1.1. $v=l / 2 \tau=3,0 \mathrm{xm} / \mathrm{q}$.
1.2. Аналогично.
1.3. $\langle v\rangle=2 v_{0}\left(v_{1}+v_{2}\right) /\left(2 v_{0}+v_{1}+v_{2}\right)$.
1.4. а) $10 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$; б) $25 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$; в) $t_{0}=16 \mathrm{c}$.
1.5. $\left(r_{1}-r_{2}\right) /\left|r_{1}-r_{2}\right|=\left(v_{2}-v_{1}\right) /\left|v_{2}-v_{1}\right|$.
1.6. $v^{\prime}=\left(v_{0}^{2}+v^{2}+2 v_{0} v \cos \varphi\right)^{1 / 2} \approx 40 \mathrm{kM} / \mathrm{q}, \quad \varphi^{\prime}=19^{\circ}$.
1.7. $u=\frac{v_{0}^{\prime}}{1 / \sqrt{1-\left(v_{0} / v^{\prime}\right)^{2}}-1}=3,0 \mathrm{~km} / \mathrm{\eta}$.
1.8. $\tau_{A} / \tau_{B}=\eta / \sqrt{\eta^{2}-1}=1,8$.
1.9. $t=\arcsin (1 / n)+\pi / 2=120^{\circ}$.
1.10. $l=v_{0} t \sqrt{2(1-\sin \theta)}=22 \mathrm{M}$.
1.11. $l=\left(v_{1}+v_{2}\right) \sqrt{v_{1} v_{2}} / g=2,5 \mathrm{M}$.
1.12. $t=2 a / 3 v$.
1.13. Из рис. 1 видно, что скорость сближения точек $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ равна $v-u \cos \alpha$, где угол $\alpha$ зависит от времени. Для встречи точек необходимо, чтобы были выполнены два условия:
\[
\int_{0}^{\tau}(v-u \cos \alpha) d t=l, \int_{0}^{\tau} v \cos \alpha d t=u \tau,
\]

где $\tau$ – искомое время. Из этих двух выражений следует, что $\tau=v l /\left(v^{2}-u^{2}\right)$.
1.14. $x_{1}-x_{2}=l-a \tau(t+\tau / 2)=0,24 \mathrm{kM}$. Навстречу поезду со скоростью $V=4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.15. а) 0,7 с; б) соответственно 0,7 и $1,3 \mathrm{~m}$.
1.16. $t_{m}=\left(v_{1} l_{1}+v_{2} l_{2}\right) /\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right), \quad l_{\text {MвB口 }}=\left|l_{1} v_{2}-l_{2} v_{1}\right| / \sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}$.
1.17. $C D=l / \sqrt{\eta^{2}-1}$.
1.18. См. рис. 2 .
1.19. а) $\langle v\rangle=\pi R / \tau=50 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$; б) $|\langle\mathrm{v}\rangle|=2 R / \tau=32 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$; в) $|\langle\mathrm{a}\rangle|=2 \pi R / \tau^{2}=$ $=10 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$.
1.20. a) $\mathbf{v}=\mathbf{b}(1-2 \alpha t), \quad \mathbf{a}=-2 \alpha \mathrm{b}=$ const; б) $\Delta t=1 / \alpha, s=b / 2 \alpha$.
1.21. а) $x=v_{0} t(1-t / 2 \tau) ; 0,24,0$ и $-2,0 \mathrm{~m} ;$ б) $1,1,9$ и 11 с.
1.22. a) $v=\alpha^{2} t / 2, a=\alpha^{2} / 2$; б) $\langle v\rangle=(\alpha / 2) \sqrt{s}$.
1.23. $s=(2 / 3 \alpha) v_{0}^{3 / 2}, t=(2 / \alpha) \sqrt{v_{0}}$.
1.24. а) $y=\left(\beta / \alpha^{2}\right) x^{2}$; б) $v=\sqrt{\alpha^{2}+4 \beta^{2} t^{2}}, \alpha=2 \beta$; в) $\operatorname{tg} \varphi=\alpha / 2 \beta t$.
1.25. а) $s=A \omega \tau ;$ б) $\pi / 2$.
1.26. $v_{0}=\sqrt{ }\left(1+\alpha^{2}\right) a / 2 \beta$.
1.27. а) $\mathrm{r}=\mathrm{v}_{0} t+\mathrm{g} t^{2} / 2$; б) $\langle\mathrm{v}\rangle=\mathrm{v}_{0}+\mathrm{g} t / 2,\langle\mathrm{v}\rangle=\mathrm{v}_{0}-\mathrm{g}\left(\mathrm{v}_{0} \mathrm{~g}\right) / \mathrm{g}^{2}$.
Рис. 1
Рис. 2
1.28. а) $\tau=2\left(v_{0} / g\right) \sin \alpha$; б) $h=\left(v_{0}^{2} / 2 g\right) \sin ^{2} \alpha, l=\left(v_{0}^{2} / g\right) \sin 2 \alpha, \alpha=76^{\circ} ;$ в) $y=$ $=x \operatorname{tg} \alpha-\left(g / 2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha\right) x^{2}$.
1.29. а) $\cos \alpha=1 / \eta^{1 / 3}, \alpha=60^{\circ}$; б) $\operatorname{tg} \alpha=\sqrt{2}, \alpha=54,7^{\circ}$.
1.30. $l=8 h \sin \alpha$.
1.31. Через 0,41 или 0,71 мин в зависимости от начального угла.
1.32. $\Delta t=\frac{2 v_{0} \sin \left(\hat{t}_{1}-\hat{t}_{2}\right)}{g\left(\cos \hat{t}_{1}+\cos \hat{t}_{2}\right)}=11 \mathrm{c}$.
1.33. a) $x=\left(\alpha / 2 v_{0}\right) y^{2}$; б) $a_{\tau}=\alpha^{2} y / \sqrt{1+\left(\alpha y / v_{0}\right)^{2}}, a_{n}=\alpha v_{0} / \sqrt{1+\left(\alpha y / v_{0}\right)^{2}}$.
1.34. а) $y=(\beta / 2 \alpha) x^{2}$; б) $R=v^{2} / a_{n}=v^{2} / \sqrt{a^{2}-a_{\tau}^{2}}=(\alpha / \beta)\left[1+(x \beta / \alpha)^{2}\right]^{3 / 2}$.
1.35. $v=\sqrt{2 \alpha x}$.
1.36. $a=\alpha \sqrt{1+(4 \pi n)^{2}}=0,8 \mathrm{M} / \mathrm{c}^{2}$.
1.37. а) $v=v_{0} /\left(1+v_{0} t / R\right)=v_{0} \mathrm{e}^{-s / R}$; б) $a=\sqrt{2} v_{0}^{2} /\left(R \mathrm{e}^{2 s / R}\right)=\sqrt{2} v^{2} / R$.
1.38. $\operatorname{tg} \varphi=2 s / R$.
1.39. $a(0)=A^{2} \omega^{2} / R=2,6 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}, a(A)=A \omega^{2}=3,2 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$.
1.40. $a=\sqrt{4 \alpha^{2}+\left(9 \alpha^{4} / 16 \beta^{2} R\right)^{2}}$.
1.41. $R=\alpha^{3} / 2 \beta s, a=\alpha \sqrt{1+\left(4 \beta s^{2} / \alpha^{3}\right)^{2}}$.
1.42. a) $a=2 \alpha v^{2}, R=1 / 2 \alpha$; б) $a=\beta v^{2} / \alpha^{2}, R=\alpha^{2} / \beta$.
1.43. $v=2 R \omega=0,40 \mathrm{M} / \mathrm{c}, a=4 R \omega^{2}=0,32 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$.
1.44. $a=(v / t) \sqrt{1+4 \beta^{2} t^{4}}=0,7 \mathrm{M} / \mathrm{c}^{2}$.
1.45. $\omega=2 \pi n v / l=2,0 \cdot 10^{3} \mathrm{pan} / \mathrm{c}$.
1.46. $\omega=v / \sqrt{R^{2}-v t h / \pi}$.
1.47. $\langle\omega\rangle=2 a / 3=4 \mathrm{paz} / \mathrm{c},\langle\beta\rangle=\sqrt{3 a \bar{b}}=6 \mathrm{pan} / \mathrm{c}^{2}, \beta=2 \sqrt{3 a \bar{b}}=12 \mathrm{paz} / \mathrm{c}^{2}$.
1.48. $t=\sqrt[3]{(4 / \alpha) \operatorname{tg} \varphi}=7$ c.
1.49. $\langle\omega\rangle=\omega_{0} / 3$.
1.50. а) $\varphi=\left(1-\mathrm{e}^{-a t}\right) \omega_{0} / a$; б) $\omega=\omega_{0} \mathrm{e}^{-a t}$.
1.51. $\omega_{z}= \pm \sqrt{2 \beta_{0} \sin \varphi}$, см. рис. 3 .
1.52. а) $a_{A}=v^{2} / R=2,0 \mathrm{M} / \mathrm{c}^{2}$, вектор $a_{A}$ направлен все время к центру колеса; б) $s=8 R=4,0 \mathrm{M}$.
1.53. a) $v_{A}=2 a t=10 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}, \quad v_{B}=\sqrt{2} a t=7 \mathrm{~cm} / \mathrm{c} ; \quad$ б) $a_{A}=2 a \sqrt{1+\left(a t^{2} / 2 R\right)^{2}}=$ $=5,6 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}, a_{o}=a^{2} t^{2} / R=2,5 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$.
1.54. $R_{A}=4 r, R_{B}=r \sqrt{8}$.
1.55. $\omega=\sqrt{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}}=5 \mathrm{pan} / \mathrm{c}, \beta=\omega_{1} \omega_{2}=12 \mathrm{pan} / \mathrm{c}^{2}$.
Рис. 3
Рис. 4
1.56. $\cos \alpha=\left(a^{2}+\beta^{2}\right) / \beta \sqrt{3 a^{2}+\beta^{2}}$, отсюда $\alpha=19^{\circ}$.
1.57. а) $\omega=v / R \cos \alpha=2,3$ paz/c; б) $\beta=(v / R)^{2} \operatorname{tg} \alpha=2,3 \mathrm{pan} / \mathrm{c}^{2}$.
1.58. $\omega=\omega_{0} \sqrt{1+\left(\beta_{0} t / \omega_{0}\right)^{2}}=0,6 \mathrm{pan} / \mathrm{c}, \beta=\beta_{0} \sqrt{1+\omega_{0}^{2} t^{2}}=0,2 \mathrm{pan} / \mathrm{c}^{2}$.
1.59. Соответственно $-F_{0}$ и $-2 F_{0}$.
160. $\mathbf{F}=-m \omega^{2} \mathbf{r}$, где $\mathbf{r}$ – радиус-вектор частицы относительно начала координат; $F=m \omega^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}$.
1.61. $t=F_{\mathrm{mp}}\left(m_{1}+m_{2}\right) /\left(m_{1} \alpha_{2}+m_{2} \alpha_{1}\right)$.
1.62. $\Delta m=2 m a /(g+a)=10 \mathrm{kr}$.
1.63. $=\frac{m_{0}-k\left(m_{1}+m_{2}\right)}{m_{0}+m_{1}+m_{2}} \mathrm{~g}, \quad F=\frac{(1+k) m_{0}}{m_{0}+m_{1}+m_{2}} m_{2} g$.
1.64. а) $F=\frac{\left(k_{1}-k_{2}\right) m_{1} m_{2} g \cos \alpha}{m_{1}+m_{2}}$; б) $\operatorname{tg} \alpha<\frac{k_{1} m_{1}+k_{2} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$.
1.65. $k=\left[\left(\eta^{2}-1\right) /\left(\eta^{2}+1\right)\right] \operatorname{tg} \alpha=0,16$.
1.66. $k=[(\eta+1) /(\eta-1)] \operatorname{tg} \alpha=0,3$.
1.67. a) $m_{2} / m_{1}>\sin \alpha+k \cos \alpha$; б) $m_{2} / m_{1}<\sin \alpha-k \cos \alpha$.
1.68. $a_{2}=\boldsymbol{g}(\eta-\sin \alpha-k \cos \alpha) /(\eta+1)=0,05 \mathbf{g}$.
1.69. При $t \leqslant t_{0}$ ускорения $a_{1}=a_{2}=\alpha t /\left(m_{1}+m_{2}\right)$; при $t \geqslant t_{0}$ ускорения $a_{1}=k g m_{2} / m_{1}, a_{2}=\left(\alpha t-k m_{2} g\right) / m_{2}$. Здесь $t_{0}=k g m_{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) / \alpha m_{1}$.
1.70. $\tau=\sqrt{2 l /(3 a+k g)}$.
1.71. $\operatorname{tg} 2 \alpha=-1 / k, \alpha=49^{\circ}$.
1.72. При $\operatorname{tg} \alpha=1 / k$ имеем $l_{\text {ман }}=v_{0}^{2} / 2 g \sqrt{1+k^{2}}$.
1.73. $\operatorname{tg} \alpha=k, F_{\text {ман }}=k m g / \sqrt{1+k^{2}}$.
1.74. $F_{\mathrm{Tp}}=\left(2 g-a^{\prime}\right) m M /(m+M)$.
1.75. a) $\mathbf{a}_{1}^{\prime}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\mathrm{~g}-\mathrm{a}_{0}\right)$; б) $\mathrm{F}=\frac{4 m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\left(\mathrm{~g}-\mathrm{a}_{0}\right)$.
1.76. $\mathrm{a}_{1}=\frac{4 m_{1} m_{2}+m_{0}\left(m_{1}-m_{2}\right)}{4 m_{1} m_{2}+m_{0}\left(m_{1}+m_{2}\right)} \mathbf{g}$.
1.77. $a_{\mathrm{vm}}=g(1-k) /(1+k)$.
1.78. $a_{\text {vaxc }}=g(1+k \operatorname{ctg} \alpha) /(\operatorname{ctg} \alpha-k)$.
1.79. $a=g \sin \alpha \cos \alpha /\left(\sin ^{2} \alpha+m_{1} / m_{2}\right)$.
1.80. а) $v=m g^{2} \cos \alpha /\left(2 k \sin ^{2} \alpha\right)$; б) $s=m^{2} g^{3} \cos \alpha /\left(6 k^{2} \sin ^{3} \alpha\right)$.
1.81. $v=\sqrt{(2 g / 3 k) \sin \alpha}$.
1.82. $v=-(g / \omega) \ln \cos t=4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.83. $\Delta \mathrm{p}=\boldsymbol{m} g t,|\Delta \mathrm{p}|=-2 \boldsymbol{m}\left(\mathrm{v}_{0} \mathrm{~g}\right) / \boldsymbol{g}$.
1.84. а) $\mathbf{p}=\mathbf{b} \tau^{3} / 6$; б) $s=b \tau^{4} / 12 m$.
1.85. $s=(\omega t-\sin \omega t) F_{0} / m \omega^{2}$, см. рис. 4 .
1.86. $t=\pi / \omega, s=2 F_{0} / m \omega^{2}, v_{\max }=F_{0} / m \omega$.
1.87. а) $v=v_{0} \exp (-t r / m), t \rightarrow \infty$; б) $v=v_{0}-s r / m, s_{\text {помв }}=m v_{0} / r$.
1.88. $t=h\left(v_{0}-v\right) / v_{0} v \ln \left(v_{0} / v\right)$.
1.89. $s=(2 / \gamma) \operatorname{tg} \alpha, v_{\text {масс }}=\sqrt{(g / \gamma) \sin \alpha \operatorname{tg} \alpha}$. Чтобы привести уравнение движения к виду, удобному для интегрирования, надо представить ускорение как $d v / d t$ и затем произвести замену переменных по формуле $d t=d x / v$.
1.90. $s=b\left(t-t_{0}\right)^{3} / 6 m$, где $t_{0}=k m g / b$ – момент времени, с которого начнется движение. При $t \leqslant t_{0}$ путь $s=0$.
1.91. $2,1,0,7$ и $1,5 \mathrm{kH}$.
1.92. a) $a=g \sqrt{1+3 \cos ^{2} \theta}, \quad F=3 m g \cos \theta$;
б) $F=\sqrt{3} m g$;
в) $\cos \theta=1 / \sqrt{3}$, $\hat{0}=54,7^{\circ}$.
1.93. $\operatorname{tg}(\theta / 2)=1 / 2, \quad 0 \approx 53^{\circ}$.
1.94. $a^{\prime}=\sqrt{a(g-a / 4)}=5,9 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$.
1.95. $\theta=\arccos (2 / 3) \approx 48^{\circ}, v=\sqrt{2 g R / 3}$.
1.96. $\varepsilon=1 /\left(x / m \omega^{2}-1\right)$. От направления вращения не зависит.
1.97. $r=R / 2, v_{\text {max }}=\sqrt{k_{0} g R / 2}$.
1.98. $s=(R / 2) \sqrt{\left(k g / a_{\tau}\right)^{2}-1}=60 \mathrm{M}$.
1.99. $v \leqslant \alpha \sqrt{k g / b}$.
1.100. $F=\left(\operatorname{ctg} \theta+\omega^{2} R / g\right) m g / 2 \pi$.
1.101. $v=v_{0} \exp (-k \alpha)=5,0 \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
1.102. а) Рассмотрим малый элемент нити на блоке (рис. 5). Вследствие его невесомости $d T=d F_{\text {тp }}=$ $=k d F_{n}$ и $d F_{n}=T d \alpha$. Отсюда $d T / T=$ $=\boldsymbol{k} \boldsymbol{d} \boldsymbol{\alpha}$. Проинтегрировав это уравнение, получим $k=\left(\ln \eta_{0}\right) / \pi$; б) $a=g(\eta-$ $\left.-\eta_{0}\right) /\left(\eta+\eta_{0}\right)$.
1.103. $F=\left(m v_{0}^{2} / R\right) \cos ^{2} \alpha$.
1.104. a) $v=(2 F / m \omega)|\sin (\omega t / 2)|$;
б) $\Delta s=8 F / m \omega^{2},\langle v\rangle=4 F / \pi m \omega$.
1.105. $v=v_{0} /(1+\cos \varphi)$. У к а з ани е. Здесь $a_{\tau}=-a_{x}$, поэтому $v=$ $=-v_{x}+$ const. Из начального условия

Рис. 5 следует, что const $=v_{0}$. Кроме того, $v_{x}=v \cos \varphi$.
\[
\text { 1.106. } a=[1-\cos (l / R)] R g / l \text {. }
\]
1.107. $v=\sqrt{2 g R / 3}$.
1.108. Если $\omega^{2} R>g$, то имеется два положения равновесия: $\boldsymbol{t}_{1}=0$ и $\hat{t}_{2}=$ $=\arccos \left(g / \omega^{2} R\right)$. Если $\omega^{2} R<g$, то положение равновесия только $\hat{t}_{1}=0$. Пока существует одно нижнее положение равновесия, оно устойчиво. При появлении же второго положения равновесия (оно всегда устойчиво) нижнее положение становится неустойчивым.
1.109. $h \approx\left(\omega s^{2} / v\right) \sin \varphi=7 \mathrm{~cm}$, где $\omega$ – угловая скорость вращения Земли.
1.110. $F=m \omega^{2} R / 4=45 \mathrm{H}$.
1.111. а) $F=2 m v \omega \sin \varphi=3,8 \mathrm{kH}$, на правый (по ходу поезда) рельс; б) по параллели с востока на запад со скоростью $v=(\omega R / 2) \cos \varphi \approx 420 \mathrm{kм} / \mathrm{q}$. Здесь $\omega$ – угловая скорость вращения Земли, $\boldsymbol{R}$ – ее радиус.
1.112. $F_{\mathrm{xop}}=2 m \omega v_{0} \sqrt{1+\omega^{2} t^{2}}=4,2 \mathrm{H}$.
1.113. $F=m \sqrt{8^{2}+\omega^{4} r^{2}+\left(2 v^{\prime} \omega\right)^{2}}=8 \mathrm{H}$.
1.114. $F_{\text {top }}=2 m \omega^{2} r \sqrt{1+\left(v_{0} / \omega r\right)^{2}}=2,8 \mathrm{H}$.
1.115. а) $a^{\prime}=\omega^{2} R$; б) $F_{\mathrm{mH}}=m \omega^{2} r \sqrt{(2 R / r)^{2}-1}$.
1.116. Отклонится на восток на $x \approx(2 / 3) \omega h \sqrt{2 h / g}=24 \mathrm{cм}$, где $\omega$ – угловая скорость вращения Земли.
1.117. $\mathbf{a}_{c}=\mathbf{g}\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}$.
1.118. $r=\left(g / \omega^{2}\right) \operatorname{tg} \theta=0,8 \mathrm{cM}, F=m g / \cos \theta=5 \mathrm{H}$.
1.119. $F_{\mathrm{Tp}}=m_{g}\left[\sin \alpha+\left(\omega^{2} l / g\right) \cos \alpha\right]=6 \mathrm{H}$.
1.120. $v_{\text {MGB }}=\sqrt{(R-l) g / k}=11 \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
1.121. Импульс $\mathbf{P}=\mathbf{P}_{0}+m g t$, где $\mathbf{P}_{0}=m_{1} \mathbf{v}_{1}+m_{2} \mathbf{v}_{2}, m=m_{1}+m_{2} ; \mathbf{r}_{c}=\mathbf{v}_{0} t+g t^{2} / 2$, где $\mathbf{v}_{0}=\left(m_{1} \mathbf{v}_{1}+m_{2} \mathbf{v}_{2}\right) /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
1.122. $F=\mu v^{2} / l$, где $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
1.123. а) $1=-1^{\prime} m /(M+m)$; б) $\mathbf{P}=-[m M /(M+m)] d \mathbf{v}^{\prime} / d t$.
1.124. $1=I^{\prime} m / 2 M$.
1.125. $\mathrm{v}=\left(\mathrm{v}_{1}+\eta \mathrm{v}_{2}\right) /(1+\eta), \quad v=4 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.126. $u=v_{0} \cos \theta /(1+\eta)=25 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.127. $\tau=(p \cos \alpha-M \sqrt{2 g l \sin \alpha}) / M g \sin \alpha$.
1.128. $a_{n}=\left(m_{1} \sqrt{a_{1}}-m_{2} \sqrt{a_{2}}\right)^{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}=2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$.
1.129. $v^{\prime}=\sqrt{9 v_{0}^{2}+2 v^{2}}=14 \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
1.130. $v_{2}=\sqrt{v_{1}^{2}+4 v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha}=0,17 \mathrm{kM} / \mathrm{c}$.
1.131. $v_{1}=\sqrt{2 k g\left(\eta^{2} s_{2}-s_{1}\right)}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.132. $p=(2 m / 3) \sqrt{2 g l}=3,5 \mathrm{kr} \cdot \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
1.133. $\mathrm{v}_{1}=-m \mathrm{v} /(M-m), \quad \mathrm{v}_{2}=M \mathrm{v} /(M-m)$.
1.134. $\mathbf{v}_{\text {saxp }}=\mathrm{v}_{0}-\mathbf{u} m /(M+m), \mathbf{v}_{\text {вер }}=\mathbf{v}_{0}+\mathbf{u} m M /(M+m)^{2}$.
1.135. а) $\mathbf{v}_{1}=-\frac{2 m}{M+2 m} \mathbf{u}$;) $\mathbf{v}_{2}=-\frac{m(2 M+3 m)}{(M+m)(M+2 m)} \mathbf{u}$. Отношение скоростей $v_{2} / v_{1}=1+m / 2(M+m)>1$.
1.136. Пусть в некоторый момент $t$ ракета имела массу $m$ и скорость $v$ (относительно интересующей нас системы отсчета). Рассмотрим инерциальную систему отсчета, имеющую ту же скорость, что и ракета в данный момент. В этой системе отсчета приращение импульса системы \”ракета – выброшенная порция газа\” за время $d t$ есть $d \mathbf{p}=m d \mathbf{v}+\mu d t \cdot \mathbf{u}=\mathbf{F} d t$. Дальнейшее очевидно.
1.137. $\mathrm{v}=-\mathrm{u} \ln \left(m_{0} / m\right)$.
1.138. $m=m_{0} \exp (-a t / u)$.
1.139. $v=u \ln \left(m_{0} / m\right)-g t$.
1.140. а) $t=(u / g) \ln (1+\eta)=20 \mathrm{c}$; б) $\mu=(g / u) m_{0} \exp (-g t / u)$.
1.141. $\alpha=\left(u / v_{0}\right) \ln \left(m_{0} / m\right)$.
1.142. $\mathbf{a}=\mathbf{F} /\left(m_{0}-\mu t\right), \quad \mathrm{v}=(\mathbf{P} / \mu) \ln \left[m_{0} /\left(m_{0}-\mu t\right)\right]$.
1.143. $\mathbf{v}=\mathbf{F} t /\left(m_{0}+\mu t\right), \quad \mathbf{a}=\mathbf{F} m_{0} /\left(m_{0}+\mu t\right)^{2}$.
1.144. $v=\sqrt{2 g h \ln (l / h)}$.
1.145. a) $A=2 F l$; б) $A=F l$.
1.146. $A=\mathbf{F}\left(\mathrm{r}_{2}-\mathrm{r}_{1}\right)=-17$ Дж.
1.147. $v=\sqrt{v_{0}^{2}+2 F R / m}=16 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.148. $A=m \alpha^{4} t^{2} / 8$.
1.149. $F=2 a s \sqrt{1+(s / R)^{2}}$.
1.150. $F=x / m \alpha^{2}$.
1.151. $A=m g(h+k l)$.
1.152. $v=\sqrt{2(2 g h-A / m)}=2,0 \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
1.153. $A=-k m g l /(1-k \operatorname{ctg} \alpha)=-0,05$ Дж.
1.154. $A_{\mathrm{Tp}}=-2 F^{2} / \gamma m_{g}=-0,12$ Дж.
1.155. $F_{\text {maI }}=\left(m_{1}+m_{2} / 2\right) k_{g}$.
1.156. $A=k m g l / 2=28$ мДв.
1.157. $A=-(1-\eta) \eta m g l / 2=-1,3$ Дх.
1.158. $\langle P\rangle=0, P=m g\left(g t-v_{0} \sin \alpha\right)$.
1.159. $P=m R \alpha t,\langle P\rangle=m R \alpha t / 2$.
1.160. $\langle P\rangle=-k m g v_{0} / 2=-2,0 \mathrm{Br}$.
1.161. $|P|_{\text {maxc }}=\left(m v_{0}^{2} / 2\right) \sqrt{\alpha g}$.
1.162. $P=M g u / 2$.
1.163. $A=m \omega^{2}\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right) / 2=0,20$ Дж.
1.164. $A_{\mathrm{Tp}}=m\left(v^{2}-v_{0}^{2}-\omega^{2} r^{2}\right) / 2=-0,10$ Дж.
1.165. $A_{\text {mв耳 }}=x(\Delta l)^{2} / 2$, где $x=x_{1} x_{2} /\left(x_{1}+x_{2}\right)$.
1.166. $A=3 m g / 4 a, \Delta U=m g / 2 a$.
1.167. $x_{0}=3 \alpha / 2 \beta=2,0 \mathrm{M}$.
1.168. $v=\sqrt{l(\alpha l / m-g)}=3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.169. а) $r_{0}=2 a / b$, устойчиво; б) $F_{\text {мах }}=b^{3} / 27 a^{2}$. См. рис. 6 .
1.170. $A_{\text {отор }}=m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right) / 2+\alpha\left(x_{2} y_{2}-x_{1} y_{1}\right)=6$ м耳ा .
1.171. $x=4 \pi^{2} m / 3 r_{0} \tau^{2}=12 \Pi x / \mathrm{M}^{3}$.
Рис. 6
1.17. $F=\sqrt{-2 \alpha U / \sin 2 \theta}=2,4 \mathrm{H}$.
1.173. $h=H / 2, s_{\text {marc }}=H$.
1.174. $v=\sqrt{(4 / 27) g h}$.
1.175. $m=\Delta F / 6 g=40 \mathrm{r}$.
1.176. $v_{\text {мGBв }}=\sqrt{5 g l}, F=3 m g$.
1.177. $F=\sqrt{x m\left(2 g l-v^{2}\right)}=8 \mathrm{H}$.
1.178. $A=x l_{0}^{2} \eta(1+\eta) / 2(1-\eta)^{2}$, где $\eta=m \omega^{2} / x$.
1.179. $h=2 \mathrm{mg} / \boldsymbol{x}$.
1.180. a) $\Delta l=(1+\sqrt{1+2 \times l / m g}) \times$ $\times m g / x$; б) $E_{1}-E_{2}=m g l(1+m g / 2 x l)$.
1.181. $x_{\text {waxc }}=\left(g+\sqrt{2 g a-a^{2}}\right) m / x=23 \mathrm{cM}$.
1.182. $A_{T P}=m g\left(3 h_{2} / 2-h_{1}\right)=-11 \mathrm{M}$ मk.
1.183. $v_{\text {vaxc }}=g(1-k) \sqrt{m / 2 x}=0,62 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.184. $A_{\mathrm{Tp}}=\frac{k m g l_{0}}{2} \frac{1-\cos \theta}{\cos \theta(\sin \theta+k \cos \theta)}$.
1.185. $\operatorname{tg} \alpha_{2}=v_{1} \sin \alpha_{1} / \sqrt{v_{1}^{2} \cos ^{2} \alpha_{1}-2\left(U_{2}-U_{1}\right) / m}$. При $\left(m v_{1}^{2} / 2\right) \cos \alpha_{1}<\left(U_{2}-U_{1}\right)$.
1.186. $v_{\text {maxc }}=\sqrt{2 g l(2-\sqrt{3}) / 3}, \Delta h_{\text {maxc }}=2 l / 3$.
1.187. а) $\mathrm{V}=\left(m_{1} \mathrm{v}_{1}+m_{2} \mathrm{v}_{2}\right) /\left(m_{1}+m_{2}\right)$; б) $X=\mu\left(\mathrm{v}_{1}-\mathrm{v}_{2}\right)^{2} / 2$, где $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+\right.$ $+m_{2}$ ).
1.189. $\tilde{E}=\mu\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right) / 2$, где $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
1.190. a) $\Delta U_{\max }=m_{1}^{2} v_{1}^{2} / 2\left(m_{1}+m_{2}\right)$; б) $E_{\cot }=m_{1} v_{1}^{2} / 2+m_{2} v_{2}^{2} / 2-m_{1}^{2} v_{1}^{2} / 2\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
1.191. $v_{c}=x \sqrt{x m_{2}} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
1.192. $l_{\text {marc }}=l_{0}+F / x, l_{\text {Mä }}=l_{0}$.
1.193. $\Delta l>3 m g / x$.
1.194. a) $v=(2 M / m) \sqrt{g l} \sin (\theta / 2)$; б) $\eta \approx 1-m / M$.
1.195. $h=M v^{2} / 2 g(M+m)$.
1.196. $A=-\mu g h$, где $\mu=m M /(m+M)$.
1.197. $v_{0}>\sqrt{2 k g l(1+\eta)}=1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.198. $\Delta \boldsymbol{X}=-\mu\left(\mathrm{v}_{1}-\mathrm{v}_{2}\right)^{2} / 2$, где $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
1.199. $M=m\left(p_{0}^{2}+p^{2}-2 p_{0} p \cos \alpha\right) /\left(p_{0}^{2}-p^{2}\right)$.
1.200. $l_{\mathrm{saB}}=a l_{0} /\left(a+l_{0} m v^{2} \cos ^{2} \alpha\right)$.
1.201. $v_{2}=\sqrt{v^{2}-v_{1}^{2}}, 90^{\circ}$.
1.202. $\cos \theta^{\prime}=\left(v_{1} v_{2} / v_{1}^{\prime} v_{2}^{\prime}\right) \cos \theta$.
1.203. а) $\eta=2 m_{1} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$; б) $\eta=4 m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}$.
1.204. $m_{2}=3 m_{1}$.
1.205. $m_{1} / m_{2}=1+2 \cos \theta=2,0$.
1.206. $v_{\text {мив }}=\sqrt{2 \Delta E / \mu}$, где $\mu=m M /(m+M), m-$ масса нейтрона.
1.207. $\eta=(1 / 2) \cos ^{2} \alpha=0,25$.
1.208. $v_{\text {macc }}=v(1+\sqrt{2(\eta-1)})=1,0 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
1.209. Будет двигаться в ту же сторону, но со скоростью $v^{\prime}=(1-$ $-\sqrt{1-2 \eta}) v / 2$. При $\eta \ll 1$ скорость $v^{\prime} \approx \eta v / 2=5 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$.
1.210. $\Delta X / X=(1+m / M) \operatorname{tg}^{2} \hat{\theta}+m / M-1=-40 \%$.
1.211. а) $\tilde{p}=\mu \sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}$; б) $\tilde{K}=\mu\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right) / 2$. Здесь $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
1.212. $\sin \theta_{\text {mare }}=m_{2} / m_{1}$.
1.213. $\mathbf{v}^{\prime}=-\mathbf{v}\left(2-\eta^{2}\right) /\left(6-\eta^{2}\right)$. При $\eta \lessgtr \sqrt{2}$.
1.215. $\mathbf{N}=(a B-b A) \mathbf{k}$, где $\mathbf{k}$ – орт оси $z ; l=|a B-b A| / \sqrt{A^{2}+B^{2}}$.
1.216. $\mathbf{N}=2 \mathrm{~b} \sqrt{a / b}$.
1.217. $M=(1 / 2) m g v_{0} t^{2} \cos \alpha, M=\left(m v_{0}^{3} / 2 g\right) \sin ^{2} \alpha \cos \alpha=37 \mathrm{xT} \cdot \mathrm{M}^{2} / \mathrm{c}$.
1.218. $M=(1 / 2) m g h t \sin 2 \alpha=1,6 \cdot 10^{-2} \mathrm{kT} \cdot \mathrm{M}^{2} / \mathrm{c}$.
1.219. а) Относительно всех точек прямой, перпендикулярной стенке и проходящей через точку $O$; б) $|\Delta \mathbf{M}|=2 m v l \cos \alpha$.
1.220. $M=m^{2} v^{3} / F_{m}=1,2 \cdot 10^{-2} \mathrm{kr} \cdot \mathrm{M}^{2} / \mathrm{c}$.
1.221. Относительно центра окружности. $|\Delta \mathbf{M}|=2 \sqrt{1-\left(g / \omega^{2} l\right)^{2}} m g l / \omega$.
1.222. $|\Delta \mathbf{M}|=h m V$.
1.223. $M=m \omega v_{0}^{2} t^{2}$.
1.224. $m=2 k r_{1}^{2} / v_{2}^{2}$.
1.225. $R=\eta^{2} r_{0}$.
1.226. $v_{0}=\sqrt{2 g l / \cos \theta}$.
1.227. $h_{2}=\left(1+\sqrt{1+8 g} h_{1} / v_{1}^{2}\right) v_{1}^{2} / 4 g$.
1.228. $F=m \omega_{0}^{2} r_{0}^{4} / r^{3}$.
1.229. $M_{z}=$ Rmgt.
1.230. $M=F R t / 2 \sin (\hat{0} / 2)=30 \mathrm{xT} \cdot \mathrm{M}^{2} / \mathrm{c}$.
1.231. $M=R m g t \sin \alpha$. Не изменится.
1.232. $\mathbf{M}^{\prime}=\mathbf{M}-\left[\mathrm{r}_{0} \mathbf{p}\right]$. Если $\mathbf{p}=\mathbf{0}$, т. е. в системе центра масс.
1.234. $\overrightarrow{\mathbf{M}}=\left[\left(\mathbf{r}_{2}-\mathrm{r}_{1}\right), \mu\left(\mathrm{v}_{2}-\mathrm{v}_{1}\right)\right]$, где $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
1.235. $\tilde{M}=l m v_{0} / 3$.
1.236. $\varepsilon_{\operatorname{maxc}} \approx m v_{0}^{2} / x l_{0}^{2}$.
1.237. $T=2 \pi \gamma M / v^{3}=225$ суток.
1.238. а) В 5,2 раза; б) $13 \mathrm{KM} / \mathrm{c}, 2,2 \cdot 10^{-4} \mathrm{M} / \mathrm{c}^{2}$.
1.239. $T=\pi \sqrt{\left(r_{1}+r_{2}\right)^{3} / 2 \gamma M}$. Достаточно рассмотреть движение по окружности, радиус которой равен большой полуоси данного эллипса, т. е. $\left(r_{1}+r_{2}\right) / 2$; по Кеплеру период обращения будет тем же.
1.240. $r_{\text {maxc }}=r\left(2 \eta^{2 / 3}-1\right)$.
1.241. Падение тела на Солнце можно рассматривать как движение по очень вытянутому (в пределе вырожденному) эллилсу, большая ось которого равна радиусу $R$ земной орбиты. Тогда по Кеплеру $(2 \tau / T)^{2}=(R / 2)^{3} / R^{3}$, где $\tau$ время падения (время половины оборота по вытянутому эллилсу), $T$ – период обращения Земли вокруг Солнца. Отсюда $\tau=T / \sqrt{32}=64$ суток.
1.242. $t=(\pi / \sqrt{\gamma M})[(r+R) / 2]^{3 / 2}$, где $M$ и $R$ – масса и радиус Луны.
1.243. Не изменятся.
1.244. $m=4 \pi^{2} l^{3} / \gamma T^{2}$.
1.245. $M=m \sqrt{2 \gamma m_{c} r_{1} r_{2} /\left(r_{1}+r_{2}\right)}$, где $m_{c}$ – масса Солнца.
1.246. $\boldsymbol{E}=\boldsymbol{K}+\boldsymbol{U}=-\gamma m_{c} / 2 a$, где $m_{c}$ – масса Солнца.
1.247. $r_{m}=\left(1 \pm \sqrt{1-(2-\eta) \eta \sin ^{2} \alpha}\right) r_{0} /(2-\eta)$, где $\eta=r_{0} v_{0}^{2} / \gamma m_{c}$.
1.248. $r_{\mathrm{ABH}}=\left(\sqrt{1+\left(l v_{0}^{2} / \gamma m_{c}\right)^{2}}-1\right) \gamma m_{c} / v_{0}^{2}$.
1.249. а) Рассмотрим сначала тонкий сферический слой радиуса $\rho$ и массы $\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{M}$. Энергия взаимодействия частицы с элементарным пояском $\boldsymbol{S}$ этого слоя (рис. 7) есть $d U=-\gamma(m \delta M / 2 l) \sin \delta d \hat{0}$. Для треугольника $O A P$ по теореме косинусов $l^{2}=p^{2}+r^{2}-2 p r \cos \theta$. Найдя дифференциал этого выражения, преобразуем формулу для $d \boldsymbol{U}$ к виду, удобному для интегрирования. После интегрирования по всему слою найдем $\delta U=-\gamma m \delta M / r$. И наконец, интегрируя по всем слоям шара, получим $U=-\gamma m M / r$.
б) $F_{r}=-\partial U / \partial r=-\gamma m M / r^{2}$.
1.250. Рассмотрим тонкий сферический слой вещества (рис. 8). Построим конус с малым углом раствора и вершиной в точке $A$. Площади участков, вырезанных этим конусом в слое, относятся как $d S_{1}: d S_{2}=r_{1}^{2}: r_{2}^{2}$. Массы вырезанных участков пропорциональны их площадям. Поэтому силы притяжения к ним частицы $\boldsymbol{A}$ равны по модулю и противоположны по направлению. Дальнейшее очевидно.
Рис. 7
Рис. 8
1.251. $\mathbf{G}(r \leqslant R)=-\left(\gamma M / R^{3}\right) \mathrm{r}, \quad \mathbf{G}(r \geqslant R)=-\left(\gamma M / r^{3}\right) \mathrm{r} ; \quad \varphi(r \leqslant R)=-3(1-$ $\left.-r^{2} / 3 R^{2}\right) \gamma M / 2 R, \varphi(r \geqslant R)=-\gamma M / r$. См. рис, 9.
1.252. $\mathrm{G}=-(4 / 3) \pi \gamma p 1$. Поле внутри полости однородное.
1.253. $p=3\left(1-r^{2} / R^{2}\right) \gamma M^{2} / 8 \pi R^{4}$. Около $1,7 \cdot 10^{6}$ атм.
1.254. а) Разобьем сферический слой на малые элементы, каждый массы $8 \mathrm{~m}$. Тогда энергия взаимодействия каждого элемента со всеми остальными равна $\delta U=-\gamma m \delta m / R$. Суммируя по всем элементам и учитывая, что каждая пара взаимодействующих элементов войдет при этом дваж-

