Распределения Максвелла и Больцмана
– Число ударов молекул газа о единицу поверхности стенки за единицу времени:
\[
v=(1 / 4) n\langle v\rangle,
\]

где $n$ – концентрация молекул, $\langle\boldsymbol{v}\rangle$ – их средняя скорость.
– Уравнение состояния идеального газа:
\[
p=n k T \text {. }
\]
– Средняя энергия молекул:
\[
\langle\varepsilon\rangle=i k T / 2,
\]

где $i=n_{\text {вост }}+n_{\text {мр }}+2 n_{\text {тол }}$.
– Функции распределения Максвелла:
\[
\begin{array}{c}
\varphi\left(v_{x}\right)=(m / 2 \pi k T)^{1 / 2} \exp \left(-m v_{x} / 2 k T\right), \\
f(v)=(m / 2 \pi k T)^{3 / 2} \exp \left(-m v^{2} / 2 k T\right), \\
F(v)=4 \pi(m / 2 \pi k T)^{3 / 2} v^{2} \exp \left(-m v^{2} / 2 k T\right) .
\end{array}
\]
– Наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости молекул:
\[
v_{\text {sep }}=\sqrt{2 \frac{k T}{m}}, \quad\langle v\rangle=\sqrt{\frac{8}{\pi} \frac{k T}{m}}, \quad
u_{\mathrm{Es}}=\sqrt{2 \frac{k T}{m}} .
\]
– Распределение Больмана:
\[
n=n_{0} \mathrm{e}^{-U / k T},
\]

где $\boldsymbol{U}$ – потенциальная энергия молекулы во внешнем поле.
– Распределение Больцмана в случае дискретных уровней:
\[
\frac{N_{2}}{N_{1}}=\frac{g_{2}}{g_{1}} \exp \left(-\frac{E_{2}-E_{1}}{k T}\right),
\]

где $g_{1}$ и $g_{2}$ – кратности вырождения соответствующих уровней.

– Средняя энергия квантового гармонического осциллятора:
\[
\langle E\rangle=\frac{\hbar \omega}{2}+\frac{\hbar \omega}{e^{2 \omega / k T}-1} .
\]
6.66. Современные вакуумные насосы позволяют получать давления до $p=4 \cdot 10^{-10}$ Па (при комнатной температуре). Найти число молекул газа в $1 \mathrm{~cm}^{3}$ и среднее расстояние между ними при этом давлении.
6.67. В сосуде объемом $V=5,0 \pi$ находится азот массы $m=1,40 \mathrm{r}$ при $T=1800 \mathrm{~K}$. Найти давление газа, если при этой температуре $\eta=30 \%$ молекул диссоциировано на атомы.
6.68. Плотность смеси гелия и азота при нормальных условиях $\rho=0,60 \mathrm{r} /$ л. Найти концентрацию атомов гелия.
6.69. Найти число степеней свободы молекулы газа, если при нормальных условиях плотность газа $\rho=1,3 \mathrm{mr} / \mathrm{cm}^{3}$ и скорость распространения звука в нем $v=330 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
6.70. Определить отношение скорости звука в газе к средней квадратичной скорости молекул газа, если молекулы:
а) одноатомные; б) жесткие двухатомные.
6.71. Найти приращение внутренней энергии 16 г водорода при увеличении его температуры от 70 до 300 К. Иметь в виду, что при этом происходит \”размораживание\” вращательных степеней свободы.
6.72. Пусть идеальный газ нагрет до температуры, при которой у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные). Найти молярную теплоемкость такого газа при изохорическом процессе, а также показатель адиабаты $\gamma$, если газ состоит из $N$-атомных молекул:
a) линейных; б) нелинейных.
6.73. Идеальный газ из $N$-атомных молекул расширяют изобарически. Считая, что у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные), найти, какая доля теплоты, сообщаемая газу в этом процессе, расходуется на работу расширения.
6.74. Найти число атомов в молекуле газа, у которого при \”замораживании\” колебательных степеней свободы постоянная $\gamma$ увеличивается в $\eta=1,20$ раза.
