– Закон электромагнитной индукции Фарадея:
\[
\mathscr{E}_{1}=-\boldsymbol{d} \Phi / d t \text {. }
\]
– В случае соленоида и тороида:
\[
\Phi=N \Phi_{1},
\]
где $N$ – число витков, $\Phi_{1}$ – магнитный поток через каждый виток.
– Индуктивность соленоида:
\[
L=\mu \mu_{0} n^{2} V .
\]
– Собственная энергия тока и взаимная энергия двух токов:
\[
W=L I^{2} / 2, \quad W_{12}=L_{12} I_{1} I_{2} .
\]
– Объемная плотность энергия магнитного поля:
\[
\boldsymbol{w}=B^{2} / 2 \mu \mu_{0}=\mathbf{B H} / 2 .
\]
– Плотность тока смещения:
\[
\mathbf{j}_{\mathbf{m}}=\partial \mathbf{D} / \partial t .
\]
– Уравнения Максвелла в дифференциальной форме:
\[
\begin{array}{ll}
abla \times \mathbf{E}=-\partial \mathbf{B} / \partial t, &
abla \cdot \mathbf{B}=0, \\
abla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}+\partial \mathbf{D} / \partial t, &
abla \cdot \mathbf{D}=\rho,
\end{array}
\]
где $
abla \times \equiv$ rot (ротор) и $
abla \cdot \equiv \operatorname{div}$ (дивергенция).
– Ілотность потока электромагнитной энергии (вектор Пойнтинга) и объемная плотность энергии электромагнитного поля:
\[
\mathbf{S}=[\mathbf{E H}], \quad \boldsymbol{w}=\mathbf{E D} / 2+\mathbf{B H} / 2 .
\]
– Формулы преобразования полей при переходе от $K$-системы отсчета к движущейся по отношению к ней со скоростью $\mathbf{y}_{0} K^{\prime}$-системе.
При $v_{0} \ll с$
\[
\mathbf{E}^{\prime}=\mathbf{E}+\left[
abla_{0} \mathbf{B}\right], \quad \mathbf{B}^{\prime}=\mathbf{B}-\left[
abla_{0} \mathbf{E}\right] / c^{2} .
\]
В общем случае
\[
\begin{array}{ll}
\mathbf{E}_{\|}^{\prime}=\mathbf{E}_{\|}, & \mathbf{B}_{\|}^{\prime}=\mathbf{B}_{\|}, \\
\mathbf{E}_{1}^{\prime}=\frac{\mathbf{E}_{+}+\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{B}\right]}{\sqrt{1-\left(v_{d} c^{2}\right)}}, & \mathbf{B}_{\perp}^{\prime}=\frac{\mathbf{B}_{1}-\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{E}\right] / c^{2}}{\sqrt{1-\left(v_{0} c\right)^{2}}},
\end{array}
\]
где символами $\|$ и $\perp$ отмечены составляющие полей, паралельные и перпендикулярные вектору $\mathbf{v}_{\mathbf{0}}$.
– Инварианты электромагнитного ноля:
\[
\mathrm{EB}=\operatorname{inv}, \quad E^{2}-c^{2} B^{2}=\text { inv } .
\]
2.314. Контур находится в однородном магнитном полє с индукцией $B$ (рис. 2.92). Верхню часть контура провод в виде полуокружности радиуса $a$ – вращают с постоянной угловой мент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$ магнитный поток через контур максимальный. Найти ЭДС
Рис. 2.92 индукции в контуре как функцию времени $t$.
2.315. Провод, имеющий форму параболы $y=k x^{2}$, находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$ (рис. 2.93). Из вершины параболы в момент $\boldsymbol{t}=0$ начали перемещать перемычку 12. Найти ЭДС индукции в образовавшемся контуре как функцию $y$, если перемычку перемещают:
a) с постоянной скоростью $v$;
б) с постоянным ускоренисм $a$, причем в момент $t=0$ скорость перемычки была равна нулю.
Рис. 2.93
2.316. Металлический диск радиуса $a=25 \mathrm{~cm}$ вращают с постоянной угловой скоростью $\omega=130$ рад/с вокруг его оси. Найти разность потенциалов между центром и ободом диска, если:
a) внешнего магнитного поля нет;
б) имеется перпендикулярное диску внешінее однородное магнитное поле с индукцией $B=\mathbf{5 , 0} \mathrm{mTл}$.
