельные эектрическое и магнитное поля с напряженностью $E$ и индукцией $B$. Направление пучка в точке $O$ совпадает с осью $x$. На расетоянии $l$ от точки $O$ находится плоский экран, ориентированинй перпснцикулярно оси $x$. Найти уравнение следа ионов на эране. Показать, что при $z \ll l$ это – уравнение пар Łболы.
2.420. Пучок нерелятивистских протонов проходит, не отклоняясь, через область, в которой созданы однородине поперечные взаимно перпендику:ярные электрическос и матитное поля с $E=120 \mathrm{kB} / \mathrm{M}$ и $B=50 \mathrm{MTл}$. Затем пучок попадает на заземленную мишень. Найти силу, с которой пучок действует на мишень, если ток в пучке $I=0,80 \mathrm{~mA}$.
2.421. Нерелятинистские протоны движутся прямолинейно в опласти где созданы однородные ьзаимно перпсндикуиярные эыктрическое и мапиитие ноля с $E=4,0 \mathrm{kB} / \mathrm{m}$ и $B=50$ мТл. Траектория иротонов лежит в плоскости $x z$ (рис. 2.114) и составляет угол $\varphi=30^{\circ}$ с осью $x$. Найти наг винтовой эинии, по которой будут цвигаюся протоны после выключения электричсского поля.
Рис. 2.114
Рис. 2.115
2.422. Пучок нсрелятивистских заряжениых частиц проходит, не отклоняясь, через область $A$ (рис. 2.115), в которой созданы поперечные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напряженностью $E$ и индукцией $B$. Если магнитное поле выключить, след пучка на экране Э смещается на $\Delta x$. Зная расстояния $a$ и $b$, найти удельный заряд $q / m$ частиц.
2.423. Частица с удельным зарядом $q / m$ движется в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией В (рис. 2.116). В момент $\boldsymbol{t}=0$ частица находилась в точке $O$ и имела нулевую скорость. Найти для нерелятивистского случая:
a) закон движения частицы $x(t)$ и $y(t)$; какой вид имеет траектория;
б) длину участка траектории между двумя ближайшими точками, в которых скорость частицы обращается в нуль;
Рис. 2.116
в) среднее значение проекции скорости частицы на ось $x$ (дрейфовую скорость).
2.424. Система состоит из длинного цилиндрического анода радиуса $a$ и коаксиального с ним цилиндрического катода радиуса $b(b<a)$. На оси системы имеется нить с током накала $I$, создающим в окружающем пространстве магнитное поле. Найти наименьшую разность потенциалов между катодом и анодом, при которой термоэлектроны, покидающие катод без начальной скорости, начнут достигать анода.
2.425. Магнетрон – это прибор, состоящий из нити накала радиуса $a$ и коаксиального цилиндрического анода радиуса $b$, которые находятся в однородном магнитном поле, параллельном нити. Между нитью и анодом приложена ускоряющая разность потенциалов $U$. Найти значение индукции магнитного поля, при котором электроны, вылетающие с нулевой начальной скоростью из нити, будут достигать анода.
2.426. Заряженная частица с удельным зарядом $q / m$ начинает двигаться в области, где созданы однородные взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля. Магнитное поле постоянно и имеет индукцию $B$, электрическое же меняется во времени как $E=E_{m} \cos \omega t$, где $\omega=q B / m$. Найти для нерелятивистского случая закон движения частицы $x(t)$ и $y(t)$, если в момент $t=0$ она находилась в точке $O$ (см. рис. 2.116). Какой примерно вид имеет траектория частицы?
2.427. Частота генератора циклотрона $v=10$ МГц. Найти эффективное ускоряющее напряжение на его дуантах, при котором расстояние между соседними траекториями протонов радиуса $r=0,5$ м не меньше чем $\Delta r=1,0 \mathrm{~cm}$.