Рис. 9 ды, получим $U=-\gamma m^{2} / 2 R$;
б) $U=-3 \gamma m^{2} / 5 R$.
1.255. $a_{1}: a_{2}: a_{3}=1: 0,0034: 0,0006$.
1.256. $h \approx \eta R / 2=32 \mathrm{kM} ; h=R(\sqrt{2}-1) \approx 2640 \mathrm{kM}$, где $R$ – радиус Земли.
1.257. $h=R /\left(2 g R / v_{0}^{2}-1\right)$.
1.258. $T=\sqrt{3 \pi / \gamma \rho}=1,8$ ч.
1.259. $h=R\left(g R / v^{2}-1\right)$.
1.260. $|\Delta \mathbf{p}|=m \sqrt{2 g R} \sin (\alpha / 2)$.
1.261. $r=\sqrt[3]{\gamma M(T / 2 \pi)^{2}}=4,2 \cdot 10^{4} \mathrm{KM}$, где $M$ и $T$ – масса Земли и период ее вращения вокруг оси; $3,1 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
1.262. $T \approx 3 m g l / 2 \eta^{3} R=0,20 \mathrm{H}$, где $R$ – радиус Земли.
1.263. $M=4 \pi^{2} R^{3}(1+T / \tau)^{2} / \gamma T^{2}=6 \cdot 10^{24} \mathrm{Kr}$, где $T$ – период вращения Земли вокруг оси.
1.264. а) $v^{\prime}=2 \pi R / T+\sqrt{\gamma M / R}=7,0 \mathrm{xm} / \mathrm{c} ;$ ) $a^{\prime}=(1+(2 \pi R / T) \sqrt{R / \gamma M})^{2} \gamma M / R^{2}=$ =4,9 $\mathbf{m} / \mathrm{c}^{2}$. Здесь $M$ – масса Земли, $T$ – период ее вращения вокруг оси.
1.265. $v_{0}=\sqrt{2 g R(1-R / 2 a)}$, где $R$ – радиус Земли.
1.266. Убыль полной энергии спутника за время $d t$ есть $-d E=F v d t$. Представив $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{v}$ как функции расстояния $\boldsymbol{r}$ между спутником и центром Луны, преобразуем это уравнение к виду, удобному для интегрирования. В результате: $\tau \approx(\sqrt{\eta}-1) m / \alpha \sqrt{g R}$.
1.267. $v_{1}=1,67 \mathrm{~mm} / \mathrm{c}, v_{2}=2,37 \mathrm{rm} / \mathrm{c}$.
1.268. $\Delta v=\sqrt{\gamma M / R}(1-\sqrt{2})=-0,70 \mathrm{x} / \mathrm{c}$, где $M$ и $R$ – масса и радиус Луны.
1.269. $\Delta v=(\sqrt{2}-1) \sqrt{g R}=3,27 \mathrm{xm} / \mathrm{c}$, где $R$ – радиус Земли.
1.270. $v_{r}=\sqrt{g R / \eta}=5,0 \mathrm{mм} / \mathrm{c}$, где $R$ – радиус Земли.
1.271. Воспользуемся законом сохранения энергии в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром Земли: $m v_{3}^{2} / 2=\gamma m M / R+$ $+m v^{2} / 2$, где $m$ – масса тела, $v$ – его скорость вдали от Земли, масса которой $M$ и радиус $R$. И второе условие: $v+V_{1}=\sqrt{2} V_{1}$, где $V_{1}$ – скорость Земли на орбите, $\sqrt{2} V_{1}$ – скорость, необходимая для того, чтобы тело смогло покинуть Солнечную систему. Исключив из этих двух уравнений $v$, получим: $v_{3} \approx \sqrt{2 v_{1}^{2}+(\sqrt{2}-1)^{2} V_{1}^{2}} \approx 17 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$. Здесь $v_{1}^{2}=\gamma M / R, \quad V_{1}^{2}=\gamma M_{c} / r, \quad M_{c}-$ масса Солнца.
1.272. $l=2 b F_{2} / m a=1,0 \mathrm{M}$.
1.273. $F=\frac{k m g}{(1+k) \sin \alpha}=13 \mathrm{H}, a=\frac{k g}{1+k}(\operatorname{ctg} \alpha-1)=1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$.
1.274. $l=|a A-b B| / \sqrt{A^{2}+B^{2}}$.
1.275. а) $b=(k+F / m g) l / 2=30 \mathrm{MM}$; б) $k m g<F<(1-k) m g$.
1.276. $A=(l / 2 a-1) k m g l / 2$.
1.277. а) $I=m l^{2} / 3$; б) $I=\left(m l^{2} / 12\right) \sin ^{2} \alpha$.
1.278. $I=m\left(a^{2}+b^{2}\right) / 3$,
1.279. $I=m a^{2} / 6=4,0 \mathrm{r} \cdot \mathrm{M}^{2}$.
1.280. а) $I=\pi \rho b R^{4} / 2=2,8 \Gamma \cdot M^{2}$; б) $I=3 m R^{2} / 10$.
1.281. $I=m a^{2} / 2$.
1.282. $I=m R^{2} / 4$.
1.283. $I_{C}=\left(I_{1} x_{2}^{2}-I_{2} x_{1}^{2}\right) /\left(x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right)=0,75 \mathrm{r} \cdot \mathrm{M}^{2}$.
1.284. a) $I_{o}=13 m R^{2} / 24$; 6) $I_{c}=37 \mathrm{mR}^{2} / 72$.
1.285. $I=2 m R^{2} / 3$.
1.286. $\beta_{z}=\left(m g R_{2}-F R_{1}\right) /\left(I+m R_{2}^{2}\right)$, где ось $z$ направлена за плоскость рис. 1.54.
1.287. a) $\omega=g t / R(1+M / 2 m)$; б) $K=m g^{2} t^{2} / 2(1+M / 2 m)$.
1.288. $a=g m r^{2} / I$.
1.289. $\omega=\sqrt{6 F \sin \varphi / m l}$.
1.290. $F=m g / 4$.
1.291. $N=(2 / \pi) m g l \sqrt{I / m l^{2}-1 / 12}=1,2 \mathrm{H} \cdot \mathrm{M}$.
1.292. $\beta=\frac{\left|m_{2}-m_{1}\right| g}{\left(m_{1}+m_{2}+m / 2\right) R} ; \frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{m_{1}\left(m+4 m_{2}\right)}{m_{2}\left(m+4 m_{1}\right)}$.
1.293. а) $\mathbf{a}=\mathbf{g} \frac{m_{2}-k m_{1}}{m_{1}+m_{2}+m / 2}$; б) $A=-\frac{\left(m_{2}-k m_{1}\right) k m_{1} g^{2} t^{2}}{m+2\left(m_{1}+m_{2}\right)}$.
1.294. $F_{\mathrm{rop}}=3 m g / 2 ; F_{\text {sopr }}=m g / 4$.
1.295. $t=\omega_{0} R\left(1+k^{2}\right) / 2 k(1+k) g$.
1.296. $n_{2} / n_{1}=(\operatorname{tg} \theta+k) /(\operatorname{tg} \theta-k)=1,3$.
1.297. $t=3 \omega R / 4 k g$.
1.298. $t=2 J / k m g=17 \mathrm{c}$.
1.299. $\langle\omega\rangle=\omega_{0} / 3$.
1.300. $\beta=2 m g x / R l(M+2 m)$.
1.301. $\cos \theta=3 g / 2 \omega^{2} l$; если правая часть не менее 1 , то $\theta=0$.
1.302. $\omega=\sqrt{2 g / l}=6,0 \mathrm{pan} / \mathrm{c} ; F=m g l_{0} / l=25 \mathrm{H}$.
1.303. a) $M=(1 / 12) m \omega l^{2} \sin \theta, M_{z}=M \sin \theta$; б) $N=(1 / 24) m \omega^{2} l^{2} \sin 2 \theta$.
1.304. $v^{\prime}=\omega_{0} l / \sqrt{1+3 m / M}$.
1.305. а) $\mathrm{v}^{\prime}=\frac{3 m-4 M}{3 m+4 M} \mathrm{v}$; б) $F=\frac{8 M v^{2}}{l(1+4 M / 3 m)^{2}}$.
1.306. а) $v=(M / m) \sqrt{2 g l / 3} \sin (\alpha / 2)$; б) $\Delta p=M \sqrt{g l / 6} \sin (\alpha / 2)$; в) $x \approx 2 l / 3$.
1.307. а) $\omega=(1+2 m / M) \omega_{0}$; б) $A=(1 / 2) m \omega_{0}^{2} R^{2}(1+2 m / M)$.
1.308. $\varphi=-2 m_{1} \varphi^{\prime} /\left(2 m_{1}+m_{2}\right)$.
1.309. a) $\omega=\frac{I_{1} \omega_{1}+I_{2} \omega_{2}}{I_{1}+I_{2}}$; б) $A=-\frac{I_{1} I_{2}}{2\left(I_{1}+I_{2}\right)}\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)^{2}$.
1.310. a) $M_{2}-M_{1}=-\frac{4 I_{1} I_{2} \omega_{0}}{I_{1}+I_{2}}$; б) $E_{1}-E_{2}=\frac{2 I_{1} I_{2} \omega_{0}^{2}}{I_{1}+I_{2}}$.
1.311. $\omega=\tilde{M} N t /\left(I_{0}+m N a^{2} t / 2\right)$. См. рис. 10 , где $\omega_{\text {пр }}=2 \tilde{M} / m a^{2}$.
1.312. $\omega=2 \sqrt{2 F l / 3 m R^{2}}$.
1.313. $n=(m l / 2 \pi I)\left|R_{2} F_{2}-R_{1} F_{1}\right| / \sqrt{F_{1}^{2}+F_{2}^{2}}$.
1.314. $v=\omega R / 2 \sin \theta=3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.315. $a=(5 / 7) g \sin \alpha, k>(2 / 7) \operatorname{tg} \alpha$.
1.316. $K=(5 / 14) m g^{2} t^{2} \sin ^{2} \alpha=0,11 \mathrm{kДz}$.
1.317. $v=\sqrt{3 g l \sin \alpha}=5,3 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.318. $F_{\mathrm{Tp}}=I \omega^{2} / 2 s$.
1.319. $v=\sqrt{(10 H+4 h) g / 7}=2,8 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.320. а) $\beta=2 g / 3 R=5 \cdot 10^{2}$ рад $/ \mathrm{c}^{2}$; б) $P=$ $=2 m g^{2} t / 3$.
1.321. $a^{\prime}=2\left(g-a_{0}\right) / 3, F=m\left(g-a_{0}\right) / 3$.
1.322. $a=g \sin \alpha /\left(1+I / m r^{2}\right)=1,6 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$.
1.323. $F<3 \mathrm{kmg} /(2-3 k)$.
1.324. a) $a_{x}=\frac{F(\cos \alpha-r / R)}{m(1+\gamma)}$; б) $A=\frac{F^{2} t^{2}(\cos \alpha-r / R)^{2}}{2 m(1+\gamma)}$
1.325. $a=4 g / 5$.
Рис. 10
1.326. $\mathrm{a}=\mathrm{g}(\boldsymbol{m}-\boldsymbol{M}) /\left(M+m+I / R^{2}\right)$.
1.327. a) $a=\frac{F\left(3 m_{1}+2 m_{2}\right)}{m_{1}\left(m_{1}+m_{2}\right)}$; б) $K=\frac{F^{2} t^{2}\left(3 m_{1}+2 m_{2}\right)}{2 m_{1}\left(m_{1}+m_{2}\right)}$.
1.328. $a_{1}=F /\left(m_{1}+2 m_{2} / 7\right), a_{2}=2 a_{1} / 7$.
1.329. а) $t=\omega_{0} R / 3 k g$; б) $A=-m \omega_{0}^{2} R^{2} / 6$.
1.330. $\omega=\sqrt{10 g(R+r) / 17 r^{2}}$.
1.331. $v_{0}=\sqrt{g R(7 \cos \alpha-4) / 3}$.
1.332. $N=R m v^{2} / 5 s=20 \mathrm{MH} \cdot \mathrm{M}$.
1.333. $F=9 J^{2} / 2 m l=9 \mathrm{H}$.
1.334. a) $s=\pi l / 3$; б) $K=2 J^{2} / m$.
1.335. $\omega=2 \sqrt{g \sin \varphi / l\left(\cos ^{2} \varphi+1 / 3\right)}$.
1.336. a) $\omega=\sqrt{(3 g / 2 l)(1-\sin \alpha)}, \beta=(3 g / 4 l) \cos \alpha$; б) $\sin \alpha=2 / 3, \alpha \approx 42^{\circ}$.
1.337. $v_{0 \mathrm{M} B \mathrm{H}}=\sqrt{3 g l / \cos \theta}$.
1.338. $v_{c}=2 v /(4+\eta)$. При $\eta=4$ и $\eta>4$.
1.339. $v=\sqrt{g h / 2}$.
1.340. а) $\omega^{\prime}=m g l / I \omega=0,7 \mathrm{pag} / \mathrm{c}$; б) $F=m \omega^{\prime 2} l \sin \theta=10 \mathrm{MH}$. Эта сила направлена в сторону, противоположную наклону волчка.
1.341. $\omega=(g+a) l / \pi n R^{2}=3 \cdot 10^{2} \mathrm{paz} / \mathrm{c}$.
1.342. $\omega^{\prime}=m l \sqrt{8^{2}+a^{2}} / I \omega=0,8$ рад/c. Вектор $\omega^{\prime}$ составляет с вертикалью угол $\theta=\operatorname{arctg}(a / g)=17^{\circ}$.
1.343. $F^{\prime}=2 m R^{2} \omega \omega^{\prime} / 5 l=0,30 \mathrm{kH}$.
1.344. $F_{\mathrm{Naxc}}=\pi m R \varphi_{m} \omega / I T=30 \mathrm{H}$.
1.345. $N=2 \pi n I v / R=6 \mathrm{kH} \cdot \mathrm{M}$.
1.346. $F_{\text {доб }}=2 \pi n I v / R t=1,4 \mathrm{kH}$. На такую величину сила давления на наружный рельс возрастет, а на внутренний уменьшится.
1.347. $p=\alpha E \Delta T=0,22 \mathrm{IMa}=2,2 \cdot 10^{3}$ атм, где $\alpha$ – коэффициент линейного расширения стали.
1.348. а) $p \approx \sigma_{m} \Delta r / r=2,0 \mathrm{MПа}=20$ атм; б) $p \approx 2 \sigma_{m} \Delta r / r=4,0 \mathrm{M \Pi a}=40$ атм. Здесь $\sigma_{m}$ – предел прочности стекла.
1.349. $n=\sqrt{2 \sigma_{m} / \rho} / \pi l=0,8 \cdot 10^{2}$ об/с, где $\sigma_{m}$ – предел прочности, $\rho$ – плотность меди.
1.350. $n=\sqrt{\sigma_{m} / \rho} / 2 \pi R=23$ об/с, где $\sigma_{m}$ – предел прочности, $\rho-$ плотность свинца.
1.351. $x \approx \sqrt[3]{m g / 2 \pi d^{2} E}=2,5 \mathrm{~cm}$.
1.352. $\varepsilon=F_{0} / 2 E S$.
1.353. $F=\left(1-r^{2} / l^{2}\right) m \omega^{2} l / 2, \Delta l=\rho \omega^{2} l^{3} / 3 E$, где $\rho-$ плотность меди.
1.354. $\Delta V=(1-2 \mu) F l / E=1,6 \mathrm{MM}^{3}$, где $\mu$ – коэффициент Пуассона.
1.355. а) $\Delta l=\rho g l^{2} / 2 E$; б) $\Delta V / V=(1-2 \mu) \Delta l / l$. Здесь $\rho$ – плотность, $\mu$ – коэффициент Пуассона.
1.356. а) $\Delta V / V=-3(1-2 \mu) p / E$; б) $\beta=3(1-2 \mu) / E$.
1.357. а) $\varphi=l N / 2 \pi r^{3} \Delta r G$; б) $\varphi=2 l N / \pi r^{4} G$.
1.358. $N=\pi\left(d_{2}^{4}-d_{1}^{4}\right) G \varphi / 32 l=0,5 \mathrm{xH} \cdot M$.
1.359. $P_{\text {maxc }}=(\pi / 2) r^{4} G \varphi \omega=17 \mathrm{kBT}$.
1.360. $N=\beta m\left(r_{2}^{4}-r^{4}\right) / 2\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right)$.
1.361. $U=m E \varepsilon^{2} / 2 \rho=40$ Дв, где $\rho$ – плотность стали.
1.362. а) $U=(\pi / 6) r^{2} l^{3} \rho^{2} g^{2} / E$; б) $U=(2 \pi / 3) r^{2} l E(\Delta l / l)^{2}$. Здесь $\rho$ – плотность стали.
1.363. $A \approx \pi^{2} h \delta^{3} E / 6 l=80$ Дх.
1.364. $U=\pi r^{4} G \varphi^{2} / 4 l=7$ Дх.
1.365. $u=G \varphi^{2} r^{2} / 2 l^{2}$.
1.366. $u=\beta p^{2} g^{2} h^{2} / 2=23,5 \mathrm{k} / \mathrm{m} / \mathrm{m}^{3}$, где $\beta$ – сжимаемость.
1.367. $p_{1}>p_{2}, v_{1}<v_{2}$. Плотность линий тока растет при переходе от точки 1 к точке 2 .
1.368. $Q=S_{1} S_{2} \sqrt{2 g \Delta h /\left(S_{2}^{2}-S_{1}^{2}\right)}$.
1.369. $Q=S \sqrt{2 g \Delta h \rho_{0} / \rho}$.
1.370. $r=r_{0} / \sqrt[4]{1+2 g h / v_{0}^{2}}$.
1.371. $l^{\prime}=l\left(\eta^{\prime 2}-1\right) /\left(\eta^{2}-1\right)=5 l$.
1.372. $h=h_{0} / 2=25 \mathrm{~cm}, l_{\text {maxc }}=h_{0}$.
1.373. $A=\rho V^{3} / 2 s^{2} t^{2}$, где $\rho$ – плотность воды.
1.374. $\mathrm{a}=-\mathrm{g} /\left(\eta^{2}-1\right), a=10^{-4} g$.
1.375. $\tau \approx(S / s) \sqrt{2 h / g}$.
1.376. $t=(h / 3 \eta) \sqrt{2 h / g}$.
1.377. $v=\omega h \sqrt{2 l / h-1}$.
1.379. $F=2 \rho g S \Delta h=0,50 \mathrm{H}$.
1.380. $F=\rho g b l(2 h-l)=5 \mathrm{H}$.
1.381. а) $p=2 \rho S R v$; б) $F=2 \rho S v^{2}$.
1.382. $N=\rho l Q^{2} / \pi r^{2}=0,7 \mathrm{H} \cdot \mathbf{M}$.
1.383. Сила направлена вправо, $F=p v_{2}^{2}\left(S_{1}-S_{2}\right)^{2} / 2 S_{1}=1,3 \mathrm{KH}$.
1.384. а) Параболоид вращения: $z=\left(\omega^{2} / 2 \boldsymbol{g}\right) \boldsymbol{r}^{2}$, где $z$ – высота от поверхности жидкости на оси сосуда, $r$ – расстояние от оси; б) $p=p_{0}+p \omega^{2} r^{2} / 2$.
1.385. $P=\pi \eta \omega^{2} R^{4} / h=9 \mathrm{Br}$.
1.386. $v=v_{0} \ln \left(r / R_{2}\right) / \ln \left(R_{1} / R_{2}\right)$.
1.387. а) $\omega=\frac{\omega_{2} R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}\left(\frac{1}{R_{1}^{2}}-\frac{1}{r^{2}}\right)$; б) $N=4 \pi \eta \omega_{2} \frac{R_{1}^{2} R_{2}^{2}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}}$.
1.388. $v=v_{0}\left(1-r^{2} / R^{2}\right)$.
1.389. а) $Q=\pi v_{0} R^{2} / 2$; б) $K=\pi l R^{2} \rho v_{0}^{2} / 6$; в) $F_{\mathrm{Tp}}=4 \pi \eta l v_{0}$; г) $\Delta p=4 \eta l v_{0} / R^{2}$.
1.390. $Q_{1}=\left(h^{3} / 3 \eta\right) \rho g \sin \alpha$.
1.391. В левом конце трубки дополнительный напор $\Delta \boldsymbol{h}=5$ см сообщает кинетическую энергию жидкости, втекающей в трубку. Из условия $p v^{2} / 2=$ $=\rho \boldsymbol{g} \boldsymbol{h}$ получим $v=\sqrt{2 \boldsymbol{g} \Delta \boldsymbol{h}}=1,0 \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
1.392. Искомое отношение равно $\exp (\alpha \Delta x)=5$.
1.393. $v_{2}=v_{1} r_{1} \rho_{1} \eta_{2} / r_{2} \rho_{2} \eta_{1}=5 \mathrm{mKM} / \mathrm{c}$.
1.394. $d=\sqrt[3]{18 \operatorname{Re} \eta^{2} /\left(p-\rho_{0}\right) \rho_{0} g}=5 \mathrm{mM}$, где $\rho_{0}$ и $\rho$ – плотности глицерина и свинца.
1.395. $t=-\left(\rho d^{2} / 18 \eta\right) \ln n=0,20 \mathrm{c}$.
1.396. $v=c \sqrt{\eta(2-\eta)}=0,10 c$, где $c$ – скорость света.
1.397. а) $\operatorname{tg} \alpha^{\prime}=\operatorname{tg} \alpha / \sqrt{1-\beta^{2}}$, где $\beta=v / c ; \quad \alpha^{\prime} \approx 49^{\circ}$; б) $l^{\prime}=a \sqrt{1-\beta^{2}+\operatorname{tg}^{2} \alpha}=$ $=3,8 \mathrm{M}, l^{\prime} / l_{0}=0,66$.
1.398. $l_{0}=l \sqrt{\left(1-\beta^{2} \sin ^{2} 0\right) /\left(1-\beta^{2}\right)}=1,08 \mathrm{M}$, где $\beta=v / c$.
1.399. $l_{0}=\Delta x\left(t_{3}-t_{2}\right) / \sqrt{\left(t_{2}-t_{1}\right)^{2}-(\Delta x / c)^{2}}$.
1.400. $v=c \sqrt{(2-\Delta t / t) \Delta t / t}=0,6 \cdot 10^{8} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
1.401. $l_{0}=c \Delta t^{\prime} \sqrt{1-\left(\Delta t / \Delta t^{\prime}\right)^{2}}=4,5 \mathrm{M}$.
1.402. $s=c \Delta t \sqrt{1-\left(\Delta t_{0} / \Delta t\right)^{2}}=5 \mathrm{M}$.
1.403. а) $\Delta t_{0}=(l / v) \sqrt{1-(v / c)^{2}}=1,4 \mathrm{MKc}$; б) $l^{\prime}=l \sqrt{1-(v / c)^{2}}=0,42 \mathrm{kM}$.
1.404. $l_{0}=v \Delta t / \sqrt{1-(v / c)^{2}}=17 \mathrm{M}$.
1.405. $l_{0}=\sqrt{\Delta x_{1} \Delta x_{2}}=6,0 \mathrm{M} . \quad v=c \sqrt{1-\Delta x_{1} / \Delta x_{2}}=2,2 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.406. $v=\left(2 l_{0} / \Delta t\right) /\left[1+\left(l_{0} / c \Delta t\right)^{2}\right]$.
1.407. Частица, двигавшаяся впереди, распалась позже на время $\Delta t=$ $=l \beta / c\left(1-\beta^{2}\right)=20 \mathrm{Mxc}$, где $\beta=v / c$.
1.408. а) $l_{0}=\left[x_{A}-x_{B}-v\left(t_{A}-t_{B}\right)\right] / \sqrt{1-(v / c)^{2}}$; б) $t_{A}-t_{B}=\left(1-\sqrt{1-(v / c)^{2}}\right) l_{0} / v$ или $t_{B}-t_{A}=\left(1+\sqrt{1-(v / c)^{2}}\right) l_{0} / v$.
1.409. а) $t(B)=l_{0} / v, \quad t\left(B^{\prime}\right)=\left(l_{0} / v\right) \sqrt{1-(v / c)^{2}}$; б) $t(A)=\left(l_{0} / v\right) \sqrt{1-(v / c)^{2}}$, $t\left(A^{\prime}\right)=l_{0} / v$.
1.410. С \”точки зрения\” $\boldsymbol{K}$-часов см. рис. 11.
Рис. 11
1.411. $\dot{x}=\left(1-\sqrt{1-\beta^{2}}\right) c / \beta$, где $\beta=V / c$.
1.412. Для этого необходимо убедиться, что при $t_{2}>t_{1}$ и $t_{2}^{\prime}>t_{1}^{\prime}$.
1.413. а) $13 \mathrm{нс} ;$ б) $4,0 \mathrm{~m}$.
1.414. $v^{\prime}=\sqrt{\left(v_{x}-V\right)^{2}+v_{y}^{2}\left(1-V^{2} / c^{2}\right)} /\left(1-v_{x} V / c^{2}\right)$.
1.415. a) $d s / d t=v_{1}+v_{2}=1,25 c$; б) $v=\left(v_{1}+v_{2}\right) /\left(1+v_{1} v_{2} / c^{2}\right)=0,91 c$.
1.416. $l=l_{0}\left(1-\beta^{2}\right) /\left(1+\beta^{2}\right)$, где $\beta=v / c$.
1.417. $v=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-\left(v_{1} v_{2} / c\right)^{2}}$.
1.418. $s=\Delta t_{0} \sqrt{\frac{V^{2}+\left(1-\beta^{2}\right) v^{\prime 2}}{\left(1-\beta^{2}\right)\left(1-v^{\prime 2} / c^{2}\right)}}$, где $\beta=V / c$.
1.419. $\operatorname{tg} \theta^{\prime}=\left(\sqrt{1-\beta^{2}} \sin \theta\right) /(\cos \theta-V / v)$, где $\beta=V / c$.
1.420. $\operatorname{tg} \theta=v^{\prime} V / c^{2} \sqrt{1-(V / c)^{2}}$.
1.421. а) $a^{\prime}=a\left(1-\beta^{2}\right)^{3 / 2} /(1-\beta v / c)^{3}$; б) $a^{\prime}=a\left(1-\beta^{2}\right)$. Здесь $\beta=V / c$.
1.422. Воспользуемся связью между ускорением $a^{\prime}$ и ускорением $a$ в системе отсчета, связанной с Землей: $a^{\prime}=\left(1-v^{2} / c^{2}\right)^{-3 / 2} d v / d t$. Эта формула приведена в решении предыдущей задачи (пункт a), где следует положить $\boldsymbol{V}=\boldsymbol{v}$. Проинтегрировав данное уравнение (при $\boldsymbol{a}^{\prime}=$ const), получим $\boldsymbol{v}=$ $=a^{\prime} t / \sqrt{1+\left(a^{\prime} t / c\right)^{2}}$. Искомый путь $l=\left(\sqrt{1+\left(a^{\prime} t / c\right)^{2}}-1\right) c^{2} / a^{\prime}=0,91$ светового года; $(c-v) / c=\left(c / a^{\prime} t\right)^{2} / 2=0,47 \%$.
1.423. Имея в виду, что $v=a^{\prime} t / \sqrt{1+\left(a^{\prime} t / c\right)^{2}}$, получим
\[
\tau_{0}=\int_{0}^{t} \frac{d t}{\sqrt{1+\left(a^{\prime} t / c\right)^{2}}}=\frac{c}{a^{\prime}} \ln \left[\frac{a^{\prime} \tau}{c}+\sqrt{1+\left(\frac{a^{\prime} \tau}{c}\right)^{2}}\right]=3,5 \mathrm{mec} .
\]
1.424. $m_{r} / m=1 / \sqrt{2 \eta} \approx 70$.
1.425. $v=c \sqrt{\eta(2+\eta)} /(1+\eta)=0,6 c$.
1.426. $(c-v) / c=1-1 / \sqrt{1+(m c / p)^{2}}=0,44 \%$.
1.427. $v=(c / \eta) \sqrt{\eta^{2}-1}=0,70 c$.
1.428. $A=0,42 m c^{2}$ вместо $0,14 m c^{2}$.
1.429. $v=c \sqrt{3 / 4}=2,6 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.430. При $\eta \ll 1$ отношение $K / m c^{2}<4 \eta / 3=0,013$.
1.431. $p=\sqrt{K\left(K+2 m c^{2}\right)} / c=1,09 \Gamma э В / c$, где $c$ – скорость света.
1.432. $v=2 p K /\left(p^{2}+K^{2} / c^{2}\right)=0,87 c$.
1.433. $F=(I / e c) \sqrt{K\left(K+2 m c^{2}\right)}, P=K I / e$.
1.434. $\Delta E / m=\left(1 / \sqrt{1-(v / c)^{2}}-1\right) c^{2}=3,6 \cdot 10^{17} \mathrm{Zz} / \mathrm{xr}$.
1.435. $v=c / \sqrt{1+(m c / F t)^{2}}, s=\left(\sqrt{1+(F t / m c)^{2}}-1\right) m c^{2} / F$.
1.436. $F=m c^{2} / \alpha$.
1.437. а) В двух случаях, когда $F \| v$ и $F_{1 v} ;$ б) $F_{\perp}=m a / \sqrt{1-\beta^{2}}$, $\mathbf{F}_{I I}=m a /\left(1-\beta^{2}\right)^{3 / 2}$, где $\beta=v / c$.
1.439. $\varepsilon^{\prime}=\varepsilon \sqrt{(1-\beta) /(1+\beta)}$, где $\beta=V / c, V=3 c / 5$.
1.441. $v=c \sqrt{1-(2 m / M)^{2}}$.
1.442. а) $\tilde{X}=2 m c^{2}\left(\sqrt{1+K / 2 m c^{2}}-1\right)=777 \mathrm{M} 9 B$; б) $\tilde{p}=\sqrt{m K / 2}=940 \mathrm{M} 9 \mathrm{~B} / c$, где $c$ – скорость света.
1.443. $M=\sqrt{2 m\left(K+2 m c^{2}\right)} / c, V=c \sqrt{X /\left(X+2 m c^{2}\right)}$.
1.444. $K^{\prime}=2 K\left(K+2 m c^{2}\right) / m c^{2}=1,43 \cdot 10^{3} \Gamma 9 B$.
1.445. $E_{1 \text { мах }}=\left[m_{0}^{2}+m_{1}^{2}-\left(m_{2}+m_{3}\right)^{2}\right] c^{2} / 2 m_{0}$. Частица $m_{1}$ будет иметь наибольшую энергию в том случае, когда энергия системы двух других частиц ( $m_{2}$ и $m_{3}$ ) будет наименьшей, т.е. когда они движутся как единое целое.
1.446. $v / c=\left[1-\left(m / m_{0}\right)^{2 n / c}\right] /\left[1+\left(m / m_{0}\right)^{2 u / c}\right]$. Воспользоваться зақоном сохранения импульса (подобно решению задачи 1.136) и релятивистской формулой преобразования скорости.
2.1. Отношение $F_{\mathrm{sI}} / F_{\text {гр }}$ равно соответственно $4 \cdot 10^{42}$ и $1 \cdot 10^{36} ; q / m=0,86 \times$ $\times 10^{-10} \mathrm{~K} / \mathrm{xr}$.
2.2. $q_{1,2}=l \sqrt{4 \pi \varepsilon_{0} F}\left(1 \pm \sqrt{1+F_{0} / F}\right)=+1,20$ и $-0,133$ мкКл или те же значения, но с противоположными знаками.
2.3. $q_{3}=-q_{1} q_{2} /\left(\sqrt{q_{1}}+\sqrt{q_{2}}\right)^{2}, \quad \mathrm{r}_{3}=\left(\mathbf{r}_{1} \sqrt{q_{2}}+\mathbf{r}_{2} \sqrt{q_{1}}\right) /\left(\sqrt{q_{1}}+\sqrt{q_{2}}\right)$.
2.4. $q=l \sqrt{32 \pi \varepsilon_{0} m g \sin ^{3} \alpha} / \sqrt[4]{9-12 \sin ^{2} \alpha}=0,50$ мKKл.
2.5. $d q / d t=1,5 v \sqrt{2 \pi \varepsilon_{0} m g^{0}}=0,40 \mathrm{HK} \pi / \mathrm{c}$.
2.6. $a=\sqrt{3} q^{2} / 20 \pi \varepsilon_{0} m l^{2}=13 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$.
2.7. $\Delta F=q q_{0} / 8 \pi^{2} \varepsilon_{0} R^{2}=50 \mathrm{H}$.
2.8. $\mathrm{B}=2,7 \mathrm{i}-3,6 \mathrm{j}, E=4,5 \mathrm{kB} / \mathrm{M}$.
2.9. $E=q l / \sqrt{2} \pi \varepsilon_{0}\left(l^{2}+x^{2}\right)^{3 / 2}=9 \mathrm{kB} / \mathrm{M}$.
2.10. $E=3 q / 4 \pi \varepsilon_{0} l^{2}=1,0 \mathrm{kB} / \mathrm{M}$.
2.11. $E=q / 2 \pi^{2} \varepsilon_{0} R^{2}=0,10 \mathrm{xB} / \mathrm{M}$.
2.12. $E=q l / 4 \pi \varepsilon_{0}\left(R^{2}+l^{2}\right)^{3 / 2}$. При $l \gg R E \approx q / 4 \pi \varepsilon_{0} l^{2}$, как для точечного заряда. $E_{\text {масх }}=q / 6 \sqrt{3} \pi \varepsilon_{0} R^{2}$ при $l=R / \sqrt{2}$.
2.13. $E=\lambda / 4 \pi \varepsilon_{0} R$.
2.14. $E=\sigma / 4 \varepsilon_{0}=1,7 \mathrm{kB} / \mathrm{M}$.
2.15. $E=\sigma l / 2 \varepsilon_{0} \sqrt{R^{2}+l^{2}}$.
2.16. $E=q \lambda / 4 \pi \varepsilon_{0} R$.
2.17. а) $E=\lambda_{0} / 4 \varepsilon_{0} R$; б) $E=\lambda_{0} R^{2} / 4 \varepsilon_{0}\left(x^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}$, при $x \gg R E \approx p / 4 \pi \varepsilon_{0} x^{3}$, где $p=\pi R^{2} \lambda_{0}$.
2.18. а) $E=q / 4 \pi \varepsilon_{0} r \sqrt{r^{2}+a^{2}}$; б) $E=q / 4 \pi \varepsilon_{0}\left(r^{2}-a^{2}\right)$. В обоих случаях при $r \gg a$ напряженность $E \approx q / 4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}$.
2.19. $E=\lambda \sqrt{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} y$. Вектор $\mathrm{B}$ направлен под углом $45^{\circ}$ к нити.
2.20. а) $E=\lambda \sqrt{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} R$; б) $E=0$.
2.21. $\mathrm{B}=-\mathrm{a} r / 3 \varepsilon_{0}$.
2.22. $\mathbf{B}=-\mathbf{k} \sigma_{0} / 3 \varepsilon_{0}$, где $\mathbf{k}$ – орт оси $z$, от которой отсчитывается угол $\boldsymbol{0}$. Как видно, поле внутри данной сферы однородно.
2.23. $\mathrm{B}=-\mathrm{a} R^{2} / 6 \varepsilon_{0}$.
2.24. $E_{x}=\alpha\left(x^{2}-a^{2}\right) / 2 \varepsilon_{0}, E=\left|E_{x}\right|$.
2.25. $E_{\text {max }}=\lambda / \pi \varepsilon_{0} l=40 \mathrm{kB} / \mathrm{M}$.
2.26. $F=\lambda^{2} / 2 \varepsilon_{0}$.
2.27. $E=\sigma_{0} / 2 \varepsilon_{0}$, направление вектора $\mathrm{B}$ соответствует углу $\varphi=\pi$.
2.28. а) $F=\sigma q / 6 \varepsilon_{0}$; б) $F \approx \sigma^{2} l^{2} / 2 \varepsilon_{0}$.
2.29. $q=4 \pi \varepsilon_{0} a R$.
2.30. $p=4 \varepsilon_{0} a r$.
2.31. а) $E(r \leqslant R)=\rho_{0} r(1-3 r / 4 R) / 3 \varepsilon_{0}, E(r \geqslant R)=\rho_{0} R^{3} / 12 \varepsilon_{0} r^{2}$; б) $E_{\text {мarc }}=$ $=\rho_{0} R / 9 \varepsilon_{0}$ при $r_{m}=2 R / 3$.
2.32. $q=2 \pi R^{2} \alpha, E=\alpha / 2 \varepsilon_{0}$.
2.33. $\mathbf{B}=\mathbf{a} \rho / 3 \varepsilon_{0}$.
2.34. $B=a \rho / 3 \varepsilon_{0}$.
2.35. $v_{\text {maxc }}=q / \sqrt{6 \pi \varepsilon_{0} m a}$.
2.36. $\Delta \varphi=\left(1-1 / \sqrt{1+(l / R)^{2}}\right) q / 2 \pi \varepsilon_{0} R=12 \mathrm{kB}$.
2.37. $\varphi_{1}-\varphi_{2}=\left(\lambda / 2 \pi \varepsilon_{0}\right) \ln \eta=5 \mathrm{kB}$.
2.38. $A=\left(1-1 / \sqrt{1+(l / R)^{2}}\right) q^{\prime} q / 4 \pi \varepsilon_{0} R=0,10$ Дж.
2.39. $\varphi=\left(\sqrt{1+(R / l)^{2}}-1\right) \sigma l / 2 \varepsilon_{0}, \quad E=\left(1-1 / \sqrt{1+(R / l)^{2}}\right) \sigma / 2 \varepsilon_{0} . \quad \Pi$. $\quad l \rightarrow 0$ потенциал $\varphi=\sigma R / 2 \varepsilon_{0}, E=\sigma / 2 \varepsilon_{0} ;$ при $l \gg R$ потенциал $\varphi \approx q / 4 \pi \varepsilon_{0} l$, $E \approx q / 4 \pi \varepsilon_{0} l^{2}$, где $q=\sigma \pi R^{2}$.
2.40. $\varphi=\sigma R / 2 \varepsilon_{0}$.
2.41. $\varphi=\sigma R / \pi \varepsilon_{0}$.
Рис. 12
2.42. а) $\varphi_{0}=3 q / 8 \pi \varepsilon_{0} R$; б) $\varphi=\varphi_{0}\left(1-r^{2} / 3 R^{2}\right), r \leqslant R$.
2.43. $\mathbf{B}=-\mathbf{a}$, т.е. поле однородное.
2.44. а) $\mathrm{B}=-2 a(x \mathbf{i}-y \mathbf{j})$; б) $\mathrm{B}=-a(y \mathrm{i}+x \mathbf{j})$. Здесь $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}-$ орты осей $x$ и у. См. рис. 12, соответствующий случаю $a>0$.
2.45. $E_{d}=-\alpha(y-6 z) / \sqrt{10}=-6,0 \alpha$.
2.46. $E=\sqrt{E_{r}^{2}+E_{t}^{2}}=\left(p / 4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}\right) \sqrt{1+3 \cos ^{2} \theta}, \quad$ где $\quad E_{r}-$ радиальная, а $E_{\hat{0}}$ – перпендикулярная к ней составляющие вектора $\mathbf{B}$.
2.47. $R=\sqrt[3]{p / 4 \pi \varepsilon_{0} E_{0}}$.
2.48. $\varphi \approx\left(\lambda l / 2 \pi \varepsilon_{0} r\right) \cos \hat{0}, E \approx \lambda l / 2 \pi \varepsilon_{0} r^{2}$.
2.49. $p=a l^{3} / 6$.
2.50. a) $p=2 q a / \pi$; б) $E=q a / \pi^{2} \varepsilon_{0} r^{3}$.
2.51. $\varphi=\frac{q l}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{x}{\left(R^{2}+x^{2}\right)^{3 / 2}}, \quad E_{x}=\frac{q l}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{R^{2}-2 x^{2}}{\left(R^{2}+x^{2}\right)^{5 / 2}}$, где $E_{x}-$ проекция вектора В на ось $\boldsymbol{x}$. Графики этих зависимостей показаны на рис. 13. При $|x| \gg R$ потенциал $\varphi \approx q l / 4 \pi \varepsilon_{0} x^{2}$ и $E_{x} \approx q l / 2 \pi \varepsilon_{0} x^{3}$.
2.52. $A=p E_{1}$, от $E_{2}$ не зависит.
2.53. а) Сила $\mathbf{P}=0$; б) $\mathbf{F}=$ $=-\lambda \mathrm{p} / 2 \pi \varepsilon_{0} r^{2}$; в) $\mathrm{F}=\lambda \mathrm{p} / 2 \pi \varepsilon_{0} r^{2}$.
2.54. $\quad F=3 p^{2} / 2 \pi \varepsilon_{0} l^{4}=2,1 \times$ $\times 10^{-16} \mathrm{H}$.
2.55.
a) $\varphi=-a x y+$ const;
Рис. 13
б) $\varphi=a y\left(y^{2} / 3-x^{2}\right)+$ const; в) $\varphi=$ $=-y(a x+b z)+$ const.
2.56. $p=6 \varepsilon_{0} a x$.
2.57. $\rho=2 \varepsilon_{0} \Delta \varphi / d^{2}, E=\rho d / \varepsilon_{0}$.
2.58. $\rho=-6 \varepsilon_{0} a$.
2.59. $q=4 l \sqrt{\pi \varepsilon_{0} x x}$.
2.60. $l=\sqrt{e / 16 \pi \varepsilon_{0} E}=6,0 \mathrm{MKM}$.
2.61. $A=q^{2} / 16 \pi \varepsilon_{0} l=0,15$ Дж.
2.62. $F=(2 \sqrt{2}-1) q^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0} l^{2}$.
2.63. $F=(2 \sqrt{2}-1) q^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} l^{2}=8 \mathrm{H}$.
2.64. $F=(2 \sqrt{2}-1) q^{2} / 32 \pi \varepsilon_{0} l^{2}=3,3 \mathrm{H}$.
2.65. $F=3 p^{2} / 32 \pi \varepsilon_{0} l^{4}$.
2.66. $\sigma=-q l / 2 \pi\left(l^{2}+r^{2}\right)^{3 / 2}$.
2.67. а) $F_{\text {ex }}=\lambda^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} l$; б) $\sigma=\lambda l / \pi\left(l^{2}+x^{2}\right)$.
2.68. а) $\sigma=\lambda / 2 \pi l$; б) $\sigma(r)=\lambda / 2 \pi \sqrt{l^{2}+r^{2}}$.
2.69. $\sigma=q l / 2 \pi\left(l^{2}+R^{2}\right)^{3 / 2}=70 \mathrm{HK} \pi / \mathrm{m}^{2}$.
2.70. $\varphi=q / 4 \pi \varepsilon_{0} l=15 \mathrm{xB}$.
2.71. $\varphi=q / 4 \pi \varepsilon_{0} \sqrt{R^{2}+l^{2}}=0,18 \mathrm{kB}$.
2.72. $\varphi=\left(1 / r-1 / R_{1}+1 / R_{2}\right) q / 4 \pi \varepsilon_{0}=1,0 \mathrm{xB}$.
2.73. $q_{2}=-q_{1} b / a ; \varphi=\frac{q_{1}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \times\left\{\begin{array}{lll}(1 / r-1 / a) & \text { при } & a \leqslant r \leqslant b, \\ (1-b / a) / r & \text { при } & r \geqslant b .\end{array}\right.$
2.74. а) $E_{23}=\Delta \varphi / d, \quad E_{12}=E_{34}=E_{23} / 2 ;$ б) $\quad\left|\sigma_{1}\right|=\sigma_{4}=\varepsilon_{0} \Delta \varphi / 2 d, \quad \sigma_{2}=\left|\sigma_{3}\right|=$ $=3 \varepsilon_{0} \Delta \varphi / 2 d$.
2.75. $\Delta q=q l / d$.
2.76. $q_{1}=-q(l-x) / l, q_{2}=-q x / l$. У к а з а и и е. Если заряд $q$ мысленно \”размазать\” по плоскости, проходящей через этот заряд и параллельной проводящим плоскостям, то заряды $\boldsymbol{q}_{1}$ и $\boldsymbol{q}_{2}$ не изменятся. Изменится только их распределение, и электрическое поле станет простым для расчета.
2.77. $d F / d S=\sigma^{2} / 2 \varepsilon_{0}=0,12 \mathrm{kH} / \mathrm{M}^{2}$.
2.78. $F=q^{2} / 32 \pi \varepsilon_{0} R^{2}=0,5 \mathrm{xH}$.
2.79. $F=\pi R^{2} \sigma_{0}^{2} / 4 \varepsilon_{0}$.
2.80. $W=\beta \varepsilon_{0} E^{2} / 2=p E / 2$.
2.81. $F=3 \beta p^{2} / 4 \pi^{2} \varepsilon_{0} l^{7}$.
2.82. а) $x_{0}=R / \sqrt{2}$; б) $x_{1}=0,29 R$ (отталкивание), $x_{2}=1,1 R$ (притяжение). См. рис. 14.
2.83. $P=q(\varepsilon-1) r / 4 \pi \varepsilon r^{3}, \quad q^{\prime}=$ $=-q(\varepsilon-1) / \varepsilon$.
2.84. $\sigma^{\prime}=q\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}\right) / 4 \pi \varepsilon_{1} \varepsilon_{2} a^{2}$.
2.86. Заряд $q_{\text {nутр }}^{\prime}=-q(\varepsilon-1) / \varepsilon=$ $=-2,0 \mathrm{mkK \pi} ; \quad q_{\text {mapyz }}^{\prime}=q(\varepsilon-1) / \varepsilon=$ $=2,0 \mathrm{MxK \pi}$.
2.87. Величина $\rho^{\prime}=-p(\varepsilon-1) / \varepsilon=$ $=-30 \mathrm{MKK} / \mathrm{M}^{3}$.
2.88. См. а) рис. 15 , б) рис. 16.
Рис. 15
Рис. 16
2.89. $E=\left(E_{0} / \varepsilon\right) \sqrt{\cos ^{2} \alpha_{0}+\varepsilon^{2} \sin ^{2} \alpha_{0}}=5,2 \mathrm{~B} / \mathrm{M} ; \operatorname{tg} \alpha=\varepsilon \operatorname{tg} \alpha_{0}$, отсюда $\alpha=74^{\circ}$; $\sigma^{\prime}=\varepsilon_{0}(1-1 / \varepsilon) E_{0} \cos \alpha_{0}=64 \pi \mathrm{K} \pi / \mathrm{m}^{2}$.
2.90. $\cos \theta=\sigma / \varepsilon_{0}(1-\varepsilon) E, \quad \sigma<0$.
2.91. а) $\oint \mathrm{E} d \mathrm{~S}=\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon} \pi R^{2} E_{0} \cos \theta$; б) $\oint \mathrm{D} d \mathrm{r}=-\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) l E_{0} \sin \theta$.
2.92. a) $E(l<d)=\rho l / \varepsilon \varepsilon_{0}, E(l>d)=\rho d / \varepsilon_{0} ; \varphi(l \leqslant d)=-\rho l^{2} / 2 \varepsilon \varepsilon_{0}, \quad \varphi(l \geqslant d)=$ $=-(d / 2 \varepsilon+l-d) \rho d / \varepsilon_{0}$. См. рис. 17 , где $\rho>0$.
б) $\sigma^{\prime}=\rho d(\varepsilon-1) / \varepsilon, \rho^{\prime}=-\rho(\varepsilon-1) / \varepsilon$.
Рис. 17
Рис. 18
2.93. a) $E(r<R)=\rho r / 3 \varepsilon_{0} \varepsilon, E(r>R)=\rho R^{3} / 3 \varepsilon_{0} r^{2}$;
б) $\rho^{\prime}=-\rho(\varepsilon-1) / \varepsilon, \sigma^{\prime}=\rho R(\varepsilon-1) / 3 \varepsilon$. См. рис. 18 .
2.94. $\mathrm{B}=-\mathbf{P d} / 4 \varepsilon_{0} R$.
2.95. $\mathrm{B}=-\mathrm{P}_{0}\left(1-x^{2} / d^{2}\right) / \varepsilon_{0}, \quad U=4 P_{0} d / 3 \varepsilon_{0}$.
2.96. a) $E_{1}=2 \varepsilon E_{0} /(\varepsilon+1), \quad E_{2}=2 E_{0} /(\varepsilon+1), D_{1}=D_{2}=2 \varepsilon \varepsilon_{0} E_{0} /(\varepsilon+1)$;
б) $E_{1}=E_{0}, E_{2}=E_{0} / \varepsilon, D_{1}=D_{2}=\varepsilon_{0} E_{0}$.
2.97. a) $E_{1}=E_{2}=E_{0}, \quad D_{1}=\varepsilon_{0} E_{0}, \quad D_{2}=\varepsilon D_{1} ;$ б) $\quad E_{1}=E_{2}=2 E_{0} /(\varepsilon+1), \quad D_{1}=$ $=2 \varepsilon_{0} E_{0} /(\varepsilon+1), D_{2}=\varepsilon D_{1}$.
2.98. $E=q / 2 \pi \varepsilon_{0}(\varepsilon+1) r^{2}$.
2.99. $\sigma_{\text {max }}^{\prime}=(\varepsilon-1) \varepsilon_{0} E=3,5 \mathrm{HK} / \mathrm{M}^{2}, q^{\prime}=\pi R^{2}(\varepsilon-1) \varepsilon_{0} E=10 \mathrm{nK} \pi$.
2.100. а) $\sigma^{\prime}=-q l(\varepsilon-1) / 2 \pi r^{3}(\varepsilon+1)$; б) $q^{\prime}=-q(\varepsilon-1) /(\varepsilon+1)$.
2.101. $F=q^{2}(\varepsilon-1) / 16 \pi \varepsilon_{0} l^{2}(\varepsilon+1)$.