2.317. Длинный прямой проводник с током I и П-образный проводник с подвижной перемычкой расположены в одной плоскости (рис. 2.94). Перемычку, длины которой $l$, перемещают вправо с постоянной скоростью v. Найти ЭДС индукции в контуре как функцио расстояния $r$.
2.318. Квадратная рамка со стороной $a$ и длинный прямой провод с током I находятся в одной плоскости (рис. 2.95). Рамку поступательно перемещают вправо с постоянной скоростью v. Найти ЭДС индукции в рамке как функцию расстоя-
Рис. 2.94 ния $\boldsymbol{x}$.
2.319. По двум гладким вертикальным проводам, отстояцим друг от друга на расстояние $l$, скользит под действием силы тяжести проводник-перемычка массы $m$. Вверху провода замкнуты на сопротивление $R$ (рис. 2.96). Система находится в однородном магнитном поле с индукцией $\boldsymbol{B}$, перпендикулярном плоскости, в которой персмещается перемычка. Пренебрегая сопротивлением проводов, перемычки и скользящих контактов,
Рис. 2.96
а также магнитным полем индукционного тока, найти установившуюся скорость перемычки.
2.320. Система отличается от рассмотренной в предыдущей задаче (см. рис. 2.96) лишь тем, что вместо сопротивления $\boldsymbol{R}$ к концам вертикальных проводов подключен конденсатор емкости $C$. Найти ускорение перемычки. 2.321. В системе, рассмотренной в задаче 2.314 (см. рис. 2.92), сопротивление контура равно $R$. Пренебрегая магнитным полем индукционного тока, найти среднюю за период вращения тепловую мощность в контуре.
2.322. Круговой контур, имеющий площадь $S$ и сопротивление $R$, вращают с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг его диаметра, который перпендикулярен однородному магнитному полю с индукцией $B$. Пренебрегая магнитным полем индукционного тока, найти, каким моментом силы $N(t)$ надо действовать на контур в этих условиях. В момент $t=0$ плоскость контура перпендикулярна направлению магнитного поля.
2.323. Между полюсами электромагнита находится небольшая катушка, ось которой совпадает с направлением магнитного поля. Площадь поперечного сечения катушки $S=3,0 \mathrm{~mm}^{2}$, число витков $N=60$. При повороте катушки на $180^{\circ}$ вокруг ее диаметра через подключенный к ней баллистический гальванометр протекает заряд $q=4,5$ мкКл. Найти индукцию магнитного поля между полюсами, если сопротивление электрической цепи $R=40$ Oм.
Рис. 2.97
2.324. Квадратная проволочная рамка со стороной $a$ и прямой проводник с постоянным током I лежат в одной плоскости (рис. 2.97). Сопротивление рамки $R$. Ее повернули на $180^{\circ}$ вокруг оси $O O^{\prime}$, отстоящей от проводника с током на расстояние $b$. Найти количество электричества, протекшее в рамке.
2.325. На расстояниях $a$ и $b$ от длинного прямого проводника с постоянным током $I_{0}$ расположены два параллельных ему провода, замкнутых на одном конце сопротивлением $R$ (рис. 2.98). По проводам без трения перемещают с постоянной скоростью $v$ стержень-перемычку. Пренебре-
Рис. 2.98
гая сопротивлением проводов и стержня, а также магнитным полем индукционного тока, найти:
a) индукционный ток в стержне;
б) силу, нужную для поддержания постоянства скорости.
2.326. Стержень 12 массы $m$ скользит без трения по двум длинным рельсам, расположенным на расстоянии $l$ друг от друга (рис. 2.99). На левом конце рельсы замкнуты сопротивлением $R$. Система находится в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией $B$. В момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$ стержню сообщили вправо начальную скорость $v_{0}$. Пренебрегая сопротивлением рельсов и стержня, а также магнитным полем индукционного Рис. 2.99 тока, найти:
a) расстояние, пройденное стержнем до остановки;
б) количество теплоты, выделенной при этом на сопротивлении.
