– Магнитное поле точечного заряда $q$, движущегося с нерелятивистской скоростью $\mathbf{v}$ :
\[
\mathbf{B}=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) q[\mathbf{v r}] / r^{3} .
\]
– Закон Био-Савара:
\[
d \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{[\mathrm{jr}]}{r^{3}} d V, \quad d \mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I[d 1, \mathrm{r}]}{r^{3}} .
\]
– Циркуляция вектора В (в вакууме) и теорема Гаусса:
\[
\oint \mathbf{B} d \mathbf{r}=\mu_{0} I, \quad \oint \mathbf{B} d \mathbf{S}=0 .
\]
– Сила Лоренца:
\[
\mathbf{F}=q \mathbf{E}+q[\mathbf{B}]
\]
– Сила Ампера:
\[
d \mathbf{F}=[\mathbf{j} \mathbf{B}] d V, \quad d \mathbf{F}=I[d 1, \mathbf{B}] .
\]
– Сила и момент сил, действующие на магнитный диполь $\boldsymbol{p}_{\mathrm{m}}=I S \mathrm{n}$ :
\[
\mathbf{F}=p_{\mathrm{m}} \partial \mathbf{B} / \partial n, \quad \mathbf{N}=\left[\mathbf{p}_{\mathrm{m}} \mathbf{B}\right],
\]
где $\partial \mathbf{B} / \partial n$ – производная вектора В по направлению диполя.
– Элементарная работа амперовых сил при перемещении контура с током:
\[
\delta A=I d \Phi .
\]
– Циркуляция намагниченности J:
\[
\oint \mathbf{J} d \mathbf{r}=I^{\prime},
\]
где $I^{\prime}$ – ток намагничения (молекулярный ток).
– Вектор Н и его циркуляция:
\[
\mathbf{H}=\mathbf{B} / \mu_{0}-\mathbf{J}, \quad \oint \mathbf{H} d \mathbf{r}=I,
\]
где $I$ – алгебраическая сумма макроскопических токов.
– Условия на границе раздела двух магнетиков:
\[
B_{1 n}=B_{2 a}, \quad H_{1 \mathrm{r}}=H_{2 \mathrm{r}} .
\]
– Для магнетиков, у которых $\mathbf{J}=\chi \mathbf{H}$ :
\[
\mathbf{B}=\mu \mu_{0} \mathbf{H}, \quad \mu=1+\chi .
\]
2.225. Точечный заряд движется со скоростью $v=900 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. В некоторый момент в точке $\boldsymbol{P}$ напряженность поля этого заряда $E=600 \mathrm{~B} / \mathrm{M}$, а между векторами $\mathbf{E}$ и $\mathbf{v}$ угол $\alpha=30^{\circ}$. Найти индукцию $\boldsymbol{B}$ магнитного поля данного заряда в точке $\boldsymbol{P}$ в этот момент.
2.226. По круговому витку радиуса $R=100$ мм из тонкого провода циркулирует ток $I=1,00 \mathrm{~A}$. Найти магнитную индукцию:
a) в центре витка;
б) на оси витка на расстоянии $x=100$ мм от его центра.
2.227. Кольцо радиуса $R=50$ мм из тонкого провода согнули по диаметру под прямым углом. Найти магнитную индукцию в центре кривизны полуколец при токе $I=2,25 \mathrm{~A}$.
2.228. Ток $I$ течет по плоскому контуру, показанному на рис. 2.60 , где $r=$ $=r_{0}(1+\varphi)$. Найти магнитную индукцию $B$ в точке $O$.
2.229. Ток $I$ течет по тонкому проводнику, который имеет вид правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$. Найти магнитную индукцию в центре данного контура. Исследовать
Рис. 2.60
случай $n \rightarrow \infty$.
2.230. Найти мапнитную индукцию в центре контура, имеющего вид прямоугольника, если его диагональ $d=16 \mathrm{~cm}$, угол между диагоналями $\varphi=30^{\circ}$ и ток $I=5,0$ A.