2.102. $D=q / 2 \pi(1+\varepsilon) r^{2}$ в вакууме, $D=\varepsilon q / 2 \pi(1+\varepsilon) r^{2}$ в диэлектрике; всюду $E=q / 2 \pi \varepsilon_{0}(1+\varepsilon) r^{2}, \varphi=q / 2 \pi \varepsilon_{0}(1+\varepsilon) r$.
2.103. $\sigma^{\prime}=q l(\varepsilon-1) / 2 \pi r^{3} \varepsilon(\varepsilon+1) ; \sigma^{\prime} \rightarrow 0$ при $l \rightarrow 0$.
2.104. $\sigma^{\prime}=q l(\varepsilon-1) / 2 \pi r^{3} \varepsilon$.
2.105. $\mathrm{B}_{1}=\mathbf{P} h / \varepsilon_{0} d$ (в зазоре), $\mathbf{B}_{2}=-(1-h / d) \mathbf{P} / \varepsilon_{0}, \mathbf{D}_{1}=\mathbf{D}_{2}=\mathbf{P} h / d$.
2.106. $\rho^{\prime}=-2 \alpha$, т.е. от $r$ не зависит.
2.107. a) $\mathrm{B}=-\mathrm{P} / 3 \varepsilon_{0}$.
2.108. $\mathbf{B}=3 \mathrm{E}_{0} /(\varepsilon+2), \quad \mathbf{P}=3 \varepsilon_{0} \mathrm{~B}_{0}(\varepsilon-1) /(\varepsilon+2)$.
2.109. $p=\rho_{0} \varepsilon /(\varepsilon-1)=1,6 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$, где $\varepsilon$ и $\rho_{0}$ – диэлектрическая проницаемость и плотность керосина.
2.110. $F=q^{2} V(\varepsilon-1) / 8 \pi^{2} \varepsilon \varepsilon_{0} r^{5}$.
2.111. $C=4 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon R_{1} /\left(1+(\varepsilon-1) R_{1} / R_{2}\right)=1,9 \pi \Phi$.
2.112. Уменьшилась в $(\varepsilon+1) / 2=2,0$ раза; $q=\boldsymbol{C} \boldsymbol{U}(\varepsilon-1) / 2(\varepsilon+1)=1,0$ вКл.
2.113. а) $C=\varepsilon_{0} S /\left(d_{1} / \varepsilon_{1}+d_{2} / \varepsilon_{2}\right)$; б) $\sigma^{\prime}=\varepsilon_{0} U\left(\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}\right) /\left(\varepsilon_{1} d_{2}+\varepsilon_{2} d_{1}\right)$.
2.114. a) $C=\varepsilon_{0}\left(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}\right) S / d \ln \left(\varepsilon_{2} / \varepsilon_{1}\right)$; б) $p^{\prime}=-q\left(\varepsilon_{2}-\varepsilon_{1}\right) / d S \varepsilon^{2}$.
2.115. a) $C=4 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon a b /(b-a)$; б) $C=4 \pi \varepsilon_{0} \alpha / \ln (b / a)$.
2.116. a) $C=2 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon l / \ln (b / a)$; б) $C=2 \pi \varepsilon_{0} l \alpha /(b-a)$.
2.117. $C=2 \pi \varepsilon_{0}(1+\varepsilon) a b /(b-a)$.
2.118. $C_{\text {ox }} \approx \pi \varepsilon_{0} / \ln (b / a)=7,1 \Pi \Phi / \mathrm{M}$.
2.119. $C \approx 2 \pi \varepsilon_{0} / \ln (2 b / a)$.
2.120. $C \approx 2 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon a$. У к а з а н и е. При $b \gg a$ можно считать, что заряды распределены по поверхности шариков практически равномерно.
2.121. $C \approx 4 \pi \varepsilon_{0} a$.
2.122. а) $C_{\text {общ }}=C_{1}+C_{2}+C_{3}$; б) $C_{\text {общ }}=C$.
2.123. а) $C=2 \varepsilon_{0} S / 3 d=0,13$ нФ; б) $C=3 \varepsilon_{0} S / 2 d=0,29$ нФ.
2.124. $U \leqslant U_{1}\left(1+C_{1} / C_{2}\right)=9 \mathrm{kB}$.
2.125. $U=\mathscr{E} /\left(1+3 \eta+\eta^{2}\right)=10 \mathrm{~B}$.
2.126. $\boldsymbol{C}_{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{C}(\sqrt{5}-1) / 2$. Так как цепь бесконечна, все звенья, начиная со второго, можно заменить емкостью $C_{x}$, равной искомой.
2.127. $U_{1}=q / C_{1}=10 \mathrm{~B}, U_{2}=q / C_{2}=5 \mathrm{~B}$, где заряд $q=\left(\varphi_{A}-\varphi_{B}+\right.$ $+\mathscr{g}) C_{1} C_{2} /\left(C_{1}+C_{2}\right)$.
2.128. Направление $\mathbf{B}$ в конденсаторах совпадает с направлением обхода контура по часовой стрелке. $U_{1}=\left(\mathscr{E}_{2}-\mathscr{E}_{1}\right) /\left(1+C_{1} / C_{2}\right)=3,0 \mathrm{~B}, \quad U_{2}=\left(\mathscr{E}_{2}-\right.$ $\left.-\mathscr{E}_{1}\right) /\left(1+C_{2} / C_{1}\right)=2,0 \mathrm{~B}$.
2.129. а) $\varphi_{A}-\varphi_{B}=\mathscr{E}\left(C_{2} C_{3}-C_{1} C_{4}\right) /\left(C_{1}+C_{2}\right)\left(C_{3}+C_{4}\right)$; б) $\varphi_{A}-\varphi_{B}=\left(\mathscr{E}_{2} C_{2}-\right.$ $\left.-\mathscr{E}_{1} C_{1}\right) /\left(C_{1}+C_{2}+C_{3}\right)$.
2.130. $q=U /\left(1 / C_{1}^{\prime}+1 / C_{2}+1 / C_{3}\right)=0,06 \mathrm{mK \pi}$.
2.131. $q_{1}=\mathscr{E} C_{2}, q_{2}=-\mathscr{B} C_{1} C_{2} /\left(C_{1}+C_{2}\right)$.
2.132. $q_{1}=\mathscr{E} C_{1}\left(C_{1}-C_{2}\right) /\left(C_{1}+C_{2}\right)=-24 \mathrm{MKK}, q_{2}=\mathscr{E}\left(C_{2}-C_{1}\right)=+60 \mathrm{MKK}$.
2.133. $C_{\text {oбщ }}=2 C_{1} C_{2}+C_{3}\left(C_{1}+C_{2}\right) /\left(C_{1}+C_{2}+2 C_{3}\right)$.
2.134. $v_{\text {maxc }}=e / \sqrt{2 \pi \varepsilon_{0} m a}=2,25 \cdot 10^{2} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
2.135. $W_{a}=(\sqrt{2}+4) q^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} a, W_{\sigma}=(\sqrt{2}-4) q^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} a, W_{s}=-\sqrt{2} q^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} a$.
2.136. $W=\left(\sqrt{1+(l / R)^{2}}-1\right) q_{0} q R / 2 \pi \varepsilon_{0} l^{2}$.
2.137. а) $W_{13}=-q^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0} l$; б) $W_{\cot }=q^{2} / 16 \pi \varepsilon_{0} l$.
2.138. $A=2 \varepsilon_{0} E^{2} S d=30 \mathrm{Mk}$ Д未.
2.139. $\Delta W=-U^{2} C_{1} C_{2} / 2\left(C_{1}+C_{2}\right)=-0,03$ м山х.
2.140. а) $Q=\mathscr{E}^{2} C C_{0} /\left(2 C+C_{0}\right)$; б) $Q=C \mathscr{E}_{2}^{2} / 2$, от $\mathscr{E}_{1}$ не зависит.
2.141. $W=W_{1}+W_{2}+W_{12}=\left(q_{1}^{2} / 2 R_{1}+q_{2}^{2} / 2 R_{2}+q_{1} q_{2} / R_{2}\right) / 4 \pi \varepsilon_{0}$.
2.142. a) $W=3 q^{2} / 20 \pi \varepsilon_{0} R$; б) $W_{1} / W_{2}=1 / 5$.
2.143. $W=(1 / a-1 / b) q^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon=27$ мम及.
2.144. $W=q^{2} / 32 \pi \varepsilon_{0} a$.
2.145. $A=\left(1 / R_{1}-1 / R_{2}\right) q^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0}$.
2.146. $A=q\left(q_{0}+q / 2\right)\left(1 / R_{1}-1 / R_{2}\right) / 4 \pi \varepsilon_{0}=1,8$ Дж.
2.147. $F_{\text {ox }}=\sigma^{2} / 2 \varepsilon_{0}$.
2.148. $A=(1 / a-1 / b) q^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0}$.
2.149. а) $A=q^{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) / 2 \varepsilon_{0} S$;) $A=\varepsilon_{0} S U^{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) / 2 x_{1} x_{2}$.
2.150. а) $A=C U^{2} \eta / 2(1-\eta)^{2}=1,5$ мमा ; б) $A=C U^{2} \eta \varepsilon(\varepsilon-1) / 2[\varepsilon-\eta(\varepsilon-$ -1) $]^{2}=0,8 \mathrm{MHR}$.
2.151. $\Delta p=\varepsilon_{0} \varepsilon(\varepsilon-1) U^{2} / 2 d^{2}=7 \mathrm{x \Pi a}=0,07$ атM.
2.152. $h=(\varepsilon-1) \sigma^{2} / 2 \varepsilon_{0} \varepsilon \rho g$.
2.153. $F=\pi R \varepsilon_{0}(\varepsilon-1) U^{2} / d$.
2.154. $N=\varepsilon_{0}(\varepsilon-1) R^{2} U^{2} / 4 d$, от угла $\alpha$ не зависит.
2.155. $I=2 \pi \varepsilon_{0} a E v=0,5$ MKA.
2.156. $I=2 \pi \varepsilon_{0}(\varepsilon-1) r v U / d=0,11 \mathrm{MKA}$.
2.157. а) $5 R / 6$; б) $7 R / 12$; в) $3 R / 4$.
2.158. $R_{x}=R(\sqrt{3}-1)$.
2.159. $R=\left(1+\sqrt{1+4 R_{2} / R_{1}}\right) R_{1} / 2=6$ Ом. Ук а з а н и е. Поскольку цепь бесконечна, все звенья, начиная со второго, могут быть заменены сопротивлением, равным искомому сопротивлению $\boldsymbol{R}$.
2.160. Подключим мысленно к точкам $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ напряжение $\boldsymbol{U}$. Тогда $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{I} \boldsymbol{R}=\boldsymbol{I}_{0} \boldsymbol{R}_{0}$, где $\boldsymbol{I}$ – ток в подводящих проводах, $\boldsymbol{I}_{0}$ – ток в проводнике $\boldsymbol{A B}$. Ток $I_{0}$ можно представить как сумму двух токов. Если бы ток $I$ \”втекал\” в точку $\boldsymbol{A}$ и растекался по сетке на бесконечность, то по проводнику $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ – из симметрии – шел ток I/4. Аналогично, если бы ток $I$ поступал в сетку из бесконечности и \”вытекал\” из точки $\boldsymbol{B}$, то по проводнику $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ шел тоже ток 1/4. Сумма этих токов $I_{0}=I / 2$. Поэтому $R=R_{0} / 2$.
2.161. $R=(\rho / 2 \pi l) \ln (b / a)$.
2.162. $R=\rho(b-a) / 4 \pi a b$. При $b \rightarrow \infty \quad R=\rho / 4 \pi a$.
2.163. $\rho=4 \pi \Delta t a b /(b-a) C \ln \eta$.
2.164. $R=\rho / 2 \pi a$.
2.165. a) $j=2 a l U / \rho r^{3}$; б) $R \approx \rho / 4 \pi a$.
2.166. а) $j=l U / 2 p r^{2} \ln (l / a)$; б) $R_{1}=(\rho / \pi) \ln (l / a)$.
2.167. $I=U C / \rho \varepsilon \varepsilon_{0}=1,5 \mathrm{MKA}$.
2.168. $R C=\rho \varepsilon \varepsilon_{0}$.
2.169. $\sigma=D_{n}=D \cos \alpha, j=\left(D / \rho \varepsilon \varepsilon_{0}\right) \sin \alpha$.
2.170. $I=U S\left(\sigma_{2}-\sigma_{1}\right) / d \ln \left(\sigma_{2} / \sigma_{1}\right)=5$ нA.
2.172. $q=\varepsilon_{0}\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right) I=-15 \mathrm{aK \pi}$.
2.173. $\sigma=\varepsilon_{0} j \alpha / \sigma_{0}=2,0 \mathrm{MK} / \mathrm{m}^{3}$.
2.174. $\sigma=\varepsilon_{0} U\left(\varepsilon_{2} \rho_{2}-\varepsilon_{1} \rho_{1}\right) /\left(\rho_{1} d_{1}+\rho_{2} d_{2}\right) ; \sigma=0$ при $\varepsilon_{1} \rho_{1}=\varepsilon_{2} \rho_{2}$.
2.175. $q=\varepsilon_{0} I\left(\varepsilon_{2} \rho_{2}-\varepsilon_{1} \rho_{1}\right)$.
2.176. а) $R_{1}=2 \alpha / \pi a^{4}$; б) $E=2 \alpha 1 / \pi a^{4}$.
2.177. $t=-R C \ln \left(1-U / U_{0}\right)=0,6 \mathrm{MKc}$.
2.178. $\rho=\tau / \varepsilon_{0} \varepsilon \ln 2=1,4 \cdot 10^{13} \mathrm{OM} \cdot \mathrm{M}$.
2.179. $I=(\mathcal{Z} / R)(\eta-1) \mathrm{e}^{-\eta t / R C}$.
2.180. $U=\mathscr{E} /(\eta+1)=2,0 \mathrm{~B}$.
2.181. $\varphi_{1}-\varphi_{2}=\left(\mathscr{Z}_{1}-\mathscr{Z}_{2}\right) R_{1} /\left(R_{1}+R_{2}\right)-\mathscr{E}_{1}=-4 \mathrm{~B}$.
2.182. $\boldsymbol{R}=\boldsymbol{R}_{2}-\boldsymbol{R}_{1}, \Delta \varphi=0$ у источника тока с сопротивлением $\boldsymbol{R}_{2}$.
2.183. a) $I=\alpha$; б) $\varphi_{A}-\varphi_{B}=0$.
2.184. $I=(a / 2 R)^{2}\left(\sqrt{1+4 R U_{0} / a^{2}}-1\right)^{2}$.
2.185. $R=5$ Ом. Дуга еще будет гореть, когда прямая $U=U_{0}-R I$ станет касательной к кривой графика на рис. 2.40.
2.186. $\varphi_{A}-\varphi_{B}=\left(\mathscr{E}_{1}-\mathscr{E}_{2}\right) R_{1} /\left(R_{1}+R_{2}\right)=-0,5 \mathrm{~B}$.
2.187. $I_{1}=\mathscr{E} R_{2} /\left(R R_{1}+R_{1} R_{2}+R_{2} R\right)=1,2 \mathrm{~A}, I_{2}=I_{1} R_{1} / R_{2}=0,8 \mathrm{~A}$.
2.188. $U=U_{0} R x /\left(R l+R_{0}(l-x) x / l\right), U\left(R \gg R_{0}\right) \approx U_{0} x / l$.
2.189. $\mathcal{E}=\left(\mathscr{E}_{1} R_{2}+\mathscr{E}_{2} R_{1}\right) /\left(R_{1}+R_{2}\right), R_{1}=R_{1} R_{2} /\left(R_{1}+R_{2}\right)$.
2.190. $I=\left(R_{1} \mathscr{E}_{2}-R_{2} \mathscr{E}_{1}\right) /\left(R R_{1}+R_{1} R_{2}+R_{2} R\right)=0,02 \mathrm{~A}$; направление тока слева направо (см. рис. 2.44).
2.191. a) $\left.I_{1}=\frac{R_{3}\left(\mathscr{E}_{1}-\mathscr{E}_{2}\right)+R_{2}\left(\mathscr{E}_{1}+\mathscr{E}_{3}\right)}{R_{1} R_{2}+R_{2} R_{3}+R_{3} R_{1}}=0,06 \mathrm{~A} ; \sigma\right) \varphi_{A}-\varphi_{B}=\mathscr{E}_{1}-I_{1} R_{1}=0,9 \mathrm{~B}$.
2.192. $I=\frac{\mathscr{E}\left(R_{2}+R_{3}\right)+\mathscr{E}_{0} R_{3}}{R\left(R_{2}+R_{3}\right)+R_{2} R_{3}}$. От $R_{1}$ не зависит.
2.193. $\varphi_{A}-\varphi_{B}=\frac{\mathscr{E}_{2} R_{3}\left(R_{1}+R_{2}\right)-\mathscr{E}_{1} R_{1}\left(R_{2}+R_{3}\right)}{R_{1} R_{2}+R_{2} R_{3}+R_{3} R_{1}}$.
2.194. $I_{1}=\frac{R_{3}\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)+R_{2}\left(\varphi_{1}-\varphi_{3}\right)}{R_{1} R_{2}+R_{2} R_{3}+R_{3} R_{1}}=0,2 \mathrm{~A}$.
2.195. $I=U\left(R_{2}-R_{1}\right) / 2 R_{1} R_{2}=1,0 \mathrm{~A}$. Ток течет от $1 \mathrm{k} 2$.
2.196. $R_{A B}=R_{2}\left(R_{2}+3 R_{1}\right) /\left(R_{1}+3 R_{2}\right)=70$ OM.
2.197. $U=\left(1-\mathrm{e}^{2 t / R C}\right) \mathscr{E} / 2$.
2.198. а) $Q=4 q^{2} R / 3 \Delta t=20 \mathrm{k}\left(\mathrm{z}\right.$; б) $Q=\ln 2 \cdot q^{2} R / 2 \Delta t=0,13 \mathrm{M} \mathrm{mm}^{2}$.
2.199. $R=3 R_{0}$.
2.201. $Q=I(\mathscr{E}-U)=0,6 \mathrm{Br}, P=-U I=-2,0 \mathrm{Br}$.
2.202. $I=U / 2 R, P_{\text {vax }}=U^{2} / 4 R, \eta=1 / 2$.
2.203. $P=U I \approx 5 \mathrm{~B}$, где $I$ и $U$ – значения тока и напряжения в точке пересечения прямой $I=\mathscr{E} / R_{t}-U\left(R+R_{t}\right) / R R_{i}$ с кривой графика (см. рис. 2.53).
2.204. $R_{x}=R_{1} R_{2} /\left(R_{1}+R_{2}\right)=120 \mathrm{OM}$.
2.205. $R=R_{1} R_{2} /\left(R_{1}+R_{2}\right), Q_{\operatorname{maxc}}=\left(\mathscr{E}_{1} R_{2}+\mathscr{E}_{2} R_{1}\right)^{2} / 4 R_{1} R_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)$.
2.206. $Q=C \mathscr{E}^{2} R_{1} / 2\left(R_{1}+R_{2}\right)=60$ MमझR.
2.207. а) $\Delta W=-C U^{2} \eta / 2(1-\eta)=-0,15$ мमा ; б) $A=C U^{2} \eta / 2(1-\eta)=$ $=0,15$ мपार.
2.208. $\Delta W=-(\varepsilon-1) C U^{2} / 2=-0,5$ мमा, $A=(\varepsilon-1) C U^{2} / 2=0,5$ мда.
2.209. $h \approx \varepsilon_{0}(\varepsilon-1) U^{2} / 2 \rho g d^{2}$, где $\rho$ – плотность воды.
2.210. а) $q=q_{0} \exp \left(-t / \varepsilon_{0} \varepsilon p\right)$; б) $Q=(1 / a-1 / b) q_{0}^{2} / 8 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon$.
2.211. а) $q=q_{0}\left(1-\mathrm{e}^{-\tau / R C}\right)=0,18 \mathrm{MK \pi}$; б) $Q=\left(1-\mathrm{e}^{-2 \tau / R C}\right) q_{0}^{2} / 2 C=82 \mathrm{M}$ Д .
2.212. a) $I=\left(U_{0} / R\right) \mathrm{e}^{-2 t / R C}$; б) $Q=C U_{0}^{2} / 4$.
2.213. $e / m=l \omega r / q R=1,8 \cdot 10^{11} \mathrm{K \pi} / \mathrm{KT}$.
2.214. $p=I l m / e=0,40 \mathrm{MKH} \cdot c$.
2.215. а) $t=e n l S / I=3 \mathrm{Mc} \approx 35 \mathrm{cyт}$; б) $F=e n l \rho I=1,0 \mathrm{MH}$, где $\rho-$ удельное сопротивление.
2.216. $E=\left(I / 2 \pi \varepsilon_{0} r\right) \sqrt{m / 2 e U}=0,32 \mathrm{xB} / \mathrm{M}, \Delta \varphi=r E / 2=0,80 \mathrm{~B}$.
2.217. а) $\rho(x)=-(4 / 9) \varepsilon_{0} a x^{-2 / 3}$; б) $j=(4 / 9) \varepsilon_{0} a^{3 / 2} \sqrt{2 e / m}$.
2.218. $n=I d / e\left(u_{0}^{+}+u_{0}^{-}\right) U S=2,3 \cdot 10^{8} \mathrm{~cm}^{-3}$.
2.219. $u_{0}=\omega_{0} l^{2} / 2 U_{0}$.
2.220. а) $\dot{n}_{i}=I_{\text {нас }} / e V=6 \cdot 10^{9} \mathrm{cM}^{-3} \cdot \mathrm{c}^{-1}$; б) $n=\sqrt{\dot{n}_{i} / r}=6 \cdot 10^{7} \mathrm{cM}^{-3}$.
2.221. $t=(\eta-1) / \sqrt{r \dot{n}_{i}}=13$ Mc.
2.222. $t=\varepsilon_{0} \eta U / e \dot{n}_{i} d^{2}=4,6 \mathrm{cyт}$.
2.223. $I=e v_{0} e^{a d}$.
2.224. $j=\left(e^{\alpha d}-1\right) e \dot{n}_{i} / \alpha$.
2.225. $B=\varepsilon_{0} \mu_{0} v E \sin \alpha=3,0 \mathrm{\Pi T \pi}$.
2.226. a) $B=\mu_{0} I / 2 R=6,3 \mathrm{MKT \pi}$;
б) $B=\mu_{0} R^{2} I / 2\left(R^{2}+x^{2}\right)^{3 / 2}=2,3 M K T \pi$.
2.227. $B=\sqrt{2} \mu_{0} I / 4 R=20$ мкТл.
2.228. $B=\left(\mu_{0} I / 4 \pi r_{0}\right) \ln (1+2 \pi)$.
2.229. $B=n \mu_{0} I \operatorname{tg}(\pi / n) / 2 \pi R$. При $n \rightarrow \infty \quad B=\mu_{0} I / 2 R$.
2.230. $B=4 \mu_{0} I / \pi d \sin \varphi=0,10 \mathrm{MT} \pi$.
2.231. $B=(\pi-\varphi+\operatorname{tg} \varphi) \mu_{0} I / 2 \pi R=28$ MKT $\pi$.
2.232. a) $B=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi}\left(\frac{2 \pi-\varphi}{a}+\frac{\varphi}{b}\right)$; б) $B=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi}\left(\frac{3 \pi}{2 a}+\frac{\sqrt{2}}{b}\right)$.
2.233. $B \approx \mu_{0} h I / 4 \pi^{2} R r$, где $r$ – расстояние от прорези.
2.234. $B=\mu_{0} I / \pi^{2} R=28 \mathrm{MxT \pi}$.
2.235. а) $B=\mu_{0} \pi I / 4 \pi R$; б) $B=(1+3 \pi / 2) \mu_{0} I / 4 \pi R$; в) $B=(2+\pi) \mu_{0} I / 4 \pi R$.
2.236. a) $B=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) 2 I / a$; б) $B=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) 4 I / a$.
2.237. $B=\sqrt{2} \mu_{0} I / 4 \pi l=2,0$ мкТл.
2.238. $B_{1}=(1+\sqrt{2})_{\mu_{0}} I / 2 l ; B_{2}=(1-\sqrt{2})_{\mu_{0}} I / 2 l$.
2.239. а) $B=\sqrt{4+\pi^{2}} \mu_{0} I / 4 \pi R=30 \mathrm{MKT}$; $\quad$ б) $B=\sqrt{2+2 \pi+\pi^{2}} \mu_{0} I / 4 \pi R=$ $=34 \mathrm{MK}$ Тл.
2.240. $B=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) I / R$. Вклад от токов в кольце равен нулю.
2.241. а) $B=\mu_{0} i / 2$; б) $B=\mu_{0} i$ между плоскостями и $B=0$ вне.
2.242. $B(x \leqslant d)=\mu_{0} j x, \quad B(x \geqslant d)=\mu_{0} j d$.
2.243. В полупространстве, где находится прямой провод, $B=\mu_{0} I / 2 \pi r$, $r$ – расстояние от провода. В другом $\boldsymbol{B}=0$.
2.244. $B=\left(\mu_{0} I / 2 \pi r\right) \operatorname{tg}(\theta / 2)$.
2.245. Этот интеграл равен $\mu_{0} I$.
2.246. $\mathrm{B}(r \leqslant R)=\mu_{0}[\mathrm{jr}] / 2, \mathrm{~B}(r \geqslant R)=\mu_{0}[\mathrm{jr}] R^{2} / 2 r^{2}$.
2.247. $\mathbf{B}=\mu_{0}[\mathbf{j} 1] / 2$, т.е. поле в полости однородное.
2.248. $j(r)=\left(b / \mu_{0}\right)(1+a) r^{\alpha-1}$.
2.249. $B=\mu_{0} n I / \sqrt{1+(2 R / l)^{2}}$.
2.250. $B=\mu_{0} n I\left(1-x / \sqrt{x^{2}+R^{2}}\right) / 2$, где $x>0$ вне соленоида и $x<0$ внутри соленоида; см. рис. 19.
2.251. $B(r<R)=\sqrt{1-(h / 2 \pi R)^{2}} \mu_{0} I / h=0,12 \mathrm{MT}, \quad B(r>R)=\mu_{0} I / 2 \pi r$.
2.252. $\eta \approx N / \pi=0,8 \cdot 10^{3}$.
2.253. $\Phi_{\mathrm{Qx}}=\mu_{0} I / 4 \pi=1,0 \mathrm{MxB} / \mathrm{M}$.
2.254. $\Phi=\Phi_{0} / 2=\mu_{0} n I S / 2$, где $\Phi_{0}$ – поток вектора В сквозь поперечное сечение соленоида вдали от его торцов.
2.255. $\Phi=\left(\mu_{0} / 2 \pi\right) I N h \ln \eta=$ $=8 \mathrm{MxB} 6$.
2.256. $p_{\mathrm{m}}=2 \pi R^{3} B / \mu_{0}=30 \mathrm{MA} \cdot \mathrm{M}^{2}$.
2.257. $p_{\text {mo }}=N I d^{2} / 2=0,5 \mathrm{~A} \cdot \mathrm{M}^{2}$.
2.258. a) $B=\mu_{0} I N \ln (b / a) / 2(b-$ $-a)=7$ мкТл; б) $p_{\mathrm{m}}=\pi I N\left(a^{2}+a b+\right.$ $\left.+b^{2}\right) / 3=15 \mathrm{MA} \cdot \mathrm{M}^{2}$.
Рис. 19
2.259. $\omega^{\prime}=q B / 2 m$.
2.260. а) $B=\mu_{0} \sigma \omega R / 2$; б) $p_{\mathrm{m}}=\pi \sigma \omega R^{4} / 4$.
2.261. $B=2 \mu_{0} \sigma \omega R / 3=29 \mathrm{nTл}$.
2.262. $p_{\mathrm{m}}=q \omega R^{2} / 5, p_{\mathrm{m}} / M=q / 2 m$.
2.263. $B=0$.
2.264. $F_{\mathrm{v}} / F_{0}=\mu_{0} \varepsilon_{0} v^{2}=(v / c)^{2}=1,00 \cdot 10^{-6}$.
2.265. a) $F_{\text {ox }}=\mu_{0} I^{2} / 4 R=0,20 \mathrm{MH} / \mathrm{M}$; б) $F_{0 \mathrm{~g}}=\mu_{0} I^{2} / \pi l=0,13 \mathrm{MH} / \mathrm{M}$.
2.266. $\left(F_{\text {ox }}\right)_{\text {maxc }}=\mu_{0} I^{2} / 4 \pi a$.
2.267. $B=\pi d^{2} \sigma_{m} / 4 R I=8 \mathrm{kT}$, где $\sigma_{m}$ – предел прочности меди.
2.268. $F=n I\left|\Phi_{2}-\Phi_{1}\right|$.
2.269. $F=\pi \mu_{0} n^{2} I^{2} R^{2} / 2=12 \mathrm{MH}$.
2.270. $B=(2 \rho g S / I) \operatorname{tg} \theta=10 \mathrm{M} \pi$, где $\rho-$ плотность меди.
2.271. а) $N=\left(\mu_{0} / \pi\right) I I_{0}(b-a)$; б) $N=\left(\mu_{0} / \pi\right) I I_{0}(b-a) \sin \varphi$.
2.272. $B=\Delta m g l / N I S=0,4 \mathrm{T \pi}$.
2.273. а) $F=2 \mu_{0} I I_{0} / \pi\left(4 \eta^{2}-1\right)=0,40 \mathrm{MkH} ; \quad$ б) $A=\left(\mu_{0} a I I_{0} / \pi\right) \ln [(2 \eta+$ $+1) /(2 \eta-1)]=0,10$ маДа.
2.275. $R \approx \sqrt{\mu_{0} / \varepsilon_{0}} \ln \eta / \pi=0,36$ rOM.
2.276. $F_{\mathrm{ox}}=\mu_{0} I^{2} / \pi^{2} R=0,5 \mathrm{MH} / \mathrm{M}$.
2.277. $F_{\mathrm{ox}}=\mu_{0} I^{2} l / 2 \pi\left(a^{2}-b^{2}\right)$.
2.278. $F_{\mathrm{ox}}=\left(\mu_{0} I_{1} I_{2} / 2 \pi b\right) \ln (1+b / a)$.
2.279. $F_{\text {ox }}=B^{2} / 2 \mu_{0}$.
2.280. Во всех трех случаях $F_{\text {oх }}=\left(B_{1}^{2}-B_{2}^{2}\right) / 2 \mu_{0}$. Сила действует вправо. Ток в листе (проводящей плоскости) направлен за чертеж.
2.281. $\Delta p=I B / a=0,5 \mathrm{xIla}$.
2.282. $p=\mu_{0} I^{2} / 8 \pi^{2} R^{2}=16 \mathrm{M \Pi a}$.
2.283. $p=\mu_{0} n^{2} I^{2} / 2=1,0 \mathrm{xIIa}$.
2.284. $I_{\text {mp }}=\sqrt{2 F_{\text {mp }} / \mu_{0} n R}=1,4 \mathrm{xA}$.
2.285. $P=v^{2} B^{2} d^{2} R /(R+\rho d / S)^{2}$; при $R=\rho d / S \quad$ мощность $\quad P=P_{\text {waxc }}=$ $=v^{2} B^{2} d S / 4 p$.
2.286. $U=\mu_{0} I^{2} / 4 \pi^{2} R^{2} n e=2 \pi B$.
2.287. $n=j B / e E=2,5 \cdot 10^{28} \mathrm{M}^{-3}$, почти 1:1.
2.288. $u_{0}=1 / \eta B=3,2 \cdot 10^{-3} \mathrm{M}^{2} /(\mathrm{B} \cdot \mathrm{c})$.
2.289. а) $F=0$; б) $F=\mu_{0} I p_{\mathrm{m}} / 2 \pi r^{2}, \mathrm{~F} \downharpoonright \dagger \mathrm{B}$; в) $F=\mu_{0} I p_{\mathrm{m}} / 2 \pi r^{2}, \mathrm{~F} \downarrow \uparrow \mathrm{r}$.
2.290. $F=3 \mu_{0} R^{2} I p_{\mathrm{m}} x / 2\left(R^{2}+x^{2}\right)^{5 / 2}$.
2.291. $F=3 \mu_{0} p_{1 \mathrm{~m}} p_{2 \mathrm{~m}} / 2 \pi l^{4}=9 \mathrm{HH}$.
2.292. $I^{\prime} \approx 2 B x^{3} / \mu_{0} R^{2}=0,5 \mathrm{xA}$.
2.293. $B^{\prime}=B \sqrt{\cos ^{2} \alpha+\mu^{2} \sin ^{2} \alpha}$.
2.294. a) $\oint \mathrm{H} d \mathrm{~S}=\frac{\mu-1}{\mu \mu_{0}} \pi R^{2} B \cos \theta$; б) $\oint \mathrm{B} d \mathrm{r}=(1-\mu) B l \sin \theta$.
2.295. а) $I_{\text {pos }}^{\prime}=\chi I ;$ б) $I^{\prime}{ }_{\text {об }}=\chi I$; в противоположные стороны.
2.296. a) $J=\left(a B_{0} / \mu_{0}\right) r^{2}$; б) $j^{\prime}=\left(2 a B_{0} / \mu_{0}\right) r$.
2.297. См. рис. 20.
2.298. $B=\mu_{0} \mu_{1} \mu_{2} I /\left(\mu_{1}+\mu_{2}\right) \pi r$.
2.299. $B=2 B_{0} \mu /(1+\mu)$.
2.300. $B=3 B_{0} \mu /(2+\mu)$.
2.301. а) $\mathbf{B}=\mathbf{0}$ всюду, вне пластины 0 , внутри $\mathbf{H}=-\boldsymbol{J}$; б) $\mathbf{B}=0$ вне пласы, внутри $\mathbf{H}=0, \mathbf{B}=\mu_{0} \mathbf{J}$.
2.302. $H_{c}=N I / l=6 \mathrm{kA} / \mathrm{M}$.
Рис. 20
2.303. $H \approx b B / \mu_{0} \pi d=0,10 \mathrm{kA} / \mathrm{M}$.
2.304. $B \approx \mu_{0} J_{r} /\left(1+b J_{r} / 2 \pi a H_{c}\right)=$ $=1,0 \mathrm{Tr}$.
2.305. При $b \ll R \mu \approx 2 \pi R B /\left(\mu_{0} N I-b B\right)=3,7 \cdot 10^{3}$.
2.306. $H=0,06 \mathrm{zA} / \mathrm{M}, \mu_{\text {maxe }}=1,0 \cdot 10^{4}$.
2.307. Из теоремы о циркуляции вектора $\mathbf{H}$ получим:
\[
B \approx \mu_{0} N I / b-\left(\mu_{0} \pi d / b\right) H=1,51-0,986 H(\mathrm{xA} / \mathrm{M}) .
\]
Кроме того, между $\boldsymbol{B}$ и $\boldsymbol{H}$ имеется зависимость, график которой см. на рис. 2.89. Искомые значения $\boldsymbol{H}$ и $\boldsymbol{B}$ должны удовлетворять одновременно обоим уравнениям. Решив эту систему уравнений графически, получим: $H \approx 0,26 \mathrm{xA} / \mathrm{M}, B \approx 1,25$ Тл и $\mu=B / m_{0} H=4 \cdot 10^{3}$.
2.308. $F \approx \chi S B^{2} / 2 \mu_{0}$.
2.309. а) $x_{m}=1 / \sqrt{4 a} ;$ б) $\chi=\mu_{0} F_{\operatorname{maxc}} \sqrt{\mathrm{e} / a} / V B_{0}^{2}=3,6 \cdot 10^{-4}$.
2.310. $A \approx \chi V B^{2} / 2 \mu_{0}$.
2.311. $F_{\mathrm{ox}}=\mu_{0} \chi n^{2} l^{2} / 2$, эта сила направлена вверх.
2312. $B=\left(\mu_{0} I / 2 a\right)\left[1-\left(1+4 l^{2} / a^{2}\right)^{-3 / 2}\right]$.
2.313. а) $i=h I / \pi r^{2}$; б) $F_{\mathrm{ax}}=\mu_{0} I^{2} / \pi h$.
2.314. $\mathscr{E}_{i}=(\pi / 2) a^{2} B \omega \sin \omega t$.
2.315. а) $\mathscr{E}_{t}=2 B v \sqrt{y / k}$; б) $\mathscr{E}_{t}=B y \sqrt{8 a / k}$.
2.316. а) $\Delta \varphi=\omega^{2} a^{2} m / 2 e=3,0 \mathrm{нB}$; б) $\Delta \varphi \approx \omega B a^{2} / 2=20 \mathrm{mB}$. Здесь $m$ и $e$ – масса и заряд электрона.
2.317. $\mathscr{E}_{t}=\mu_{0} l v I / 2 \pi r$.
2.318. $\mathscr{E}_{i}=\mu_{0} I a^{2} v / 2 \pi x(x+a)$.
2.319. $v=m g R / B^{2} l^{2}$.
2.320. $a=g /\left(1+l^{2} B^{2} C / m\right)$.
2.321. $\langle P\rangle=\left(\pi \omega a^{2} B\right)^{2} / 8 R$.
2.322. $N(t)=\left(\omega S^{2} B^{2} / R\right) \sin ^{2} \omega t$.
2.323. $B=q R / 2 N S=0,5 \mathrm{T \pi}$.
2.324. $q=\left(\mu_{0} a I / 2 \pi R\right) \ln [(b+a) /(b-a)]$, т.е. от $L$ не зависит.
2.325. а) $I=\left(\mu_{0} I_{0} v / 2 \pi R\right) \ln (b / a)$; б) $F=\left(\mu_{0} I_{0} / 2 \pi\right)^{2} \ln ^{2}(b / a) \cdot v / R$.
2.326. a) $s=v_{0} m R / l^{2} B^{2}$; б) $Q=m v_{0}^{2} / 2$.
2.327. $v=\left(1-\mathrm{e}^{-\alpha t / m}\right) F / \alpha$, где $\alpha=l^{2} B^{2} / R$.
2.328. $I_{m}=\omega B_{0}(a-b) / 4 \rho=0,5 \mathrm{~A}$.
2.329. $\varepsilon_{i m}=\pi a^{2} N \omega B_{0} / 3$.
2.330. $\mathscr{E}_{i}=3 \mathrm{al} \dot{B} t^{2} / 2=12 \mathrm{MB}$.
2.331. $\mathcal{E}^{\circ}=B_{0} N S \omega \cos 2 \omega t$.
2.332. $E(r<a)=\mu_{0} n \dot{I} r / 2, E(r>a)=\mu_{0} n \dot{I} a^{2} / 2 r$.
2.333. $I=\mu_{0} n S d \dot{I} / 4 \rho=0,2 \mathrm{~A}$, где $\rho$ – удельное сопротивление меди.
2.334. $\omega=-(q / 2 m) \mathbf{B}(t)$.
2.335. $Q=a^{2} \tau^{3} / 3 R$.
2.336. $I=\left(b^{2}-a^{2}\right) \beta h / 4 p$.
2.337. $l=\sqrt{4 \pi l_{0} L / \mu_{0}} \approx 100 \mathrm{M}$.
2.338. $L=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) m R / l \rho \rho_{0}$, где $\rho$ и $\rho_{0}$ – удельное сопротивление и плотность меди.
2.339. $t=-(L / R) \ln (1-\eta)=1,5 \mathrm{c}$.
2.340. $\tau=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right) m / l \rho \rho_{0}=0,7 \mathrm{Mc}$, где $\rho$ – удельное сопротивление, $P_{0}$ – плотность меди.
2.341. $L_{\text {ar }}=\left(\mu \mu_{0} / 2 \pi\right) \ln \eta=0,26 \mathrm{MK} \Gamma \mathrm{M} / \mathrm{M}$.
2.342. $L=\left(\mu_{0} / 2 \pi\right) \mu N^{2} a \ln (1+a / b)$.
2.343. $L_{a x}=\mu_{0} h / b=25$ нгв/м.
2.344. $L_{\text {ек }} \approx\left(\mu_{0} / \pi\right) \ln \eta$. Точное значение $L_{\text {ов }}=\left(\mu_{0} / 4 \pi\right)(1+4 \ln \eta)$.
2.345. $I=\pi a^{2} B / L=15 \mathrm{~A}$.
2.346. а) $I=\pi a^{2} B / L$; б) $A=\pi^{2} a^{4} B^{2} / 2 L$.
2.347. $I=(1+\eta) I_{0}=2$ A.
2.348. $I=\left[1+(\eta-1) \mathrm{e}^{-t \eta R / L}\right] \mathscr{E} / R$.
2.349. $I=\left(1-\mathrm{e}^{-t R / 2 L}\right) \mathscr{E} / R$.
2.350. $I_{1}=\mathscr{E} L_{2} / R\left(L_{1}+L_{2}\right), \quad I_{2}=\mathscr{E} L_{1} / R\left(L_{1}+L_{2}\right)$.
2.351. $L_{12 \text { од }}=\mu_{0} \mu n_{1} n_{2} S$.
2.352. $L_{12}=\left(\mu_{0} b / 2 \pi\right) \ln (1+a / l)$.
2.353. $L_{12}=\left(\mu_{0} \mu h N / 2 \pi\right) \ln (b / a)$.
2.354. $L_{12}=\left(\mu_{0} / 2 \pi\right) N_{1} N_{2}(b-a) \ln (b / a)$.
2.355. a) $L_{12} \approx \mu_{0} \pi a^{2} / 2 b$; б) $\Phi_{21}=\mu_{0} \pi a^{2} I / 2 b$.
2.356. $L_{12}=L / 3$.
2.357. $\Phi=\left(\mu_{0} / 2 \pi\right) a I \ln (1+a / b)$.
2.358. $B=\mu_{0} a^{2} I / 4 r^{3}$. Воспользоваться тем, что $L_{12}=L_{21}$.
2.359. $p_{\mathrm{m}}=2 a R q / \mu_{0} N$.
2.360. $L_{12} \approx \mu_{0} \pi a^{4} / 2 l^{3}$.
2.361. $I_{2}=-\left[1-\exp \left(-t R / L_{2}\right)\right] \alpha L_{12} / R$.
2.362. $Q=L \mathscr{E}^{2} / 2 R^{2}\left(1+R_{0} / R\right)=3 \mathrm{Mk} \Pi \mathrm{m}$.
2.363. $W_{\text {ex }}=\mu \mu_{0} I^{2} / 16 \pi$.
2.364. $W=N \Phi I / 2=0,5$ Дж.
2.365. $W \approx B H \pi^{2} a^{2} b=2,0$ Дж, где $H=N 1 / 2 \pi b$.
2.366. а) $W_{3} / W_{u} \approx \mu b / \pi d=3,0$; б) $L \approx \mu_{0} S N^{2} /(b+\pi d / \mu)=0,15 \Gamma_{\text {н }}$.
2.367. $L_{\text {өд }}=[1 / 4+\ln (b / a)] \mu_{0} / 2 \pi$. Здесь необходимо воспользоваться определением $L$ через энергию магнитного поля.
2.368. $W_{\text {oд }}=\mu_{0} \lambda^{2} \omega^{2} a^{2} / 8 \pi$.
2.369. $E=B / \sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}=3 \cdot 10^{8} \mathrm{~B} / \mathrm{M}$.
2.370. $w_{\mathrm{v}} / w_{s}=\varepsilon_{0} \mu_{0} \omega^{2} a^{4} / l^{2}=1,1 \cdot 10^{-15}$.
2.372. a) $L_{\text {oбв }}=2 L$; б) $L_{\text {oбm }}=L / 2$.
2.373. $L_{\text {общ }}=4 L$.
2.374. $L_{12}=\sqrt{L_{1} L_{2}}$.
2.375. a) $I^{\prime}=I / 2$; б) $\Delta W=-L I^{2} / 2$.
2.377. $W_{12}=\left(\mu_{0} \pi a^{4} / 2 b\right) I_{1} I_{2} \cos 0$.
2.378. а) $\mathrm{j}_{\mathrm{CM}}=-\mathbf{j}$; б) $I_{\mathrm{cM}}=q / \varepsilon_{0} \varepsilon \rho$.
2.379. Кроме тока проводимости следует учесть ток смещения.
2.380. $E_{m}=I_{m} / \varepsilon_{0} \omega S=7 \mathrm{~B} / \mathrm{cm}$.
2.381. $H=H_{\mathrm{m}} \cos (\omega t+\alpha)$, где $H_{\mathrm{m}}=\sqrt{\sigma^{2}+\left(\varepsilon_{0} \varepsilon \omega\right)^{2}} r U_{m} / 2 d$, а $\alpha$ определяется формулой $\operatorname{tg} \alpha=\varepsilon_{0} \varepsilon \omega / \sigma$.
2.382. $j_{\mathrm{cm}}(r<R)=\varepsilon_{0} \ddot{B} r / 2, j_{\mathrm{cM}}(r>R)=\varepsilon_{0} \ddot{B} R^{2} / 2 r$. Здесь $\ddot{B}=\mu_{0} n I_{\mathrm{m}} \omega^{2} \sin \omega t$.
2.383. а) $\mathrm{j}_{\mathrm{CM}}=2 q \mathrm{v} / 4 \pi r^{3}$; б) $\mathrm{j}_{\mathrm{CM}}=-q \mathrm{v} / 4 \pi r^{3}$.
2.384. $\mathbf{j}_{\mathrm{CM}}=\varepsilon_{0}[\omega \mathrm{B}]$, где $\mathrm{B}$ напряженность электрического поля в центре системы; $j_{\mathrm{cm}}=\sqrt[3]{32 \varepsilon_{0}^{2} m^{2} \omega^{7} / \pi q}$.
2.385. $\mathrm{H}=q[\mathrm{vr}] / 4 \pi r^{3}$.
2.386. а) Если $\mathbf{B}(t)$, то $
abla \times \mathbf{B}=-\partial \mathbf{B} / \partial t
eq 0$, т.е. не равны нулю пространственные производные $\mathbf{B}$-поля, что возможно только при наличии электрического поля.
б) Если $\mathbf{B}(t)$, то $
abla \times \mathbf{B}=-\partial \mathbf{B} / \partial t
eq 0$. В однородном же поле $
abla \times \mathbf{B}=0$.
2.387. Возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения $
abla \times \mathbf{H}=\mathbf{j}+\partial \mathbf{D} / \partial t$. Имея в виду, что дивергенция ротора всегда равна нулю, получим $0=
abla \cdot \mathbf{j}+$ $+\partial(\boldsymbol{
abla} \cdot \mathbf{D}) / \partial t$. Остается учесть, что $\boldsymbol{
abla} \cdot \mathbf{D}=\rho$.
2.388. Возьмем дивергенцию от обеих частей первого уравнения. Так как дивергенция ротора равна нулю, то $
abla \cdot(\partial \mathbf{B} / \partial t)=0$, или $\partial(
abla \cdot \mathbf{B}) / \partial t=0$. Отсюда $\boldsymbol{
abla} \cdot \mathbf{B}=$ const, что действительно не противоречит второму уравнению.
2.389. $
abla \times \mathbf{B}=-[\omega \mathbf{B}]$.
2.390. $B^{\prime}=[\mathrm{vB}]$.
2.391. $\sigma=\varepsilon_{0} v B=0,40 \mathrm{nK \pi} / \mathrm{M}^{2}$.
2.392. $P=\varepsilon_{0}(1-1 / \varepsilon)[\mathbf{v B}], \sigma^{\prime}=\varepsilon_{0}(1-1 / \varepsilon) v B$.
2.393. $p=-2 \varepsilon_{0} \omega B=-0,08 \mathrm{HK} \pi / \mathrm{m}^{3}, \sigma=\varepsilon_{0} a \omega B=2 \pi K \pi / \mathrm{m}^{2}$.
2.394. a) $P=\varepsilon_{0}(1-1 / \varepsilon) B \omega r$; б) $\lambda^{\prime}=2 \pi \varepsilon_{0}(1-1 / \varepsilon) B \omega a^{2}$.
2.395. $B=\mu_{0} q[v r] / 4 \pi r^{3}$.
2.397. $\lambda^{\prime}=v_{0} I / c^{2}=11 \mathrm{aK} \pi / \mathrm{M}, N_{1}=\lambda^{\prime} / e=70 \mathrm{M}^{-1}$.
2.398. $\mathbf{B}^{\prime}=a[\mathrm{rv}] / c^{2} r^{2}$, где $r$ – расстояние от оси.
2.400. a) $\quad E^{\prime}=E \sqrt{\left(1-\beta^{2} \cos ^{2} \alpha\right) /\left(1-\beta^{2}\right)}=9 \mathrm{kB} / \mathrm{M}, \quad \operatorname{tg} \alpha^{\prime}=\operatorname{tg} \alpha / \sqrt{1-\beta^{2}}$, $\alpha^{\prime} \approx 51^{\circ}$;
б) $B^{\prime}=\beta E \sin \alpha / c \sqrt{1-\beta^{2}}=14 \mathrm{MKT \pi}$.
2.401. а) $E^{\prime}=\beta B \sin \alpha / c \sqrt{1-\beta^{2}}=1,4 \mathrm{HB} / \mathrm{M} ;$ б) $B^{\prime}=B \sqrt{\left(1-\beta^{2} \cos ^{2} \alpha\right) /\left(1-\beta^{2}\right)}=$ $=0,9 \mathrm{~T}, \alpha^{\prime}=51^{\circ}$.
2.403. $B^{\prime}=B \sqrt{1-(E / c B)^{2}} \approx 0,15 \mathrm{MT \pi}$.
2.404. Пусть заряд $q$ движется в положительном направлении оси $\boldsymbol{x} \boldsymbol{K}$ системы отсчета. Перейдем в $\boldsymbol{K}^{\prime}$-систему, в начале координат которой этот заряд покоится (оси $x^{\prime}$ и $\boldsymbol{x}$ обеих систем совпадают, оси $y^{\prime}$ и $\boldsymbol{y}$ параллельны). В $\boldsymbol{K}^{\prime}$-системе поле заряда имеет вид:
\[
\mathrm{B}^{\prime}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{r}^{\prime}}{r^{3}}, \quad E_{x}^{\prime}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{x}{r^{3}}, \quad E_{y}^{\prime}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{y}{r^{\prime 3}} .
\]