2.327. По П-образному проводнику, расположенному в горизонтальной плоскости, может скользить без трения перемычка 12 (рис. 2.100). Она имеет длину $l$, массу $\boldsymbol{m}$ и сопротивление $R$. Вся система находится в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией $B$. В момент $t=0$ на перемычку стали действовать постоянной горизонтальной силой $F$, и перемычка начала перемещаться вправо. Найти скорость перемычки как функцию времени. Магнитное поле индукционного тока и сопротивление П-образного проводника пренебрежимо
Рис. 2.100 малы.
2.328. Плоский контур (рис. 2.101), имеющий вид двух квадратов со сторонами $a=20 \mathrm{~cm}$ и $b=10 \mathrm{~cm}$, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном его плоскости. Индукцию поля меняют по закону $B=B_{0} \sin \omega t$, где $B_{0}=10$ мТл и $\omega=100 \mathrm{c}^{-1}$. Найти амплитуду индукционного тока в контуре, если сопротивление единицы длины его $\rho=50 \mathrm{mOм} / \mathrm{M}$. Магнитным полем этого тока пренебречь.
Рис. 2.101
2.329. Плоская спирать с большим числом виткон $N$, плотно прилегаюцих друг к другу, находитея в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости спирали. Наружный радиус витков спирали равен $a$. Индукция поля изменяется во времсни по закону $B=B_{0} \sin \omega t$, где $B_{0}$ и $\omega$ – постоянные. Найти амплитудное значение ЭДС индукции в спирали.
2.330. П-образный проводник находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости ироводника и изменяющемся со скоростью $\dot{B}=0,10 \mathrm{T \pi} / \mathrm{c}$. Вдоль параллельных сторон этого проводника перемещают покоившийся проводник-перемычку с ускоренисм $a=10 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$. Длина перемьтки $l=20 \mathrm{~cm}$. Найти ЭДС индукции в контуре через $t=2,0 \mathrm{c}$ после начала перемецения, ести в момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$ плоцадь контура и индукция магиитного поля ранны нулю.
2.331. Внутри длинного соленоида находитея катупка из $N$ витков с площадью попсрсчноге сечения $S$. Катушку поворачивают с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, совнадающей с ее диаметром и перпендикулярной оси соленоида. Найти ЭДС индукции в катущке, если индукция магнитного поля в соленоиде меняется со временем как $B=B_{0} \sin \omega t$ и в момент $t=0$ ось катушки совпадала с осью соленоида.
2332. В длинном соленоиде с радиусом сечения $a$ и числом витков $n$ на единицу длины изменяют ток с постоянной скоростью $\dot{I} \mathrm{~A} / \mathrm{c}$. Найти напряженность вихревого элсктричскон поля как функцию расстояния $r$ от оси соленоида. Изобразить примерный график этой зависимосги.
2.333. На длинный соленоид, имеюний диамстр сечения $\boldsymbol{d}=5 \mathrm{cм}$ и содержаций $n=20$ витков на 1 см длины, плотно надет круговой виток из медного провода сечением $S=1,0 \mathrm{~mm}^{2}$. Найти ток в витке, если ток в обмотке соленоида увеличивают с постоянной скоростью $\dot{I}=100 \mathrm{~A} / \mathrm{c}$. Магнитным полем индукционного тока пренебречь.
2.334. Непроводящее тонкое кольцо массы $\boldsymbol{m}$, имеющее заряд $q$, может свободно вращаться вокрут своей оси. В момент $t=0$ включили однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости кольца. Индукция поля начала нарастать по некоторому закону В $(t)$. Найти угловую скорость $\omega$ кольца как функцию B.
2.335. Магнитный поток через неподвижный контур с сопротивлением $R$ изменяется в течение времени $\tau$ по закону $\Phi=a t(\tau-t)$. Найти количество теплоты, выделенной в контуре за это время. Магнитным полем индукционного тока пренебречь.
2.336. В середине длинного соленоида находится коаксиальное кольцо прямоугольного сечения из проводящего материала с удельным сопротивлением $\rho$. Толиина кольца $h$, его внутренний и внешний радиусы $a$ и $b$. Индукцию магнитного поля соленоида изменяют со временем по закону $B=\beta t$, ге $\beta$– постоянная. Найти индукционный ток в кольце, пренебрегая его магнитным полем.