2.231. Ток $I=5,0$ А течет по тонкому замкнутому проводнику (рис. 2.61). Радиус изогнутой части $R=120 \mathrm{mм}$, угол $2 \varphi=90^{\circ}$. Найти магнитную индукцию в точке $O$.
2.232. Найти индукцию магнитного иоля в точке $O$ контура с током 1 , который показан:
a) на рис. 2.62; радиусы $a$ и $b$, а также угол $\varphi$ известны;
б) на рис. 2.63 ; радиус $a$ и сторона $b$ известны.
Рис. 2.62
Рис. 2.63
2.233. Ток $I$ течет вдоль длинной тонкостенной трубы радиуса $R$, имеющей по всей длине продольную прорезь ширины $h$. Найти индукцию магнитного поля внутри трубы, если $h \ll R$.
2.234. Ток $I=11,0$ А течет по длинному прямому проводнику, сечение которого имеет форму тонкого полукольца радиуса $R=5,0 \mathrm{~cm}$ (рис. 2.64). Найти магнитную индукцию на оси $O$.
Рис. 2.64
2.235. Определить магнитную индукцию в точке $O$, если проводник с током $I$ имеет вид, показанный:
а) на рис. 2.65 ; б) на рис. 2.66 ; в) на рис. 2.67 .
Рис. 2.68
Рис. 2.69
Рис. 2.66
Рис. 2.67
Радиус изогнутой части проводника равен $R$, прямолинейные участки проводника очень длинные.
2.236. Длинный проводник с током I изогнут, как показано на рис. 2.68. Расстояние $a$ известно. Найти магнитную индукцию:
а) в точке 1 ; б) в точке 2 .
2.237. Длинный проводник с током $I=5,0$ А изогнут под прямым углом. Найти магнитную индукцию в точке, которая отстоит от плоскости проводника на $l=35$ см и находится на перпендикуляре, проходящем через точку изгиба.
2.238. Длинный провод с током I изогнут под прямым утлом. Найти магнитную индукцию в точках 1 и 2, находящихся на биссектрисе этого угла на расстоянии $l$ от точки изгиба (рис. 2.69).
2.239. Найти магнитную индукцию в точке $O$, если проводник с током $I=8,0$ А имеет вид, показанный:
а) на рис. $2.70 ;$ б) на рис. 2.71 .
Радиус изогнутой части проводника $R=100 \mathrm{mм}$, прямолинейные участки проводника очень длинные.
Рис. 2.70
Рис. 2.71
2.240. Ток $I$ течет по длинным прямым проводникам, которые подключены к двум точкам однородного проводника, имеющего вид кольца радиуса $R$ (рис. 2.72). Найти магнитную индукцию в точке $O$.
2.241. Определить индукцию магнитного поля тока, равномерно распределенного:
a) по плоскости с линейной
Рис. 2.72 плотностью $\mathbf{i}$;
б) по двум параллельным плоскостям с линейными плотностями і и -i.
2.242. Однородный ток плотности $j$ течет внутри неограниченной пластины толщины $2 d$ параллельно ее поверхности. Пренебрегая влиянием вещества пластины, найти индукцию магнитного поля этого тока как функцию расстояния $\boldsymbol{x}$ от средней плоскости пластины.
2.243. Постоянный ток $I$ течет по длинному проводу и далее растекается радиально-симметрично по проводящей плоскости, перпендикулярной проводу. Найти индукцию магнитного поля во всех точках пространства.
2.244. Ток $I$ течет по длинному проводу и затем растекается равномерно по всем направлениям в однородной проводящей среде (рис. 2.73). Пренебрегая влиянием вещества сре-
Рис. 2.73
ды, найти индукцию магнитного поля в точке $A$, отстоящей от точки $O$ на расстояние $r$ под углом $\boldsymbol{0}$.
2.245. Имеется круговой виток с током $I$. Найти интеграл $\int B_{x} d x$ вдоль оси витка в пределах от $-\infty$ до $+\infty$.