6.75. Найти молярную массу и число степеней свободы молекул идеального газа, если известны его удельные теплоем-
6.76. Найти число степеней свободы молекул идеального газа, молярная теплоемкость которого
a) при постоянном давлении $C_{p}=29$ Дж/(моль$\cdot$К);
б) в процессе $p T=$ const равна $C=29$ Дж/(моль$\cdot$К).
6.77. Вычислить показатель адиабаты $\gamma$ для смеси, состоящей из $v_{1}$ молей одноатомного газа и $v_{2}$ молей двухатомного газа из жестких молекул.
6.78. Молекулы идеального газа, у которого $\gamma=1,40$ и давление $p=100 \mathrm{xIa}$, имеют среднюю энергию $\langle\varepsilon\rangle=2,5 \cdot 10^{-20}$ Дж. Найти число молекул в единице объема.
6.79. Сосуд с газом из жестких двухатомных молекул движется со скоростью $v=20 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Молярная масса газа $\boldsymbol{M}=32$ г/моль. Найти прирацение температуры газа после внезапной остановки сосуда.
6.80. Вычислить при температуре $t=17^{\circ} \mathrm{C}$ :
a) среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы $\mathrm{O}_{2}$;
б) среднюю квадратичную скорость капельки воды диаметра $d=0,10$ мкм, взвешенной в воздухе.
6.81. Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состояций из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в $\eta=1,50$ раза?
6.82. Азот массы $m=15 \mathrm{r}$ находится в закрытом сосуде при $T=300 \mathrm{~K}$. Какое количество теплоты необходимо сообщить азоту, чтобы средняя квадратичная скорость его молекул возросла в $\eta=2,0$ раза?
6.83. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, находится при $T=300 \mathrm{~K}$. Вычислить среднюю квадратичную угловую скорость вращения молекулы, если ее момент инерции $I=2,1 \cdot 10^{-39} \mathrm{r} \cdot \mathrm{cm}^{2}$.
6.84. Газ из жестких двухатомных молекул, находившийся при нормальных условиях, адиабатически сжали в $\eta=\mathbf{5 , 0}$ раз по объему. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекулы в конечном состоянии.
6.85. Во сколько раз изменится число ударов жестких двухатомных молекул газа о поверхность стенки в единицу времени, если газ адиабатически расширить в $\eta$ раз?
6.86. Объем газа, состоящего из жестких двухатомных молекул, увеличили в $\eta=2,0$ раза по политропе с молярной теплоемкостью $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{R}$. Во сколько раз изменилась при этом частота ударов молекул о стенку сосуда?
6.87. Газ из жестких двухатомных молекул расширили политропически так, что частота ударов молекул о стенку сосуда не изменилась. Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе.
6.88. Найти для газообразного азота при $T=300 \mathrm{~K}$ отношение числа молекул с компонентами скорости вдоль оси $\boldsymbol{x}$ интервале $300 \pm 0,31 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ к числу молекул с компонентами скорости вдоль той же оси в интервале $500 \pm 0,51$ м/с.
6.89. Найти вероятность того, что при $T=300 \mathrm{~K}$ молекулы азота имеют компоненты скорости вдоль осей $x, y, z$ соответственно в интервале $300 \pm 0,30,400 \pm 0,40$ и $500 \pm 0,50 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
6.90. Определить относительное число молекул, компоненты скорости которых вдоль оси $x$ находятся в интервале ( $v_{x}, v_{x}+$ $+\delta v_{x}$ ), а модули перпендикулярной составляющей скорости в интервале $\left(v_{\perp}, v_{\perp}+\delta v_{\perp}\right)$. Масса каждой молекулы $m$, температура газа $T$.
6.91. Газ, состоящий из молекул массы $m$, находится при температуре $T$. Найти относительное число молекул, у которых модули составляющих скорости, перпендикулярных некоторому направлению, лежат в интервале ( $\left.v_{+}, v_{+}+\delta v_{\perp}\right)$.
6.92. Получить с помощью (6.3е) функцию распределения Максвелла в \”приведенном\” виде $F(u)$, где $u=v / v_{\text {sор }}$, $v_{\text {вер }}$ – наиболее вероятная скорость.
693. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднюю квадратичную скорости молекул газа, у которого при нормальном атмосферном давлении плотность $\rho=1,00$ г/л.
6.94. Найти относительное число молекул газа, скорости которых отличаются не более чем на $\delta \eta=1,00 \%$ от:
a) наиболее вероятной скорости;
б) средней квадратичной скорости.