2.337. Сколько метров тонкого провода надо взять для изготовления соленоида длины $l_{0}=100 \mathrm{~cm}$ с индуктивностью $L=1,0 \mathbf{~ м Г н , ~ е с л и ~ д и а м е т р ~ с е ч е н и я ~ с о л е н о и д а ~ з н а ч и т е л ь н о ~}$ меньше его длины?
2.338. Найти индуктивность соленоида длины $l$, обмоткой которого является медная проволока массы $\boldsymbol{m}$. Сопротивление обмотки $R$. Диаметр соленоида значительно меньше его длины.
2.339. Катушку индуктивности $L=300 \mathrm{~m}$ р с сопротивлением $R=140$ мОм подключили к постоянному напряжению. Через сколько времени ток через катушку достигнет $\eta=50 \%$ установившегося значения?
2.340. Вычислить постоянную времени $\tau$ соленоида длины $l=100 \mathrm{cм}$, имеющего однослойную обмотку из медного провода массы $m=1,0 \mathbf{~ к г}$. Предполагается, что диаметр сечения соленоида значительно меныше его длины.
Примечание. Постоянная времени $\tau=L / R$, где $L-$ индуктивность, $R$ – активное сопротивление.
2.341. Найти индуктивность единицы длины кабеля, представляющего собой два тонкостенных коаксиальных металлических цилиндра, если радиус внешнего цилиндра в $\eta=3,6$ раза больше внутреннего. Магнитную проницаемость среды между цилиндрами считать равной единице.
2.342. Определить индуктивность тороидального соленоида из $N$ витков, внутренний радиус которого равен $b$, а поперечное сечение имеет форму квадрата со стороной а. Пространство внутри соленоида заполнено парамагнетиком с магнитной проницаемостью $\mu$.
Рис. 2.102
2.343. Вычислить индуктивность единицы длины двухпроводной ленточной линии (рис. 2.102), если расстояние между лентами $h$ значительно меньше их ширины $b$, а именно $b / h=50$.
2.344. Найти индуктивность единицы длины двухпроводной линии, если радиус каждого провода в $\eta$ раз меньше расстояния между
их осями. Полем внутри проводов пренебречь, магнитную проницаемость всюду считать равной единицы и $\eta \gg 1$.
2.345. Кольцо радиуса $a=50$ мм из тонкой проволоки индуктивности $\boldsymbol{L}=\mathbf{0 , 2 6} \mathbf{м к \Gamma н}$ поместили в однородное магнитное поле с индукцией $B=0,50$ мТл так, что его плоскость стала перпендикулярной направлению поля. Затем кольцо охладили до сверхпроводящего состояния и выключили магнитное поле. Найти ток в кольце.
2.346. Сверхпроводящее круглое кольцо радиуса $a$, имеющее индуктивность $\boldsymbol{L}$, находится в однородном магнитном поле с индукцией $\boldsymbol{B}$. Плоскость кольца параллельна вектору В, и ток в кольце равен нулю. Затем плоскость кольца повернули на $90^{\circ}$ в положение, перпендикулярное полю. Найти:
a) ток в кольце после поворота;
б) работу, совершенную при этом.
2.347. Ток $I_{0}=1,9$ А течет по длинному замкнутому сверхпроводящему соленоиду. Найти ток в соленоиде после того, как его растянули, увеличив длину на $\eta=5 \%$.
2.348. Замкнутая цепь состоит из последовательно включенных источника постоянной ЭДС $\mathscr{E}$ и дросселя индуктивности $L$. Активное сопротивление всей цепи равно $R$. В момент $t=0$ индуктивность дросселя скачком уменьшили в $\eta$ раз. Найти ток в цепи как функцию времени $t$.
Указание. При скачкообразном изменении индуктивности полный магнитный поток (потокосцепление) остается неизменным.
2.349. Найти закон изменения во ви мени тока, текущего через индуктивнос $L$ в схеме (рис. 2.103) после замыкания ключа $\boldsymbol{K}$ в момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$.
2.350. В схеме (рис. 2.104) известны ЭДС $\mathscr{E}$ источника, сопротивление $R$ и индуктивности катушек $L_{1}$ и $L_{2}$. Внутреннее сопротивление источника и сопротивPис. 2.103 ления катушек пренебрежимо малы. Найти установившиеся токи в катушках после замыкания ключа $\boldsymbol{K}$.