Теперь совершим обратный переход в $\boldsymbol{K}$-систему. В момент, когда заряд $q$ проходит через начало координат $K$-системы, проекции $x, y$ вектора $\mathbf{r}$ связаны с проекциями $x^{\prime}, y^{\prime}$ вектора $\mathbf{r}^{\prime}$ соотношениями $x=r \cos \theta=$ $=x^{\prime} \sqrt{1-(v / c)^{2}}$ и $y=r \sin \theta=y^{\prime}$. Кроме того, согласно преобразованиям, обратным (2.6к), $E_{x}=E_{x}^{\prime}, \quad E_{y}=E_{y}^{\prime} / \sqrt{1-(
u / c)^{2}}$. Решив совместно все эти уравнения, получим
\[
\mathrm{B}=E_{x} \mathrm{i}+E_{y} \mathrm{j}=\frac{q \mathrm{r}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \frac{1-\beta^{2}}{\left(1-\beta^{2} \sin ^{2} \theta\right)^{3 / 2}} .
\]

Существенно, что при $\mathbf{v}=$ const вектор $\mathbf{B}$ коллинеарен вектору $\mathbf{r}$.
2.405. $v=\sqrt[3]{9 \varepsilon l e / 2 m}=16 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
2.406. $\operatorname{tg} \alpha=\varepsilon l^{2} \sqrt{m / 32 e U^{3}}$.
2.407. $x=2 E_{0} / \varepsilon$.
2.408. $t=\sqrt{K\left(K+2 m c^{2}\right)} /$ c $E=3,0$ нс.
2.409. $\operatorname{tg} \theta=\sqrt{1-\left(v_{0} / c\right)^{2}} e E t / m v_{0}$, где $е$ и $m$ – заряд и масса протона.
2.410. $\alpha=\arcsin (d B \sqrt{q / 2 m U})=30^{\circ}$.
2.411. a) $v=r e B / m=100 \mathrm{~km} / \mathrm{c}, T=2 \pi m / e B=6,5 \mathrm{MKc}$;
б) $v=c / \sqrt{1+(m c / r e B)^{2}}=0,51 \mathrm{c}, T=2 \pi m / e B \sqrt{1-(v / c)^{2}}=4,1 \mathrm{нс}$.
2.412. $K=\eta m c^{2}$. Соответственно 5 кэВ и 9 МэВ.
2.413. $\Delta l=2 \pi \sqrt{2 m U / e B^{2}} \cos \alpha=2,0 \mathrm{~cm}$.
2.414. $q / m=8 \pi^{2} U / l^{2}\left(B_{2}-B_{1}\right)^{2}$.
2.415. $r=2 \rho|\sin (\varphi / 2)|$, где $\rho=(m v / e B) \sin \alpha, \varphi=l e B / m v \cos \alpha$.
2.416. $r_{\text {maxc }}=a \exp \left(v_{0} / b\right)$, где $b=\mu_{0} e I / 2 \pi m$.
2.417. $v=U / r B \ln (b / a), q / m=U / r^{2} B^{2} \ln (b / a)$.
2.418. a) $y_{n}=2 \pi^{2} m E n^{2} / q B^{2}$; б) $\operatorname{tg} \alpha=v_{0} B / 2 \pi E n$.
2.419. $z=l \operatorname{tg} \sqrt{\left(q B^{2} / 2 m E\right) y} ; \quad$ при $z \ll l$ это уравнение упрощается: $y=\left(2 m E / q l^{2} B^{2}\right) z^{2}$.
2.420. $F=m E I / q B=20 \mathrm{MRH}$.
2.421. $\Delta l=\left(2 \pi m E / e B^{2}\right) \operatorname{tg} \varphi=6 \mathrm{~cm}$.
2.422. $q / m=2 E \Delta x / a(a+2 b) B^{2}$.
2.423. а) $x=a(\omega t-\sin \omega t), y=a(1-\cos \omega t)$, где $a=m E / q B^{2}, \omega=q B / m$. Траекторией является циклоида (рис. 21). Движение частицы представляет собой движение точки на ободе круга радиуса $a$, катящегося без скольжения вдоль оси $\boldsymbol{x}$ так, что его центр перемещается со скоростью $v=E / B$.
б) $s=8 m E / q B^{2}$; в) $\left\langle v_{x}\right\rangle=E / B$.
2.424. $U=2(e / m)\left(\mu_{0} I / 4 \pi\right)^{2} \ln (a / b)$.
2.425. $B \leqslant \sqrt{8 m U / e} b /\left(b^{2}-a^{2}\right)$.
2.426. $y=(a / 2 \omega) t \sin \omega t, \quad x=\left(a / 2 \omega^{2}\right)(\sin \omega t-\omega t \cos \omega t)$, где $a=q E_{m} / m$. Траектория имеет вид раскручивающейся спирали.
2.427. $U \geqslant 2 \pi^{2} v^{2} m r \Delta r / e=0,10 \mathrm{MB}$.
2.428. а) $K=(e r B)^{2} / 2 m=12 \mathrm{MgB}$; б) $v_{\text {maB }}=\sqrt{K / 2 m} / \pi r=20 \mathrm{M \Gamma ц}$.
2.429. а) $t=\pi^{2} v m r^{2} / e U=17 \mathrm{MKc}$;) $s \approx 4 \pi^{3} v^{2} m r^{3} / 3 e U=0,74$ хм. У к аз а н и е. Здесь $s \sim \sum v_{n} \sim \sum \sqrt{n}$, где $v_{n}$ – скорость частицы после $n$-го прохождения ускоряющего промежутка ( $n$ меняется от 1 до $N$ ). Так как $N$ велико, то $\sum \sqrt{n} \approx \int \sqrt{n} d n$.
2.430. $n=2 \pi v W / e B c^{2}=9$.
2.431. $\omega=\omega_{0} / \sqrt{1+a t}$, где $\omega_{0}=q B / m, a=q B \Delta W / \pi m^{2} c^{2}$.
2.432. $v=r q B / 2 m, \rho=r / 2$.
2.433. $N=W / e \Phi=5 \cdot 10^{6}$ оборотов, $s=2 \pi r N=8 \cdot 10^{3} \mathrm{~km}$.
2.434. Производная по времени от импульса электрона $d p / d t=e E=$ $=(e / 2 \pi r) d \Phi / d t$, где $r$ – радиус орбиты, $\Phi$ – магнитный поток внутри нее: $\Phi=\pi r^{2}\langle B\rangle$. С другой стороны, $d p / d t$ можно найти, продифференцировав соотношение $p=e r B$ при $r=$ const. Из сравнения полученных выражений следует, что $d B_{0} / d t=(1 / 2) d\langle B\rangle / d t$. В частности, это условие будет выполнено, если $B_{0}=\langle B\rangle / 2$.
2.435. $r_{0}=\sqrt{2 B_{0} / 3 a}$.
2.436. Действительно, $d E / d r=\frac{d}{d t}\left(B\left(r_{0}\right)-\langle B\rangle / 2\right)=0$.
2.437. $\Delta W=2 \pi r^{2} e B / \Delta t=0,10 \mathrm{xgB}$.
2.438. а) $W=\left(\sqrt{1+(r e B / m c)^{2}}-1\right) m c^{2}$; б) $s=W \Delta t / r e B$.
3.1. а) См. рис. $22 ;$ б) $\left(v_{x} / A \omega\right)^{2}+(x / A)^{2}=1, a_{x}=-\omega^{2} x$.
3.2. а) Амплитуда равна $A / 2$, период $T=\pi / \omega$; см. рис. 23 ; б) $v_{x}^{2}=$ $=4 \omega^{2} x(A-x)$, см. рис. 24 .
3.3. $a=\sqrt{A^{2}+B^{2}}$.
3.4. $x=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(v_{x 0} / \omega\right)^{2}} \cos (\omega t-\pi / 4)=-29 \mathrm{~cm}, v_{x}=-81 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$.
3.5. $\omega=\sqrt{\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right) /\left(x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right)}, a=\sqrt{\left(v_{1}^{2} x_{2}^{2}-v_{2}^{2} x_{1}^{2}\right) /\left(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\right)}$.
Рис. 22
3.6. а) $\langle v\rangle=3 a / T=0,50 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$; б) $\langle v\rangle=6 a / T=1,0 \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
3.7. В обоих случаях $A=7$.
Рис. 23
Рис. 24
3.8. $v_{\text {maxc }}=2,73 a \omega$.
3.9. 47,9 и $52,1 \mathrm{c}^{-1}, 1,5 \mathrm{c}$.
3.10. $v_{1}^{\prime}=\left(3 v_{1}-v_{2}\right) / 2=19 \Gamma ц, v_{2}^{\prime}=\left(3 v_{2}-v_{1}\right) / 2=23$ Гц.
3.11. а) $x^{2} / A^{2}+y^{2} B^{2}=1$, по часовой стрелке; б) $a=-\omega^{2} \mathbf{r}$.
3.12. а) $y^{2}=4 x^{2}\left(1-x^{2} / a^{2}\right)$, см. рис. 25 ; б) $y=a\left(1-2 x^{2} / a^{2}\right)$, см. рис. 26 .
3.13. $T=2 \pi \sqrt{m / a^{2} U_{0}}$.
3.14. $T=4 \pi a \sqrt{2 m a} / b^{2}$.
3.15. $T=\pi \sqrt{m l / \bar{F}}=0,2 \mathrm{c}$.
3.16. $T=2 \pi \sqrt{\eta l / g(\eta-1)}=1,1 \mathrm{c}$.
3.17. $T=2 \pi / \sqrt{g / l+2 x / m}=0,9$ c.
3.18. $T=2 \sqrt{l / 8}[\pi / 2+\arcsin (\alpha / \beta)]$.
3.19. $T=2 \pi \sqrt{\Delta l / g}=0,52 \mathrm{c}$.
3.20. $T=\pi \sqrt{2 V / S g}=0,8$ c.
Рис. 25
Рис. 26
3.21. $T=2 \pi \sqrt{V / g S(1+\cos \theta)}=0,83 \mathrm{c}$.
3.22. $T=\sqrt{4 \pi m / \rho g r^{2}}=2,5$ c.
3.23. При параллельном увеличится в два раза.
3.24. $T=2 \pi \sqrt{\eta(1-\eta) m / x}=0,13$ c.
3.25. $T=2 \pi \sqrt{m /\left(x_{1}+x_{2}\right)}$.
3.26. $T=2 \pi \sqrt{m / x}$, где $x=x_{1} x_{2} /\left(x_{1}+x_{2}\right)$.
3.27. $T=\pi \sqrt{2 l / k g}=1,5 \mathrm{c}$.
3.28. $l=(\pi / 2) v \sqrt{m / x}$.
3.29. $t=\pi / \sqrt{a g \cos \alpha}$.
3.30. $h=l \cos \omega t$, где $\omega=\sqrt{g / l} ; t_{0}=(\pi / 2) \sqrt{l / g}$.
3.31. а) $\ddot{x}+(g / R) x=0$, где $x$ – смещение тела относительно центра Земли, $R$ – ее радиус, $g=9,807 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$; б) $\tau=\pi \sqrt{R / g}=42 \mathrm{Mнн;} \mathrm{в)} v=\sqrt{g R}=7,9 \mathrm{kM} / \mathrm{c}$.
3.32. $T=2 \pi \sqrt{l /|\mathrm{g}-\mathbf{a}|}$, где $|\mathrm{g}-\mathbf{a}|=\sqrt{\mathrm{g}^{2}+a^{2}-2 g a \cos \beta}$.
3.33. $\omega=\sqrt{x / m-\omega_{0}^{2}}=30 \mathrm{c}^{-1}$.
3.34. $T=2 \pi / \sqrt{x / m-\omega^{2}}=0,7 \mathrm{c}, \omega \geqslant \sqrt{x / m}=10 \mathrm{pan} / \mathrm{c}$.
3.35. $k=4 \pi^{2} a / g T^{2}=0,4$.
3.36. а) $\theta=3,0^{\circ} \cos 3,5 t$; б) $\diamond=4,5^{\circ} \sin 3,5 t$; в) $\theta=5,4^{\circ} \cos (3,5 t+1,0)$. Здесь $t$ – в секундах.
3.37. $F=\left(m_{1}+m_{2}\right) g \pm m_{1} a \omega^{2}=60$ и $40 \mathrm{H}$.
3.38. а) $a_{\mathrm{maB}}=g / \omega^{2}=8 \mathrm{cM}$; б) $a=(\omega \sqrt{2 h / g}-1)_{g} / \omega^{2}=20 \mathrm{cM}$.
3.39. а) $y=(1-\cos \omega t) m g / x$, где $\omega=\sqrt{x / m}$; б) $T_{\operatorname{maxc}}=2 m g, T_{\text {ман }}=0$.
3.40. $s=2 F / x, t=\pi \sqrt{m / x}$.
3.41. $\left(x / r_{0}\right)^{2}+\alpha\left(y / v_{0}\right)^{2}=1$.
3.42. $t=\pi n \sqrt{m / x}$, где $n=1,3,5, \ldots$
3.43. а) $y=(1-\cos \omega t) a / \omega^{2}$; б) $y=(\omega t-\sin \omega t) \alpha / \omega^{3}$. Здесь $\omega=\sqrt{x / m}$.
3.44. $\Delta h_{\text {maxc }}=m g / x=10 \mathrm{~cm}, E=m^{2} g^{2} / 2 x=0,24$ Дж.
3.45. $a=(m g / x) \sqrt{1+2 h x / m g}, E=m g h+m^{2} g^{2} / 2 x$.
3.46. $a=\frac{m g}{\times} \sqrt{\left(\frac{m+M}{m}\right)^{2}+\frac{2 x h}{(m+M) g}}$.
3.47. $v_{c}=\pi \sqrt{g l / 8}$.
3.48. Запишем уравнение движения в проекция на оси $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}: \ddot{x}=\omega \dot{y}$, $\ddot{y}=-\omega \dot{x}$, где $\omega=a / m$. Их интегрирование (с учетом начальных условий) дает: $x=\left(v_{0} / \omega\right)(1-\cos \omega t), y=\left(v_{0} / \omega\right) \sin \omega t$. Отсюда $\left(x-v_{0} / \omega\right)^{2}+y^{2}=\left(v_{0} / \omega\right)^{2}$. Это уравнение окружности радиуса $v_{0} / \omega$ с центром в точке $x_{0}=v_{0} / \omega, y_{0}=0$.
3.49. $T=2 \pi \sqrt{2 l / 3 g}$.
3.50. $x=\left(1 \mp \sqrt{1-l^{2} / 3 l_{0}^{2}}\right) l_{0} / 2=10$ п $30 \mathrm{cM}$.
3.51. $\omega=\sqrt{3 g / 2 l+3 x / m}$.
3.52. $T=2 \pi \sqrt{m / 3 x}$.
3.53. а) $T=2 \pi \sqrt{l / 3 g}=1,1$ с; б) $E=m g l \alpha^{2} / 2=0,05$ Дж.
3.54. $\varphi_{m}=\varphi_{0} \sqrt{1+m R^{2} \dot{\varphi}_{0}^{2} / 2 k \varphi_{0}^{2}}, E=k \varphi_{m}^{2} / 2$.
3.55. $\langle K\rangle=m_{g} l \vartheta_{0}^{2} / 8+m l^{2} \phi_{0}^{2} / 12$.
3.56. $T=2 \pi / \omega$.
3.57. $I=m l^{2}\left(\omega_{2}^{2}-g l l\right) /\left(\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}\right)=0,8 \Gamma \cdot \mathrm{M}^{2}$.
3.58. $\omega=\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}\right) /\left(I_{1}+I_{2}\right)$.
3.59. $x=l / \sqrt{12}$,
3.62. а) $T=2 \pi \sqrt{2 R / g}$; б) $T=2 \pi \sqrt{3 R / 2 g}$.
3.63. $l_{\text {mp }}=h / 2, T=\pi \sqrt{2 h / g}$.
3.64. Увеличится в $\sqrt{1+2(R / l)^{2} / 5}$ раз. Здесь учтено, что вода до замерзания движется поступательно, и система ведет себя как математический маятник.
3.65. $\omega_{0}=\sqrt{3 a \omega^{2} / 2 l}$.
3.66. $\omega_{0}=\sqrt{x /\left(m+I / R^{2}\right)}$.
3.67. $\omega_{0}=\sqrt{2 m g \cos \alpha /[M R+2 m R(1+\sin \alpha)]}$.
3.68. $T=2 \pi \sqrt{3(R-r) / 2 g}$.
3.69. $T=\pi \sqrt{3 m / 2 x}$.
3.70. $\omega=\sqrt{(1+m / M) g / l}$.
3.71. $\omega_{0}=\sqrt{\kappa / \mu}$, где $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
3.72. а) $\omega=\sqrt{x / \mu}=6 \mathrm{c}^{-1}$; б) $E=\mu v_{1}^{2} / 2=5$ мДх, $a=v_{1} / \omega=2$ см. Здесь $\mu=m_{1} m_{2} /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
3.73. $T=2 \pi \sqrt{I^{\prime} / k}$, где $I^{\prime}=I_{1} I_{2} /\left(I_{1}+I_{2}\right)$.
3.74. $\omega_{2} / \omega_{1}=\sqrt{1+2 m_{\mathrm{o}} / m_{\mathrm{c}}} \approx 1,9$, где $m_{\mathrm{o}}$ и $m_{\mathrm{c}}$ – массы атомов кислорода и углерода.
3.75. а) $T=2 \pi \sqrt{m / x}=0,28 \mathrm{c;}$ б) $n=\left(x_{0}-\Delta\right) / 4 \Delta=3,5$ колебания, где $\Delta=k m g / \boldsymbol{x}$.
3.76. а) $a_{0}$ и $a_{0} \omega$; б) $t_{n}=[\operatorname{arctg}(\omega / \beta)+n \pi] / \omega$, где $n=0,1, \ldots$
3.77. а) $\left.\dot{\varphi}(0)=-\beta \varphi_{0}, \ddot{\varphi}(0)=\left(\beta^{2}-\omega^{2}\right) \varphi_{0} ; \sigma\right) . t_{n}=\frac{1}{\omega}\left(\operatorname{arctg} \frac{\omega^{2}-\beta^{2}}{2 \beta \omega}+n \pi\right)$, где $\boldsymbol{n}=\mathbf{0}, 1,2, \ldots$
3.78. а) $a_{0}=\dot{x}_{0} / \omega, \alpha=-\pi / 2$; б) $a_{0}=x_{0} \sqrt{1+(\beta / \omega)^{2}},-\pi / 2<\alpha<0$.
3.79. $\dot{x}_{0}=-x_{0} / \tau=-0,5 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$.
3.80. $\beta=\omega \sqrt{\eta^{2}-1}=5 \mathrm{c}^{-1}$.
3.81. a) $v(t)=a_{0} \sqrt{\omega^{2}+\beta^{2}} \mathrm{e}^{-\beta t}$; б) $v(t)=\left|\dot{x}_{0}\right| \sqrt{1+(\beta / \omega)^{2}} \mathrm{e}^{-\beta t}$.
3.82. $\lambda=n \lambda_{0} / \sqrt{1+\left(1-n^{2}\right) \lambda^{2} / 4 \pi^{2}}=3,3, \quad n^{\prime}=\sqrt{1+\left(2 \pi / \lambda_{0}\right)^{2}}=4,3$ раза.
3.83. $T=\sqrt{\left(4 \pi^{2}+\lambda^{2}\right) \Delta x / g}=0,70 \mathrm{c}$.
3.84. a) $Q=\pi n / \ln \eta=5 \cdot 10^{2}$; б) $Q=\sqrt{\omega_{0}^{2} \tau^{2}-1} / 2=3,0 \cdot 10^{3}$.
3.85. $s \approx l\left(1+\mathrm{e}^{-\lambda / 2}\right) /\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda / 2}\right)=2,0 \mathrm{M}$.
3.86. $Q \approx \tau \sqrt{8 / l} / \ln \eta=1,3 \cdot 10^{2}$.
3.87. $T=\sqrt{3\left(4 \pi^{2}+\lambda^{2}\right) R / 2 g}=0,9 \mathrm{c}$.
3.88. $\omega=\sqrt{2 \alpha / m R^{2}-\left(\pi \eta R^{2} / m\right)^{2}}$.
3.89. $\eta=2 \lambda h I / \pi R^{2} T$.
3.90. $x=\left(F_{0} / m\right)\left(\cos \omega_{0} t-\cos \omega t\right) /\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)$.
3.91. $x=\left(F_{0} t / 2 m \omega_{0}\right) \sin \omega_{0} t$.
3.92. Уравнения движения и их решения:
\[
\begin{array}{ll}
t \leqslant \tau, & \ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=F / m, \quad x=\left(1-\cos \omega_{0} t\right) F / x ; \\
t \geqslant \tau, & \ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=0, \quad x=a \cos \left[\omega_{0}(t-\tau)+\alpha\right],
\end{array}
\]