2.428. Протоны ускоряются в циклотроне. Максимальный радиус кривизны их траектории $r=50 \mathrm{~cm}$. Найти:
a) кинетическую энергию протонов в конце ускорения, если индукция магнитного поля в циклотроне $B=1,0$ Тл;
б) минимальную частоту генератора циклотрона, при которой в конце ускорения протоны будут иметь кинетическую энергию $\boldsymbol{K}=20 \mathrm{MэB}$.
2.429. Однократно ионизированные ионы $\mathrm{He}^{+}$ускоряют в циклотроне так, что максимальный радиус орбиты $r=60 \mathrm{~cm}$. Частота генератора циклотрона $v=10,0$ МГд, эффективное ускоряющее напряжение между дуантами $U=50 \mathrm{kB}$. Пренебрегая зазором между дуантами, найти:
a) полное время процесса ускорения иона;
б) приближенное значение пути, пройденного ионом за весь цикл ускорения.
2.430. Так как период обращения электронов в однородном магнитном поле с ростом энергии быстро увеличивается, циклотрон оказывается непригодным для их ускорения. Этот недостаток устраняется в микротроне (рис. 2.117), где изменение периода обращения электрона $\Delta T$ делают кратным периоду ускоряющего поля $T_{0}$. Сколько раз электрону необходимо пройти через ускоряющий промежуток микротрона, чтобы приобрести энергию $W=4,6 \mathrm{M}$, если $\Delta T=$ $=T_{0}$, индукция магнитного поля Рис. 2.117 $B=107$ мТл и частота ускоряющего поля $v=3000 \mathrm{M}$ ц ?
2.431. Чтобы в циклотроне не возникала расстройка, связанная с изменением периода обращения частицы при возрастании ее энергии, медленно изменяют (модулируют) частоту ускоряющего поля. По какому закону надо изменять эту частоту $\omega(t)$, если индукция магнитного поля равна $B$ и частица приобретает за один оборот энергию $\Delta W$ ? Заряд частицы $q$, масса $m$.
2.432. Частица с удельным зарядом $q / m$ находится внутри соленоида круглого сечения на расстоянии $r$ от его оси. В обмотке включили ток, и индукция магнитного поля стала равной B. Найти скорость частицы и радиус кривизны ее траектории, если за время нарастания тока в соленоиде ее смещение пренебрежимо мало.
2.433. В бетатроне магнитный поток внутри равновесной орбиты радиуса $r=25 \mathrm{~cm}$ возрастает за время ускорения практически с постоянной скоростью $\dot{\Phi}=5,0$ Вб/с. При этом электроны приобретают энергию $W=25$ МэВ. Найти число оборотов, совершенных электроном за время ускорения, и соответствующее значение пройденного им пути.
2.434. Показать, что электроны в бетатроне будут двигаться по круговой орбите постоянного радиуса ири условии, что индукция магнитного поля на орбите равна половине среднего значения индукции поля внутри орбиты (бстатронное условие).
2.435. Найти с помощью бетатронного условия радиус круговой орбиты электрона, зная зависимость индукции магнитного поля от расстояния $r$ до оси поля. Рассмотреть, этот вопрос на примере поля $B=B_{0}-a r^{2}$, где $B_{0}$ и $\boldsymbol{a}$ – положительные постоянные.
2.436. Показать с помощью бетатрониог условия, что напряженность вихревого электрического поля в бетатронс имеет экстремум на равновесной орбите.
2.437. В бетатроне индукция магнитного поля на равновесной орбите радиуса $r=20 \mathrm{~cm}$ изменяется за время $\Delta t=1,0 \mathrm{mc}$ практически с постоянной скоростью от нуля до $B=0,40 \mathrm{Tл}$. Найти энергию, приобретаемую электроном за каждый оборот.
2.438. Индукция магнитного поля в бетатроне иа равновесной орбите радиуса $r$ изменяется за время ускорения от нуля до $B$ практически с постоянной скоростью. Считая начальную скорость электрона равной нулю, найти:
a) энергию, приобретенную электроном за это время;
б) соответствующее значение пройденного электроном пути, если время ускорения равно $\Delta t$.