6.95. Определить температуру газа, для которой:
a) средняя квадратичная скорость молекул водорода болыше их наиболее вероятной скорости на $\Delta v=400 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$;
б) функция распределения молекул кислорода по скоростям $F(v)$ будет иметь максимум при скорости $v=420 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
6.96. Найти температуру газообразного азота, при которой скоростям молекул $v_{1}=300 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ и $v_{2}=600 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ соответствуют одинаковые значения функции распределения $F(v)$.
6.97. При изменении температуры идеального газа максимум функции распределения $F(v)$ уменьшился в $\eta$ раз. Как и во сколько раз изменилась температура $T$ газа?
6.98. Определить скорость $v$ молекул азота, при которой значение функции $F(v)$ для температуры $T_{0}$ будет таким же, как и для температуры, в $\eta$ раз большей.
6.99. При какой температуре газа, состоящего из смеси азота и кислорода, наиболее вероятные скорости молекул азота и кислорода будут отличаться друг от друга на $\Delta v=30 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
6.100. Смесь водорода и гелия находится при $T=300 \mathrm{~K}$. При какой скорости $v$ молекул значения функции $F(v)$ будут одинаковыми для обоих газов?
6.101. Идеальный газ состоит из молекул, масса каждой из которых равна $m$. При какой температуре этого газа число молекул со скоростями в заданном малом интервале ( $v, v+\delta v$ ) будет максимально? Найти наиболее вероятную скорость молекул, соответствующую такой температуре.
6.102. Найти среднюю проекцию скорости $\left\langle v_{x}\right\rangle$ и $\left\langle\left|v_{x}\right|\right\rangle$, если масса каждой молекулы $\boldsymbol{m}$ и температура газа $T$.
6.103. Определить $\left\langle v_{x}^{2}\right\rangle$ – среднее значение квадрата проекции $v_{x}$ скорости молекул газа при температуре $T$. Масса каждой молекулы равна $m$.
6.104. Вычислить с помощью функции $\varphi\left(v_{x}\right)$ число $v$ молекул газа, падающих в единицу времени на единичную площадку, если концентрация молекул $n$, температура газа $T$ и масса каждой молекулы $m$.
6.105. Определить с помощью функции $\varphi\left(v_{x}\right)$ давление газа на стенку, если температура газа $T$ и концентрация молекул $n$.
6.106. Найти $\langle 1 / v\rangle$ – среднее значение обратной скорости молекул идеального газа при температуре $T$, если масса каждой молекулы равна $m$. Сравнить полученную величину с обратной величиной средней скорости.
6.107. Идеальный газ, состояций из молекул массы $m$ с концентрацией $n$, имеет температуру $T$. Найти с помощью распределения Максвелла число молекул, падающих ежесекундно на единицу поверхности стенки под углами ( $\hat{v}, \hat{d} \hat{0}$ ) к ее нормали.
6.108. Исходя из условий предыдущей задачи, найти число молекул, падающих ежесекундно на единицу поверхности стенки со скоростями в интервале ( $v, v+d v)$.
6.109. Газ состоит из молекул массы $m$ и находится при температуре $T$. Найти с помощью функции $F(v)$ :
a) функцию распределения молекул по кинетическим энергиям $f(\boldsymbol{K})$; изобразить примерный график $f(\boldsymbol{K})$;
б) наиболее вероятную кинетическую энергию $K_{\text {вор }}$; соответствует ли $K_{\text {вор }}$ наиболее вероятной скорости?
6.110. Какая часть одноатомных молекул газа, находящегося в термодинамическом равновесии, имеет кинетическую энергию, отличающуюся от ее среднего значения не более чем на $\delta \eta=1,0 \%$ ?
6.111. Распределение молекул по скоростям в пучке, выходящем из небольшого отверстия в сосуде, описывается функцией $\mathscr{F}(v)=A v^{3} \exp \left(-m v^{2} / 2 k T\right)$, где $T$ – температура газа внутри сосуда. Найти наиболее вероятные значения:
a) скорости молекул в пучке; сравнить полученную величину с наиболее вероятной скоростью молекул в сосуде;
б) кинетической энергии молекул в пучке.