где $\omega_{0}^{2}=x / m, a$ и $\alpha$ – произвольные постоянные. Из условия непрерывности $x$ и $\dot{x}$ в момент $t=\tau$ находим: $a=(2 F / x)\left|\sin \left(\omega_{0} t / 2\right)\right|$.
3.93. $x_{0}=\frac{F_{0} / m}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}, \dot{x}_{0}=0$. Тогда $x=\frac{F_{0} / m}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \cos \omega t$.
3.94. $\tau \approx 2 Q / \omega_{0}=4 \cdot 10^{2} \mathrm{c}$.
3.95. $Q=1 / 2 \sqrt{1-\eta^{2}}=2$.
3.96. $\operatorname{tg} \varphi=\sqrt{\left(\omega_{0} / \beta\right)^{2}-2}, \varphi=84^{\circ}$.
3.97. $\omega_{\mathrm{pas}}=\sqrt{\frac{1-(\lambda / 2 \pi)^{2}}{1+(\lambda / 2 \pi)^{2}} \frac{g}{\Delta l}}, a_{\mathrm{pos}}=\frac{\lambda F_{0} \Delta l}{4 \pi m g}\left(1+\frac{4 \pi^{2}}{\lambda^{2}}\right)$.
3.98. $F(t)=2 \beta m a \omega_{0} \cos \left(\omega_{0} t-\varphi\right)$.
3.99. $\beta=F_{0} / 2 m a \omega$.
3.100. $a_{\text {maxc }}=F_{0} / r \omega=5,0 \mathrm{cM}$.
3.101. $\omega_{\mathrm{pos}}=\sqrt{\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right) / 2}=5,1 \cdot 10^{2} \mathrm{c}^{-1}$.
3.102. a) $\omega_{0}=\sqrt{\omega_{1} \omega_{2}}$; б) $\beta=\left|\omega_{2}-\omega_{1}\right| / 2 \sqrt{3}, \omega=\sqrt{\omega_{1} \omega_{2}-\left(\omega_{2}-\omega_{1}\right)^{2} / 12}$.
3.103. $\eta=\left(1+\lambda^{2} / 4 \pi^{2}\right) \pi / \lambda=2,1$.
3.104. $\langle E\rangle=m a^{2}\left(\omega^{2}+\omega_{0}^{2}\right) / 4$.
3.105. $\left\langle\boldsymbol{P}_{F}\right\rangle=2 \beta E$; это справедливо, если частота вынуждающей силы $\omega=\omega_{0}$.
3.106. $A=\pi a F_{0} \sin \varphi$.
3.107. $A_{\mathrm{Tp}}=-\pi \varphi_{m} N_{m} \sin \alpha$.
3.108. $Q=\sqrt{\omega^{2} \omega_{0}^{2} /\left(\omega^{2}-\omega_{0}^{2}\right)^{2} \operatorname{tg}^{2} \varphi-1 / 4}=2,2$, где $\omega_{0}^{2}=x / m$.
3.109. а) $\langle P\rangle=\frac{F_{0}^{2} \beta \omega^{2} / m}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega^{2}}$, б) $\omega=\omega_{0}, P_{\operatorname{maxc}}=\frac{F_{0}}{4 \beta m}$.
3.110. $\omega_{0} \approx 250 \mathrm{c}^{-1}, \beta \approx \Delta \omega / 2=25 \mathrm{c}^{-1}$, где $\Delta \omega-$ ширина контура на половине высоты, $Q \approx \omega_{0} / \Delta \omega=5$.
3.111. $q=4 h \sqrt{\pi \varepsilon_{0} m g\left(\eta^{2}-1\right)}=2,0$ мкКл.
3.112. Индукция поля увеличилась в $\eta^{2}=25$ раз.
3.113. $x=\left(v_{0} / \omega\right) \sin \omega t$, где $\omega=l B / \sqrt{m L}$.
3.114. $x=(1-\cos \omega t) g / \omega^{2}$, где $\omega=l B / \sqrt{m L}$.
3.115. $L=1 / \omega_{0}^{2} C=1,0 \mathrm{M \Gamma H}, U(0)=U_{m}=I_{m} / \omega_{0} C=0,40 \mathrm{~B}$.
3.116. $U^{2}+I^{2} L / C=U_{m}^{2}$.
3.117. а) $I=I_{m} \sin \omega_{0} t$, где $I_{m}=U_{m} \sqrt{C / L}, \omega_{0}=1 / \sqrt{L C}$; б) $\mathscr{B}_{s}=U_{m} / \sqrt{2}$.
3.118. $I_{m}=\mathscr{E} \sqrt{C / L}, U_{C_{\text {maxc }}}=2 \mathscr{E}$.
3.119. $A=\left(\eta^{2}-1\right) W$.
3.120. $\omega_{0}=\sqrt{d / \pi \varepsilon_{0} \mu_{0} a r^{2}}$.
3.121. $\omega_{0} \approx \sqrt{2 d / \varepsilon_{0} \mu_{0} a^{2} h \ln (b / a)}$.
3.122. a) $T=2 \pi \sqrt{L\left(C_{1}+C_{2}\right)}=0,7 \mathrm{Mc}$; б) $I_{m}=U \sqrt{\left(C_{1}+C_{2}\right) / L}=8 \mathrm{~A}$.
3.123. $U=(1 \pm \cos \omega t) U_{0} / 2$, где знак плюс – для левого конденсатора, знак минус – для правого; $\omega=\sqrt{2 / L C}$.
3.124. $I=(\Phi / L) \cos (t / \sqrt{L C})$.
3.125. а) $t_{n}=\pi n / \omega$; б) $t_{n}=[\operatorname{arctg}(-\beta / \omega)+\pi n] / \omega$. Здесь $n=0,1,2, \ldots$
3.126. $U_{0} / U_{m}=\sqrt{1-R^{2} C / 4 L}$.
3.127. $U_{C}=I_{m} \sqrt{L / C} \mathrm{e}^{-\beta t} \sin (\omega t+\alpha)$, где $\alpha$ определяется формулой $\operatorname{tg} \alpha=\omega / \beta$; $U_{c}(0)=I_{m} \sqrt{L / C\left(1+\beta^{2} / \omega^{2}\right)}$.
3.128. $W_{L} / W_{C}=L / C R^{2}=5$.
3.129. $L=L_{1}+L_{2}, R=R_{1}+R_{2}$.
3.130. $t=(Q / \pi v) \ln \eta=0,5 \mathrm{Mc}$.
3.131. $n=\sqrt{4 L / C R^{2}-1} / 2 \pi=16$.
3.132. $\left(\omega_{0}-\omega\right) / \omega_{0}=1-1 / \sqrt{1+1 / 4 Q^{2}} \approx 1 / 8 Q^{2}=0,5 \%$.
3.133. $\tau=2 R I / a^{4} B^{2}$.
3.134. а) $W_{0}=\mathscr{Z}^{2}\left(L+C R^{2}\right) / 2(r+R)^{2}=2,0$ мДх; б) $W=W_{0} \mathrm{e}^{-t R / L}=0,10$ мДж .
3.135. $t \approx\left(Q / 2 \pi v_{0}\right) \ln \eta=1,0 \mathrm{Mc}$.
3.136. а) $\omega=\sqrt{1 / L C-1 / 4 R^{2} C^{2}}$; б) $Q=\sqrt{4 R^{2} C / L-1} / 2$. При решении следует учесть, что $d q / d t=I-I^{\prime}$, где $q$ – заряд конденсатора, $I$ – ток через катушку, $I^{\prime}$ – ток утечки ( $\left.I^{\prime}=U / R\right)$.
3.137. $Q=U_{m} \sqrt{C / L} / 2\langle P\rangle=1,0 \cdot 10^{2}$.
3.138. $\langle P\rangle=R\left\langle I^{2}\right\rangle=R I_{m}^{2} / 2=20 \mathrm{MBT}$.
3.139. $\langle P\rangle=R C U_{m}^{2} / 2 L=5 \mathrm{MBT}$.
3.140. $\omega=\sqrt{1 / L C-1 / 4 R^{2} C^{2}}$.
3.141. $1 / L_{1}+1 / L_{2}=1 / L, 1 / R_{1}+1 / R_{2}=1 / R$.
3.142. $I=\left(U_{0} / L\right) t \exp (-t / \sqrt{L C}), I=I_{\operatorname{maxc}}=\left(U_{0} / \mathrm{e}\right) \sqrt{C / L}$ в момент $t_{m}=\sqrt{L C}$.
3.143. $I=\left(U_{m} / \sqrt{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}\right)\left[\cos (\omega t-\varphi)-\mathrm{e}^{-t R / L} \cos \varphi\right], \operatorname{tg} \varphi=\omega L / R$.
3.144. $I=\left(U_{m} / \sqrt{R^{2}+1 / \omega^{2} C^{2}}\right)\left[\cos (\omega t-\varphi)-\mathrm{e}^{-t / R C} \cos \varphi\right], \operatorname{tg} \varphi=-1 / \omega R C$.
3.145. Ток отстает по фазе от напряжения на угол $\varphi$, определяемый уравнением $\operatorname{tg} \varphi=\mu_{0} \pi^{2} v a / 4 n \rho$.
3.146. Ток опережает по фазе напряжение на угол $\varphi=60^{\circ}$, определяемый уравнением $\operatorname{tg} \varphi=-\sqrt{\left(U_{m} / R I_{m}\right)^{2}-1}$.
3.147. а) $U^{\prime}=U_{0}+U_{m} \cos (\omega t-\alpha)$, где $U_{m}=U_{0} / \sqrt{1+(\omega R C)^{2}}, \quad \alpha=$ $=\operatorname{arctg}(\omega R C)$; б) $R C=\sqrt{\eta^{2}-1} / \omega=22 \mathrm{Mc}$.
Рис. 27
3.148. $\tau=2 L I_{m} / U_{m}$.
3.149. См. рис. 27 .
3.150. а) $I_{m}=U_{m} / \sqrt{R^{2}+(\omega L-1 / \omega C)^{2}}=4,5 \mathrm{~A} ; \quad$ б) $\operatorname{tg} \varphi=(\omega L-1 / \omega C) / R$, $\varphi=-60^{\circ}$ (ток опережает напряжение); в) $U_{C}=I_{m} / \omega C=0,65 \mathrm{kB}, U_{L}=$ $=I_{m} \sqrt{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}=0,50 \mathrm{xB}$.
3.151. а) $\omega_{C \text { pos }}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2 \beta^{2}}$; б) $\omega_{L \text { pos }}=\omega_{0}^{2} / \sqrt{\omega_{0}^{2}-2 \beta^{2}}$. Здесь $\omega_{0}^{2}=1 / L C$, $\beta=R / 2 L$.
3.152. При $C=1 / \omega^{2} L=28 \mathrm{Mx} \Phi ; \quad U_{L}=U_{m} \sqrt{1+(\omega L / R)^{2}}=0,54 \mathrm{kB}, \quad U_{c}=$ $=U_{m} \omega L / R=0,51 \mathrm{kB}$.
3.153. $I=I_{m} \cos (\omega t+\varphi)$, где $I_{m}=\sqrt{1+(\omega R C)^{2}} U_{m} / R$ и $\varphi=\operatorname{arctg}(\omega R C)$.
3.154. $\omega_{0}=\sqrt{L_{2} /\left(L_{1} L_{2}-L_{12}^{2}\right) C}$.
3.155. $Q=\sqrt{n^{2}-1 / 4}$.
3.156. $Q=\sqrt{\left(\eta^{2}-1\right) /(n-1)^{2}-1 / 4}$.
3.157. $L=1 / 4 \pi^{2} v_{1} v_{2} C=0,15 \mathrm{M}$.
3.159. $I_{0} / I=\sqrt{1+\left(Q^{2}+1 / 4\right)\left(\eta^{2}-1\right)^{2} / \eta^{2}}$; соответственно 2,2 и 19 .
3.160. $t=\pi t_{0} / 2$.
3.161. а) $I=2 I_{0} / \sqrt{3} \approx 1,15 I_{0}$; б) $I=\pi I_{0} / \sqrt{8} \approx 1,11 I_{0}$.
3.162. $v=\sqrt{\eta-1} R / 2 \pi L=2 \mathrm{k \Gamma ц}$.
3.163. Ток отстает по фазе от напряжения на угол $\varphi=\arccos \sqrt{1-\left(X_{L} / Z\right)^{2}} \approx$ $\approx 37^{\circ}, P=(U / Z)^{2} \sqrt{Z^{2}-X_{L}^{2}}=0,16 \mathrm{kBr}$.
3.164. При $R=\omega L-r=0,20 \mathrm{xOM} ; P_{\text {махс }}=U^{2} / 2 \omega L=0,11 \mathrm{xBr}$.
3.165. Увеличилось на $\sqrt{n}-1 \approx 30 \%$.
3.166. При $Q \gg 1$ отношение $\Delta \omega / \omega_{0} \approx \sqrt{n-1} / 2 Q=0,5 \%$.
3.167. $P_{2}=\left(U^{2}-U_{1}^{2}-U_{2}^{2}\right) / 2 R=30 \mathrm{Br}$.
3.168. $P_{1}=\left(I^{2}-I_{1}^{2}-I_{2}^{2}\right) R / 2=2,5 \mathrm{BT}$.
3.169. $Z=R / \sqrt{1+(\omega R C)^{2}}=400 \mathrm{M}$.
3.170. См. рис. 28 .
Рис. 28
3.171. a) $\omega_{\text {pes }}=\sqrt{1 / L C-R^{2} / L^{2}}=3 \cdot 10^{4} \mathrm{c}^{-1}$;
б) $I=U R C / L=3 \mathrm{MA}, \quad I_{C}=$ $=U \sqrt{C / L-(R C / L)^{2}}=1,0 \mathrm{~A}, I_{L}=U \sqrt{C / L}=1,0 \mathrm{~A}$.
3.172. $\operatorname{tg} \varphi=\left[\omega C\left(R^{2}+\omega^{2} L^{2}\right)-\omega L\right] / R$.
3.173. $Z=\sqrt{\left(R^{2}+\omega^{2} L^{2}\right) /\left[(\omega R C)^{2}+\left(1-\omega^{2} L C\right)^{2}\right]}$.
3.175. $\langle P\rangle=\omega^{2} \Phi_{0}^{2} R / 2\left(R^{2}+\omega^{2} L^{2}\right)$.
3.176. $\left\langle F_{x}\right\rangle=\left[\omega^{2} L_{2} L_{12} I_{0}^{2} / 2\left(R^{2}+\omega^{2} L_{2}^{2}\right)\right] \partial L_{12} / \partial x$.
3.177. $t=2 l / \alpha\left(\sqrt{T_{1}}+\sqrt{T_{2}}\right)$.
3.178. $2 \mathrm{M}$.
3.179. 0,25 кГц, 0,30 км/с, 1,2 м.
3.180. а) $a / \lambda=5,1 \cdot 10^{-5}$; б) $v_{m}=11 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}, 3,2 \cdot 10^{-4}$.
3.181. $\Delta \varphi=\mathbf{k}\left(\mathbf{r}_{1}-r_{2}\right)=(\omega / v)\left|\left(x_{1}-x_{2}\right) \cos \alpha+\left(y_{1}-y_{2}\right) \cos \beta+\left(z_{1}-z_{2}\right) \cos \gamma\right|$.
3.182. $\mathrm{k}=\alpha \mathrm{e}_{x}+\beta \mathrm{e}_{y}+\gamma e_{z}, v=\omega / \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}$, где $\mathrm{e}_{x}, \mathrm{e}_{y}, \mathrm{e}_{z}-$ орты осей координат.
3.183. $\mathrm{k}=\omega\left(e_{x} / v_{1}+e_{y} / v_{2}+e_{q} / v_{3}\right)$.
3.184. $\xi=a \cos \left[(1-V / v) \omega t-k x^{\prime}\right]$, где $v=\omega / k$.
3.185. $\alpha$ – фазовая скорость волны.
3.186. См. рис. 29.
3.187. См. рис. $30 ; \Delta x=\sqrt{2} / b$.
3.188. $v=u / \varepsilon=2,0 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
3.189. $u_{x}=-\varepsilon \sqrt{E / \rho}=-50 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
3.190. При $\eta \ll 1 \Delta \varphi \approx 2 \pi \eta / \gamma \lambda=$ $=0,3$ рад.
3.191. $\mathrm{r}=\left(a_{1} \mathrm{r}_{1}+a_{2} \mathrm{r}_{2}\right) /\left(a_{1}+a_{2}\right)$.
3.192. a) $\gamma=\ln \left(\eta r_{0} / r\right) /\left(r-r_{0}\right)=$ $=0,08 \mathrm{M}^{-1}$; б) $v_{m}=2 \pi v a_{0} / \eta=15 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$.
3.193. а) См. рис. 31. Частицы среды в точках на сплошных прямых Рис. 29 $(y=x \pm n \lambda, n=0,1,2, \ldots)$ колеблются с максимальной амплитудой, на штриховых же прямых не колеблются вовсе.
б) См. рис. 32. Частицы среды в точках на прямых $y=x \pm n \lambda, y=x \pm(n \pm 1 / 2) \lambda$ и $y=x \pm(n \pm 1 / 4) \lambda$ колеблются соответственно вдоль этих прямых, перпендикулярно им и движутся по окружностям (здесь $n=0,1,2, \ldots$ ). В остальных точках – по эллипсам.
3194 $W=P R / v=25$ мДж.
3.195. $\langle\Phi\rangle=2 \pi l^{2} I_{0}(1-$
Рис. 30 $\left.-1 / \sqrt{1+R^{2} / l^{2}}\right)=20 \mathrm{MKBr}$.
3.196. $\langle\Phi\rangle=P / \sqrt{1+(2 R / h)^{2}}=0,07 \mathrm{Br}$.
3.197. $P=4 \pi r^{2}\langle j\rangle e^{2 \gamma r}=20 \mathrm{BT}$.
3.198. $W=4 \pi r^{2} j\left(\mathrm{e}^{2 \gamma r}-1\right) t=11$ Дж.
Рис. 31
Рис. 31
Рис. 32
3.199. $x_{m}=l$.
3.200. a) $\left\langle j_{x}\right\rangle=\rho a^{2} \omega^{3} / 2 k$; б) $\left\langle j_{x}\right\rangle=$ $=0$.
3.201. a) $\left\langle j_{x}\right\rangle=\rho\left(a^{2}-b^{2}\right) \omega^{3} / 2 k$; б) $\left\langle j_{x}\right\rangle=\rho a(a+b) \omega^{3} / 2 k$.
3.202. а) и б) см. рис. 33 ; в) см. рис. 34.
3.203. a) $w_{p}=\left(\rho a^{2} \omega^{2} / 2\right) \sin ^{2}(k x) \times$ $\times \cos ^{2}(\omega t) ; \quad$ б) $\quad w_{k}=\left(\rho a^{2} \omega^{2} / 2\right) \times$ $x \cos ^{2}(k x) \sin ^{2}(\omega t)$. См. рис. 35 , где $\lambda$ – длина волны, определяемая как $\lambda=2 \pi / k$.
3.204. $F=\pi d^{2} \rho v^{2} l^{2} / n^{2}=3 \mathrm{H}$.
3.205. $F=\pi d^{2} \rho v^{2} l^{2}=0,40 \mathrm{kH}$.
3.206. $a_{\text {varo }}=5 \mathrm{MM} ; \quad$ третьему
Рис. 33 обертону.
Рис. 34
3207. $v_{2} / v_{1}=\sqrt{\eta_{2}\left(1+\eta_{1}\right) / \eta_{1}\left(1+\eta_{2}\right)}=$ $=1,4$.
3.208. Частота увеличится в $\eta=$ $=\sqrt{1+\Delta F / F} /(1-\Delta l / l)=2$ paза.
3.209. $v=2 l v \approx 340 \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
3.210. a) $n=\left[2 l v_{0} / v+1 / 2\right]=6$; б) $n=\left[2 l v_{0} / v\right]=6$.
3211. $v_{n}=\sqrt{E / p}(n+1 / 2) / l=6,95(n+$ $+1 / 2$ ) хГд; четыре с частотами 24,3 , $31,3,38,2$ и 45,2 кГи.
3.212. a) $K_{\text {maxc }}=m \omega^{2} a_{\text {maxc }}^{2} / 4$; б) $\langle X\rangle=$ $=m \omega^{2} a_{\text {maxc }}^{2} / 8$.
Рис. 35
3.213. $W=\pi S \rho a^{2} \omega^{2} / 4 k$.
3.214. $\tau=(1 \mp u / v) \tau_{0}=\left\{\begin{array}{l}4,5 \mathrm{c}, \text { если приближается, } \\ 5,5 \mathrm{c}, \text { если удаляется. }\end{array}\right.$
3.215. $v=v_{0}\left(v_{0}-v+u\right) /\left(v_{0}+u\right)=2,2$ хГД.
3.216. $\omega_{2} / \omega_{1}=\left(v-v_{2}\right) /\left(v-v_{1}\right)$.
3.217. $v_{1}=2 v_{0} v u /\left(v^{2}-u^{2}\right) \approx 2 v_{0} u / v=1,0 \Gamma ц$.
3.218. $u=\left(\sqrt{1+\left(v / v_{0}\right)^{2}}-1\right) v v_{0} / v \approx v v / 2 v_{0}=0,5 \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
3.219. $\omega=\left(\sqrt{1+\left(\Delta v / v_{0}\right)^{2}}-1\right) v v_{0} / a \Delta v=34 \mathrm{c}^{-1}$.
3.220. $v=v_{0} / \sqrt{1+2 a t / v}=1,35$ кГц.
3.221. а) $v=v_{0} /\left(1-\eta^{2}\right)=5$ кГд; б) $r=l \sqrt{1+\eta^{2}}=0,32 \mathrm{kM}$.
3.222. Уменьшается на $2 u /(v+u)=0,20 \%$.
3.223. $v=2 v_{0} u /(v+u)=0,60$ Гц.
3.224. $\gamma=\ln \left(\eta r_{1}^{2} / r_{2}^{2}\right) / 2\left(r_{2}-r_{1}\right)=6 \cdot 10^{-3} \mathrm{M}^{-1}$.
3.225. а) $L^{\prime}=L-20 \gamma x \operatorname{lge}=50 \mathrm{\sharp Б}$; б) $x=0,30 \mathrm{kM}$.
3.226. а) $L=L_{0}+20 \lg \left(r_{0} / r\right)=36$ дБ; б) $r>0,63 \mathrm{~km}$.
3.227. $\beta=\ln \left(r_{2} / r_{1}\right) /\left[\tau+\left(r_{2}-r_{1}\right) / v\right]=0,12 \mathrm{c}^{-1}$.
3.228. а) Рассмотрим движение плоского элемента среды толщиной $d x$ с единичной площадью поперечного сечения. Согласно второму закону Ньютона $p d x \cdot \xi=-d p$, где $d p$ – приращение давления на длине $d x$. Учитывая, что $\xi=
u^{2} \xi_{x}^{\prime \prime}$ – волновое уравнение, перепишем предыдущее равенство в виде $\rho v^{2} \xi_{x}^{\prime \prime} d x=-d p$. Проинтегрировав это уравнение, получим $\Delta p=-\rho v^{2} \xi_{x}^{\prime}+$ const. В отсутствие волны избыточное давление $\Delta p=0$. Значит, const $=0$.
3.229. $\langle\Phi\rangle=\pi R^{2}(\Delta p)_{m}^{2} / 2 \rho v \lambda=11 \mathrm{MBr}$.
3.230. а) $(\Delta p)_{m}=\sqrt{\rho v P / 2 \pi r^{2}}=5 \Pi a,(\Delta p)_{m} / p=5 \cdot 10^{-5}$; б) $a=(\Delta p)_{m} / 2 \pi v \rho v=$ $=3 \mathrm{MKM}, a / \lambda=5 \cdot 10^{-6}$.
3.231. $P=4 \pi r^{2} \mathrm{e}^{2 r r} I_{0} \cdot 10^{L}=1,4 \mathrm{BT}$, где $L-$ в белах.
3.232. $\Delta \lambda=(1 / \sqrt{\varepsilon}-1) c / v=-50 \mathrm{M}$.
3.233. $t=2\left(\sqrt{\varepsilon_{1}}-\sqrt{\varepsilon_{2}}\right) l / c \ln \left(\varepsilon_{1} / \varepsilon_{2}\right)$.
3.234. $|\partial E / \partial x|=\sqrt{\mu_{0} / \varepsilon_{0}} j_{\operatorname{coc}}=60 \mathrm{MB} / \mathrm{M}^{2}$.
3.235. $j / j_{\mathrm{Cu}}=\sigma / 2 \pi v \varepsilon \varepsilon_{0}=2$.
3.236. $\mathbf{H}=\left(\varepsilon_{0} c / k\right)[\mathbf{k B}] \cos (c k t)$, где $\boldsymbol{c}$ – скорость света.
3.237. а) $\mathbf{H}=e_{z} \varepsilon_{0} c E_{m} \cos k x=-0,30 e_{z}$; б) $\mathbf{H}=e_{z} \varepsilon_{0} c E_{m} \cos k(c t-x)=0,18 e_{z}$. Здесь $\epsilon_{z}$ – орт оси $z, H$ в А/м.
3.238. Для данного случая ( $R \ll \lambda) \quad \mathscr{E}_{m}=2 \pi^{2} n R^{2} v E_{m} / c=0,20 \mathrm{MB}$.
3.240. $\langle\mathrm{S}\rangle=k \varepsilon_{0} c^{2} E_{m}^{2} / 2 \omega$.
3.241. а) $\left\langle j_{\mathrm{m}}\right\rangle=4 \varepsilon_{0} v E_{m}=0,18 \mathrm{MA} / \mathrm{M}^{2}$; б) $\langle S\rangle=\varepsilon_{0} c E_{m}^{2} / 2=3,3 \mathrm{MRBT} / \mathrm{M}^{2}$.
3.242. $J_{\mathrm{cum} \max }=\omega \sqrt{2\langle S\rangle_{\varepsilon_{0}} / c}$.
3.243. $\langle S\rangle=\varepsilon_{0} c E_{0}^{2}(1+\cos \varphi)$.
3.244. $\langle S\rangle=\sqrt{2} \varepsilon_{0} c E_{0}^{2}$.
3.245. Здесь $t \gg T$, где $T$ – период колебаний; поэтому искомая энергия $W=\sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0} / \mu_{0}} E_{m}^{2} \pi R^{2} t / 2=5 \mathrm{x}$.
3.246. $\mathbf{B}=\mathbf{B}_{m} \sin (k x) \sin (\omega t)$, где $\mathbf{B}_{m} \perp B_{m}$, причем $B_{m}=E_{m} / c$.
3.247. $S_{x}=\left(\varepsilon_{0} c E_{m}^{2} / 4\right) \sin (2 k x) \sin (2 \omega t) ;\left\langle S_{x}\right\rangle=0$.
3.248. $W_{m} / W_{8}=\varepsilon_{0} \mu_{0} \omega^{2} R^{2} / 8=5,0 \cdot 10^{-15}$.
3.249. $W_{3} / W_{M}=\varepsilon_{0} \mu_{0} \omega^{2} R^{2} / 8=5,0 \cdot 10^{-15}$.
3.251. $\Phi_{s}=I^{2} R$.
3.252. $S=\sqrt{m / 2 e} I^{2} / 4 \pi^{2} \varepsilon_{0} r^{2}$.
3.254. Слева.
3.255. $\Phi=U \boldsymbol{U}$.
3.256. $\langle\Phi\rangle=\left(U_{0} I_{0} / 2\right) \cos \varphi$.
3.258. а) Продифференцировав одно уравнение по $x$, другое по $t$, обнаружим, что комбинация полученных выражений содержит волновое уравнение (как для $\boldsymbol{U}$, так и для $I$ ). Дальнейшее очевидно.
б) Решения волновых уравнений запишем в виде
\[
U=U_{m} \cos (\omega t-k x), \quad I=I_{m} \cos (\omega t-k x+\alpha) .
\]

Подстановка этих выражений, например, в первое из уравнений (3.4е) показывает, что $\alpha=0$ и $k I_{m}=C_{1} \omega U_{m}$. Отсюда $p=U_{m} / I_{m}=1 / v C_{1}=\sqrt{L_{1} / C_{1}}$.
3.259. $L_{1}=\rho \sqrt{\varepsilon} / c=0,40 \mathrm{MK} \Gamma \mathrm{H} / \mathrm{M}, C_{1}=\sqrt{\varepsilon} / c \rho=0,12 \mathrm{H} \Phi / \mathrm{M}$.
3.260. а) $p=(1 / \pi) \sqrt{\mu_{0} / \varepsilon_{0}} \ln (b / a)$; б) $p=(1 / 2 \pi) \sqrt{\mu_{0} / \varepsilon_{0}} \ln (b / a)$.
3.261. $I=I_{m} \sin (k x) \sin (\omega t)$, где $I_{m}=U_{m} / \rho$.
3.262. a) $U_{m}=U_{0} \cos (n \pi x / l), I_{m}=I_{0} \sin (n \pi x / l), n=1,2,3, \ldots$;
б) $U_{m}=U_{0} \sin (n \pi x / l), I_{m}=I_{0} \cos (n \pi x / l), n=1,2,3, \ldots$;
в) $U_{m}=U_{0} \sin \left(n^{\prime} \pi x / l\right), I_{m}=I_{0} \cos \left(n^{\prime} \pi x / l\right), \quad n^{\prime}=1,3,5, \ldots$
3.263. $l=c / 2\left(v_{2}-v_{1}\right)=0,10 \mathrm{kM}$.
3.264. Электрический момент системы $\mathrm{p}=\sum \mathrm{er}_{i}=(e / m) M \mathrm{r}_{c}$, где $M$ масса системы, $\mathbf{r}_{c}$ – радиус-вектор ее центра масс. Мощность излучения $P \in \ddot{\mathbf{p}}^{2} \in \mathbf{F}_{C}^{2}$. Поскольку $\mathbf{r}_{C}=0$, то $P=0$.
3.265. $\langle P\rangle=e^{2} a^{2} \omega^{4} / 12 \pi \varepsilon_{0} c^{3}=5 \cdot 10^{-15} \mathrm{Br}$.
3.266. $P=\left(2 / 3 c^{3}\right)\left(q e^{2} / m R^{2}\right)^{2} /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right)^{3}$.
3.267. $\Delta W / K=e^{3} B / 3 \varepsilon_{0} c^{3} m^{2}=2 \cdot 10^{-18}$.
3.268. $K=K_{0} \mathrm{e}^{-\alpha t}$, где $\alpha=e^{4} B^{2} / 3 \pi \varepsilon_{0} c^{3} m^{3}$. Через $t_{0}=1 / \alpha=2,6$ с для электрона и $1,6 \cdot 10^{10} \mathrm{c}=0,5 \cdot 10^{3}$ лет для протона.
3.269. $S_{1} / S_{2}=\operatorname{tg}^{2}(\omega l / c) \approx 3$.
3.270. $\langle S\rangle=(1 / 2) \sqrt{\varepsilon_{0} / \mu_{0}}\left(r_{0} / r\right)^{2} E_{m}^{2} \sin ^{2} t=3 \mathrm{MBT} / \mathrm{M}^{2}$.
3.271. $\langle P\rangle=8 \pi r^{2} S_{0} / 3$.
3.272. $\langle w\rangle=3 P_{0} / 8 \pi r^{2} c$.
3.273. $P=p^{2} \omega^{4} / 6 \pi \varepsilon_{0} c^{3}$.
3.274. $R=3 P / 16 \pi c \gamma \rho M_{c} \approx 0,6$ мкм, где $M_{c}$ – масса Солнца.
3.275. $c=2 l z\left(n_{2}-n_{1}\right)=3,0 \cdot 10^{8} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
3.276. При $v \ll c$ время течет практически одинаково в системах отсчета, связанных и с источником, и с приемником. Пусть источник испускает короткие импульсы с интервалом $T_{0}$. Тогда в системе отсчета, связанной с приемником, расстояние между двумя последовательными импульсами вдоль линии наблюдения $\lambda=c T_{0}-v_{r} T_{0}$, где $v_{r}=v \cos \hat{t}$. Частота принимаемых импульсов $v=c / \lambda=v_{0} /\left(1-v_{r} / c\right)$, где $v_{0}=1 / T_{0}$. Отсюда $\left(v-v_{0}\right) / v_{0}=(v / c) \cos t$.
3.277. $\Delta \lambda=-\lambda \sqrt{2 K / m c^{2}} \cos \theta=-26$ нM.
3.278. $T=4 \pi R \lambda / c \delta \lambda=25$ сут, где $R$ – радиус Солнца.
3.279. $d=(\Delta \lambda / \lambda)_{m} c \tau / \pi=3 \cdot 10^{7} \mathrm{~km}, \quad m=(\Delta \lambda / \lambda)_{m}^{3} c^{3} \tau / 2 \pi \gamma=2,9 \cdot 10^{29} \mathbf{~ к г , ~ г д е ~}$ $\gamma$ – гравитационная постоянная.
3.280. $\omega=\omega_{0}(1+\beta) /(1-\beta)$, где $\beta=V / c, \omega \approx \omega_{0}(1+2 V / c)$.
3.281. $v=\lambda \Delta v / 2=900 \mathrm{~km} / \mathbf{q}$.
3.282. После подстановки в равенство $\omega t-k x=\omega^{\prime} t^{\prime}-k^{\prime} x^{\prime}$ величин $t^{\prime}$ и $x^{\prime}$ (из преобразований Лоренца) получим:
\[
\omega^{\prime}=\omega \sqrt{(1-\beta) /(1+\beta)}, \quad k^{\prime}=k \sqrt{(1-\beta) /(1+\beta)},
\]

где $\beta=v / c$, где $v$ – скорость $\boldsymbol{K}^{\prime}$-системы отсчета относительно $\boldsymbol{K}$-системы. Здесь учтено, что $\omega=c k$.
3.283. Из формулы $v^{\prime}=v \sqrt{(1-\beta) /(1+\beta)}$ имеем $\beta=v / c=0,256$.
3.284. $v=c\left(\eta^{2}-1\right) /\left(\eta^{2}+1\right)=7 \cdot 10^{4} \mathrm{~km} / \mathrm{c}$, где $\eta=\lambda / \lambda^{\prime}$.
3.285. $\omega=\omega_{0} \sqrt{3 / 7}$.
3.286. $\Delta \lambda=\lambda K / m c^{2}=0,70 \mathrm{mM}$, где $m$ – масса атома.
3.287. а) $v=v_{0} / \sqrt{1-(v / c)^{2}}=5,0$ ГГц; б) $v=v_{0} / \sqrt{1-(v / c)^{2}}=1,8$ ГГц.
3.288. Заряд электрона вместе с положительным индуцированным в металле зарядом образует диполь. В системе отсчета, связанной с электроном,
электрический момент диполя меняется с периодом $T^{\prime}=d^{\prime} / v$, где $d^{\prime}=$ $=d \sqrt{1-(v / c)^{2}}$. Соответствующая \”собственная\” частота $v^{\prime}=v / d$ ‘. Вследствие эффекта Доплера наблюдаемая частота равна
\[
v=v_{0} / \sqrt{1-(v / c)^{2}} /(1-(v / c) \cos \theta)=v / d(1-(v / c) \cos \theta) .
\]

Ей отвечает длина волны $\lambda=c / v=d(c / v-\cos \theta)$. При $t=45^{\circ}$ и $v \approx c$ длина волны $\lambda \approx 0,6 \mathrm{MkM}$.
3.289. $v=c \alpha / 2=30 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
3.290. $\sin \theta=\sqrt{\eta(2-\eta)}$, отсюда $\theta=8^{\circ}$.
4.1. а) 3 и 9 мВт; б) $\Phi=\left(V_{1}+V_{2}\right) \Phi_{3} / 2 A=1,6 \mathrm{~m}$, где $V_{1}$ и $V_{2}$ – значения функции $V_{\lambda}$ для данных длин волн, $A=1,6 \mathrm{mBт} /$ лм.
4.2. $E_{m}^{2}=\sqrt{\mu_{0} / \varepsilon_{0}} A \Phi / 2 \pi r^{2} V_{\lambda}$, отсюда $E_{m}=1,1 \mathrm{~B} / \mathrm{M}, H_{m}=3,0 \mathrm{MA} / \mathrm{M}$.
4.3. $W=P S / 2 r_{0} v_{0}$.
4.4. а) $\langle E\rangle=E_{0} / 2$; б) $\langle E\rangle=\left(1-\sqrt{1-(R / l)^{2}}\right) I / R^{2}(1-R / l)=50 \pi \mathrm{R}$.
4.5. $M=2 \pi L_{0} / 3$.
4.6. а) $\Phi=\pi L \Delta S \sin ^{2}$ t ; б) $M=\pi L$.
4.7. $h \approx R, E=L S / 4 R^{2}=40 \pi \mathrm{R}$.
4.8. $I=I_{0} / \cos ^{3} \theta, \quad \Phi=\pi I_{0} R^{2} / h^{2}=3 \cdot 10^{2} \mathrm{mM}$.
4.9. $E_{\text {maxc }}^{\prime}=9 p E S / 16 \pi R^{2} \sqrt{3}=0,21 \pi \mathrm{R}$.
4.10. $E=\pi L$.
4.11. $E=\pi L$.
4.12. $M=E_{0}\left(1+h^{2} / R^{2}\right)=7 \cdot 10^{2} \mathrm{JM} / \mathrm{m}^{2}$.
4.13. $E_{0}=\pi L R^{2} / h^{2}=25 \pi \mathrm{K}$.
4.14. $e^{\prime}=e-2(e n) n$.
4.15. Пусть $\mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}, \mathbf{n}_{3}$ – орты нормалей к плоскостям данных зеркал, а $e_{0}, c_{1}, c_{2}, c_{3}$ – орты первичного луча и лучей, отраженных от первого, второго и третьего зеркал. Тогда (см. ответ предыдущей задачи):
\[
e_{1}=c_{0}-2\left(c_{0} n_{1}\right) n_{1}, \quad c_{2}=c_{1}-2\left(c_{1} n_{2}\right) n_{2}, \quad c_{3}=c_{2}-2\left(e_{2} n_{3}\right) n_{3} .
\]

Сложив почленно левые и правые части этих выражений, нетрудно показать, что $c_{3}=-\epsilon_{0}$.
4.16. $t_{1}=\operatorname{arctg} n=53^{\circ}$.
4.17. $n_{1} / n_{2}=1 / \sqrt{\eta^{2}-1}=1,25$.
4.18. $x=\left(1-\cos \theta / \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \theta}\right) d \sin \theta=3,1 \mathrm{~cm}$.
4.19. $h^{\prime}=h n \cos ^{3} \theta /\left(n^{2}-\sin ^{2} \theta\right)^{3 / 2}$.
4.22. $\theta=83^{\circ}$.
4.23. От 37 до $58^{\circ}$.
4.24. $\alpha=8,7^{\circ}$.
4.25. $\Delta \alpha=2 \sin (\theta / 2) \Delta n / \sqrt{1-n^{2} \sin ^{2}(\theta / 2)}=0,44^{\circ}$.
4.27. $\Delta \omega / \omega=(n-1) v / c=1,0 \cdot 10^{-11}$.
4.30. a) $f=l \beta /\left(1-\beta^{2}\right)=10 \mathrm{~cm}$; б) $f=l \beta_{1} \beta_{2} /\left(\beta_{2}-\beta_{1}\right)=2,5 \mathrm{~cm}$.
4.31. $I^{\prime}=\rho I_{0} f^{2} /(f-s)^{2}=2,0 \cdot 10^{3}$ кд.
4.32. Пусть $S$ – точечный источник света и $S^{\prime}$ – его изображение (рис. 36). По принципу Ферма оптические длины всех лучей, вышедших из $S$ и собравшихся в $S^{\prime}$, одинаковы. Проведем окружности из центров $S$ и $S^{\prime}$ радиусами $S O$ и $S^{\prime} M$. Тогда оптические пути $D M$ и $O B$ должны быть равны:
\[
n \cdot D M=\boldsymbol{n}^{\prime} \cdot O B
\]