2.351. Два длинных коаксиальных соленоида содержат $n_{1}$ и $n_{2}$ витков на единицу длины. Внутренний соленоид, имеющий площадь поперечного сечения $S$, заполнен магнетиком проницаемости $\mu$. Найти взаимную индуктивность соленоидов в расчете на единицу их длины.
2.352. Вычислить взаимную индуктив-
Рис. 2.104 ность длинного прямого провода и прямоугольной рамки со сторонами $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$. Рамка и прямой провод лежат в одной плоскости, причем ближайшая к проводу сторона рамки длины $b$ параллельна проводу и отстоит от него на расстояние $l$.
2.353. Определить взаимную индуктивность тороидальной катушки и проходящего по ее оси бесконечного прямого провода. Катушка имеет прямоугольное сечение, ее внутренний радиус $a$, внешний $b$. Длина стороны поперечного сечения тоpa, параллельная проводу, равна $h$. Число витков катушки $N$. Система находится в однородном магнетике проницаемости $\mu$.
2.354. На поверхность тора квадратного сечения равномерно навито $N_{1}$ витков тонкой проволоки. На эту обмотку в свою очередь навито $N_{2}$ витков, как показано на рис. 2.105. Внутренний и внешний радиусы тора равны $a$ и $b$. Найти взаимную индуктивность обеих обмоток.
2.355. Два концентрических тонких проводника в форме окружностей с радиусамиа и $b$ лежат в одной плоскости. Имея в виду, что $a \ll b$, найти:
a) из взаимную индуктивность;
Рис. 2.105
б) магнитный поток через поверхность, натянутую на внешний проводник, если по внутреннему проводнику течет ток $I$. 2.356. Два одинаковых контура в виде равносторонних треугольников (из тонких проводов с изоляцией) одной стороной совмещены, а расстояние между противоположными вершинами равно стороне треугольников. Индуктивность каждого контура $L$. Найти их взаимную индуктивность.
2.357. Ток $I$ течет по рамке в виде квадратного контура со стороной $a$. Найти магнитный поток через полуплоскость $P$ (рис. 2.106), граница которой $O O^{\prime}$ отстоит от ближайшей стороны рамки на расстояние $b$. Полуплоскость $P$ и рамка лежат в одной плоскости.
Рис. 2.116
Указание. Воспользоваться теоремой взаимности: $L_{12}=L_{21}$.
2.358. Имеется тонкое кольцо радиуса а с током I. Найти индукцию магнитного поля в плоскости кольца в точке, находящейся на расстоянии $r$ от его центра, если $r \gg a$.
Рис 2.107
2.359. Небольшойцилиндрический магнит $\boldsymbol{M}$ (рис. 2.107) находится в центре тонкой катушіки радиуса $a$, состоящей из $N$ витков. Катушка подклочена к баллистическому гальванометру. Сопротивление всей цепи равно $R$. Найти магнитный момент магнита, если при его удалении из катушки через гальванометр прошло количество электричества $q$.
2.360. Найти приближенную формулу для взаимной индуктивности двух тонких витков одинакового радиуса $a$, если оси витков совпадают, а их центры находятся друг от друга на расстоянии $l$, причем $l \gg a$.
2.361. Имеется два неподвижных контура с взаимной индуктивностью $L_{12}$. В одном из контуров начали изменять ток по закону $I_{1}=\alpha t$, где $\alpha$ – постоянная, $t$ – время. Найти закон изменения тока $I_{2}(t)$ в другом контуре, индуктивность которого $L_{2}$ и сопротивление $R$.
2.362. Катушка индуктивности $L=$ $=2,0$ мкГн и сопротивления $R=1,0$ Ом подключена к источнику постоянной ЭДС $\mathscr{E}=3,0$ В (рис. 2.108). Параллельно катушке включено сопротивление $R_{0}=2,0$ Ом. Найти количество теплоты, которая выделится в катушке после размыкания ключа $\boldsymbol{K}$. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало.
Рис. 2.108
2.363. Ток $I$ течет по длинному прямо-
му проводнику круглого сечения с магнитной проницаемостью на единицу его длины.
2.364. На тор из неферромагнетика намотано $N=500$ витков провода. Найти энергию магнитного поля, если при токе $I=2,0$ А магнитный поток через поперечное сечение тора $\Phi=1,0$ мВб.