2.246. По прямому проводу, радиус сечения которого $R$, течет постоянный ток плотности j. Пренебрегая влиянием вещества провода, найти индукцию магнитного поля этого тока в точке, положение которой относительно оси провода определяется радиусом-вектором r.
2.247. Внутри длинного прямого провода круглого сечения имеется длинная круглая цилиндрическая полость, ось которой параллельна оси провода и смещена относительно последней на расстояние 1. По проводу течет постоянный ток плотности j. Пренебрегая влиянием вещества провода, найти индукцию магнитного поля внутри полости.
2.248. Найти плотность тока как функцию расстояния $r$ от оси аксиально-симметричного параллельного потока электронов, если индукция магнитного поля внутри потока $B=b r^{\alpha}$, где $b$ и $\alpha$ – положительные постоянные.
2.249. Однослойный соленоид имеет длину $l$, радиус сечения $R$ и число витков на единицу длины $n$. Найти индукцию магнитного поля в центре соленоида, если ток в обмотке равен $I$.
2.250. Длинный соленоид имеет радиус сечения $R$ и $n$ витков на единицу длины. По нему течет постоянный ток $\boldsymbol{I}$. Найти индукцию магнитного поля на оси как функцию координаты $x$, отсчитываемой вдоль оси соленоида от его торца. Изобразить примерный график зависимости индукции $\boldsymbol{B}$ от отношения $x / R$.
2.251. Обмоткой длинного соленоида с радиусом сечения $R=2,5$ см служит тонкая лента-проводник ширины $h=5,0$ см, намотанная в один слой практически вплотную. По ленте течет ток $I=5,0 \mathrm{~A}$. Найти индукцию магнитного поля внутри и вне соленоида как функцию расстояния $r$ от его оси.
2.252. На деревянный тороид малого поперечного сечения намотано равномерно $N=2,5 \cdot 10^{3}$ витков провода, по которому течет ток I. Найти отношение $\eta$ магнитной индукции внутри тороида к индукции в его центре.
2.253. Ток $I=10$ А течет по длинному прямому проводнику круглого сечения. Пренебрегая влиянием вещества проводника, найти магнитный поток через одну из половин осевого сечения проводника в расчете на единицу его длины.
2.254. Имеется длинной соленоид с током I. Площадь его поперечного сечения $S$, число витков на единицу длины $n$. Найти магнитный поток через торец соленоида.
2.255. На рис. 2.74 показан кольцевой соленоид прямоугольного сечения. Найти магнитный поток через это сечения, если ток в обмотке $I=1,7 \mathrm{~A}$, полное число витков $N=1000$, отношение внешнего диаметра к внутреннему $\eta=1,6$ и толщина $h=5,0$ см.
2.256. Найти магнитный момент тонкого кругового витка с током, если радиус витка $R=$ $=100$ мм и индукция магнитного поля в его центре $\boldsymbol{B}=$ $=6,0 \mathrm{MK}$ Тл .
2.257. Вычислить магнитный момент тонкого проводника $c$ током $I=0,8 \mathrm{~A}$, плотно навитого на половину тора (рис. 2.75). Диаметр сечения тора $d=5,0 \mathrm{~cm}$, число витков $N=\mathbf{5 0 0}$.
2.258. Тонкий провод (с изоляцией) образует плоскую спираль из $N=100$ плотно расположенных витков, по которым течет ток $I=8$ мA. Радиусы внутреннего и внешнего витков (рис. 2.76) равны $a=50 \mathrm{mM}, b=$ $=100$ мм. Найти:
a) индукцию $B$ магнитного поля в центре спирали;
б) магнитный момент спира-
Рис. 2.76 ли при данном токе.
2.259. Равномерно заряженное зарядом $q$ тонкое непроводящее кольцо массы $m$ вращается с большой угловой скоростью вокруг своей оси во внешнем однородном магнитном поле с индукцией $B$. Найти угловую скорость прецессии $\omega^{\prime}$, если ось кольца составляет некоторый угол с вектором В.