Но для параксиальных лучей $D M \approx A O+O C$, где $A O \approx h^{2} /(-2 s)$ и $O C \approx$ $\approx h^{\prime 2} / 2 R$. Кроме того, $O B=O C-B C \approx h^{\prime 2} / 2 R-h^{\prime 2} / 2 s^{\prime}$. Подставив эти выражения в (*) и имея в виду, что $h^{\prime} \approx h$, получим $n^{\prime} / s^{\prime}-n / s=\left(n^{\prime}-n\right) / \boldsymbol{R}$.
4.33. $x=\frac{n f}{n+1}\left(1-\sqrt{1-\frac{(n+1) r^{2}}{(n-1) f^{2}}}\right), r_{\text {иarc }}=f \sqrt{\frac{n-1}{n+1}}$.
4.35. $6,3 \mathrm{~cm}$.
4.36. а) $\beta=1-d(n-1) / n R=-0,20$; б) $E=\pi n^{2} D^{2} L / 4 d^{2}=42 \pi K$.
Рис. 36
4.37. $\Phi=\Phi_{0}\left(n-n_{0}\right) /(n-1)=2,0$ дптр, $f^{\prime}=-f=n_{0} / \Phi=85$ см. Здесь $n$ и $n_{0}$ – показатели преломления стекла и воды.
4.38. $\Phi=\Phi_{0}\left(2 n-n_{0}-1\right) / 2(n-1)=6,7$ дптр, $f=1 / \Phi \approx 15 \mathrm{cм}, f^{\prime}=n_{0} / \Phi=$ $=20$ см. Здесь $n$ и $n_{0}$ – показатели преломления стекла и воды.
4.42. $\Delta x=f^{2} \Delta l /(l-f)^{2}=0,5 \mathrm{mM}$.
4.43. а) $f=\left(l^{2}-(\Delta l)^{2}\right) / 4 l=20 \mathrm{cM}$; б) $f=l \sqrt{\eta} /(1+\sqrt{\eta})^{2}=20 \mathrm{cM}$.
4.44. $h=\sqrt{h^{\prime} h^{\prime \prime}}=3,0 \mathrm{MM}$.
4.45. $E=(1-\alpha) \pi L D^{2} / 4 f^{2}=15 \pi \mathrm{x}$.
4.46. а) Не зависит от $D$; б) пропорциональна $D^{2}$.
4.47. $f=n_{0} R / 2\left(n_{1}-n_{2}\right)=35 \mathrm{cM}$, где $n_{0}$ – показатель преломления воды.
4.48. $f=R / 2(2 n-1)=10 \mathrm{~cm}$.
4.49. а) Справа от последней линзы на 3,3 см от нее; б) $l=17$ см.
4.50. а) 50 и $5 \mathrm{~cm}$; б) отодвинуть на 0,5 см.
4.51. $\Gamma=D / d$.
4.52. $\psi=\psi^{\prime} / \sqrt{\eta}=0,6$ утл.мин.
453. $\Gamma^{\prime}=(\Gamma+1)\left(n-n_{0}\right) / n_{0}(n-1)-1=3,1$, где $n_{0}$ – показатель преломления воды.
4.54. $\Gamma \leqslant D / d_{0}=20$.
4.55. $\Gamma=60$.
4.56. $\Gamma=2 \alpha l_{0} / d_{0}=15$, где $l_{0}$ – расстояние наилучшего видения ( $25 \mathrm{~cm}$ ).
4.57. $\Gamma \leqslant 2 \alpha l_{0} / d_{0}$, где $l_{0}$ – расстояние наилучшего видения ( $25 \mathrm{~cm}$ ).
4.58. Главные плоскости совпадают с центром линзы. Фокусные расстояния в воздухе и воде: $f=-1 / \Phi=-11 \mathrm{cM}, f^{\prime}=n_{0} / \Phi=+15 \mathrm{cM}$. Здесь $\Phi=\left(2 n-n_{0}-\right.$ – 1)/R, где $n$ и $n_{0}$ – показатели преломления стекла и воды. Узловые точки совпадают и расположены в воде на расстоянии $x=f^{\prime}+f=3,7$ см от линзы.
Рис. 37
4.59. См. рис. 37.
4.62. а) Оптическая сила системы $\Phi=\Phi_{1}+\Phi_{2}-d \Phi_{1} \Phi_{2}=+4$ датр, фокусное расстояние равно 25 см. Обе главные плоскости расположены перед собирающей линзой: передняя – на расстоянии 10 см от собирающей линзы, задняя – на расстоянии $10 \mathrm{~cm}$ от рассеивающей линзы ( $x=d \Phi_{2} / \Phi$ и $\left.\left(x^{\prime}=-d \Phi_{1} / \Phi\right) ; 6\right) d=5$ см; около $4 / 3$.
4.63. Оптическая сила данной линзы $\Phi=\Phi_{1}+\Phi_{2}-(d / n) \Phi_{1} \Phi_{2}, x=d \Phi_{2} / n \Phi=$ $=5,0 \mathrm{cм}, x^{\prime}=-d \Phi_{1} / n \Phi=2,5 \mathrm{cM}$, т.е. обе главные плоскости расположены вне линзы со стороны ее выпуклой поверхности.
4.64. $f=f_{1} f_{2} /\left(f_{1}+f_{2}-d\right)$. Линзу надо поместить в передней главной плоскости системы, т.е. на расстоянии $x=f_{1} d /\left(f_{1}+f_{2}-d\right)$ от первой линзы.
4.65. $\Phi=2 \Phi^{\prime}-2 \Phi^{\prime 2} l / n_{0}=3,0$ датр, где $\Phi^{\prime}=\left(2 n-n_{0}-1\right) / R, n$ и $n_{0}$ – показатели преломления стекла и воды.
4.66. а) $d=n \Delta R /(n-1)=4,5 \mathrm{~cm}$; б) $d=3,0 \mathrm{~cm}$.
4.67. а) $\Phi=d(n-1)^{2} / n R^{2}>0$, главные плоскости лежат со стороны выпуклой поверхности на расстоянии $d$ друг от друга, причем передняя главная плоскость удалена от выпуклой поверхности линзы на расстояние $R /(n-1)$;
б) $\Phi=\left(1 / R_{2}-1 / R_{1}\right)(n-1) / n<0$; обе главные плоскости проходят через общий центр кривизны поверхностей линзы.
4.68. $d=n\left(R_{1}+R_{2}\right) / 2(n-1)=9,0 \mathrm{cM}, \Gamma=R_{1} / R_{2}=5,0$.
4.70. $R=n /(\partial n / \partial N)=3 \cdot 10^{7} \dot{\mathrm{M} ;} \partial n / \partial N=1,6 \cdot 10^{-7} \mathrm{M}^{-1}$.
4.72. $1,9 a$.
4.73. Сопоставим каждому колебанию вектор, модуль которого равен $a$. Угол между векторами, характеризующими $\boldsymbol{k}$-е и $(\boldsymbol{k}+1)$-е колебания, по условию равен $\alpha$. Изобразим из этих $N$ векторов цепочку (рис. 38) и обозначим результирующий вектор как А. Мысленно проведем описанную окружность радиуса $\boldsymbol{R}$ с центром в точке $O$. Тогда, как видно из рисунка, $A=2 R \sin (\alpha N / 2)$, $\boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{R} \sin (\alpha / 2)$. Исключив $\boldsymbol{R}$ из этих двух уравнений, получим $A=a \sin (N \alpha / 2) / \sin (\alpha / 2)$.
4.74. а) $\cos \theta=(k-\alpha / 2 \pi) \lambda / d$, где $k=0, \pm 1$, $\pm 2, \ldots ;$ б) $\alpha=\pi / 2, d / \lambda=k+1 / 4$, где $k=0,1,2, \ldots$
Рис. 38
4.75. а) См. рис. $39 a$; б) см. рис. 396.
Рис. 39
Рис. 40
4.76. а) См. рис. $40 a$; б) см. рис. 406.
4.77. $\langle S\rangle \cos \cos ^{2}\left[(\pi / 2) \sin ^{2}(\varphi / 2)\right]$; см. рис. 41 , где запаздывает по фазе на $\pi / 2$ излучатель 2 .
4.78. $\Delta \alpha=2 \pi[k-(d / \lambda) \sin \omega t]$, где $k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$
4.79. $\lambda=2 \Delta x \Delta h / l(\eta-1)=0,6 \mathrm{MKM}$.
4.81. a) $\Delta x=\lambda(b+r) / 2 \alpha r=1,1 \mathrm{MM}, N=[2 \alpha b / \Delta x+$ $+1]=9 ;$ б) сдвиг картины на $\delta x=(b / r) \delta l=13$ мм; в) картина будет еще достаточно отчетлива, если $\delta x \leqslant \Delta x / 2$, отсюда $h_{\text {maxc }}=(1+r / b) \lambda / 4 \alpha=43$ мKM.
4.82. $\lambda=2 \alpha \Delta x=0,64$ мRM.
4.83. а) $\Delta x=\lambda f / a=0,16 \mathrm{mM}, 13$ максимумов;
б) полосы будут еще достаточно отчетливы, если сдвиг интерференционных картин от крайних элементов щели $\delta x \leqslant \Delta x / 2$. Отсюда $h_{\text {махс }}=\lambda f^{2} / 2 a b=40 \mathrm{MKM}$.
4.84. $\lambda=2 a \theta(n-1) \Delta x /(a+b)=0,6 \mathrm{MKM}$.
Рис. 41
4.85. $\Delta x \approx \lambda / 2 \theta\left(n-n^{\prime}\right)=0,20 \mathrm{MM}$.
4.86. Полосы сместятся в сторону перекрытой щели на расстояние $\Delta \boldsymbol{x}=\boldsymbol{h} l(\boldsymbol{n}-1) / \boldsymbol{d}=2,0 \mathrm{mM}$.
4.87. $n^{\prime}=n+N \lambda / l=1,000377$.
4.88. $v=\lambda / 2 \Delta t \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \theta}=1,1 \mathrm{MKM} / \mathrm{\Psi}$.
4.89. $b=\lambda(1+2 k) / 4 \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \theta_{1}}=0,14(1+2 k)$ мко, где $k=0,1,2, \ldots$
4.90. $b_{\text {man }}=0,65 \mathrm{mKM}$.
4.91. $b=\lambda(1+2 k) / 4 \sqrt{n}$, где $k=0,1,2, \ldots$
4.92. $b=\lambda \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \theta} / \sin 2 \theta \cdot 8 \theta=15 \mathrm{MKM}$.
4.93. $\lambda \approx b\left(r_{i}^{2}-r_{k}^{2}\right) / 4 n l^{2}(i-k)$.
4.94. $\Delta x=\lambda \cos t_{1} / 2 \alpha \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \theta_{1}}$.
4.95. а) $\theta=\lambda / 2 n \Delta x=3$ угл.мин.; б) $\Delta \lambda / \lambda \approx \Delta x / l=0,014$.
4.96. $\Delta r \approx \lambda R / 4 r$.
4.97. $r^{\prime}=\sqrt{r^{2}-2 R h}=1,5 \mathrm{mM}$.
4.98. $r=\sqrt{r_{0}^{2}+(k-1 / 2) \lambda R}=3,8 \mathrm{moM}$, где $k=6$.
4.99. $\lambda=\left(d_{2}^{2}-d_{1}^{2}\right) / 4 R\left(k_{2}-k_{1}\right)=0,50 \mathrm{mKM}$, где $k_{1}$ и $k_{2}$ – номера темных колец.
4.100. $\Phi=2(n-1)(2 k-1) \lambda / d^{2}=2,4$ дптр, где $k$ – номер светлого кольца.
4.101. а) $r=\sqrt{2 k \lambda(n-1) / \Phi}=3,5 \mathrm{MM}$, где $k=10$; б) $r^{\prime}=r / \sqrt{n_{0}}=3,0 \mathrm{MM}$, где $n_{0}$ – показатель преломления воды.
4.102. $r=\sqrt{(k-1 / 2) \lambda R / n_{2}}=1,3 \mathrm{mM}$, где $k=5$.
4.103. $k_{\text {mar }}=\lambda_{1} / 2\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)=140$.
4.104. Условие перехода от одной четкой картины к следующей: $(k+1) \lambda_{1}=$ $=k \lambda_{2}$, где $k$ – некоторое целое число. Соответствующее перемещение $\Delta h$ зеркала определяется уравнением $2 \Delta h=k \lambda_{2}$. Из этих двух уравнений получим: $\Delta h=\lambda_{1} \lambda_{2} / 2\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right) \approx \lambda^{2} / 2 \Delta \lambda=0,3 \mathrm{mM}$.
4.105. а) Условие максимумов: $2 d \cos \hat{\theta}=k \lambda$; отсюда следует, что с ростом угла $\boldsymbol{t}$, т.е. радиуса колец (см. рис. 4.23), порядок интерференции $k$ убывает.
б) Взяв дифференциал от обеих частей предыдущего уравнения и имея в виду, что при переходе от одного максимума к следующему $k$ изменяется на единицу, получим $8 \theta=\lambda / 2 d \sin \theta$; отсюда видно, что угловая ширина полос уменьшается с ростом угла $\boldsymbol{t}$, т.е. с уменьшением порядка интерференции.
4.106. а) $k_{\text {мaxc }}=2 d / \lambda=1,0 \cdot 10^{5}$; б) $\Delta \lambda=\lambda / k=\lambda^{2} / 2 d=5 \mathrm{mM}$.
4.107. Движущаяся со скоростью $V$ заряженная частица своим полем возбуждает атомы среды, и они становятся источниками световых волн. Световые волны, испускаемые из произвольных точек $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ при прохождении через них частицы, достигнут точки $\boldsymbol{P}$ (рис. 42) за одинаковое время и усилят друг друга, если время распространения световой волны из точки $\boldsymbol{A}$ в точку $\boldsymbol{C}$ будет равно времени пролета частицей пути $\boldsymbol{A B}$. Отсюда $\cos \theta=v / \boldsymbol{V}$, Рис. 42 где $v=c / n$ – фазовая скорость света. Излучение возможно лишь при $V>v$.
4.108. $K_{\mathrm{man}}=\left(n / \sqrt{n^{2}-1}-1\right) m c^{2}$; соответственно 0,14 МэВ и 0,26 ГэВ. Для мюонов.
4.109. $K=\left(n \cos \theta / \sqrt{n^{2} \cos ^{2} \theta-1}-1\right) m c^{2}=0,23 \mathrm{MgB}$.
4.110. $I_{0}=(2 / b N \lambda) \int I(r) r d r$, где интегрирование от 0 до $\infty$.
4.111. $b=a r^{2} /\left(k \lambda a-r^{2}\right)=2,0 \mathrm{M}$.
4.112. $\lambda=\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right)(a+b) / 2 a b=0,60 \mathrm{MKM}$.
4.113. $I \approx 2 I_{0}\left[1-\cos \left(\pi r^{2} / \lambda b\right)\right]=2 I_{0}$.
4.114. а) $I \approx 4 I_{0}, I \approx 2 I_{0}$; б) $I \approx I_{0}$.
4.115. а) $I \approx 0$; б) $I \approx I_{0} / 2$.
4.116. а) $I \approx(1-\varphi / 2 \pi)^{2} I_{0} ;$ б) $I=(1+\varphi / 2 \pi)^{2} I_{0}$.
4.117. а) $h=\lambda(k+3 / 8) /(n-1)=1,2(k+3 / 8) \mathrm{MKM}$; б) $h=1,2(k+7 / 8) \mathrm{MKM}$; в) $h=1,2 k$ или $1,2(k+3 / 4)$ мкм. Здесь $k=0,1,2, \ldots$
4.118. $h=\lambda(k+3 / 4) /(n-1)$, где $k=0,1,2, \ldots, I_{\text {мaxc }} \approx 8 I_{0}$.
4.119. $h=\lambda(k+5 / 8) /(n-1)=1,2(k+5 / 8)$ мкм, где $k=0,1,2, \ldots$
4.120. $r=\sqrt{k \lambda f b /(b-f)}=0,9 \sqrt{k} \mathrm{MM}$, где $k=1,3,5, \ldots$
4.121. $b^{\prime}=b / \eta^{2}=1,0 \mathrm{M}$.
4.122. a) $y^{\prime}=y b / a=9 \mathrm{MM}$; б) $h_{\mathrm{MmH}} \approx a b \lambda / D(a+b)=0,10 \mathrm{MM}$.
4.123. $f=a b /(a+b)=0,6 \mathrm{M}$. Это значение соответствует главному фокусу, помимо которого существуют и другие.
4.124. а) $h=0,60(2 k+1) \mathrm{MKM}$; б) $h=0,30(2 k+1)$ мKм. Здесь $k=0,1,2, \ldots$
4.125. а) $I_{\operatorname{maxc}} / I_{\operatorname{man}} \approx 1,7$; б) $\lambda=2(\Delta x)^{2} / b\left(v_{2}-v_{1}\right)^{2}=0,7 \mathrm{MxM}$, где $v_{1}$ и $v_{2}$ – соответствующие значения параметра на спирали Корню.
4.126. $I_{\text {cop }} / I_{\mathrm{rp}} \approx 2,6$.
4.127. $\lambda=(\Delta h)^{2} / 2 b\left(v_{2}-v_{1}\right)^{2}=0,55 \mathrm{MKM}$, где $v_{1}$ и $v_{2}$ – соответствующие значения параметра на спирали Корню.
4.128. $h \approx \lambda(k+3 / 4) /(n-1)$, где $k=0,1,2, \ldots$
4.129. $I_{2} / I_{1} \approx 1,9$.
4.130. $I \approx 2,8 I_{0}$.
4.131. $I_{1}: I_{2}: I_{3} \approx 1: 4: 7$.
4.132. $I \approx I_{0}$.
4.133. Мысленно разобъем щель на множество одинаковых полосок и изобразим, имея в виду рис. $43 a$, цепочку соответствующих элементарных векторов – для определенного угла дифракции $\varphi$. Если угол $\varphi$ достаточно мал, цепочка образует дугу радиуса $R$ (рис. 43 б). Пусть длина цепочки $A_{0}$ и результирующий вектор $\mathbf{A}$. Тогда, как видно из рис. $436, \boldsymbol{A}_{0}=\boldsymbol{R} \boldsymbol{\delta}, \boldsymbol{A}=$ $=2 R \sin (\delta / 2)$, где $\delta$ – разность фаз между крайними векторами цепочки. Исключив $R$ из этих равенств, получим $A=A_{0} \sin (8 / 2) /(8 / 2)$. Отсюда интенсивность $\left(I \leftrightarrow A^{2}\right) \quad I_{\varphi}=I_{0} \sin ^{2}(\delta / 2) /(\delta / 2)^{2}$, где $I_{0}$ – интенсивность в центре дифракционной картины $(\varphi=0), \delta=2 \pi b \sin \varphi$. С ростом угла $\varphi$ увеличивается $\delta$, и цепочка будет закручиваться. Когда $\delta=2 \pi, 4 \pi, \ldots, 2 \pi k$, цепочка замыкается один, два, …, $k$ раз, и мы приходим к условию $b \sin \varphi=k \lambda, k=1,2, \ldots$
Рис. 43
4.134. $\lambda=b / k \sqrt{1+4(f / x)^{2}}=0,6 \mathrm{Mxм}$, где $k$ – порядок минимума.
4.135. $b\left(\sin \theta-\sin \theta_{0}\right)=k \lambda$; для $k=+1$ и $k=-1$ углы $\theta$ равны соответственно 33 и $27^{\circ}$.
4.136. а) $\Delta \theta=\arcsin (n \sin \theta)-\theta=7,9^{\circ}$; б) из условия $b\left(\sin \theta_{1}-n \sin \theta\right)= \pm \lambda$ получим $\Delta \boldsymbol{\theta}=\hat{\theta}_{+1}-\boldsymbol{\theta}_{-1}=7,3^{\circ}$.
4.137. $\lambda \approx\left(\alpha^{2}-\alpha_{0}^{2}\right) d / 2 k=0,6 \mathrm{MKM}$.
4.139. $55^{\circ}$.
4.140. $d=2,8 \mathrm{Mm}$.
4.141. $\lambda=d \sin \Delta \theta / \sqrt{5-4 \cos \Delta \theta}=0,54 \mathrm{mM}$.
4.142. a) $45^{\circ}$; б) $-64^{\circ}$.
4.143. $x=2 R /(n-1) \sqrt{(d / \lambda)^{2}-1}=8 \mathrm{~cm}$.
4.144. Из условия $d\left[n \sin \theta-\sin \left(\theta+\theta_{k}\right)\right]=k \lambda$ получим $t_{0}=-18,5^{\circ}, t_{+1}=0^{\circ}$; $k_{\text {maxc }}=+6, \theta_{+6}=+78,5^{\circ}$. См. рис. 44.
4.145. $h_{k}=\lambda(k-1 / 2) /(n-1)$, где $k=1,2, \ldots ; a \sin \theta_{1}=\lambda / 2$.
4.146. $v=\lambda v f / \Delta x=1,5 \mathrm{ma} / \mathrm{c}$.
Рис. 44
Рис. 45
4.147. $b<\lambda f / d \approx 1$ мм. Интерференция будет наблюдаться, если радиус когерентности $\rho_{\text {xor }}>d$.
4.148. Каждая звезда дает в фокальной плоскости объектива свою дифракционную картину, причем их нулевые максимумы отстоят друг от друга на угол $\Psi$ (рис. 45). При уменьшении расстояния $\boldsymbol{d}$ угол $\boldsymbol{\theta}$ между соседними максимумами в каждой дифракционной картине будет увеличиваться, и когда о станет равным 2ф, наступит первое ухудшение видимости: максимумы одной системы формулы $\sin \theta=\lambda / d$ получим $\downarrow \approx \lambda / 2 d=0,06$ угл.сек.
4.149. а) $D=k / d \sqrt{1-(k \lambda / d)^{2}}=6,5$ угл.мин/нм, где $k=2$;
б) $D=k / d \sqrt{1-\left(k \lambda / d-\sin \theta_{0}\right)^{2}}=13$ угл.мин/нм, где $k=4$.
4.150. $d \boldsymbol{t} / d \lambda=\operatorname{tg} t / \lambda=11$ угл.мин/нм.
4.151. $\Delta \hat{t}=2 \lambda / N d \sqrt{1-(k \lambda / d)^{2}}=11$ угл.сек.
4.154. $t=46^{\circ}$.
4.155. а) В четвертом; б) $\delta \lambda_{\text {мом }}=\lambda^{2} / l=7 \mathrm{~mm}$.
4.156. а) $d=0,05 \mathrm{MM}$; б) $l=6 \mathrm{cM}$.
4.157. а) 6 и 12 мкм; б) в первом порядке нет, во втором да.
4.158. $b \ll \lambda f I \dot{N} d=30 \mathrm{MKM}$.
4.159. а) $r_{m} \approx \sqrt{2 k \lambda l}=2,5 \mathrm{MM}$; б) $\Delta r \approx \lambda l / r$.
4.160. $D>\lambda l / d=2,4 \mathrm{~cm}$.
4.161. Согласно критерию Рэлея максимум линии с длиной волны $\lambda$ должен совпадать с первым минимумом линии $\lambda+\delta \lambda$. Запишем оба условия для угла наименьшего отклонения терез оптические разности хода крайних лучей (см. рис. 4.33):
\[
\delta n-(D C+C E)=0, \quad b(n+8 n)-(D C+C E)=\lambda+8 \lambda .
\]

Отсюда $b \delta n \approx \lambda$. Дальнейшее очевидно.
4.162. а) $\lambda / \delta \lambda=2 b B / \lambda^{3}$; соответственно $1,2 \cdot 10^{4}$ и $0,35 \cdot 10^{4}$; б) 1,0 см.
4.163. Около $20 \mathrm{~cm}$.
4.164. $R=D / 1,22 \lambda=7 \cdot 10^{4}, \Delta y_{\operatorname{maR}}=l / R=4 \mathrm{~cm}$.
4.165. Около $50 \mathrm{~m}$.
4.166. Увеличится приблизительно в 16 раз.
4.167. $I / I_{0} \approx\left(d^{2} / 2 f \lambda\right)^{2} \approx 2 \cdot 10^{7}$.
4.168. Пусть $\delta \psi$ и $\delta \psi^{\prime}$ – минимальные угловые расстояния, разрешаемые объективом трубы и глазом ( $\delta \psi=1,22 \lambda / D, \delta \psi^{\prime}=1,22 \lambda / d_{0}$ ). Тогда искомое увеличение трубы $\Gamma_{\text {min }}^{\prime}=\delta \psi^{\prime} / \delta \psi=D / d_{0}=13$.
4.169. $d_{\max }=0,61 \lambda / \sin \alpha=1,4 \mathrm{MKM}$.
4.170. Пусть $d_{\text {mim }}$ – наименьшее разрешаемое расстояние для объектива микроскопа, $\delta \Psi$ – угол, под которым виден объект с расстояния наилучшего видения $l_{0}$ ( $25 \mathrm{~cm}$ ), и $\delta \psi^{\prime}$ – минимальное угловое расстояние, разрешаемое глазом ( $\delta \phi^{\prime}=1,22 \lambda / d_{0}$ ). Тогда искомое увеличение микроскопа $\Gamma_{\operatorname{man}}=\delta \psi^{\prime} / \delta \psi=$ $=2\left(l_{0} / d_{0}\right) \sin \alpha=30$.
4.171. $26,60,84,107$, и $135^{\circ}$.
4.172. $a=0,28 \mathrm{mM}, b=0,41 \mathrm{HM}$.
4.173. Пусть $\alpha, \beta$ и $\boldsymbol{\gamma}$ – углы между направлением на дифракционный максимум и направлениями решетки вдоль периодов $a, b$ и $c$. Тогда значения этих утлов определятся из условий:
\[
a(1-\cos \alpha)=k_{1} \lambda, \quad b \cos \beta=k_{2} \lambda, \quad c \cos \gamma=k_{3} \lambda .
\]

Имея в виду, что $\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1$, получим
\[
\lambda=2 k_{1} / a\left[\left(k_{1} / a\right)^{2}+\left(k_{2} / b\right)^{2}+\left(k_{3} / c\right)^{2}\right] .
\]
4.174. $\lambda=(2 / k) \sqrt[3]{m / 2 p} \sin \alpha=244 \mathrm{~mm}$, где $k=2, m$ – масса молекулы $\mathrm{NaCl}$.
4.175. $d=\lambda \sqrt{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}-2 k_{1} k_{2} \cos (\alpha / 2)} / 2 \sin (\alpha / 2)=0,28$ нм, где $k_{1}$ и $k_{2}$ – порядки отражения.
4.176. $r=l \operatorname{tg} 2 \alpha=3,5 \mathrm{~cm}$, где $\alpha-$ угол скольжения, определяемый условием $2 d \sin \alpha=k \lambda$.
(a)
Рис. 46
4.177. См. рис. $46 ; I_{0} / 4$.
4.178. а) $I_{0}$; б) $2 I_{0}$.
4.179. $E=\pi \Phi_{0} / \omega=0,6$ мДж.
4.180. $\varphi=\arccos \left(\sqrt{\eta_{2}} / \eta_{1} \sqrt{2}\right)=30^{\circ}$.
4.181. $\eta=(1 / 2)(\cos \varphi)^{2(N-1)}=0,12$.
4.182. $I_{0} / I=2 / \tau^{3} \cos ^{4} \varphi \approx 60$.
4.183. $I_{\text {пол }} / I_{\text {ест }}=P /(1-P)=0,3$.
4.184. $P=\sin ^{2} \theta /\left(1+\cos ^{2} \hat{\theta}\right)$.
4.185. $P=(\eta-1) /(1-\eta \cos 2 \varphi)=$ $=0,8$.
4.186. а) Представим естественный свет в виде двух взаимно перпендикулярных составляющих с интенсивностями $I_{0}$. Пусть каждый поляризатор пропускает в своей плоскости долю $\alpha_{1}$ света с плоскостью колебаний, параллельной плоскости пропускания поляризатора, и долю $\alpha_{2}$ в перпендикулярной плоскости. Тогда при параллельных и перпендикулярных плоскостях пропускания поляризаторов интенсивность прошедшего света
\[
I_{1 \mid}=\alpha_{1}^{2} I_{0}+\alpha_{2}^{2} I_{0}, \quad I_{\perp}=\alpha_{1} \alpha_{2} I_{0}+\alpha_{2} \alpha_{1} I_{0},
\]

причем по условию $I_{11} / I_{\perp}=\eta$. С другой стороны, степень поляризации, создаваемая каждым поляризатором в отдельности,
\[
P_{0}=\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right) /\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) .
\]

Исключив $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ из этих формул, получим $P_{0}=\sqrt{(\eta-1) /(\eta+1)}=0,905$.
б) $P=\sqrt{1-1 / \eta^{2}}=0,995$.
4.187. $90^{\circ}$.
4.188. $P=p$.
4.189. $P^{\prime}=P p /(1-p)$.
4.190. a) $\rho=\left(n^{2}-1\right)^{2} / 2\left(n^{2}+1\right)=0,074$;
б) $P=p /(1-p)=\left[\left(1+n^{2}\right)^{2}-\right.$ $\left.-4 n^{2}\right] /\left[\left(1+n^{2}\right)^{2}+4 n^{2}\right]=0,080$. Здесь $n$ – показатель преломления стекла.
4.191. $I=I_{0}(1-\rho) / n=0,72 I_{0}, n$ – показатель преломления воды.
4.192. $p=\left[\left(n^{2}-1\right) /\left(n^{2}+1\right)\right] \sin ^{2} \varphi=0,038$.
4.193. $P=P_{3}=1, P_{2}=\frac{p}{1-\rho}=0,087, P_{4}=\frac{2 \rho(1-\rho)}{1-2 \rho(1-\rho)}=0,17$.
4.194. Здесь коэффициент отражения от каждой поверхности пластинки $\rho=\left(n^{2}-1\right)^{2} /\left(n^{2}+1\right)^{2}$, поэтому $I_{4}=I_{0}(1-\rho)^{2}=16 I_{0} n^{4} /\left(1+n^{2}\right)^{2}=0,725 I_{0}$.
4.195. $P=\frac{1-\left(1-\rho^{\prime}\right)^{2}}{1+\left(1-\rho^{\prime}\right)^{2}}=\frac{\left(1+n^{2}\right)^{4}-16 n^{4}}{\left(1+n^{2}\right)^{4}+16 n^{4}} \approx 0,16$, где $\rho^{\prime}-$ коэффициент отражения той составляющей света, световой вектор которой колеблется перпендикулярно плоскости падения.
4.196. а) $P=\left(1-\alpha^{4 N}\right) /\left(1+\alpha^{4 N}\right)$, где $\alpha=2 n /\left(1+n^{2}\right), \quad n$ – показатель преломления стекла; б) соответственно $0,16,0,31,0,67$ и 0,92 .
4.197. $\rho=(n-1)^{2} /(n+1)^{2}=0,020$.
4.198. $\Delta \Phi / \Phi=1-(1-\rho)^{2 N}=0,34$.
4.199. $I=I_{0}(1-\rho)^{2}\left(1+\rho^{2}+\rho^{4}+\ldots\right)=I_{0}(1-\rho) /(1+\rho)=0,90 I_{0} ;$ меньше на $\Delta I I I=\rho^{2}=0,25 \%$.
4.201. а) 0,83 ; б) 0,044 .
4.202. См. рис. 47 .
Рис. 47
4.203. $\alpha \approx 11^{\circ}$.
4.204. Для правой системы координат:
a) круговая поляризация, против часовой стрелки, если смотреть навстречу волне;
б) эллиптическая, по часовой стрелке, если смотреть навстречу волне; большая ось эллипса совпадает с прямой $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}$;
в) плоская поляризация, вдоль прямой $\boldsymbol{y}=-\boldsymbol{x}$.
4.205. $P=(\eta-1) / \eta=0,5$.
4.206. а) $0,490 \mathrm{MM}$; б) $0,475 \mathrm{Mm}$.
4.207. $\lambda=4 d \Delta n /(2 k+1) ; 0,58,0,55$ и 0,51 мкм при $k=15,16$ и 17 .
4.208. Четыре.
4.209. $0,69,0,60,0,47$ и 0,43 мкм.
4.210. $d=(k-1 / 2) \lambda_{1} / \Delta n=0,25 \mathrm{mM}$, где $k=4$.
4.211. $\Delta n=\lambda / \theta \Delta x=0,009$.
4.212. а) $I_{11}^{\prime}=I \cos ^{2}(\delta / 2)$; б) $I_{\perp}^{\prime}=I \sin ^{2}(\delta / 2)$. В случае $\boldsymbol{P}^{\prime} \perp \boldsymbol{P}$ к разности фаз $\boldsymbol{\delta}$ следует добавить $\pi$, поскольку проекции векторов $\mathbf{B}_{\text {。 }}$ и $B_{\text {, }}$ на направление $P^{\prime}$ противоположны по знакам.
4.214. а) Если свет правополяризованный по кругу (для наблюдателя), то за пластинкой в четверть волны он становится линейно поляризованным, его плоскость поляризации составляет угол $\varphi=+45^{\circ}$ с осью $O O^{\prime}$ кристалла (рис. 48). Для левополяризованного света $\varphi=-45^{\circ}$.
Рис. 4s
б) Если при вращении поляроида (расположенного за пластинкой) при любом положении пластинки интенсивность прошедшего света не меняется, то свет естественный; если меняется и падает до нуля, то свет поляризован по кругу; если меняется, но не падает до нуля, то свет – смесь естественного и поляризованного по кругу.
4.215. а) $\Delta x=\lambda / 2\left(n_{e}-n_{0}\right) \theta$; б) $d\left(n_{e}^{\prime}-n_{e}^{\prime}\right)=-2\left(n_{e}-n_{0}\right) \theta \delta x<0$.
4.216. $I=3 I_{0}$.
4.217. $\Delta \boldsymbol{n}=\alpha \lambda / \pi=0,71 \cdot 10^{-4}$, где $\alpha$ – постоянная вращения.
4.218. $\alpha=\pi / \Delta x \operatorname{tg} \theta=22$ угл.град/мм, $I(x) \sim \cos ^{2}(\pi x / \Delta x)$, где $x$ – расстояние от максимума.
4.219. $d_{\mathrm{mm}}=(1 / \alpha) \arcsin \sqrt{2 \eta}=2,9 \mathrm{mM}, \alpha-$ постоянная вращения.
4.220. $8,7 \mathrm{mM}$.
4.221. $[\alpha]=72$ угл.град/(дм $\left.\cdot \Gamma / \mathrm{cm}^{3}\right)$.
4.222. а) $E_{\text {мат }}=1 / \sqrt{4 \overline{B l}}=10,6 \mathrm{kB} / \mathrm{cm} ;$ б) $2,2 \cdot 10^{8}$ прерываний в секунду.
4.223. $\Delta n=2 c H V / \omega$, где $c$ – скорость света в вакууме.
4.224. $V=\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) / 2 l H=0,015$ угл.мин $/$.
4.225. Если смотреть навстречу вышедшему лучу и положительное направление отсчитывать по часовой стрелке, то $\varphi=(\alpha-V N H) l$, где $N$ – число прохождений луча через вещество (пять на рис. 4.39).
4.226. $H_{\text {min }}=\pi / 4 V l=4,0 \mathrm{kA} / \mathrm{M}, V$ – постояниая Верде. Направление, в котором проходит свет, изменится на противоположное.
4227. $t=m c \omega_{0} / \lambda I=12$ ч. Несмотря на чрезвычайную малость этого зффекта, его наблюдали как для видимого света, так и для сантиметровых волн.
4.228. а) $\varepsilon=1-n_{0} e^{2} / \varepsilon_{0} m \omega^{2}$; б) $v=c \sqrt{1+\left(n_{0} e^{2} / 4 \pi^{2} \varepsilon_{0} m c^{2}\right) \lambda^{2}}$.
4.229. $n_{0}=\left(4 \pi^{2} v^{2} m \varepsilon_{0} / e^{2}\right)\left(1-n^{2}\right)=2,4 \cdot 10^{7} \mathrm{~cm}^{-3}$.
4.230. $n-1=-n_{0} e^{2} \lambda^{2} / 8 \pi^{2} \varepsilon_{0} m c^{2}=-5,4 \cdot 10^{-7}$, где $\quad n_{0}-$ концентрация электронов в углероде.
4.231. а) $x=a \cos (\omega t-\varphi)$, где $a$ и $\varphi$ определяются формулами
\[
a=e E_{0} / m \sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega^{2}}, \quad \operatorname{tg} \varphi=2 \beta \omega /\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right) .
\]

Здесь $\beta=\gamma / 2 m, \omega_{0}^{2}=k / m, m$ – масса электрона;
6) $\langle P\rangle=\beta e^{2} E_{0}^{2} \omega^{2} / m\left[\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega^{2}\right],\langle P\rangle_{\text {max }}=e^{2} E_{0}^{2} / 4 \beta m$ при $\omega=\omega_{0}$.
4.232. Запишем уравнение волны в форме $A=A_{0} \exp [i(\omega t-k x)]$, где $k=2 \pi / \lambda$. Если $n^{\prime}=n+\mathrm{i} x$, то $k=\left(2 \pi / \lambda_{0}\right) n^{\prime}$ и
\[
A=A_{0} \exp \left(2 \pi x x / \lambda_{0}\right) \exp \left[\mathrm{i}\left(\omega t-2 \pi n x / \lambda_{0}\right)\right],
\]

или в вещественной форме: $A=A_{0} \exp (\boldsymbol{x} x) \cos \left(\omega t-\boldsymbol{k}^{\prime} x\right)$, т.е. свет распространяется в виде плоской волны, амплитуда которой зависит от $x$. При $x<0$ амплитуда убывает (затухание волны за счет поглощения). Если $n^{\prime}=\mathbf{i x}$, то $A=A_{0} \exp (\boldsymbol{x} x) \cos \omega t$. Это стоячая волна с экспоненциально убывающей (при $x<0$ ) амплитудой – свет испытывает полное внутреннее отражение в среде (без поглощения).
4.233. $n_{0}=4 \pi^{2} \varepsilon_{0} v_{0}^{2} m / e=2,0 \cdot 10^{9} \mathrm{~cm}^{-3}$.
4.235. а) $u=3 v / 2$; б) $u=2 v$; в) $u=v / 3$.
4.236. $\varepsilon=1-A / \omega^{2}$, где $A$ – положительная постоянная.
4.237. $v=c / n=0,61 c, u=[1+(\Delta n / \Delta \lambda) \lambda / n] c / n=0,65 c$.
4.238. Достаточно провести рассуждение для трех гармонических составляющих волнового импульса. Обобщение на большее число составляющих очевидно.
4.239. $I=\left(I_{0} / 2\right) \exp (-x l) \sin ^{2} \varphi$, где $\varphi=V l H$.
4.240. а) $I=I_{0}(1-\rho)^{2} \exp (-x d)$; б) $I=I_{0}(1-\rho)^{2} \sigma\left(1+\sigma^{2} \rho^{2}+\sigma^{4} \rho^{4}+\ldots\right)=$ $=I_{0} \sigma\left(1-\rho^{2}\right) /\left(1-\sigma^{2} \rho^{2}\right)$, где $\sigma=\exp (-x d)$.
4.241. $x=\ln \left(\tau_{1} / \tau_{2}\right) /\left(d_{2}-d_{1}\right)=0,35 \mathrm{~cm}^{-1}$.
4.242. $x=(1 / l N) \ln \left[\left(1-\rho^{2 N}\right) / \tau\right]=0,034 \mathrm{~cm}^{-1}$.
4.243. $\tau=(1-\rho)^{2} \exp \left[-\left(x_{1}+x_{2}\right) l / 2\right]$.
4.244. $I=I_{0}(1-\rho)^{2}\left[\exp \left(-x_{1} l\right)-\exp \left(-x_{2} l\right)\right] /\left(x_{2}-x_{1}\right) l$.
4.245. $\Delta \lambda=2 \lambda_{0} \sqrt{\ln \eta / \alpha d}$.
4.246. $I=\left(\Phi / 4 \pi b^{2}\right)(1-\rho)^{2} \exp [-x(b-a)]$.
4.247. Уменьшится в $\exp (\mu d)=0,6 \cdot 10^{2}$ раз.
4.248. $d=0,3 \mathrm{MM}$.
4.249. $d=\ln 2 / \mu=8 \mathrm{MM}$.
4.250. $N=\ln \eta / \ln 2=5,6$.
5.1. a) $\left\langle j=P \lambda / 8 \pi^{2} \mathrm{chr}^{2}=6 \cdot 10^{13} \mathrm{~cm}^{-2} \cdot \mathrm{c}^{-1}\right.$; б) $r=\sqrt{P \lambda / 2 h n} / 2 \pi c=9 \mathrm{M}$.
5.2. 2,5 эВ/c, 5,0 кэВ/с и $0,31 \mathrm{MэB} / c$.
5.3. $\lambda=2 \pi c h / \sqrt{K\left(K+2 m c^{2}\right)}=2,0 \mathrm{mM}$.
5.4. $v=c / \sqrt{1+(m c \lambda / 2 \pi h)^{2}}=1,3 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
5.5. $d p / d t=\Phi_{9} / c$.
5.6. $\langle p\rangle=4(1+\rho) E / \pi d^{2} c \tau=5,0 \mathrm{M \Pi a}$ (50 атм).
5.7. $p=(E / c) \sqrt{1+p^{2}+2 p \cos 20}=35 \mathrm{HH} \cdot \mathrm{c}$.
5.8. $p=(I / c)(1+p) \cos ^{2} \theta=0,6 \mathrm{HH} / \mathrm{cm}^{2}$.
5.9. $F=\pi R^{2} I / c=0,18 \mathrm{MRH}$.
5.10. $F=P / 2 c\left(1+\eta^{2}\right)$.
5.11. а) $\Delta p=2 \hbar \omega \sqrt{1-\beta^{2}} / c(1-\beta)$; $\left.\sigma\right) \Delta p=2 h \omega / c(1-\beta)$. Здесь $\beta=V / c$. Видно, что в системе отсчета, связанной с зеркалом, последнему передается меньший импульс.
5.12. $\sin (\theta / 2)=E / m c \sqrt{g l}$, отсюда $\theta=0,5^{\circ}$.
5.13. $\Delta \omega / \omega_{0}=-\left[1-\exp \left(-\gamma M / R c^{2}\right)\right]<0$, т.e. $\omega<\omega_{0}$.
5.14. $U=2 \pi h c(1-1 / \eta) / e \Delta \lambda=16 \mathrm{kB}$.
5.15. $U=\pi h c / e d \sin \alpha=31 \mathrm{kB}$.
5.16. $\lambda_{\text {man }}=2 \pi h / m c(\gamma-1)=2,8 \mathrm{mM}$, где $\gamma=1 / \sqrt{1-(v / c)^{2}}$.
5.17. $U=3 \pi c h / e \lambda_{m}=35 \mathrm{kB}$.
5.18. $332 \mathrm{HM}, 6,6 \cdot 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
5.19. $A=2 \pi c h\left(\eta^{2}-\lambda_{2} / \lambda_{1}\right) / \lambda_{2}\left(\eta^{2}-1\right)=1,9$ 9B.
5.20. $\varphi_{\text {maxc }}=4,4 \mathrm{~B}$.
5.21. $K_{\text {мaxc }}=h\left(\omega_{0}+\omega\right)-A_{\max }=0,389 B$.
5.22. $w=2 \pi c h J / e \lambda=0,020$.
5.23. $v_{\text {maxc }}=6,4 \cdot 10^{5} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
5.24. $0,5 \mathrm{~B}$; противоположна полярности внешнего напряжения.
5.25. $h / m c$ – комптоновская длина волны данной частицы ( $\lambda_{c}$ ).
5.26. Запишем в системе отсчета, связанной с покоящимся электроном, законы сохранения энергии и импульса:
\[
\hbar \omega+m c^{2}=m_{r} c^{2}, \quad \hbar \omega / c=m_{r} v, \quad \text { где } m_{r}=m / \sqrt{1-(v / c)^{2}} .
\]