2.365. Железный сердечник, имеющий форму тора с круглым сечением радиуса $a=3,0 \mathrm{cм}$, несет на себе обмотку из $N=1000$ витков, по которой течет ток $I=1,0 \mathrm{~A}$. Средний радиус тора $b=32$ см. Оценить с помоцью рис. 2.89 магнитную энергию в сердечнике.
2.366. Тонкое колыцо из магнстика с площадью понсречного сечения $S=5,0 \mathrm{~cm}^{2}$ имеет средний диаметр $d=30 \mathrm{~cm}$ и несет на себе обмотку из $N=800$ витков. В кольце сделана поперечная прорезь ширины $b=2,0$ мм. При некотором токе в обмотке магнитная проницаемость магнетика $\mu=1400$. Пренебрегая рассеянием поля на краях зазора, найти:
a) отношение магнитной энергии в зазоре и магнетике;
б) индуктивность системы.
2.367. Коаксиальный кабель состоит из внутреннего сплошного проводника радиуса $a$ и наружной проводящей тонкостенной трубки радиуса $b$. Найти индуктивность единицы длины кабеля для токов достаточно малой частоты, при которой распределение тока по сечению внутреннего проводника практически равномерно. Материал кабеля немагнитный.
2.368. Длинный цилиндр радиуса $a$ из немагнитного материала, заряженный равномерно по поверхности, врацается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$. Найти энергию магнитного поля на единицу длины цилиндра, если линейная плотность заряда цилиндра равна $\lambda$.
2.369. При какой напряженности электрического поля в вакууме плотность энергии этого поля будет такой же, как у магнитного поля с индукцией $B=1,0$ Тл?
2.370. Тонкое равномерно заряженное кольцо радиуса $a=$ $=10 \mathrm{cм}$ врацается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega=100 \mathrm{paz} / \mathrm{c}$. Найти отношение плотностей энергии магнитного и электрического полей на оси кольца в точке, отстоящей от его центра на расстояние $l=\boldsymbol{a}$.
2.371. Исходя из выражения для плотности магнитной энергии, показать, что работа, затрачиваемая на намагничивание единицы объема пара- или диамагнетика, $A=-\mathbf{J B} / 2$.
2.372. Две одинаковые катушки, каждая индуктивности $L$, соединяют а) последовательно, б) параллельно. Считая взаимную индуктивность катушек пренебрежимо малой, найти индуктивность системы в обоих случаях.
2.373. Две одинаковые катушки, каждая индуктивности $L$, соединены последовательно и расположены так близко друг к другу, что магнитный поток одной катушки полностью пронизывает, усиливая, другую. Найти индуктивность системы из этих двух катушек.
2.374. Два соленоида одинаковой длины и почти одинакового сечения вставлены один в другой. Найти их взаимную индуктивность, если их индуктивности равны $L_{1}$ и $L_{2}$.
2.375. Два одинаковых коаксиальных круговых витка из сверхпроводника, каждый индуктивности $L$, расположены на большом расстоянии друг от друга. В каждом витке в одном и том же направлении течет ток I. Витки затем совместили. Найти:
a) результирующий ток $I^{\prime}$ в каждом витке;
б) приращение магнитной энергии системы.
2.376. Показать, что магнитная энергия взаимодействия двух контуров с токами в вакууме может быть представлена как $W_{\mathrm{B}}=\left(1 / \mu_{0}\right) \int \mathbf{B}_{1} \mathbf{B}_{2} d V$, где $\mathbf{B}_{1}$ и $\mathbf{B}_{2}$ – индукции магнитного поля в элементе объема $d V$, создаваемые отдельно токами одного и другого контуров.
2.377. В двух круглых контурах с радиусами $a$ и $b$ текут токи $I_{1}$ и $I_{2}$. Центры контуров совпадают, а угол между их осями равен ช. Найти энергию взаимодействия контуров, если $a \ll b$.
2.378. Пространство между двумя концентрическими металлическими сферами заполнено слабо проводящей средой с удельным сопротивлением $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. В некоторый момент заряд на внутренней сфере равен $q$. Найти:
a) связь между векторами плотностей токов смещения и проводимости в каждой точке среды;
б) ток смещения в данный момент через произвольную поверхность в среде, охватывающую внутреннюю сферу.