6.112. Газ из молекул водорода находится при температуре T. Найти:
a) функцию распределения молекул по дебройлевским длинам волн; изобразить примерный график этой функции;
б) наиболее вероятную дебройлевскую длину волны при $T=300 \mathrm{~K}$.
6.113. Газ состоит из атомов массы $m$, находящихся в термодинамическом равновесии при температуре $T$. Пусть $v_{0}$ – собственная частота излучаемого атомами света.
a) Показать, что спектральное распределение излучаемого света определяется формулой $I_{v}=I_{0} \exp \left[-a\left(1-v / v_{0}\right)^{2}\right]$, где $I_{0}-$ спектральная интенсивность, соответствующая частоте $v_{0}$, $a=m c^{2} / 2 k T$.
б) Найти относительную ширину $\Delta v / v_{0}$ данной спектральной линии, т.е. ширину линии на половине ее \”высоты\”.
6.114. Длина волны резонансной линии ртути $\lambda=253,65$ нм. Среднее время жизни атомов ртути в состоянии резонансного возбуждения $\tau=0,15$ мкс. Оценить отношение доплеровского уширения этой линии к ее естественной ширине при $T=300 \mathrm{~K}$.
6.115. Найти силу, действующую на частицу со стороны однородного поля, если концентрации этих частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на $\Delta h=30$ мм (вдоль поля), различаются в $\eta=2,0$ раза. Температура системы $T=280 \mathrm{~K}$.
6.116. При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено, что среднее число их в тонких слоях, расстояние между которыми $h=42$ мкм, отличается друг от друга в $\eta=2,0$ раза. Температура среды $T=290 \mathrm{~K}$. Диаметр частиц $d=0,40$ мкм, и их плотность на $\Delta \rho=0,20 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$ больше плотности окружающей жидкости. Найти по этим данным постоянную Больцмана.
6.117. Пусть $\eta_{0}$ – отношение концентрации молекул водорода к концентрации молекул азота вблизи поверхности Земли, а $\eta$ – то же отношение на высоте $h=3000$ м. Найти отношение $\eta / \eta_{0}$ при $T=280 \mathrm{~K}$, полагая, что температура и ускорение свободного падения не зависят от высоты.
6.118. В длинном вертикальном сосуде находится газ, состоящий из двух сортов молекул с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, причем $m_{2}>m_{1}$. Концентрации этих молекул у дна сосуда равны соответственно $n_{1}$ и $n_{2}$, причем $n_{2}>n_{1}$. Считая, что по всей высоте поддерживается одна и та же температура $T$ и ускорение свободного падения равно $\boldsymbol{g}$, найти высоту $h$, на которой концентрации этих сортов молекул одинаковы.
6.119. В очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде находится углекислый газ при некоторой температуре $T$. Считая поле тяжести однородным, найти, как изменится давление газа на дно сосуда, если температуру газа увеличить в $\eta$ раз.
6.120. Азот находится в очень высоком сосуде в однородном поле тяжести при температуре $T$. Температуру увеличили в $\eta$ раз. На какой высоте $h$ концентрация молекул осталась прежней?
6.121. Газ находится в очень высоком цилиндрическом сосуде при температуре $T$. Считая поле тяжести однородным, найти среднее значение потенциальной энергии молекул газа. Как зависит эта величина от того, состоит ли газ из одного сорта молекул или из нескольких сортов?
6.122. Закрытую с торцов горизонтальную трубку длины $l=100$ см перемещают с ускорением $a$, направленным вдоль ее оси. Внутри трубки находится аргон при $T=330 \mathrm{~K}$. При каком значении $a$ концентрации аргона вблизи торцов трубки будут отличаться друг от друга на $\eta=1,0 \%$ ?
6.123. Найти массу моля коллоидных частиц, если при вращении центрифуги с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси концентрация этих частиц на расстоянии $r_{2}$ от оси вращения в $\eta$ раз больше, чем на расстоянии $r_{1}$ (в одной горизонтальной плоскости). Плотности частиц и растворителя равны соответственно $\rho$ и $\rho_{0}$.
6.124. Горизонтально расположенную трубку с закрытыми торцами вращают с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее торцов. В трубке находится углекислый газ при $T=300 \mathrm{~K}$. Длина трубки $l=100$ см. Найти $\omega$, при котором отношение концентраций молекул у противоположных торцов трубки $\eta=\mathbf{2 , 0}$.