2.260. Непроводящий тонкий диск радиуса $R$, равномерно заряженный с одной стороны с поверхностной плотностью $\sigma$, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$. Найти:
a) индукцию магнитного поля в центре диска;
б) магнитный момент диска.
2.261. Непроводящая сфера радиуса $R=50$ мм, заряженная равномерно с поверхностной плотностью $\sigma=10,0 \mathrm{mKK \pi / \textrm {M } ^ { 2 }}$, вращается с угловой скоростью $\omega=70$ рад/с вокруг оси, проходящей через ее центр. Найти магнитную индукцию в центре сферы.
2.262. Заряд $q$ равномерно распределен по объему однородного шара массы $m$ и радиуса $R$, который вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с угловой скоростью $\omega$. Найти соответствующий магнитный момент и его отношение к механическому моменту.
2.263. Длинный диэлектрический цилиндр радиуса $R$ статически поляризован так, что во всех его точках поляризованность $\mathbf{P} \sim \mathbf{r}$, где $\mathbf{r}$ – расстояние от оси. Цилиндр привели во вращение вокруг его оси с угловой скоростью $\omega$. Найти индукцию магнитного поля на оси цилиндра.
2.264. Два протона движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью $v=300 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$. Найти отношение сил магнитного и электрического взаимодействия данных протонов.
2.265. Найти модуль и направление силы, действующей на единицу длины тонкого проводника с током $I=8,0 \mathrm{~A}$ в точке $O$, если проводник изогнут, как показано:
a) на рис. 2.77 , и радиус закругления $R=10$ см;
б) на рис. 2.78 , и расстояние между длинными параллельными друг другу участками проводника $l=20 \mathrm{~cm}$.
2.266. Два длинных прямых взаимно перРис. 2.78 пендикулярных провода отстоят друг от друга на расстояние $a$. В каждом проводе течет ток I. Найти максимальное значение силы Ампера на единицу длины провода в этой системе.
2.267. Катушку с током $I=10 \mathrm{~mA}$ поместили в однородное магнитное поле так, что ее ось совпала с направлением поля. Обмотка катушки однослойная из медного провода диаметром $d=0,10$ мм, радиус витков $R=30 \mathrm{mм}$. При каком значении индукции внешнего поля обмотка катушки может быть разорвана?
2.268. Соленоид с током I и числом витков $n$ на единицу длины находится в аксиально-симметричном магнитном поле, ось симметрии которого совпадает с осью соленоида. Найти модуль силы, действующей на соленоид, если магнитные потоки, входяций и выходящей через торцы соленоида, равны $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$.
2.269. Имеется длинный соленоид, у которого радиус $R=30$ мм и число витков на единицу длины $n=20 \mathrm{~cm}^{-1}$. С какой магнитной силой одна половина этого соленоида действует на другую половину, если ток в соленоиде $I=1,3 \mathrm{~A}$ ?
2.270. Медный провод сечением $S=$ $=2,5 \mathrm{~mm}^{2}$, согнутый в виде трех сторон квадрата, может поворачиваться вокруг горизонтальной оси $O O^{\prime}$ (рис. 2.79). Провод находится в однородном вертикально направленном магнитном поле. Найти индукцию поля, если при пропускании по данному проводу тока $I=16 \mathrm{~A}$ угол отклонения ט $=20^{\circ}$.
2.271. Замкнутый контур с током I находится в поле длинного прямого проводника с током $I_{0}$. Плоскость контура перпенРис. 2.79 дикулярна прямому проводнику. Найти момент сил Ампера, действующих на замкнутый контур, если он имеет вид:
a) как на рис. 2.80 ; б) как на рис. 2.81 .
Необходимые размеры системы указаны на рисунке.