2379. Плоский конденсатор образован двумя дисками, между которыми находится однородная слабо проводящая среда. Конденсатор зарядили и отключили от источника напряжения. Пренебрегая краевыми эффектами, показать, что магнитное поле внутри конденсатора отсутствует.
2.380. Плоский воздушный конденсатор, площадь каждой пластины которого $S=100 \mathrm{~cm}^{2}$, включен последовательно в цепь переменного тока. Найти амплитуду напряженности электрического поля в конденсаторе, если амплитуда синусоидального тока в проводящих проводах $I_{m}=1,0 \mathrm{~mA}$ и частота тока $\omega=1,6 \cdot 10^{7} \mathrm{c}^{-1}$.
2.381. Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющими форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимпстью $\sigma$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Расстояние между обкладками $d$. Пренебрегая краевыми эффектами, найти напряженность магнитного поля между обкладками на расстоянии $r$ от их оси, если на конденсатор подано переменное напряжение $U=U_{m} \cos \omega t$.
2.382. Длинный прямой соленоид имеет $n$ витков на единицу длины. По нему течет переменный ток $I=I_{m} \sin \omega t$. Найти плотность тока смещения как функцию расстояния $r$ от оси соленоида. Радиус сечения соленоида $R$.
2.383. Точечный заряд $q$ движется $с$ нерелятивистской скоростью $\mathbf{v}$ =const. Найти плотность тока смещения $\mathbf{j}_{\text {см }}$ в точке, находящейся на расстоянии $r$ от заряда на прямой:
a) совпадающей с траекторией заряда;
б) перпендикулярной траектории и проходящей через заряд.
2.384. Две частицы, масса каждой из которых равна $m$, а заряды $q$ и $-q$, движутся под действием электрического притяжения по окружности так, что соединяющая их прямая вращается с угловой скоростью $\omega$. Найти плотность тока смещения в центре этой системы.
2.385. Точечный заряд $q$ движется с нерелятивистской скоростью $\mathbf{v}=$ const. Взяв циркуляцию вектора $\mathbf{H}$ по окружности
(рис. 2.109), найти Н в точке $A$ как функцию радиуса-вектора $\mathbf{r}$ и скорости $\mathbf{v}$ заряда.
2.386. Доказать с помощью уравнений Максвелла, что:
a) переменное во времени магнитное поле не может существовать без электрического поля;
б) однородное электрическое поле
Рис. 2.109 не может существовать при наличии переменного во времени магнитного поля.
2.387. Показать, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения электрического заряда: $
abla \cdot \mathbf{j}=-\partial \rho / \partial t$.
2.388. Показать, что уравнения Максвелла $
abla \times \mathbf{E}=-\partial \mathbf{B} / \partial t$ и $\boldsymbol{
abla} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{0}$ являются совместимыми, т.е. первое из них не противоречит второму.
2.389. В некоторой области инерциальной системы отсчета имеется вращающееся с угловой скоростью ш магнитное поле, индукция которого равна В. Найти $
abla \times \mathbf{E}$ в этой области как функцию векторов $\omega$ и В.
2390. В инерциальной $K$-системе отсчета имеется однородное чисто магнитное поле с индукцией В. Найти напряженность электрического поля в $K^{\prime}$-системе, которая движется с нерелятивистской скоростью $\mathbf{v}$ относительно $K$-системы, причем $\mathbf{v} \perp$. Для решения этого вопроса рассмотреть силы, действующие на воображаемый заряд в обеих системах отсчета в момент, когда скорость заряда в $K^{\prime}$-системе равна нулю.
2.391. Большая пластина из неферромагнитного металла движется со скоростью $v=90 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$ в однородном магнитном поле с индукцией $B=50$ мТл, как показано на рис. 2.110. Найти поверхностную плотность электрических зарядов, возникающих на пластине вследствие ее движения.
2.392. Большая пластина из однородного
Рис. 2.110
диэлектрика проницаемости $\varepsilon$ движется с постоянной нерелятивистской скорость $\mathbf{v}$ в однородном магнитном поле с индукцией $\mathbf{B}$, как показано на рис. 2.110. Найти поляризованность $\mathbf{P}$ диэлектрика и поверхностную плотность $\sigma^{\prime}$ связанных зарядов.