Отсюда следует, что $v=0$ или $c$. Оба результата физического смысла не имеют.
5.27. а) Рассеяние – на свободных электронах; б) увеличивается число электронов, становящихся свободными (их энергия связи значительно меньше энергии, передаваемой им фотонами); в) из-за рассеяния на сильно связанных электронах.
5.28. $\lambda=2 \lambda_{c}\left[\sin ^{2}\left(\theta_{2} / 2\right)-\eta \sin ^{2}\left(\theta_{1} / 2\right)\right] /(\eta-1)=1,2 \mathrm{~mm}$.
5.29. $\boldsymbol{K}=h \omega \eta /(1+\eta)=0,20 \mathrm{MgB}$.
5.30. a) $\quad \omega^{\prime}=2 \pi c /(\lambda+2 \pi h / m c)=2,2 \cdot 10^{20} c^{-1}$;
б) $\boldsymbol{X}=2 \pi c h / \lambda(1+$ $+\lambda m c(2 \pi h)=60 \mathrm{kgB}$.
5.31. $h \omega^{\prime}=h \omega /\left[1+2\left(h \omega / m c^{2}\right) \sin (\theta / 2)\right]=144 \mathrm{K9B}$.
5.32. $\sin (\theta / 2)=\sqrt{m c\left(p-p^{\prime}\right) / 2 p p^{\prime}}$, отсюда $\theta=120^{\circ}$.
5.33. $h \omega=\left[1+\sqrt{1+2 m c^{2} / K \sin ^{2}(\theta / 2)}\right] K / 2=0,68 \mathrm{M} 9 \mathrm{~B}$.
5.34. $\lambda=4 \pi c h / K_{m}\left(1+\sqrt{1+2 m c^{2} / K_{m}}\right)=3,7 \mathrm{mM}$.
5.35. $\operatorname{tg} \varphi=\sqrt{4 \pi \hbar / m c \Delta \lambda-1} /\left(1+\hbar \omega / m c^{2}\right)$, отсюда $\varphi=31^{\circ}$.
5.36. $p=2 \eta(1+\eta) m c / e B(1+2 \eta)=3,4 \mathrm{~cm}$.
5.37. $\lambda^{\prime}-\lambda=-\lambda_{c}(1-\cos t)$.
5.38. $r=3 k e^{2} / 2 E=0,16 \mathrm{HM}, \lambda=(2 \pi c / e) \sqrt{m r^{3} / k}=0,24 \mathrm{MKM}^{*}$.
* Здесь $k=1 / 4 \pi \varepsilon_{0}$ (СИ), $k=1$ (СГС).
5.39. $b=0,73 \mathrm{~mm}$.
5.40. а) $r_{\text {mai }}=0,59 \mathrm{mM}$; б) $r_{\text {masi }}=\left(2 Z k e^{2} / \mathrm{K}\right)\left(1+m_{\alpha} / m_{\mathrm{Li}}\right)=0,034 \mathrm{mM}^{*}$.
5.41. a) $P_{\text {man }}=\left(Z k e^{2} / K\right) \operatorname{ctg}^{2}(\theta / 2)=0,23 \mathrm{mM} ;$ ) $r_{\text {mal }}=[1+\csc (\theta / 2)] Z k e^{2} / K=$ $=0,56 \mathrm{mM}^{*}$.
5.42. $p \approx \sqrt{8 m K /\left[1+\left(2 b K / Z k e^{2}\right)^{2}\right]}$, см. сноску.
5.43. $b=R n \sin (\theta / 2) / \sqrt{1+n^{2}-2 n \cos (\theta / 2)}$, где $n=\sqrt{1+U_{0} / K}$.
5.44. а) $\cos (\theta / 2)=b /(R+r)$; б) $d P=(1 / 2) \sin \theta d t$; в) $P=1 / 2$.
5.45. $3,3 \cdot 10^{-5}$.
5.46. $d=4 J r^{2} X^{2} \sin ^{4}(\theta / 2) / n I Z^{2} k^{2} e^{4}=1,5 \mathrm{mKM}$, где $n$ – концентрация ядер*.
5.47. а) $1,6 \cdot 10^{6}$; б) $\Delta N=I_{0} \tau \pi n d\left(Z k e^{2} / K\right)^{2} \operatorname{ctg}^{2}\left(\hat{0}_{0} / 2\right)=2,0 \cdot 10^{7}$, где $n-$ концентрация ядер*.
5.48. $P=\pi n d\left(Z k e^{2} / m v^{2}\right)^{2}=0,006$, где $n$ – концентрация ядер*.
5.49. $\Delta N / N=1-\pi n Z^{2} k^{2} e^{4} / \boldsymbol{K}^{2} \operatorname{tg}^{2}(0 / 2)=0,6$, см. сноску.
5.50. $\Delta N / N=\left(\pi k^{2} e^{4} / 4 K^{2}\right)\left(0,7 Z_{1}^{2} / M_{1}+0,3 Z_{2}^{2} / M_{2}\right) \rho d N_{A} \operatorname{ctg}^{2}(\theta / 2)=1,4 \cdot 10^{-3}$, где $Z_{1}$ и $Z_{2}$ – порядковые номера меди и цинка, $M_{1}$ и $M_{2}$ – их молярные массы, $N_{A}$ – постоянная Авогадро*.
5.51. $\Delta \sigma=\pi\left(Z k e^{2} / K\right)^{2} \operatorname{ctg}^{2}\left(\theta_{0} / 2\right)=0,73 \mathrm{x \sigma}$ *.
5.52. а) $0,9 \mathrm{MэB}$; б) $d \sigma / d \Omega=\Delta \sigma / 4 \pi \sin ^{4}(\theta / 2)=0,64 \mathrm{x} \sigma / \mathrm{cp}$.
5.53. $t=3 m c^{3} \ln \eta / 2 k e^{2} \omega^{2}=15$ нс*.
5.54. $t \approx m^{2} c^{3} r^{3} / 4 k^{2} e^{4}=13 \pi c^{*}$.
5.55. $1,88,0,657$ и 0,486 мкм.
5.57. $r_{n}=\sqrt{n \hbar / m \omega}, E_{n}=n \hbar \omega$, где $n=1,2, \ldots, \omega=\sqrt{x / m}$.
5.58. $r_{n}=n^{2} h^{2} / m Z k e^{2} ; \quad 52,9$ пм (H), 26,5 пм $\quad\left(\mathrm{He}^{+}\right) ; \quad v_{n}=k e^{2} Z / n h ;$ $2,18 \cdot 10^{6} \mathrm{M} / \mathrm{c}(\mathrm{H}), 4,36 \cdot 10^{6} \mathrm{M} / \mathrm{c}\left(\mathrm{He}^{+}\right)$. См. сноску.
5.59. $\omega=m k^{2} e^{4} Z^{2} / h^{3} n^{3}=2,07 \cdot 10^{16} \mathrm{c}^{-1}$. См. сноску.
5.60. $E_{\mathrm{ca}}=h R Z^{2}, \varphi_{i}=E_{\mathrm{ca}} / e, \varphi_{1}=3 h R Z^{2} / 4 e, \lambda=8 \pi c / 3 R Z^{2}$.
5.61. $h \omega_{1}=5$ e $\varphi_{1} / 27=7,6 \mathrm{\rho B}$.
5.62. $E_{\text {min }}=8 h R Z^{2} / 9=48,59 B$.
5.63. $\lambda=\lambda_{1} \lambda_{2} /\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)=2,63$ мкм. Серии Брэкета, ибо при соответствующем переходе квантовое число нижнего уровня $n=2 / \sqrt{1-8 \pi c / R \lambda_{1}}=4$.
5.64. а) 657,487 и 434 нм; б) $\lambda / 8 \lambda \approx(N+3)^{3} / 8=1,5 \cdot 10^{3}$.
5.65. $\sin \theta=\pi c(N+2)^{3} / l R=0,865$, отсюда $\theta \approx 60^{\circ}$.
* Здесь $k=1 / 4 \pi \varepsilon_{0}$ (СИ), $k=1$ (СГС).
5.66. $\mathrm{He}^{+}$.
5.67. $N=n(n-1) / 2$.
5.68. $97,3,102,6$ и 121,6 нм.
5.69. $n=1 / \sqrt{1-\pi c\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) / 2 \lambda_{1} \lambda_{2} R}=4$.
5.70. $R=176 \pi c / 15 Z^{2} \Delta \lambda=2,07 \cdot 10^{16} \mathrm{c}^{-1}$.
5.71. $Z=\sqrt{176 \pi c / 15 R \Delta \lambda}=3 ; \mathrm{Li}^{++}$.
5.72. $\lambda=2 \pi c(Z \sqrt{R / \Delta \omega}-1) / \Delta \omega(2 Z \sqrt{R / \Delta \omega}-1)=0,47 \mathrm{MKM}$.
5.73. $E_{\mathrm{cm}}=54,49 \mathrm{~B}\left(\mathrm{He}^{+}\right)$.
5.74. $E=E_{0}+4 h R=799 \mathrm{~B}$.
5.75. $v=\sqrt{2(h \omega-4 h R) / m}=2,26 \cdot 10^{6} \mathrm{M} / \mathrm{c}$, где $\omega=2 \pi c / \lambda$.
5.76. $K_{\text {main }}=3 h R / 2=20,5 \mathrm{OB}$.
5.77. $v=3 h R / 4 m c=3,27 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, где $m-$ масса атома.
5.78. $\left(\varepsilon-\varepsilon^{\prime}\right) / \varepsilon \approx 3 h R / 8 m c^{2}=0,55 \cdot 10^{-6} \%$, где $m$ – масса атома.
5.79. $v=2 \sqrt{h R / m}=3,1 \cdot 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, где $m$ – масса электрона.
5.80. $v=3 R \Delta \lambda / 8 \pi \cos \theta=0,7 \cdot 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
5.81. а) $E_{n}=n^{2} \pi^{2} h^{2} / 2 m l^{2}$; б) $E_{n}=n^{2} \hbar^{2} / 2 m r^{2}$; в) $E_{n}=n h \sqrt{\alpha / m}$; г) $E_{n}=$ $=-m \alpha^{2} / 2 h^{2} n^{2}$.
5.82. $E_{\mathrm{cm}}=\mu k^{2} e^{4} / 2 h^{2}, R=\mu k^{2} e^{4} / 2 h^{3}$, где $\mu$ – приведенная масса системы. Без учета движения ядра эти величины для атома водорода больше на $m / M=0,055 \%$, где $m$ и $M$ – массы электрона и протона. Здесь $k=1 / 4 \pi \varepsilon_{0}$ (СИ) или 1 (СГС).
5.83. а) $E_{\mathrm{D}}-E_{\mathrm{H}}=3,7 \mathrm{M9B}$; б) $\lambda_{\mathrm{H}}-\lambda_{D}=33 \mathrm{mM}$.
5.84. а) 0,285 пм; б) 2,53 кэВ; в) 0,65 нм.
5.85. а) 106 пм; б) 6,8 эВ; в) 0,243 мкм.
5.86. 123, 2,86 и 0,186 пм.
5.87. Увеличится в $\sqrt{K /(K-U)}=2,0$ раза.
5.88. $\lambda=2 \pi h / x_{*} \rho$ е $=1,8 \mathrm{mM}$, где $x_{*}=1$ (СИ) или $1 / c$ (СГС).
5.89. $\Delta E=\left(2 \pi^{2} \hbar^{2} / m\right)\left(1 / \lambda_{2}^{2}-1 / \lambda_{1}^{2}\right)=0,45 \mathrm{kgB}$.
5.90. $A=2 \pi^{2} \hbar^{2} / m \lambda^{2}-p^{2} / 2 m=-0,24 \mathrm{kgB}$.
5.91. Для обеих частиц $\lambda=2 \pi h\left(1+m_{n} / m_{d}\right) / \sqrt{2 m_{n} K}=8,6 \mathrm{mM}$.
5.92. $\tilde{\lambda}=2 \lambda_{1} \lambda_{2} / \sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}$.
5.93. $\lambda=2 \pi h / \sqrt{2 m K\left(1+K / 2 m c^{2}\right)} ; K \preccurlyeq 4 m c^{2} \Delta \lambda / \lambda=20,4$ кэВ для электрона и 37,5 МэВ для протона.
5.94. $\boldsymbol{X}=(\sqrt{2}-1) m c^{2}=0,21 \mathrm{M} 9 \mathrm{~B}$.
5.95. $\lambda=\lambda_{\mathrm{x}} / \sqrt{1+m c \lambda_{\mathrm{x}} / \pi \boldsymbol{h}}=3,3 \mathrm{~mm}$.
5.96. $v=4 \pi h l / m b \Delta x=2,0 \cdot 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
5.97. $\Delta x=2 \pi h l / d \sqrt{2 m e U}=4,9 \mathrm{MKM}$.
5.98. $U_{0}=\pi^{2} h^{2} / 2 m e(\sqrt{\eta}-1)^{2} d^{2} \sin ^{2} \theta=0,15 \mathrm{kgB}$.
5.99. $d=\pi h k / \sqrt{2 m K} \cos (\theta / 2)=0,21 \mathrm{mм}$, где $k=4$.
5.100. $d=\pi h k / \sqrt{2 m K} \sin \theta=0,23 \mathrm{~mm}$, где $k=3$ и угол $\hat{0}$ определяется формулой $\operatorname{tg} 2 \theta=D / 2 l$.
5.101. a) $n=\sqrt{1+U_{i} / U}=1,05$; б) $U / U_{i} \geqslant 1 /(2+\eta) \eta=50$.
5.102. $E_{n}=n^{2} \pi^{2} \hbar^{2} / 2 m l^{2}$, где $n=1,2, \ldots$
5.104. $1 \cdot 10^{4}, 1 \cdot 10$ и $1 \cdot 10^{-20} \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$.
5.105. $\Delta v \approx h / m l=1 \cdot 10^{6} \mathrm{M} / \mathrm{c}, \quad v_{1}=2,2 \cdot 10^{6} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
5.107. $\Delta x \approx\left(h / m \Delta x_{0}\right) t=10^{3} \mathbf{~ K M}$.
5.108. $K_{\max } \approx h^{2} / 2 m l^{2}=1$ эВ. Здесь взято $p \approx \Delta p$ и $\Delta x=l$.
5.109. $\Delta v / v \approx h / l \sqrt{2 m K}=1 \cdot 10^{-4}$.
5.110. $F \approx h^{2} / m l^{3}$.
5.111. $\Delta x \approx h l / d \sqrt{2 m e U} \sim 10^{-6} \mathrm{~cm}$.
5.112. Имея в виду, что $p \sim \Delta p \sim h / \Delta x \sim h / x$, получим $E=K+U \approx \hbar^{2} / 2 m x^{2}+$ $+x x^{2} / 2$. Из условия $d E / d x=0$ находим $x_{0}$ и затем $E_{\text {man }} \approx h \sqrt{x / m}=h \omega$, где $\omega$ – круговая частота осциллятора. Точный расчет дает $\boldsymbol{h} \omega / 2$.
5.113. Имея в виду, что при $E_{\text {мmi }} p \sim \Delta p \sim h / \Delta r$ и $\Delta r \sim r$, получим $E=p^{2} / 2 m-k e^{2} / r \approx h^{2} / 2 m r^{2}-k e^{2} / r$, где $k=1 / 4 \pi \varepsilon_{0}$ (СИ) или 1 (СГС). Из условия $d E / d r=0$ находим
\[
r_{\text {м中 }}=\hbar^{2} / m k e^{2}=53 \mathrm{mM}, \quad E_{\mathrm{MaI}}=-m k^{2} e^{4} / 2 \hbar^{2}=-13,69 \mathrm{~B} .
\]
5.114. Ширина изображения $h \approx b+h^{\prime} \approx b+h l / p b$, где $h^{\prime}$ – дополнительное уширение, связанное с неопределенностью импульса $\Delta p_{y}$ (при прохождении через щель), $\boldsymbol{p}$ – импульс падающих атомов водорода. Функция $\boldsymbol{h}(\boldsymbol{b})$ имеет минимум при $b \approx \sqrt{h l / m v}=0,01 \mathrm{mм}$.
5.115. а) $A=2 / a^{2}, f(a)=2 / a ;$ б) $\langle x\rangle=2 a / 3,\left\langle x^{2}\right\rangle=a^{2} / 2$.
5.116. а) $x_{\text {nop }}=a,\langle x\rangle=3 a / 5$; б) $P=1 / \sqrt{8}=0,353$.
5.117. а) $x_{\text {mep }}=a / 2, A=6 / a^{3}, f\left(x_{\text {mop }}\right)=3 / 2 a$; б) $\langle x\rangle=a / 2,\left\langle x^{2}\right\rangle=3 a^{2} / 10$.
5.118. а) $r_{\text {sep }}=a / 2$; б) $A=3 / \pi a^{2}$; в) $\langle r\rangle=a / 2$.
5.119. а) $r_{\text {mep }}=a / \sqrt{3} ;$ б) $A=2 / \pi a^{2}$;
в) $\langle r\rangle=8 a / 15$.
5.120. $d P / d x=1 / \pi \sqrt{a^{2}-x^{2}}$.
5.121. a) $N_{2}=\eta^{2} N_{1}=900 ;$ б) $N=(1+$ $+\eta)^{2} N_{1}=1600 ;$ в) $N=(1-\eta)^{2} N_{1}=400$.
5.122. См. рис. 49.
5.123. Решение уравнения Шрёдингера ищем в виде $\Psi=\psi(x) f(t)$. Подстановка этой функции в исходное уравнение и разделение переменных $x$ и $t$ приводит к двум уравнениям. Их решения: $\Psi(x) \sim e^{i k x}$, где $k=\sqrt{2 m E} / h, E$ – энергия частицы, и
Рис. 49
$f(t) \sim \mathrm{e}^{-i \omega t}$, где $\omega=E / h$. В результате $\Psi=a \mathrm{e}^{\mathrm{l}(k x-\omega t)}$, где $a$ – некоторая постоянная.
5.124. $l=\pi h \sqrt{\left(n_{2}^{2}-n_{1}^{2}\right) / 2 m \Delta E}=2,5 \mathrm{kM}$.
5.125. $P=1 / 3+\sqrt{3} / 2 \pi \approx 0,61$.
5.126. $E=\alpha^{2} \hbar^{2} / 8 m$.
5.127. $l=2 / P_{m}, E=\left(\pi h P_{m}\right)^{2} / 8 m$.
5.128. $E=\left(h^{2} / 2 m\right)\left(\pi a^{2} / 2\right)^{2 / 3}$.
5.129. $\Psi=\left\{\begin{array}{l}A \cos (\pi n x / l), \text { если } n=1,3,5, \ldots, \\ A \sin (\pi n x / l), \text { если } n=2,4,6, \ldots\end{array}\right.$ Здесь $A=\sqrt{2 / l}$.
5.130. $d N / d E=(l / \pi h) \sqrt{m / 2 E} ;$ при $E=1$ эВ $d N / d E=0,8 \cdot 10^{7}$ уровней на 1 эВ.
5.131. а) В этом случае уравнение Шрёдингера имеет вид
\[
\partial^{2} \psi / \partial x^{2}+\partial^{2} \psi / \partial y^{2}+k^{2} \Psi=0, \quad k^{2}=2 m E / h^{2} .
\]

Возьмем начало отсчета координат в одном из углов ямы. На сторонах ямы функция $\psi(x, y)$ должна обращаться в нуль (по условию), поэтому внутри ямы ее удобно искать сразу в виде $\psi(x, y)=a \sin k_{1} x \sin k_{2} y$, так как на двух сторонах ( $x=0$ и $y=0$ ) автоматически $\psi=0$. Возможные значения $k_{1}$ и $k_{2}$ найдем из условия обращения $\Psi$ в нуль на противоположных сторонах ямы:
\[
\begin{array}{lll}
\Psi\left(l_{1}, y\right)=0, & k_{1}= \pm\left(\pi / l_{1}\right) n_{1}, & n_{1}=1,2,3, \ldots, \\
\Psi\left(x, l_{2}\right)=0, & k_{2}= \pm\left(\pi / l_{2}\right) n_{2}, & n_{2}=1,2,3, \ldots
\end{array}
\]

Подстановка волновой функции в уравнение Шрёдингера приводит к соотношению $k_{1}^{2}+k_{2}^{2}=k^{2}$, откуда $E_{n_{1} n_{2}}=\left(n_{1}^{2} / l_{1}^{2}+n_{2}^{2} / l_{2}^{2}\right) \pi^{2} \hbar^{2} / 2 m$.
б) $9,87,24,7,39,5$ и 49,4 единиц $h^{2} / m l^{2}$.
5.132. $P=1 / 3-\sqrt{3} / 4 \pi=19,5 \%$.
5.133. а) $E=\left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}\right) \pi^{2} \hbar^{2} / 2 m a^{2}$, где $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ – целые числа, не равные нулю; б) $\Delta E=\pi^{2} \hbar^{2} / m a^{2}$; в) для 6-го уровня $n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=14$ и $E=7 \pi^{2} \hbar^{2} / m a^{2}$; число состояний равно шести (это число перестановок чисел 1,2 и 3).
5.134. Проинтегрируем уравнение Шрёдингера по малому интервалу координаты $x$, внутри которого имеется скачок $U(x)$, например в точке $x=0$ :
\[
\frac{\partial \psi}{\partial x}(+\delta)-\frac{\partial \Psi}{\partial x}(-\delta)=\int_{-\delta}^{+\delta} \frac{2 m}{h^{2}}(E-U) \Psi d x .
\]

Ввиду конечности скачка $U$ при $\boldsymbol{\delta} \rightarrow 0$ интеграл тоже стремится к нулю. Дальнейшее очевидно.
5.135. а) Запишем уравнение Шрёдингера для двух областей:
\[
\begin{array}{rll}
0<x<l, & \Psi_{1}^{\prime \prime}+k^{2} \Psi_{1}=0, & k^{2}=2 m E / h^{2}, \\
x>l, & \Psi_{2}^{\prime \prime}-x^{2} \Psi_{2}=0, & x^{2}=2 m\left(U_{0}-E\right) / h^{2} .
\end{array}
\]
Их общие решения, $\Psi_{1}(x)=a \sin (k x+\alpha), \quad \Psi_{2}(x)=b \exp (-\boldsymbol{x} x)+c \exp (\boldsymbol{\kappa} x)$, должны удовлетворять стандартным условиям. Из условия $\Psi_{1}(0)=0$ и требования конечности волновой функции следует, что $\alpha=0$ и $c=0$. И наконец, из непрерывности $\psi(x)$ и ее производной в точке $x=l$ получим $\operatorname{tg} k l=-k / x$, откуда $\sin k l= \pm k l \sqrt{h^{2} / 2 m l^{2} U_{0}}$.

Изобразив графически левую и правую части последнего уравнения (рис. 50), найдем точки пересечения прямой с синусоидой. При этом корни данного уравнения, отвечающие собственным значениям энергии $\boldsymbol{E}$, будут соответствовать тем точкам пересечения ( $k l)_{i}$, для которых $\operatorname{tg}(k l)_{i}<0$, т.е. корни этого уравнения будут находиться в четных четвертях окружности (эти участки оси абсцисс выделены на рисунке жирными отрезками). Из графика видно, что корни уравнения, т.е. связанные состояния частицы, существуют не всегда. Штриховой линией показано предельное положение прямой.
б) $\left(l^{2} U_{0}\right)_{1 \text { MR̈ }}=\pi^{2} \hbar^{2} / 8 m, \quad\left(l^{2} U_{0}\right)_{n \text { MBH }}=(2 n-1) \pi^{2} \hbar^{2} / 8 m$.
5.136. Пусть $P_{a}$ и $P_{i}$ – вероятности нахождения частицы вне и внутри ямы. Тогда
\[
\frac{P_{a}}{P_{i}}=\int_{l}^{\infty} b^{2} \mathrm{e}^{-2 \times x} d x / \int_{0}^{l} a^{2} \sin ^{2} k x d x=\frac{2}{2+3 \pi},
\]

где отношение $b / a$ можно определить из условия $\Psi_{1}(l)=\Psi_{2}(l)$. Остается учесть, что $P_{a}+P_{i}=1$, тогда $P_{a}=2 /(4+3 \pi)=14,9 \%$.
Рис. 50
5.137. $E_{1}=\pi^{2} h^{2} / 18 m a^{2}$.
5.138. В результате указанной в условии подстановки получим $\chi^{\prime \prime}+k^{2} \chi=0$, где $k^{2}=2 m E / h^{2}$. Решение этого уравнения ищем в виде $\chi=a \sin (k r+\alpha)$. Из требования конечности волновой функции $\Psi$ в точке $r=0$ следует, что $\alpha=0$. Таким образом, $\Psi=(a / r) \sin k r$. Из условия непрерывности $\psi\left(r_{0}\right)=0$ получим $k r_{0}=n \pi$, где $n=1,2, \ldots$. Отсюда $E_{n}=n^{2} \pi^{2} \hbar^{2} / 2 m r_{0}^{2}$.
5.139. а) $\Psi(r)=\left(2 \pi r_{0}\right)^{-1 / 2} \sin \left(n \pi r / r_{0}\right) / r, n=1,2, \ldots ;$ б) $r_{\text {sep }}=r_{0} / 2 ; 50 \%$.
5.140. а) Решения уравнения Шрёдингера для функции $\chi(r)$ :

\[
\begin{array}{ll}
r<r_{0}, & \chi_{1}=A \sin (k r+\alpha), \text { где } k=\sqrt{2 m E} / h, \\
r>r_{0}, & \chi_{2}=B \exp (x r)+C \exp (-x r), \text { где } x=\sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)} / h .
\end{array}
\]

Из требования ограниченности функции $\psi(r)$ во всем пространстве следует, что $\alpha=0$ и $B=0$. Таким образом, $\Psi_{1}=(A / r) \sin k r, \psi_{2}=(C / r) \exp (-\alpha r)$. Из условия непрерывности и ее производной в точке $r=r_{0}$ получим $\operatorname{tg} k r_{0}=-k / x$, или $\sin k r_{0}= \pm \sqrt{\hbar^{2} / 2 m r_{0}^{2} U_{0}} k r_{0}$. Это уравнение, как показано в решении задачи 5.135, определяет дискретный спектр собственных значений энергии.
б) $r_{0}^{2} U_{0}=\pi^{2} \hbar^{2} / 8 m$.
5.141. $\alpha=m \omega / 2 \hbar, E=h \omega / 2$, где $\omega=\sqrt{k / m}$.
5.142. $E=\alpha \hbar^{2} / m, U(x)=\left(2 \alpha^{2} \hbar^{2} / m\right) x^{2}$.
5.143. а) $A=1 / \sqrt{\pi r_{1}^{3}}$; б) $r_{1}=\hbar^{2} / k m e^{2}, E=-\hbar^{2} / 2 m r^{2}=-k m e^{4} / 2 \hbar^{2}$, где $k=1$ (СГС) или $1 / 4 \pi \varepsilon_{0}$ (СИ).
5.144. $E=-k^{2} m e^{4} / 8 \hbar^{2}$, т.е. уровень с главным квантовым числом $n=2$. Здесь $k=1$ (СГС) или $1 / 4 \pi \varepsilon_{0}$ (СИ).
5.145. a) $r_{\text {sep }}=r_{1}$; б) $P=1-5 / \mathrm{e}^{2}=0,323$.
5.146. $\langle r\rangle / r_{\text {zop }}=3 / 2$.
5.147. $P=13 / \mathrm{e}^{4}=0,238$.
5.148. а) $\langle F\rangle=2 k e^{2} / r_{1} ;$ б) $\langle U\rangle=-k e^{2} / r_{1}$. Здесь $k=1$ (CГC) или $1 / 4 \pi \varepsilon_{0}$ (Си).
5.149. a) $\left.r_{\mathrm{mop}}=4 r_{1} ; \sigma\right)\langle r\rangle=5 r_{1}$.
5.150. $\langle r\rangle=a / 2$.
5.151. $\langle U\rangle=h \sqrt{x / 8 m}$.
5.152. a) $\langle\boldsymbol{x}\rangle=0$; б) $\left\langle\boldsymbol{p}_{\boldsymbol{x}}\right\rangle=\boldsymbol{h} \boldsymbol{k}$. При расчете следует учесть, что интеграл, у которого подынтегральная функция нечетная, равен нулю.
5.153. $\varphi_{0}=\int k(\rho / r) 4 \pi r^{2} d r=-k e / r_{1}$, где $\rho=-e \psi^{2}-$ объемная плотность заряда, $\downarrow$ – нормированная волновая функция, $k=1$ (СГС) или $1 / 4 \pi \varepsilon_{0}$ (СИ).
5.154. а) Запишем решения уравнения Шрёдингера слева и справа от границы барьера в следующем виде:
\[
\begin{array}{ll}
x<0, & \Psi_{1}(x)=a_{1} \exp \left(\mathrm{i} k_{1} x\right)+b_{1} \exp \left(-\mathrm{i} k_{1} x\right), \text { где } k_{1}=\sqrt{2 m E} / \mathrm{h}, \\
x>0, & \Psi_{2}(x)=a_{2} \exp \left(\mathrm{i} k_{2} x\right)+b_{2} \exp \left(-\mathrm{i} k_{2} x\right), \text { где } k_{2}=\sqrt{2 m\left(E-U_{0}\right)} / \mathrm{h} .
\end{array}
\]