Pис. 2.80
Рис. 2.81
2.272. Укрепленную на конце коромысла весов небольшую катушку $\boldsymbol{K}$ с числом витков $N=\mathbf{2 0 0}$ поместили в зазор между полюсами магнита (рис. 2.82). Площадь сечения катушки $S=1,0 \mathrm{~cm}^{2}$, длина плеча $O A$ коромысла $l=30 \mathrm{cм}$. В отсутствие тока через катушку весы уравновешены. После того как через катущку пустили ток $I=22 \mathrm{~mA}$, для восстановления равновесия пришлось изменить груз на чаше весов на $\Delta m=60$ мг. Найти индукРис. 2.82 цию магнитного поля в месте нахождения катушки.
2.273. Квадратная рамка с током $I=0,90 \mathrm{~A}$ располюжена в одной плоскости с длинным прямым проводником, по которому течет ток $I_{0}=5,0 \mathrm{~A}$. Сторона рамки $a=8,0 \mathrm{~cm}$. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстояние, которое в $\eta=1,5$ раза больше стороны рамки. Найти:
a) амперову силу, действующую на рамку;
б) механическую работу, которую нужно совершить при медленном повороте рамки вокруг ее оси на $180^{\circ}$.
2.274. Два параллельных длинных провода с током $I=6,0 \mathrm{~A}$ в каждом (токи направлены в одну сторону) удалили друг от друга так, что расстояние между ними стало в $\eta=2,0$ раза больше первоначального. Какую работу на единицу длины проводов совершили при этом силы Ампера?
2.275. Два длинных параллельных провода с пренебрежимо малым сопротивлением с одного конца замкнуты на сопротивление $R$, а с другого конца подключены к источнику постоянного напряжения. Расстояние между осями проводов в $\eta=20$ раз болыше радиуса сечения каждого провода. При каком $R$ сила взаимодействия между проводами обратится в нуль?
2.276. Постоянный ток $I=14$ А течет по длинному прямому проводнику, сечение которого имеет форму тонкого полукольца радиуса $R=5,0 \mathrm{~cm}$. Такой же ток течет в противоположном направлении по тонкому проводнику, расположенному на \”оси\” первого проводника (точка $O$ на рис. 2.64). Найти силу магнитного взаимодействия данных проводников на единицу их длины.
2.277. Внутри длинного цилиндрического сосуда радиуса $a$ параллельно его оси расположен проводящий стержень радиуса b с тонкой изоляцией. Расстояние между осями стержня и сосуда равно $l$. Сосуд заполнили электролитом и пустили вдоль оси ток I, возвращающийся обратно по стержню. Найти модуль и направление магнитной силы, действующей на единицу длины стержня.
2.278. По двум длинным тонким параллельным проводникам, вид которых показан на рис. 2.83 , текут постоянные токи $I_{1}$ и $I_{2}$. Расстояние между проводниками $a$, ширина правого проводника $b$. Имея в виду, что оба проводника лежат в одной плоскости, найти силу магнитного взаимодействия между ними в расчете на единицу их длины.
2.279. Система состоит из двух параллель-
Рис. 2.83 ных друг другу плоскостей с токами, которые создают между плоскостями однородное магнитное поле с индукцией $\boldsymbol{B}$. Вне этой области магнитное поле отсутствует. Найти магнитную силу, действуюцую на единицу поверхности каждой плоскости.
2.280. Проводяцую плоскость с током поместили во внешнее однородное магнитное поле. В результате индукция магнитного поля с одной стороны плоскости оказалась $B_{1}$, а с другой стороны $\boldsymbol{B}_{2}$. Найти магнитную силу, действующую на единицу поверхности плоскости в случаях, показанных на рис. 2.84. Выяснить, куда направлен ток в плоскости в каждом случае.
Рис.2.84
2.281. В электромагнитном наcoce для перекачки расплавленного металла участок трубы с металлом находится в однородном магнитном поле с индукцией B (рис. 2.85). Через этот участок трубы в перпендикулярном вектору В и оси трубы направлении пропускают равномерно распределенный ток I. Найти избыточ-
Рис. 2.85
ное давление, создаваемое насосом при $B=0,10 \mathrm{Tл}, I=100 \mathrm{~A}$ и $a=2,0 \mathrm{cм}$.