6.125. Потенциальная энергия молекул газа зависит от расстояния $r$ до центра поля как $U(r)=a r^{2}$, где $a$ – положительная постоянная. Температура газа $T$, концентрация молекул в центре поля $n_{0}$. Найти:
a) число молекул в слое $(r, r+d r)$;
б) наиболее вероятное расстояние молекул $r_{\text {sер }}$;
в) относительное число всех молекул в слое ( $r, r+d r)$;
г) во сколько раз изменится концентрация молекул в центре поля при уменьшении температуры в $\eta$ раз.
6.126. Исходя из условий предыдущей задачи, найти:
a) число молекул с потенциальной энергией ( $U, U+d U$ );
б) наиболее вероятное значение потенциальной энергии.
6.127. Идеальный газ из молекул массы $m$ находится в центральном поле, где потенциальная энергия молекул равна $U(r), r$ – расстояние от центра поля. Температура газа $T$, концентрация молекул в центре поля $n_{0}$. Найти число молекул в сферическом слое $(r, r+\delta r)$ со скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не более чем на $\delta \eta$-часть ( $\delta \eta \ll 1$ ).
6.128. Какая относительная часть атомов водорода находится в состоянии с главным квантовым числом $n=2$ при $T=3000 \mathrm{~K}$ ?
6.129. Определить отношение числа атомов газообразного натрия в состоянии $3 P$ к числу атомов в основном состоянии $3 S$ при $T=2400 \mathrm{~K}$. Переходу $3 P-3 S$ соответствует спектральная линия с $\lambda=589 \mathrm{mм}$.
6.130. Система состоит из $N$ частиц, которые могут находиться только в двух состояниях 1 и 2 с энергиями $E_{1}$ и $E_{2}$, причем $E_{2}>E_{1}$. Найти зависимость от температуры $T$ системы числа частиц в состоянии 2 и средней энергии частиц. Изобразить примерный вид графиков этих зависимостей.
6.131. Система состоит из $N$ атомов, которые могут находиться в двух невырожденных состояниях с разностью энергий $\Delta E$. Найти вклад этих состояний в теплоемкость данной системы как функцию температуры: $C_{V}(T)$. Упростить полученное выражение для случаев $k T \ll \Delta E$ и $k T \gg \Delta E$.
6.132. Атомарный литий с концентрацией $n=3,6 \cdot 10^{16} \mathrm{~cm}^{-3}$ находится при $T=1500 \mathrm{~K}$. При этом мощность излучения резонансной линии $\lambda=671$ нм $(2 P-2 S)$ в расчете на единицу объема газа $P=0,30 \mathrm{Br} / \mathrm{cm}^{3}$. Найти среднее время жизни атомов лития в состоянии резонансного возбуждения.
6.133. Найти отношение чисел молекул водорода на первых возбужденных колебательном и вращательном уровнях при $T=880 \mathrm{~K}$. Иметь в виду, что кратность вырождения вращательных уровней равна $2 J+1$.
6.134. Имея в виду, что кратность вырождения вращательных уровней $\boldsymbol{g}=2 \boldsymbol{J}+\mathbf{1}$, найти вращательное квантовое число $J_{m}$ наиболее заселенного вращательного уровня молекулы $\mathrm{O}_{2}$ при $T=300 \mathrm{~K}$. Изобразить примерный график зависимости заселенности вращательных уровней $N_{J} / N_{0}$ от $J$ при этой температуре.
6.135. Вывести формулу (6.3к), используя распределение Больцмана. Получить с помощью нее выражение для молярной колебательной теплоемкости $C_{V \text { хол }}$ двухатомного газа. Вычислить $C_{V \text { кол }}$ для газа, состоящего из молекул $\mathrm{Cl}_{2}$, при температуpe $300 \mathrm{~K}$.
6.136. Найти отношение интенсивностей фиолетового и красного спутников, ближайших к несмещенной линии в колебательном спектре комбинационного рассеяния света на молекулах $\mathrm{Cl}_{2}$ при температуре $300 \mathrm{~K}$. Во сколько раз изменится это отношение при увеличении температуры вдвое?