2.393. Длинный сплошной алюминиевый цилиндр радиуса $a=5,0$ см вращают вокруг его оси в однородном магнитном поле с индукцией $\boldsymbol{B}=10$ мТл. Угловая скорость вращения $\omega=45 \mathrm{pa \pi} / \mathrm{c}$, причем $\omega 1$. Пренебрегая магнитным полем возникающих зарядов, найти их объемную и поверхностную плотности.
2.394. Длинный цилиндр радиуса $a$ из диэлектрика проницаемости $\varepsilon$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг своей оси во внешнем однородном магнитном поле с индукцией В, причем $\boldsymbol{1}$ ڤ. Найти:
a) поляризованность диэлектрика как функцию расстояния от оси цилиндра, $\mathbf{P ( r ) ;}$
б) поверхностный связанный заряд $\lambda^{\prime}$ на единицу длины цилиндра.
2.395. Нерелятивистский точечный заряд $q$ движется с постоянной скоростью v. Найти с помоцью формул преобразования полей индукцию В магнитного поля этого заряда в точке, положение которой относительно заряда определяется радиусом-вектором $\mathbf{~}$.
2.396. Показать с помощью формул (2.6и): если в инерциальной $K$-системе отсчета имеется только электрическое или только магнитное поле, то в любой другой инерциальной $K^{\prime}$-системе будут существовать как электрическое, так и магнитное поле одновременно, причем $\mathbf{E}^{\prime} \perp \mathbf{B}^{\prime}$.
2.397. Имеется длинный прямой проводник с током $I=1,0$ А. Найти заряд $\lambda^{\prime}$ на единицу диины проводника и соответствующее число электронов, обеспечивающих этот заряд, в системе отсчета, движущейся со скоростью $v_{0}=1,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ вдоль проводника в направлении тока $I$.
2.398. В инерциальной $K$-системе имеется только электрическое поле с напряженностью $\mathbf{E}=a(x \mathbf{i}+y \mathbf{j}) /\left(x^{2}+y^{2}\right)$, где $a-$ постоянная, $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ – орты осей $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$. Найти индукцию $\mathbf{B}^{\prime}$ магнитного поля в $K^{\prime}$-системе, которая движется относительно $K$-системы с нерелятивистской постоянной скоростью $\mathbf{v}=\boldsymbol{v} \mathbf{k}$, k – орт оси z. Считать, что ось $z^{\prime}$ совнадает с осью $z$. Какой вид имеет поле $\mathbf{B}^{\prime}$ ?
2.399. Убедиться, что формулы преобразования (2.6и) следуют из формул (2.6к) при $v_{0} \ll с$.
2.400. В инерциальной $K$-системе имеется только однородное электрическое поле с напряженностью $E=8 \mathrm{kB} /$. Найти модуль и направление:
a) вектора $\mathbf{E}^{\prime}$; б) вектора $\mathbf{B}^{\prime}$
в $K^{\prime}$-системе, движущейся по отношению к $K$-системе с постоянной скоростью $v$ под углом $\alpha=45^{\circ}$ к вектору Е. Скорость $K^{\prime}$-системы $\beta=0,60$ скорости света.
2.401. Решить задачу, отличающуюся от предыдущей лишь тем, что в $K$-системе имеется не электрическое, а магнитное поле с индукцией $B=0,8$ Тл.
2.402. Убедиться с помощью формул преобразования (2.6к) в инвариантности следующих величин:
a) $\mathrm{EB}$; б) $E^{2}-c^{2} B^{2}$.
2.403. В инерциальной $K$-системе отсчета имеется два однородных взаимно перпендикулярных поля: электрическое напряженности $E=40 \mathrm{kB} / \mathrm{M}$ и магнитное с индукцией $B=0,20$ мТл. Найти напряженность $E^{\prime}$ (или индукцию $B^{\prime}$ ) поля в той $K^{\prime}$ ‘системе отсчета, где наблюдается только одно поле (электрическое или магнитное).
Указание. Воспользоваться инвариантами поля.
2.404. Точечный заряд $q$ движется равномерно и прямолинейно с релятивистской скоростью, составляющей $\beta$-часть скорости света ( $\beta=v / c)$. Найти напряженность $\mathrm{B}$ электрического поля этого заряда в точке, радиус-вектор которой относительно заряда равен $\mathbf{r}$ и составляет угол षे с вектором его скорости.