2.282. Вдоль длинного тонкостенного круглого цилиндра радиуса $R=5,0$ см течет ток $I=50 \mathrm{~A}$. Какое давление испытывают стенки цилиндра?
2.283. Какое давление испытывает боковая поверхность длинного прямого соленоида, содержащего $n=20$ виток/см, когда по нему течет ток $I=20 \mathrm{~A}$ ?
2.284. Ток $I$ течет по длинному однослойному соленоиду, радиус сечения которого $R=5,5 \mathrm{~cm}$. Число витков на единицу длины соленоида $n=15 \mathrm{~cm}^{-1}$. Найти предельную силу тока, при которой может наступить разрыв обмотки, если предельная нагрузка на разрыв проволоки обмотки $F_{\text {пр }}=100 \mathrm{H}$.
2.285. Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого $S$ и расстояние между ними $d$, поместили в поток проводящей жидкости с удельным сопротивлением $\rho$. Жидкость движется со скоростью $v$ параллельно пластинам. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией $\boldsymbol{B}$, причем вектор В параллелен пластинам и перпендикулярен направлению потока. Пластины конденсатора замкнули на внешнее сопротивление $R$. Какая мощность $P$ выделяется на этом сопротивлении? При каком $R$ мощность $P$ максимальна? Чему равна $P_{\text {махс }}$ ?
2.286. Вдоль медного прямого проводника радиуса $R=5,0$ мм течет ток $I=50 \mathrm{~A}$. Найти разность потенциалов между осью проводника и его поверхностью. Концентрация электронов проводимости у меди $n=0,9 \cdot 10^{23} \mathrm{~cm}^{-3}$.
2.287. При измерении эффекта Холла в натриевом проводнике напряженность поперечного поля оказалась $E=5,0 \mathrm{mkB} / \mathrm{cm}$ при плотности тока $j=200 \mathrm{~A} / \mathrm{cm}^{2}$ и индукции магнитного поля $B=1,00$ Тл. Найти концентрацию электронов проводимости и ее отношение к концентрации атомов в данном проводнике.
2.288. Найти подвижность электронов проводимости в медном проводнике, если при измерении эффекта Холла в магнитном поле с индукцией $B=100$ мТл напряженность поперечного электрического поля у данного проводника оказалась в $\eta=3,1 \cdot 10^{3}$ раз меньше напряженности продольного электрического поля.
2.289. Неболышой виток с током находится на расстоянии $r$ от длинного прямого проводника с током I. Магнитный момент витка равен $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$. Найти модуль и направление силы, действующей на виток, если вектор $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$ :
a) параллелен прямому проводнику;
б) направлен по радиусу-вектору $\mathbf{r}$;
в) совпадает по направлению с магнитным полем тока $I$ в месте расположения витка.
2.290. Небольшая катушка с током, имеющая магнитный номент $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$, находится на оси кругового витка радиуса $R$, по которому течет ток I. Найти модуль силы, действующей на катушку, если ее расстояние от центра витка равно $x$, а вектор $\mathbf{p}_{\mathrm{m}}$ совпадает по направлению с осью витка.
2.291. Найти силу взаимодействия двух катушек с магнитными моментами $p_{1 \mathrm{~m}}=4,0 \mathrm{MA} \cdot \mathrm{m}^{2}$ и $p_{2 \mathrm{~m}}=6,0 \mathrm{MA} \cdot \mathrm{m}^{2}$, если их оси лежат на одной прямой и расстояние между катушками $l=20$ см значительно превышает их линейные размеры.
2.292. Постоянный магнит имеет форму достаточно тонкого диска, намагниченного вдоль его оси. Радиус диска $R=1,0$ см. Оценить значение молекулярного тока $I^{\prime}$, текущего по ободу диска, если индукция магнитного поля на оси диска в точке, отстоящей на $x=10 \mathrm{~cm}$ от центра, составляет $B=30$ мкТл.
2.293. Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской поверхности однородного изотропного магнетика равна $B$, причем вектор В составляет угол $\alpha$ с нормалью к поверхности. Магнитная проницаемость магнетика $\mu$. Найти индукцию $B^{\prime}$ магнитного поля в магнетике вблизи поверхности.
2.294. Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской поверхности магнетика равна $B$, и вектор В составляет угол с нормалью п к поверхности (рис. 2.86). Магнитная проницаемость магнетика $\mu$. Найти:
Рис. 2.86
a) поток вектора $\mathbf{H}$ через поверхность сферы $S$ радиуса $R$, центр которой лежит на поверхности магнетика;
б) циркуляцию вектора В по квадратному контуру $\Gamma$ со стороной $l$, расположенному, как показано на рисунке.
2.295. Постоянный ток $I$ течет вдоль длинного цилиндрического провода круглого сечения. Провод сделан из парамагнетика с восприимчивостью $\chi$. Найти:
a) поверхностный молекулярный ток $I_{\text {nоз }}^{\text {; }}$;
б) объемный молекулярный ток $I_{\text {об }}^{\prime}$.
Как эти точки направлены друг относительно друга?
2.296. Длинный соленоид заполнен неоднородным парамагнетиком, восприимчивость которого зависит только от расстояния $r$ до оси соленоида как $\chi=a r^{2}$, где $a$ – постоянная. На оси соленоида индукция магнитного поля равна $B_{0}$. Найти зависимость от $r$ :
a) намагниченности магнетика $J(r)$;
б) плотности молекулярного тока $j^{\prime}(r)$ в магнетике.
2.297. Длинный соленоид с током наполовину заполнен парамагнетиком (рис. 2.87). Изобразить примерные графики
Рис. 2.87 индукции $B$, напряжснности $H$ и намагниченности $J$ на оси соленоида в зависимости от $\boldsymbol{x}$.
2.298. Прямой бесконечно длинный проводник с током $I$ лежит в плоскости раздела двух непроводящих сред с магнитными проницаемостями $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$. Найти индукцию $B$ магнитного поля во всем пространстве в зависимости от расстояния $r$ до провода. Известно, что линии В являются окружностями с центром на оси проводника.
2.299. Круговой контур с током лежит на плоской поверхности магнетика с проницаемостью $\mu$. Найти индукцию В магнитного поля в некоторой точке на оси контура, если в отсутствие магнетика индукция в этой точке равна $\mathbf{B}_{0}$. Обобщить полученный результат на все поле.
2.300. Известно, что внутри шара, намагниченного однородно и статически, напряженность магнитного поля $\mathbf{H}^{\prime}=-\mathbf{J} / 3$, где J – намагниченность. Имея в виду это соотношение, найти индукцию магнитного поля в шаре из однородного магнетика с проницаемостью $\mu$, помещенного во внешнее однородное магнитное поле с индукцией $\mathbf{B}_{0}$ (при этом шар намагнитится однородно).
2.301. Имеется бесконечная пластина из однородного ферромагнетика с намагниченностью J. Найти векторы В и Н внутри и вне пластины, если вектор $\mathbf{J}$ направлен относительно поверхности пластины:
a) перпендикулярно; б) параллельно.
2.302. На постоянный магнит, имеющий форму тонкого цилиндра длины $l=15 \mathrm{~cm}$, намотали равномерно $N=300$ витков провода. При пропускании по нему тока $I=3,0 \mathrm{~A}$ поле вне магнита исчезло. Найти коэрцитивную силу $\boldsymbol{H}_{0}$ материала магнита.
2.303. Постоянный магнит имеет вид кольца с узким зазором между полюсами. Средний диаметр кольца $d=20 \mathrm{~cm}$. Ширина зазора $b=2,0 \mathrm{mм}$, индукция магнитного поля в зазоре $B=$ $=40$ мТл. Пренебрегая рассеянием магнитного поля на краях зазора, найти модуль напряженности магнитного поля внутри магнита,
2.304. Постоянный магнит имеет вид кольца с узким поперечным зазором ширины $b=2,5$ мм. Средний радиус кольца $a=5,0 \mathrm{cм}$. Остаточная намагниченность материала магнита $J_{r}=1000 \mathrm{kA} / \mathrm{M}$, его коэрцитивная сила $H_{c}=25 \mathrm{kA} / \mathrm{M}$. Считая, что зависимость $J(H)$ на участке от $\boldsymbol{H}_{c}$ до нуля (рис. 2.88) является линейной и рассеяния магнитного поля на краях зазора нет, найти индукцию магнитного поля в зазоре.
2.305. На железном сердечнике в виде тора со средним радиусом $R=250 \mathrm{mм}$
Рис. 2.88 имеется обмотка с числом витков $N=$ $=1000$. В сердечнике сделана поперечная прорезь ширины $b=1,00$ мм. При токе $I=0,85$ А через обмотку индукция магнитного поля в зазоре $B=0,75$ Тл. Пренебрегая рассеянием магнитного поля на краях зазора, найти магнитную проницаемость железа в этих условиях.
2.306. На рис. 2.89 показана основная кривая намагничивания технически чистого железа. Построить с помоцью этого графика кривую зависимости магнитной проницаемости $\mu$ от напряженности $H$ магнитного поля. При каком значении $H \mu$ максимально? Чему равно $\mu_{\text {макс }}$ ?
2.307. Тонкое железное кольцо со средним диамстром $d=50 \mathrm{~cm}$ несет на себе обмотку из $N=800$ витков с током $I=3,0 \mathrm{~A}$. В кольце имеется поперечная прорезь ширины $b=2,0$ мм. Пренебрегая рассеянием магнитного поля на краях зазора, найти с помощью рис. 2.89 магнитную проницаемость железа в этих условиях.
Рис. 2.89
2.308. Длинный тонкий стержень из парамагнетика с восприимчивостью $\chi$ и площадью понеречного сечения $S$ расположен вдоль оси катушки с током. Один конец стержня находится в центре катушки, где индукция магнитного поля равна $\boldsymbol{B}$, а другой конец – в области, где магнитное поле практически отсутствует. С какой силой катушка действует на стержень?
2.309. В установке (рис. 2.90) измеряют с помощью весов силу, с которой парамагнитный шарик объема $V=41 \mathbf{m}^{3}$ притягивается к полюсу электромагнита $M$. Индукция магнитного поля на оси полюсного наконечника зависит от высоты $\boldsymbol{x}$ как $B=B_{0} \exp \left(-a x^{2}\right)$, где $B_{0}=1,50 \mathrm{Tл}, a=100 \mathrm{M}^{-2}$. Найти:
a) на какой высоте $x_{m}$ надо поместить
Рис. 2.90 шарик, чтобы сила притяжения была максимальной;
б) магнитную восприимчивость парамагнетика, если максимальная сила притяжения $F_{\text {махс }}=160$ мкн.
2.310. Небольшой шарик объема $V$ из парамагнетика с магнитной восприимчивостью $\chi$ медленно переместили вдоль оси катушки с током из точки, где индукция магнитного поля равна $B$, в область, где магнитное поле практически отсутствует. Какую при этом совершили работу против магнитных сил?
2.311. Длинный прямой соленоид, содержащий $n$ витков на единицу длины, погрузили наполовину в парамагнитную жидкость (рис. 2.91). Найти магнитную силу, действующую на единицу поверхности жидкости, если ее магнитная восприимчивость равна $\chi$ и через соленоид течет ток I. Куда эта сила направлена?
2312. Круговой виток радиуса $a$ с
Рис. 2.91
током $I$ расположен параллельно плоской поверхности сверхпроводника на расстоянии $l$ от него. Найти с помощью метода зеркальных изображений магнитную индукцию в центре витка.
2.313. Тонкий прямой провод с током $I$ расположен над плоской поверхностью сверхпроводника на расстоянии $h$ от последнего. Найти с помощью метода зеркальных изображений:
a) линейную плотность тока на поверхности сверхироводника как функцию расстояния $r$ от провода;
б) магнитную силу, действующую на единицу длины провода.