Будем считать, что падающая волна характеризуется амплитудой $a_{1}$, а отраженная – амплитудой $b_{2}$. Так как в области $x>0$ имеется только проходящая волна, то $b_{2}=0$. Коэффициент отражения $\boldsymbol{R}$ представляет собой отношение отраженного потока к падающему потоку, или, другими словами, отношение квадратов амплитуд соответствующих волн. Из условия непрерывности $\psi$ и производной в точке $x=0$ имеем $a_{1}+b_{1}=a_{2}$ и $a_{1}-b_{1}=$ $=\left(k_{2} / k_{1}\right) a_{2}$, откуда
\[
R=\left(b_{1} / a_{1}\right)^{2}=\left(k_{1}-k_{2}\right)^{2} /\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2} .
\]
б) В случае $E<U_{0}$ решение уравнения Шрёдингера справа от барьера: $\Psi_{2}(x)=a_{2} \exp (x x)+b_{2} \exp (-x x)$, где $x=\sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)} / h$. Из конечности $\psi(x)$ следует, что $a_{2}=0$. Плотность вероятности нахождения частицы под барьером $P_{2}(x)=\psi_{2}^{2}(x) \sim \exp (-2 x x)$. Отсюда $x_{9 \phi \phi}=1 / 2 x$.
5.155. $D \approx \exp \left[-(2 l / h) \sqrt{2 m\left(U_{0}-E\right)}\right]$.
5.156. $D \approx \exp \left[-\left(4 l \sqrt{2 m} / 3 h U_{0}\right)\left(U_{0}-E\right)^{3 / 2}\right]$.
5.157. $D \approx \exp \left[-(\pi l / b) \sqrt{2 m / U_{0}}\left(U_{0}-E\right)\right]$.
5.158. $\alpha=\sqrt{h R / E_{\mathrm{cs}}}-n=-0,41$ и $-0,04$ соответственно.
5.159. $\alpha=\sqrt{h R /\left(E_{0}-e \varphi_{1}\right)}-3=-0,88$.
5.160. $E_{\mathrm{cu}}=h R /\left(\sqrt{R \lambda_{1} \lambda_{2} / 2 \pi c \Delta \lambda}-1\right)^{2}=5,39 \mathrm{~g}$.
5.161. 0,82 мкм $(3 S \rightarrow 2 P)$ и 0,67 мкм $(2 P \rightarrow 2 S)$.
5.162. $\Delta E=2 \pi h c \Delta \lambda / \lambda^{2}=2,0 \mathrm{M} 9 \mathrm{~B}$.
5.163. $\Delta \boldsymbol{\omega}=1,044 \cdot 10^{14} \mathrm{c}^{-1}$.
5.164. $3 S_{1 / 2}, 3 P_{1 / 2}, 3 P_{3 / 2}, 3 D_{3 / 2}, 3 D_{5 / 2}$.
5.165. а) $1,2,3,4,5$; б) $0,1,2,3,4,5,6$; в) $1 / 2,3 / 2,5 / 2,7 / 2,9 / 2$.
5.166. Для состояния ${ }^{4} P: h \sqrt{3 / 4}, h \sqrt{15 / 4}$ и $h \sqrt{35 / 4}$; для состояния ${ }^{5} D$ : $0, h \sqrt{2}, h \sqrt{6}, h \sqrt{12}, \hbar \sqrt{20}$.
5.167. а) ${ }^{2} F_{\eta / 2}, M_{\text {maxc }}=\hbar \sqrt{63 / 4}$; б) ${ }^{3} F_{4}, M_{\text {maxc }}=2 h / \sqrt{5}$.
5.168. В $F$-состоянии $M_{s}=h \sqrt{6}$; для $D$-состояния можно лишь установить, что $M_{s} \geqslant h \sqrt{6}$.
5.169. $3,4,5$.
5.170. $M_{L}=h \sqrt{30},{ }^{5} H_{3}$.
5.171. a) $1,3,5,7,9$;
б) $2,4,6$;
B) $5,7,9$.
5.172. $31,1^{\circ}$.
5.173. ${ }^{1} P_{1},{ }^{1} D_{2},{ }^{1} F_{3},{ }^{3} P_{0,1,2},{ }^{3} D_{1,2,3},{ }^{3} F_{2,3,4}$.
5.174. Те же, что и в предыдущей задаче.
5.175. Второй и третий.
5.176. $g=4+6=10$.
5.177. Соответственно 4,7 и 10.
5.178. ${ }^{3} F_{3}$.
5.179. As $(Z=33)$.
5.180. a) ${ }^{4} S_{3 / 2}$;
б) ${ }^{3} P_{2}$.
5.181. а) ${ }^{4} F_{3 / 2}, h \sqrt{15 / 4} ; \quad$ б) ${ }^{4} F_{9 / 2}, \quad n 3 \sqrt{11 / 4}$.
5.182. а) Два $d$-электрона; б) пять $\boldsymbol{p}$-электронов; в) пять $\boldsymbol{d}$-электронов.
5.183. a) ${ }^{3} P_{0}$;
б) ${ }^{4} F_{9 / 2}$.
5.184. ${ }^{4} F_{3 / 2}$.
5.185. $\tau=l / v \ln \eta=1,3 \mathrm{MKc}$.
5.186. $N=\lambda \tau P / 2 \pi c h=7 \cdot 10^{9}$.
5.187. 154 пм.
5.188. а) 843 пм для $\mathrm{Al}, 180$ пм для $\mathrm{Co}$; б) $\Delta E \approx 5 \mathrm{xgB}$.
5.189. Три.
5.190. 15 кВ.
5.191. Да.
5.192. $Z=1+2 \sqrt{(n-1) e U_{1} / 3 h R\left(n-U_{1} / U_{2}\right)}=29$.
5.193. $Z=1+2 \sqrt{\Delta \omega / 3 R}=22$, титан.
5.194. $E_{\mathrm{cm}}=(3 / 4) h R(Z-1)^{2}+2 \pi c h / \lambda_{L}=5,5 \mathrm{kgB}$.
5.195. $E_{L}=h \omega /(2 \pi c / \omega \Delta \lambda-1) \approx 0,5 \mathrm{kgB}$, где $\omega=(3 / 4) R(Z-1)^{2}$.
5.196. $Z=1+\sqrt{8 \pi c / 3 R \lambda_{\alpha}}=22$ (Ti), $\lambda=\lambda_{\alpha} \lambda_{\beta} /\left(\lambda_{\alpha}-\lambda_{\beta}\right)=0,29 \mathrm{HM}$.
5.197. $K=(3 / 4) h R(Z-1)^{2}-2 \pi c h / \lambda_{\mathrm{x}}=1,47 \mathrm{kgB}, v=1,80 \cdot 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
5.198. а) $g=2$, за исключением синглетного состояния; б) $g=1$.
5.199. а) $-2 / 3$; б) 0 ; в) 1 ; г) $5 / 2$; д) $0 / 0$.
5.200. а) $\sqrt{12} \mu_{\mathrm{B}}$; б) $\sqrt{12 / 5} \mu_{\mathrm{S}}$; в) $\sqrt{64 / 3} \mu_{\mathrm{B}}$.
5.201. $M_{s}=h \sqrt{12}$.
5.202. $\mu=\sqrt{35} \mu_{B}\left({ }^{6} S_{5 / 2}\right)$.
5.203. $\mu=\sqrt{63 / 5} \mu_{B}$.
5.204. $\mu=5 \sqrt{5 / 4} \mu_{B}$.
5.205. $M=\hbar \sqrt{3 / 4}$.
5.206. ${ }^{5} F_{1}$.
5.207. $\omega=\mu_{\mathrm{G}} g B / h=1,2 \cdot 10^{10}$ рад/с, где $g-$ фактор Ланде.
5.208. $F_{\text {maxc }}=p_{\mathrm{m}}|\partial B / \partial z|=x g J_{\mu_{5}}(3 \pi / \sqrt{8}) I / r^{2}=4,1 \cdot 10^{-27} \mathrm{H}, \quad$ где $\quad x=1 / c$ (СГС) или $\mu_{0} / 4 \pi$ (СИ).
5.209. $F=x \mu_{\mathrm{B}} 2 I / r^{2}=3 \cdot 10^{-26} \mathrm{H}$, где $x=1 / c$ (СГС) или $\mu_{0} / 4 \pi$ (СИ).
5.210. $\partial в / \partial z=2 K x / g J \mu_{5} l_{1}\left(l_{1}+2 l_{2}\right)=15 \mathrm{~K} / \mathrm{cM}=0,15 \mathrm{xTл} / \mathrm{M}$.
5.211. а) Не расщепится; б) на шесть; в) не расщепится $(g=0)$.
5.212. $\Delta E=2 g J \mu_{5} B$; а) $5,8 \cdot 10^{-5}$ эВ; б) $1,45 \cdot 10^{-4}$ эВ.
5.213. а) Простой; б) сложный; в) простой; г) простой (здесь для обоих термов факторы Ланде одинаковы).
5.214. $L=\Delta E / 2 \mu_{\mathrm{B}} B=3 ;{ }^{1} F_{3}$.
5.215. $\Delta \lambda=\lambda^{2} \mu_{\mathrm{B}} B / \pi c h=35 \mathrm{mM}$.
5.216. $B_{\text {ma }}=4,0 \mathrm{K \Gamma с}=0,40 \mathrm{T \pi}$.
5.217. $B=h \Delta \omega / g \mu_{B}=3,0 \mathrm{Kc}=0,30 \mathrm{T \pi}$.
5.218. Фактор Ланде $g=\Lambda \Delta \omega / 2 \mu_{\mathrm{s}} B \approx 3 / 2, S=2$ и $x=2 S+1=5$.
5.219. ${ }^{2} P_{3 / 2}$.
5.220. а) $2: 1$ (отношение соответствующих факторов Ланде); б) $B=$ $=2 \pi, c h \Delta \lambda / g \mu_{\mathrm{s}} \eta \lambda^{2}=5,5 \mathrm{x \Gamma c}=0,55$ Тл.
5.221. $\Delta \omega=( \pm 1,3, \pm 4,0, \pm 6,6) \cdot 10^{10} \mathrm{c}^{-1}$, шесть компонент.
5.222. а) Шесть (1) и четыре (2); б) девять (1) и шесть (2).
5.223. $\Delta \omega=2\left(m_{1} g_{1}-m_{2} g_{2}\right)_{\operatorname{maxc}} H_{\mathrm{B}} B / \hbar=1,0 \cdot 10^{11} \mathrm{c}^{-1}$.
5.224. $\omega=4 \sqrt{2} \mathrm{~h} / m d^{2}=1,57 \cdot 10^{11}$ рад/с, где $m$ – масса молекулы.
5.225. 2 и 3 .
5.226. $M=\sqrt{m d^{2} E / 2} \approx 3,5 h$, где $m$ – масса молекулы.
5.227. $r=\Delta E_{1} /\left(\Delta E_{2}-\Delta E_{1}\right)=2, I=h^{2} /\left(\Delta E_{2}-\Delta E_{1}\right)=0,7 \cdot 10^{-38} \mathrm{r} \cdot \mathrm{cm}^{2}$.
5.228. $\omega=\left(\sqrt{1+8 E I / h^{2}}-1\right) h / 2 I=1,8 \cdot 10^{12} \mathrm{c}^{-1}$.
5.229. $I=h / \Delta \omega=1,93 \cdot 10^{-40} \mathrm{r} \cdot \mathrm{cm}^{2}, d=112 \mathrm{mM}$.
5.230. 13 уровней.
5.231. $N \approx \sqrt{2 I \omega / h}=33, \omega-$ собственная частота колебаний.
5.232. $d N / d E=\alpha / 2(r+1)=\alpha /(1+\sqrt{1+4 \alpha E})$, где $\alpha=2 I / h^{2}, I$ – момент инерции молекулы. При $r=10$ для иода $d N / d E=1,0 \cdot 10^{4}$ уровней/эВ.
5.233. $E_{\text {гоя }} / E_{\text {мp }}=\omega \mu d^{2} / h$, где $\mu$ – приведенная масса молекулы; а) 36 ;
б) $1,7 \cdot 10^{2}$;
B) $2,9 \cdot 10^{3}$.
5.234. $d=\sqrt{2 \hbar / \mu \Delta \omega}=0,13 \mathrm{~mm}$, где $\mu$ – приведенная масса молекулы.
5.235. $\lambda=\lambda_{0} /\left(1 \mp \omega \lambda_{0} / 2 \pi c\right)=423$ п $387 \mathrm{mM}$.
5.236. $\omega=\pi c\left(\lambda_{\mathbf{x}}-\lambda_{\phi}\right) / \lambda_{\mathbf{x}} \lambda_{\phi}=1,37 \cdot 10^{14} \mathrm{c}^{-1}, x=4,97 \mathrm{H} / \mathrm{cM}$.
5.237. $2 \cdot 10^{11} \mathrm{\kappa г} / \mathrm{cm}^{3}, 1 \cdot 10^{38}$ нуклон $/ \mathrm{cm}^{3}$.
5.238. ${ }^{8} \mathrm{Be}, E_{\mathrm{cm}}=56,5 \mathrm{MgB}$.
5.239. а) 8,0 МэВ; б) 11,5 и 8,7 МэВ; в) 14,5 МэВ.
5.240. $E_{n}-E_{p}=0,22$ M9B.
5.241. $E=20 \varepsilon_{\mathrm{N}_{\circ}}-2 \cdot 4 \varepsilon_{\alpha}-12 \varepsilon_{\mathrm{c}}=11,9 \mathrm{M} 9 \mathrm{~B}$, где $\varepsilon$ – энергия связи на один нуклон в соответствующем ядре.
5.242. а) 8,0225 а.е.м.; 6) 10,0135 а.е.м.
5.243. a) $P=1-\exp (-\lambda t)$; б) $\tau=1 / \lambda$.
5.244. Около $1 / 4$.
5.245. $1,2 \cdot 10^{15}$.
5.246. $\tau \approx 16 \mathrm{c}$.
5.247. $T=5,3$ cyr.
5.248. $0,85 \cdot 10^{6}$ Бк.
5.249. $\lambda=-(1 / t) \ln (1-\eta) \approx \eta / t=1,1 \cdot 10^{-5} \mathrm{c}^{-1}, \tau=1 / \lambda=1,0 \mathrm{cyr}$.
5.250. $T=4,5 \cdot 10^{9}$ лет.
5.251. $t=T \ln \eta / \ln 2=4,1 \cdot 10^{3}$ лет.
5.252. $t=T \ln (1+1 / \eta) / \ln 2=2,0 \cdot 10^{9} \pi$ лет.
5.253. Соответственно $3,2 \cdot 10^{17}$ и $0,8 \cdot 10^{5} \mathrm{Бk} / \mathrm{r}$.
5.254. $V=\left(A / A^{\prime}\right) \exp [-(t / T) \ln 2]=6$ л.
5.255. $0,19 \%$.
5.256. $t=-(T / \ln 2) \ln (1-A / q)=9,5 \mathrm{cyr}$.
5.257. a) $N_{2}(t)=N_{10}\left[\exp \left(-\lambda_{1} t\right)-\exp \left(-\lambda_{2} t\right)\right] \lambda_{1} /\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)$;
б) $t_{m}=\ln \left(\lambda_{1} / \lambda_{2}\right) /\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)$.
5.258. a) $N_{2}(t)=\lambda N_{10} t e^{-\lambda t}$; б) $t_{m}=1 / \lambda$.
5.259. а) ${ }^{206} \mathrm{~Pb}$; б) восемь $\alpha$-распадов и шесть $\beta$-распадов.
5.260. $v=\sqrt{2 m_{\alpha} K_{\alpha}} / m=3,4 \cdot 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{c}, m$ – масса дочернего ядра; 0,020 .
5.261. 1,6 МДж.
5.262. 0,82 МэВ.
5.263. а) $6,1 \mathrm{~cm}$; б) соответственно $2,1 \cdot 10^{5}$ и $0,77 \cdot 10^{5}$.
5.264. $Q=\left\{\begin{array}{ll}\left(M_{M}-M_{M}\right) c^{2} & \text { при } \beta^{-} \text {-распаде и } \boldsymbol{K} \text {-захвате, } \\ \left.M_{M}-M_{\bar{n}}-2 m\right) c^{2} & \text { при } \beta^{+} \text {-распаде. }\end{array}\right.$
5.265. 0,56 МэВ и 47,5 эВ.
5.266. 5 МДж.
5.267. 0,32 и 0,65 МэВ.
5.268. $K \approx Q\left(Q+2 m c^{2}\right) / 2 M_{\mathrm{N}} c^{2}=0,11 \mathrm{zgB}$, где $Q=\left(M_{\mathrm{N}}-M_{\mathrm{C}}-2 m\right) c^{2}$, $m$ – масса электрона.
5.269. $v=c\left(m_{\mathrm{Bo}}-m_{\mathrm{Li}}\right) / m_{\mathrm{Li}}=40 \mathrm{mM} / \mathrm{c}$.
5.270. $0,45 c$ где $c$ – скорость света.
5.271. $\Delta \varepsilon / \varepsilon=E / 2 m c^{2}=3,6 \cdot 10^{-7}$, где $m$ – масса ядра.
5.272. $v=\varepsilon / m c=0,22 \mathrm{xm} / \mathrm{c}$, где $m-$ масса ядра.
5.273. $v=g h / c=65 \mathrm{MKM} / \mathrm{c}$.
5.274. $h_{\max }=h c^{2} / g \varepsilon \tau=4,6 \mathrm{M}$.
5.275. $K=K_{\alpha} /\left[1+(M-m)^{2} / 4 m M \cos ^{2} \theta\right]=6,0$ МэВ, где $m$ и $M$ – массы $\alpha$ частицы и ядра лития.
5.276. а) $\eta=4 m M /(m+M)^{2}=0,89$; б) $\eta=2 m /(m+M)=2 / 3$. Здесь $m$ и М – массы нейтрона и дейтрона.
5.277. $t_{\operatorname{maxx}}=\arcsin \left(m_{1} / m_{2}\right)=30^{\circ}$.
5.278. а) $d$; б) ${ }^{17} \mathrm{~F}$; в) $\alpha$; г) ${ }^{37} \mathrm{Cl}$.
5.279. $Q=\left(E_{3}+E_{4}\right)-\left(E_{1}+E_{2}\right)$.
5.280. а) $8,2 \cdot 10^{10} \mathrm{kДж,} 2,7 \cdot 10^{6} \mathrm{Kг} ;$ 6) $1,5 \mathrm{\kappa г}$.
5.281. $5,74 \cdot 10^{7}$ кДж; $2 \cdot 10^{4} \mathrm{kr}$.
5.282. 2,79 МэВ; 0,85 МзВ.
5.283. $Q=8 \varepsilon_{\alpha}-7 \varepsilon_{\mathrm{Li}}=17,3 \mathrm{MgB}$.
5.284. $Q=\left(1+\eta_{p}\right) K_{p}-\left(1-\eta_{\alpha}\right) K_{\alpha}-2 \sqrt{\eta_{p} \eta_{\alpha} K_{p} K_{\alpha}} \cos \theta=-1,2 \mathrm{MgB}$, где $\eta_{p}=$ $=m_{p} / m_{0}, \eta_{\alpha}=m_{\alpha} / m_{0}$.
5.285. а) $-1,65 \mathrm{MэB}$ б) $6,82 \mathrm{MзВ}$; в) $-2,79$ МэВ; г) 3,11 МэВ.
5.286. $v_{\alpha}=0,92 \cdot 10^{7} \mathrm{M} / \mathrm{c}, v_{\mathrm{Li}}=0,53 \cdot 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
5.287. $1,9 \mathrm{M}$ МэВ.
5.288. $K_{n}=\left[Q+\left(1-m_{\alpha} / m_{C}\right) K\right] /\left(1+m_{n} / m_{C}\right)=8,5 \mathrm{MgB}$.
5.289. $9, \hat{1}^{*} \mathrm{M}
i, 170,5^{\circ}$.
5.291. $K \geqslant E_{c s}\left(m_{p}+m_{d}\right) / m_{d}=3,3 \mathrm{MgB}$.
5.292. В пределах от 1,89 до 2,06 МэВ.
5.293. $Q=-(11 / 12) K_{\text {nop }}=-3,7 \mathrm{MgB}$.
5.294. Соответственно 1,88 и 5,75 МэВ.
5.295. $4,4 \mathrm{M}$ эВ, $5,3 \cdot 10^{6} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
5.296. $K_{c}=\frac{1}{m_{3}+m_{4}}\left[\left(m_{4}-m_{1}\right) K-\frac{m_{2} m_{4}}{m_{1}+m_{2}} K_{\text {пор }}\right]=2,2 \mathrm{M9B}$, где $m_{1}, m_{2}, m_{3}$, $m_{4}$ – массы нейтрона, ядра ${ }^{12} \mathrm{C}, \alpha$-частицы и ядра ${ }^{9} \mathrm{Be}$.
5.297. На $E_{\mathrm{ca}} / 2 m c^{2}=0,06 \%$, где $m$ – масса дейтрона.
5.298. $E=Q+2 K / 3=6,5 \mathrm{MgB}$.
5.299. $E=E_{\text {ен }}+\boldsymbol{X}_{i} m_{c} /\left(m_{d}+m_{c}\right)=16,7,16,9,17,5$ и 17,7 МэВ, где $E_{\text {св }}-$ энергия связи дейтрона в промежуточном ядре.
5.300. $\sigma=\left(M / N_{A} p d\right) \ln \eta=2,5 \mathrm{z}$, где $M$ – молярная масса кадмия, $N_{A}$ – постоянная Авогадро, $p$ – плотность кадмия.
5.301. $I_{0} / I=\exp \left[\left(2 \sigma_{1}+\sigma_{2}\right) n d\right]=20$, где $n-$ концентрация молекул тяжелой воды.
5.302. $w=\left\{1-\exp \left[-\left(\sigma_{a}+\sigma_{a}\right) n d\right]\right\} \sigma_{s} /\left(\sigma_{a}+\sigma_{a}\right)=0,35$, где $n-$ концентрация ядер железа.
5.303. a) $T=(w / k) \ln 2$; 6) $w=A T e / I t \ln 2=2 \cdot 10^{-3}$.
5.304. а) $t=\eta / \sigma J=3 \cdot 10^{6}$ лет; б) $N_{\text {max }}=J \sigma N_{0} T / \ln 2=1,0 \cdot 10^{13}$, где $N_{0}$ число ядер ${ }^{197} \mathrm{Au}$ в фольге.
5.305. $N=\left(1-e^{-\lambda t}\right) J n \sigma / \lambda$.
5.306. $J=A e^{\lambda \tau} / \sigma N_{0}\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda t}\right)=6 \cdot 10^{9} \mathrm{~cm}^{-2} \cdot \mathrm{c}^{-1}$, где $\lambda$ – постоянная распада, $N_{0}$ – число ядер $\mathrm{Au}$ в фольге.
5.307. $N=N_{0} k^{i-1}=1,3 \cdot 10^{5}$, где $i$ – число поколений.
5.308. $N=v P / E=0,8 \cdot 10^{19} \mathrm{c}^{-1}$.
5.309. a) $N / N_{0}=4 \cdot 10^{2}$; 6) $T=\tau /(k-1)=10$ c.
5.310. $K=m c^{2}\left(\sqrt{1+(p / m c)^{2}}-1\right)=5,3 \mathrm{M9B}, 0,43$ и 9,1 ГэВ.
5.311. $\langle l\rangle=c \tau_{0} \sqrt{\eta(\eta+2)}=15 \mathrm{M}$.
5.312. $\tau_{0}=l m c / \sqrt{K\left(X+2 m c^{2}\right)}=26$ нс, где $m$ – масса мезона.
5.313. $J / J_{0}=\exp \left[-l m c / \tau_{0} \sqrt{K\left(X+2 m c^{2}\right)}\right]=0,22$, где $m$ – масса $\pi$-мезона.
5.314. $K_{\mu}=\left(m_{\pi}-m_{\mu}\right) c^{2} / 2 m_{\pi}=4,1 \mathrm{MgB}, E_{v}=29,8 \mathrm{MgB}$.
5.315. $K=\left[\left(m_{2}-m_{n}\right)^{2}-m_{x}^{2}\right] c^{2} / 2 m_{2}=19,5 \mathrm{MgB}$.
5.316. $X_{\text {max }}=\left(m_{\mu}-m_{e}\right)^{2} c^{2} / 2 m_{\mu}=52,5 \mathrm{MgB}$.
5.317. $\left.m c^{2}=m_{p} c^{2}+K+\sqrt{m_{\pi}^{2} c^{4}+K\left(X+2 m_{p} c^{2}\right.}\right)=1115 \mathrm{MgB} ; \Lambda$-частица.
5.318. $\tau=\tau_{0}\left[1+\left(m_{\mu} / m_{K}\right)^{2}\right] m_{K} / 2 m_{u}=5,4$ мкс, где $\tau_{0}-$ среднее время жизни покояцихся мюонов.
5.319. $E_{v}=\left(m_{\pi}^{2}-m_{\mu}^{2}\right) c^{4} / 2\left(m_{\pi} c^{2}+K\right)=22 \mathrm{MgB}$.
5.320. $m c^{2}=\sqrt{\left(m_{\Sigma}^{2}+m_{\pi}^{2}\right) c^{4}-2\left(m_{\Sigma} c^{2}+K_{\Sigma}\right)\left(m_{\pi} c^{2}+K_{\pi}\right)}=0,94 \Gamma_{9 B}$, нейтрон.
5.321. $K_{\pi}=m_{\pi} c^{2}[\csc (\theta / 2)-1], \quad E_{\gamma}=m_{\pi} c^{2} / 2 \sin (\theta / 2) . \quad$ При $\quad \theta=60^{\circ}$ $K_{\pi}=E_{\gamma}=m_{\pi} c^{2}$.
5.323. $\cos (\theta / 2)=1 / \sqrt{1+2 m c^{2} / K}$, отсюда $\theta=99^{\circ}$.
5.324. a) $\varepsilon_{\text {mop }}=4 m_{c} c^{2}=2,04 \mathrm{MgB}$; б) $\varepsilon_{\text {mop }}=2 m_{\pi} c^{2}\left(1+m_{\pi} / m_{p}\right)=320 \mathrm{MgB}$.
5.325. $1,8 \mathrm{MoB}$.
5.326. а) $K_{\text {nop }}=6 m_{p} c^{2}=5,6$ ГэВ; б) $K_{\text {top }}=m_{\pi} c^{2}\left(4 m_{p}+m_{\pi}\right) / 2 m_{p}=0,28$ Г9В.
5.327. а) 0,90 ГэВ; б) 0,77 ГэВ.
5.328. а) $K_{e}=2 m_{p} c^{2}\left(2+m_{p} / m_{e}\right)=3449 \Gamma_{9 B}$; б) $h \omega=2 m_{p} c^{2}\left(1+m_{p} / m_{e}\right)=$ $=3447$ ГэВ.
5.329. $N_{\text {max }}=\left[2\left(\sqrt{1+K / 2 m_{p} c^{2}}-1\right) m_{p} / m_{\pi}\right]=10$, где прямые скобки означают: \”целое число от\”.
5.330. $S=-2, Y=-1, \Xi^{0}$-частица.
5.331. Запрещены 1,2 и 3 .
5.332. Запрещены 2,4 и 5 .
5.333. Энергетически (1); в остальных процессах не сохраняются: барионный заряд (2), электрический заряд (3), странность (4), лептонный заряд (5), электронный и мюонный заряды (6).
5.334. $p(u u d), n(u d d), \Sigma^{-}(d d s)$.
5.335. $\pi^{+}(u \tilde{d}), K^{-}(\tilde{u} s), \boldsymbol{K}^{-0}(\tilde{d} s)$.
5.336. $\boldsymbol{K}^{+}(u \bar{s}), \boldsymbol{\Lambda}(u d s), \Omega^{-}(s s s)$.
6.1. $m=\rho V \Delta p / p_{0}=30 \Gamma, p_{0}-$ нормальное атмосферное давление.
6.2. $p=\left(p_{1} T_{2} / T_{1}-\Delta p\right) / 2=10 \mathrm{kHa}(0,10 \mathrm{aTM})$.
6.3. $m=p M V \ln \left(T_{2} / T_{1}\right) / R\left(T_{2}-T_{1}\right)$.
6.4. $m_{1} / m_{2}=\left(1-a / M_{2}\right) /\left(a / M_{1}-1\right)=0,50$, где $a=m R T / p V$.
6.5. $\rho=p_{0}\left(m_{1}+m_{2}\right) / R T\left(m_{1} / M_{1}+m_{2} / M_{2}\right)=1,5$ г/л.
6.6. a) $p=\left(v_{1}+v_{2}+v_{3}\right) R T / V=0,20 \mathrm{MII}$ (2,0 aTM);
б) $M=\left(v_{1} M_{1}+v_{2} M_{2}+v_{3} M_{3}\right) /\left(v_{1}+v_{2}+v_{3}\right)=36,7$ г/моль.
6.7. $T^{\prime}=T(\eta-1 / \eta) /\left(\eta^{\prime}-1 / \eta^{\prime}\right)=420 \mathrm{~K}$.
6.8. $n=\ln \eta / \ln (1+\Delta V / V)$.
6.9. $p=p_{0} \exp (-C t / V)$.
6.10. $t=(V / C) \ln \eta=1,0$ MиH.
6.11. $\Delta T=\left(m g+p_{0} \Delta S\right) l / R=0,9 \mathrm{~K}$.
6.12. a) $T_{\text {varc }}=\left(2 p_{0} / 3 R\right) \sqrt{p_{0} / 3 \alpha}$;
б) $T_{\text {varc }}=p_{0} / \mathrm{e} \beta R$.
6.13. $p_{\text {мй }}=2 R \sqrt{\alpha T_{0}}$.
6.14. $d T / d h=-M_{g} / R=-33 \mathrm{MK} / \mathrm{M}$.
6.15. $d T / d h=-M g(n-1) / n R$.
6.16. 0,54 и 1,9 атм.
6.17. a) $h=R T / M_{g}=8,0 \mathrm{xM}$;
б) $h \approx \eta R T / M g=0,08 \mathrm{kM}$.
6.18. $m=\left(1-e^{-M g h / R T}\right) p_{0} S / g$.
6.19. $h_{c}=\int_{0}^{\infty} h \rho d h / \int_{0}^{\infty} \rho d h=R T / M g$.
6.20. a) $p=p_{0}(1-a h)^{n}, h<1 / a$;
б) $p=p_{0} /(1+a h)^{n}$.
Здесь $n=M g / a R T_{0}$.
6.21. $p=p_{0} \exp \left(M \omega^{2} r^{2} / 2 R T\right)$.
6.22. $p_{\text {пд }}=\rho R T / M=280$ aTM, $p=\rho R T / M(M-\rho b)-a \rho^{2} / M^{2}=80$ aTM.
6.23. a) $T=a(V-b)(1+\eta) / R V(\eta V+b)=133 \mathrm{~K}$;
б) $p=R T /(V-b)-$ $-a V^{2}=9,9$ aтм.
6.24. $a=V^{2}\left(T_{1} p_{2}^{+}-T_{2} p_{1}\right) /\left(T_{2}-T_{1}\right)=0,19 \Pi_{\mathrm{a}} \cdot \mathrm{M}^{6} /$ моль $^{2}$; $b=V-R\left(T_{2}-T_{1}\right) /\left(p_{2}-p_{1}\right)=0,042$ л/моль.
6.25. $U=p V /(\gamma-1)=10 \mathrm{M}$ Дж.
6.26. $T=\frac{T_{1} T_{2}\left(p_{1} V_{1}+p_{2} V_{2}\right)}{p_{1} V_{1} T_{2}+p_{2} V_{2} T_{1}}, \quad p=\frac{p_{1} V_{1}+p_{2} V_{2}}{V_{1}+V_{2}}$
6.27. $\Delta U=-p_{0} V \Delta T / T_{0}(\eta-1)=-0,25$ к $\| \mathrm{x}, \quad Q^{\prime}=-\Delta U$.
6.28. $Q=A \gamma /(\gamma-1)=7$ Дв.
6.29. $M=m R \Delta T / \Delta Q=28$ г/моль.
6.30. $\Delta U=Q-R \Delta T=1,00 \mathrm{kJ]}, \quad \gamma=Q I(Q-R \Delta T)=1,6$.
6.32. $\gamma=\frac{v_{1} \gamma_{1}\left(\gamma_{2}-1\right)+v_{2} \gamma_{2}\left(\gamma_{1}-1\right)}{v_{1}\left(\gamma_{2}-1\right)+v_{2}\left(\gamma_{1}-1\right)}=1,33$.
6.33. $c_{V}=0,42$ Дх $/(r \cdot K), \quad c_{p}=0,65$ Дж $/(r \cdot K)$.
6.34. $A^{\prime}=R T(n-1-\ln n)$.
6.35. $A^{\prime}=p_{0} V_{0} \ln \left[(\eta+1)^{2} / 4 \eta\right]$.
6.36. $\gamma=1+(n-1) /\left(Q / \vee R T_{0}-\ln n\right)=1,4$.
6.37. а) $T=T_{0} \eta^{1-1 / \gamma} \approx 560 \mathrm{~K}$; б) $A^{\prime}=R T_{0}\left(\eta^{1-1 / \gamma}-1\right) /(\gamma-1)=5,6$ Дж .
6.38. При адиабатическом сжатии работа больше в $n=\left(\eta^{\gamma-1}-\right.$ $-1) /(\gamma-1) \ln \eta=1,4$ раза.
6.39. $T=T_{0}\left[(\eta+1)^{2} / 4 \eta\right]^{(\gamma-1) / 2}$.
6.40. $\omega=S \sqrt{2 \gamma p_{0} / m V_{0}}$.
6.41. $v=\sqrt{2 \gamma R T /(\gamma-1) M}=3,3 \mathrm{kM} / \mathrm{c}$.
6.42. $Q=R \Delta T(2-\gamma) /(\gamma-1)$.
6.43. $C=R(n-\gamma) /(n-1)(\gamma-1), C<0$ при $1<n<\gamma$.
6.44. $C=C_{V}(n-\gamma) /(n-1)=-4,2$ Дж $/$ (К моль), $n=\ln \beta / \ln \alpha$.
6.46. а) $Q=C_{V}(n-\gamma) \Delta T /(n-1)=0,11 \mathrm{k} \prod$; $\quad$ б) $A=-R \Delta T /(n-1)=$ $=0,43 \mathrm{k}$ [म .
6.47. a) $\Delta U=\alpha V_{0}^{2}\left(\eta^{2}-1\right) /(\gamma-1)$;
б) $A=\alpha V_{0}^{2}\left(\eta^{2}-1\right) / 2$;
в) $C=C_{V}+R / 2$
6.48. a) $C=-R /(\gamma-1)$;
б) $T V^{(y-1) / 2}=$ const.
6.49. а) $A=(1-\alpha) R \Delta T$; б) $C=C_{V}+R(1-\alpha) ; C<0$ при $\alpha>\gamma /(\gamma-1)$.
6.50. а) $A=\Delta U(\gamma-1) / \alpha$; б) $C=C_{V}+R / \alpha$.
6.51. $C=C_{V}+R / 2$.
6.52. a) $C=C_{V}+R / \alpha V$; б) $C=C_{V}+R /(1+\alpha V)$.
6.53. a) $C=\gamma R /(\gamma-1)+\alpha R / p_{0} V$; б) $Q=p_{0}\left(V_{2}-V_{1}\right) C_{p} / R+\alpha \ln \left(V_{2} / V_{1}\right)$.
6.54. a) $C=C_{p}+R T_{0} / \alpha V$; б) $Q=\alpha C_{p}\left(V_{2}-V_{1}\right)+R T_{0} \ln \left(V_{2} / V_{1}\right)$.
6.55. a) $V \mathrm{e}^{-\alpha T / R}=$ const; б) $T \mathrm{e}^{R / \beta V}=$ const; в) $V-a T=$ const.
6.56. а) $A=\alpha \ln \eta-R T_{0}(\eta-1) /(\gamma-1)$; б) $p V^{\gamma} \mathrm{e}^{-\alpha(\gamma-1) / p V}=$ const.
6.57. $A=R T \ln \left[\left(V_{2}-b\right) /\left(V_{1}-b\right)\right]+a / V_{2}-a / V_{1}$.
6.58. $Q=R T \ln \left[\left(V_{2}-b\right) /\left(V_{1}-b\right)\right]=3,8$ kास.
6.59. $T(V-b)^{\alpha}=$ const, где $\alpha=R / C_{V}$.
6.60. $C_{p}-C_{V}=R /\left(1-2 a(V-b)^{2} / R T V^{3}\right)$.
6.61. $\Delta T=-v a V_{2}(\gamma-1) / R V_{1}\left(V_{1}+V_{2}\right)=-3,0 \mathrm{~K}$
6.62. $Q=v^{2} a\left(V_{2}-V_{1}\right) / V_{1} V_{2}=0,33 \mathrm{k} / \mathrm{z}$.
6.64. $T_{1}<2 a\left(1-b / V_{1}\right) b R=180 \mathrm{~K}$.
6.65. $\Delta T=\frac{\gamma-1}{\gamma}\left(\frac{T_{1}}{V_{1} / b-1}-\frac{2 a}{R V_{1}}\right)$;
a) $15 \mathrm{~K}$;
6) $-39 \mathrm{~K}$
6.66. $n=p / k T=1 \cdot 10^{5} \mathrm{~cm}^{-3} ;\langle l\rangle=0,2 \mathrm{MM}$.
6.67. $p=(1+\eta) m R T / M V=1,9$ aтм, $M$-масса моля азота $\mathrm{N}_{2}$.
6.68. $n=\left(p / k T-p / m_{2}\right) /\left(1-m_{1} / m_{2}\right)=1,6 \cdot 10^{19} \mathrm{cм}^{-3}$, где $m_{1}$ и $m_{2}$ – массы молекул гелия и азота.
6.69. $i=2 /\left(p v^{2} / p-1\right)=5$.
6.70. $v / v_{\mathrm{m}}=\sqrt{(i+2) / 3 i}$;
a) 0,75 ;
6) 0,68 .
6.71. $\Delta U=\left(i_{2} T_{2}-i_{1} T_{1}\right) m R / 2 M=43 \mathrm{k}$. $\mathrm{x}$.
6.72. a) $C_{V}=(3 N-5 / 2) R, \quad \gamma=(6 N-3) /(6 N-5)$;
б) $C_{V}=(3 N-1) R$, $\gamma=(N-2 / 3) /(N-1)$.
6.73. $A / Q=1 /(3 N-2)$ для нелинейных молекул и $1 /(3 N-3 / 2)$ для линейных.
6.74. $N=2(2-\eta) /(4-3 \eta)=4$, молекулы нелинейные.
6.75. $M=R /\left(c_{p}-c_{V}\right)=32 \mathrm{r} /$ моль; $i=2 /\left(c_{p} / c_{V}-1\right)=5$.
6.76. a) $i=2\left(C_{p} / R-1\right)=5$;
б) $i=2(C / R-2)=3$.
6.77. $\gamma=\left(5 v_{1}+7 v_{2}\right) /\left(3 v_{1}+5 v_{2}\right)$.
6.78. $n=p /(\gamma-1)\langle\varepsilon\rangle=1,0 \cdot 10^{25} \mathrm{M}^{-3}$.
6.79. $\Delta T=M v^{2} / i R=0,31 \mathrm{~K}$, где $i=5$.
6.80. а) $v_{\mathrm{n}}=\sqrt{3 R T / M}=0,47 \mathrm{~km} / \mathrm{c},\langle\mathrm{K}\rangle=3 k T / 2=6,0 \cdot 10^{-21}$ Д\” $; \quad$ б) $v_{\mathrm{n}}=$ $=3 \sqrt{2 k T / \pi \rho d^{3}}=0,15 \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
6.81. Надо расширить в $\eta^{i}=7,6$ раза, где $i=5$,
6.82. $Q=\left(\eta^{2}-1\right) \mathrm{im} R T / 2 M=10 \mathrm{kHx}$.
6.83. $\omega_{\mathrm{xz}}=\sqrt{2 k T / I}=6,3 \cdot 10^{12} \mathrm{pan} / \mathrm{c}$.
6.84. $\langle K\rangle_{1 p}=k T_{0} \eta^{2 / 1}=0,7 \cdot 10^{-20} \mathrm{\Pi z}$.
6.85. Уменышится в $\eta^{1+1 / i}$ раз, где $i=5$.
6.86. Уменьшилась в $\eta^{(i-1) /(i-2)}=2,5$ раза.
6.87. $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{R}(i+1) / 2=3 \boldsymbol{R}$.
6.88. $\delta N_{1} / \delta N_{2}=\exp \left[m\left(v_{2 x}^{2}-v_{1 x}^{2}\right) / 2 k T\right] \delta v_{1 x} / \delta v_{2 x}=1,5$.
6.89. $\delta P=(m / 2 \pi k T)^{3 / 2} \exp \left(-m v^{2} / 2 k T\right) \delta v_{x} \delta v_{y} \delta v_{z}=1,7 \cdot 10^{-11}$.
6.90. $\delta N / N=(m / 2 \pi k T)^{3 / 2} \exp \left(-m v^{2} / 2 k T\right) 2 \pi v_{\perp} \delta v_{\perp} \delta v_{x}$.
6.91. $\delta N / N=(m / k T) \exp \left(-m v_{\perp}^{2} / 2 k T\right) v_{\perp} \delta v_{\perp}$.
6.92. $\mathcal{T}(u)=(4 / \sqrt{\pi}) u^{2} \exp \left(-u^{2}\right)$.
6.93. $v_{\text {eop }}=\sqrt{2 p / \rho}=0,45 \mathrm{rm} / \mathrm{c},\langle v\rangle=0,51 \mathrm{rM} / \mathrm{c}, v_{\mathrm{ni}}=0,55 \mathrm{rm} / \mathrm{c}$.
6.94. $\delta N / N=8 \delta \eta / e \sqrt{\pi}=1,66 \%$; б) $\delta N / N=12 \sqrt{3 / 2 \pi e^{3}} \delta \eta=1,85 \%$.
6.95. a) $T=m(\Delta v)^{2} / k(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}=380 \mathrm{~K}$;
б) $T=m v^{2} / 2 k=340 \mathrm{~K}$.
6.96. $T=m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right) / 4 k \ln \left(v_{2} / v_{1}\right)=330 \mathrm{~K}$.
6.97. Увеличилась в $\eta^{2}$ раз.
698. $v=\sqrt{\left(3 k T_{0} / m\right) \eta \ln \eta /(\eta-1)}$.
699. $T=m_{N}(\Delta v)^{2} / 2 k\left(1-\sqrt{m_{N} / m_{0}}\right)^{2}=370 \mathrm{~K}$.
6.100. $v=\sqrt{3 k T \ln \left(m_{2} / m_{1}\right) /\left(m_{2}-m_{1}\right)}=1,61 \mathrm{ka} / \mathrm{c}$.
6.101. $T=m v^{2} / 3 k, \quad v_{\operatorname{mop}}=v \sqrt{2 / 3}$.
6.102. $\left\langle v_{x}\right\rangle=0, \quad\left\langle\left|v_{x}\right|\right\rangle=\sqrt{2 k T / \pi m}$.
6.103. $\left\langle v_{x}^{2}\right\rangle=k T / m$.
6.104. $v=\int v_{x} d n\left(v_{x}\right)=n\langle v\rangle / 4$, где $d n\left(v_{x}\right)=n \varphi\left(v_{x}\right) d v_{x}$, интегрирование проводится по $v_{x}$ от 0 до $\infty$.
6.105. $p=2 \int m v_{x} \cdot v_{x} d n\left(v_{x}\right)=n k T$, где $d n\left(v_{x}\right)=n \varphi\left(v_{x}\right) d v_{x}$, интегрирование проводится по $v_{x}$ от 0 до $\infty$.
6.106. $\langle 1 / v\rangle=\sqrt{2 m / \pi k T}=4 / \pi\langle v\rangle$.
6.107. $d v=\int d n(d \Omega / 4 \pi) v \cos \theta=n \sqrt{2 k T / \pi m} \sin \theta \cos \theta d t$, где интегрирование проводится по $v$ от 0 до $\infty$.
6.108. $d v=\int d n(d \Omega / 4 \pi) v \cos \theta=n \pi\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3 / 2} \exp \left(-m v^{2} / 2 k T\right) v^{3} d v, \quad$ где интегрирование проводится по о от 0 до $\pi / 2$.
6.109. а) $f(K)=2 \pi(\pi k T)^{-3 / 2} e^{-K / k T} \sqrt{K} ;$ б) $\quad K_{\text {sop }}=k T / 2, \quad K_{\text {мор }}
eq K\left(v_{\text {sop }}\right)$.
6.110. $\delta N / N=3 \sqrt{6 / \pi e^{3}} \delta \eta=0,9 \%$.
6.111. $v_{\text {mop }}=\sqrt{3 k T / m}$; б) $K_{\text {mop }}=k T$.
6112 а) $\varphi(\lambda)=C \lambda^{-4} \exp \left(-a / \lambda^{2}\right)$, где $C=4 \pi\left(2 \pi h^{2} / m k T\right)^{3 / 2}, a=2 \pi^{2} h^{2} / m k T$; б) $\lambda_{\text {mep }}=\pi h \sqrt{m k T}=0,090 \mathrm{mM}$.
6.113. а) Пусть $v_{x}$ – проекция вектора скорости излучающего атома на направление линии наблюдения. Число атомов с проекциями ( $v_{x}, v_{x}+d v_{x}$ ), т.е. $\boldsymbol{n}\left(v_{x}\right) d v_{x} v \exp \left(-m v_{x}^{2} / 2 k T\right) d v_{x}$. Частота света, излучаемого атомами, скорость которых $v_{x}$, есть $v=v_{0}\left(1+v_{x} / c\right)$. С помощью этого выражения найдем распределение атомов по частотам: $n(v) d v=n\left(v_{x}\right) d v_{x}$. И наконец, надо учесть, что спектральная интенсивность излучения $I_{v} \sim \boldsymbol{n}(v)$;
б) $\Delta v / v_{0} \sqrt{8 k T \ln 2 / m c^{2}}$.
6.114. $\Delta \lambda_{\text {доп }}=/ \Delta \lambda_{\text {ост }} \approx 4 \pi \tau v_{\text {sop }} / \lambda \approx 10^{3}$, где $v_{\text {mop }}=\sqrt{2 R T / M}, M-$ молярная масcа.
6.115. $F=(k T / \Delta h) \ln \eta=0,9 \cdot 10^{-19} \mathrm{H}$.
6.116. $k=\pi d^{3} / g h \Delta \rho / 6 T \ln \eta=1,4 \cdot 10^{-23}$ Дा/K.
6.117. $\eta / \eta_{0}=\exp \left[\left(M_{2}-M_{1}\right) g h / R T\right]=1,39$.
6.118. $h=k T \ln \left(n_{2} / n_{1}\right) /\left(m_{2}-m_{1}\right) g$.
6.119. Не изменится.
6.120. $h=(R T / M g) \eta \ln \eta /(\eta-1)$.
6.121. $\langle U\rangle=k T$. Не зависит.
6.122. $a=\eta R T / M l \approx 70_{g}$.
6.123. $M=2 R T p \ln \eta /\left(p-p_{0}\right)\left(r_{2}^{2}-r_{1}^{2}\right) \omega^{2}$.
6.124. $\omega=\sqrt{\left(2 R T / M l^{2}\right) \ln \eta}=280 \mathrm{pan} / \mathrm{c}$.
6.125. a) $d N=n_{0} \exp \left(-a r^{2} / k T\right) 4 \pi r^{2} d r$;
б) $r_{\text {nep }}=\sqrt{k T / a}$;
B) $d N / N=$ $=(a / \pi k T)^{3 / 2} \exp \left(-a r^{2} / k T\right) 4 \pi r^{2} d r ; \quad$ г) увеличится в $\eta^{3 / 2}$ раза.
6.126. a) $d N=2 \pi n_{0} a^{-3 / 2} e^{-U / k T} \sqrt{U} d U$;
б) $U_{\text {mop }}=k T / 2$.
6.127. $\delta N=32 \sqrt{\pi} n_{0} e^{-Z / k T} r^{2} \delta r \delta \eta$, где $E=U+k T$.
6.128. $\eta=n^{2} \exp (-h \omega / k T) \approx 3 \cdot 10^{-10}$, где $\omega=R\left(1-1 / n^{2}\right), \quad R$-постоянная Ридберга.
6.129. $N / N_{0}=\left(g / g_{0}\right) \exp (-h \omega / k T)=1,13 \cdot 10^{-4}$, где $g$ и $g_{0}-$ кратности вырождения уровней $3 P$ и $3 S$ соответственно $\left(g=6, g_{0}=2\right)$.
6.130. $N_{2}=\frac{N}{1+\exp (\Delta E / k T)}, \quad\langle E\rangle=\frac{E_{1}+E_{2} \exp (-\Delta E / k T)}{1+\exp (-\Delta E / k T)}$, где $\Delta E=E_{2}-E_{1}$. См. рис. 51 .
Pис. 51
6.131. $C_{V}=\frac{N(\Delta E)^{2} e^{\Delta E / k T}}{k T^{2}\left(1+e^{\Delta E / k T}\right)^{2}}, \quad C_{V}=\frac{N(\Delta E)^{2}}{k T^{2}} e^{-\Delta E / k T}, \quad C_{V}=\frac{N(\Delta E)^{2}}{4 k T^{2}}$.
6.132. $\tau=n h \omega g / g_{0} P \exp (h \omega / k T)=65$ нс, где $g$ и $g_{0}-$ кратности вырождения резонансного и основного уровней.
6.133. $N_{\text {гоп }} / N_{\mathrm{sp}}=(1 / 3) \exp [-h(\omega-2 B) / k T]=3,1 \cdot 10^{-4}$, где $B=h / 2 I, I$ момент инерции молекулы.
6.134. $r_{m}=(d / h) \sqrt{k T \mu}-1 / 2=8$, где $\mu$ – приведенная масса молекулы $O_{2}$, $d$ – расстояние между ее ядрами. График зависимости $N_{p} / N_{0}$ от $r$ ся. на рис. 52.
6.135. $\langle E\rangle=\frac{\sum E_{v} \exp \left(-E_{v} / k T\right)}{\sum \exp \left(-E_{v} / k T\right)}=\frac{\sum E_{v} \exp \left(-\alpha E_{v}\right)}{\sum \exp \left(-\alpha E_{v}\right)}$, где $E_{v}=h \omega(v+1 / 2)$, $\alpha=1 / k T$. Здесь суммирование проводится по $v$ от 0 до $\infty$, и делается это следующим образом:
\[
\langle E\rangle_{1}=-\frac{\partial}{\partial \alpha} \ln \sum \exp \left(-\alpha E_{v}\right)=-\frac{\partial}{\partial \alpha} \ln \frac{\exp (-\alpha h \omega / 2)}{1-\exp (-\alpha h \omega)}=\frac{h \omega}{2}+\frac{h \omega}{\exp (h \omega / k T)-1}
\]
$C_{V \text { ro }}=N \frac{\partial\langle E\rangle}{\partial T}=\frac{R(h \omega / k T)^{2} \exp (\hbar \omega / k T)}{[\exp (h \omega / k T)-1]^{2}}=0,56 R$, где $R-$ универсальная газовая постоянная.
6.136. $I_{\phi} / I_{\mathrm{x}}=\exp (-h \omega / k T)=0,067$.

Увеличится в 3,9 раза.
6.137. $A^{\prime}=A /(n-1)=20 \mathrm{x} l \mathrm{x}$
6.138. $\eta=2 A^{\prime} / i R T=0,24$, где $i=5$.
6.139. Во втором случае.
6.140. а) $\eta=1-n^{1-\gamma}=0,25$; б) $\eta=$ $=1-n^{1 / \gamma-1}=0,18$.
6.141. $A^{\prime}=Q_{2}\left(T_{1} / T_{2}-1\right)=16 \mathrm{kДz}$.
6.142. $\varepsilon=(1-\eta) / \eta=9$.
6.143. $\eta=1-2 T_{3} /\left(T_{1}+T_{2}\right)$.
6.144. $\eta=1-n^{1-\gamma}=60 \%$.
6.145. $\eta=1-n(\gamma-1) / \gamma$.
6.146. $\eta=1-(n+\gamma) /(1+\gamma n)$.
6.147. В обоих случаях $\eta=1$ –
Рис. 52 $-\ln n /(n-1)$.
6.148. В обоих случаях $\eta=1-(n-1) / n \ln n$.
6.149. $\eta=1-(n-1) / n \ln n$.
6.150. a) $\eta=1-\frac{\gamma(n-1)}{n^{\gamma}-1} ; \quad \eta=1-\frac{n^{\gamma}-1}{\gamma(n-1) n^{\gamma-1}}$.
6.151. Неравенство $\int 8 Q_{1} / T_{1}-\int 8 Q_{2}^{\prime} / T_{2} \leqslant 0$ усилится, если заменить $T_{1}$ на $T_{\text {maxc }}$ и $T_{2}$ на $T_{\text {mas }}$. Тогда $Q_{1} / T_{\text {maxc }}-Q_{2}^{\prime} / T_{\text {max }}<0$. Отсюда $Q_{2}^{\prime} / Q_{1}>T_{\text {man }} / T_{\text {maxc }}$, или $\eta<\eta_{\text {Kapвo }}$.
6.152. $A_{\text {max }}=m c\left[T_{10}-T_{2}-T_{2} \ln \left(T_{10} / T_{2}\right)\right]=34 \mathrm{MДж,}$, где $c-$ удельная теплоемкость железа.
6.153. а) $\Delta S=R \ln n /(\gamma-1)=19$ Дж/(К моль);
б) $\Delta S=\gamma R \ln n /(\gamma-1)=$ $=25$ Дж/ ( $\mathrm{K} \cdot$ Моль).
6.154. $n=\exp (-\Delta S / v R)=2,0$.
6.155. $\Delta S=v R \ln n=20 \mathrm{Ix} / \mathrm{K}$.
6.156. $\Delta S=-m \gamma R \ln n / M(\gamma-1)=-10 Д \mathrm{x} / \mathrm{K}$.
6.157. $\Delta S=v R(\gamma \ln \alpha-\ln \beta) /(\gamma-1)=-11$ Дæ $/ \mathrm{K}$.
6.158. $S_{2}-S_{1}=v R[\ln \alpha-\ln \beta /(\gamma-1)]=1,0$ Д $\mathrm{z} / \mathrm{K}$.
6.159. $\Delta S=R(n-\gamma) \ln \tau /(n-1)(\gamma-1)$.
6.160. $\Delta S=v R(\gamma+1) \ln \alpha /(\gamma-1)=46$ Д $x / K$.
6.161. $\Delta S=-(R / 2) \ln v$.
6.162. $V_{m}=\gamma p_{0} / \alpha(1+\gamma)$.
6.163. $T=T_{0}+(R / a) \ln \left(V / V_{0}\right)$.
6.164. $\Delta S=R \ln \left[\left(V_{2}-b\right) /\left(V_{1}-b\right)\right]$.
6.165. $\Delta S=C_{V} \ln \left(T_{2} / T_{1}\right)+R \ln \left[\left(V_{2}-b\right) /\left(V_{1}-b\right)\right]$.
6.166. a) $C=C_{V}-R$;
б) $\Delta S=\left(C_{V}-R\right) \ln \left(T_{2} / T_{1}\right)$.
6.167. $S=a T^{3} / 3$.
6.168. $\Delta S=m\left[a \ln \left(T_{2} / T_{1}\right)+b\left(T_{2}-T_{1}\right)\right]=2,0 x \mathrm{xp}_{\mathrm{x}} / \mathrm{K}$.
6.169. $C=S / n$.
6.170. $T=T_{0} \exp \left[\left(S-S_{0}\right) / C\right]$.
6.171. a) $C=-\alpha / T$;
б) $Q=\alpha \ln \left(T_{1} / T_{2}\right)$;
в) $A=\alpha \ln \left(T_{1} / T_{2}\right)+C_{V}\left(T_{1}-T_{2}\right)$.
6.172. а) $\eta=(n-1) / 2 n$;
б) $\eta=(n-1) /(n+1)$.
6.173. $\Delta S=v R \ln n=20$ Д $\mathrm{z} / \mathrm{K}$.
6.174. $\Delta U=\left(2^{\gamma-1}-1\right) R T_{0} /(\gamma-1), \quad \Delta S=R \ln 2$.
6.175. После необратимого расширения давление будет больше.
6.176. $\Delta S=v_{1} R \ln (1+n)+v_{2} R \ln (1+1 / n)=5,1$ Дж/K.
6.177. $\Delta S=m_{1} c_{1} \ln \left(T / T_{1}\right)+m_{2} c_{2} \ln \left(T / T_{2}\right)=4,4$ Дж $/ \mathrm{K}$, где $T=\left(m_{1} c_{1} T_{1}+\right.$, $\left.+m_{2} c_{2} T_{2}\right) /\left(m_{1} c_{1}+m_{2} c_{2}\right), c_{1}$ и $c_{2}$ – удельные теплоемкости меди и воды.
6.178. $\Delta S=C_{V} \ln \left[\left(T_{1}+T_{2}\right)^{2} / 4 T_{1} T_{2}\right]>0$.
6.179. $\Delta F=R T \ln \left[\left(V_{1}-b\right) /\left(V_{2}-b\right)\right]+a / V_{1}-a / V_{2}$.
6.180. $\Delta S=v R /(\gamma-1)-\Delta F / T\left(\eta^{\gamma-1}-1\right)=0,20 \mathrm{k} \prod \mathrm{x} / \mathrm{K}$.
6.182. $V=k T / p \eta^{2}=0,37 \mathrm{MM}^{3}$.
6.183. а) $P=1 / 2^{N}$; б) $N=\lg (t / \tau) / \ln 2 \approx 80$, где $\tau \sim 10$ мкс – среднее время пролета атомом гелия расстояния норядка размера сосуда.
6.184. $\Omega_{\text {sop }}=N ! /[(N / 2) !]^{2}=252, P_{N / 2}=\Omega_{\text {sop }} / 2^{N}=24,6 \%$.
6.185. $P_{n}=\frac{N !}{n !(N-n) ! 2^{N}} ; \frac{1}{32}, \frac{5}{32}, \frac{10}{32}, \frac{10}{32}, \frac{5}{32}, \frac{1}{32}$ соответственно.
6.186. $P_{n}=\frac{N !}{n !(N-n) !} p^{n}(1-p)^{N-n}$, где $p=V / V_{0}$.
6.187. $d=\sqrt[3]{6 / \pi n_{0} \eta^{2}}=0,4 \mathrm{MKM}$, где $n_{0}$ – число Лошмидта; $\langle n\rangle=1 / \eta^{2}=$ $=1,0 \cdot 10^{6}$.
6.188. $\Omega=10^{6,3} \cdot 10^{22}$.
6.189. $Q=k T \ln \eta=1,0 \cdot 10^{-19}$ Дж.
6.190. Увеличится в $\Omega / \Omega_{0}=\left(1+\Delta T / T_{0}\right)^{i N_{A} / 2}=10^{1,31 \cdot 10^{21}}$ раз.
6.191. а) $\eta \approx 0,37$;
б) $\eta \approx 0,23$.
6.192. $\lambda=\Delta l / \ln \eta$.
6.193. a) $P=\exp (-\alpha t)$; б) $\langle t\rangle=1 / \alpha$.
6.194. а) $\lambda=0,06 \mathrm{MRM}, \tau=0,13 \mathrm{Hc}$;
б) $\lambda=6 \cdot 10^{6} \mathrm{M}, \tau=3,8$ ч.
6.195. В 18 раз.
6.196. $\lambda=\left(2 \pi N_{A} / 3 b\right)^{2 / 3} k T_{0} / \sqrt{2} \pi p_{0}=84 \mathrm{HM}$.
6.197. $v=\pi d^{2} p_{0} N_{A} \sqrt{2 \gamma / M R T_{0}}=5,5$ ГГд.
6.198. а) 0,7 Па; б) $2 \cdot 10^{14} \mathrm{~cm}^{13}, 0,2$ мкм.
6.199. a) $v=\sqrt{2} \pi d^{2} n\langle v\rangle=0,74 \cdot 10^{10} c^{-1}$;
б) $v=\pi d^{2} n^{2}\langle v\rangle / \sqrt{2}=1,0 \cdot 10^{20} \mathrm{c}^{-1} \cdot \mathrm{cM}^{-3}$, где $n=p_{0} / k T_{0},\langle v\rangle=\sqrt{8 R T / \pi M}$.
6.200. а) $\lambda=$ const, $\quad v \sim \sqrt{T}$; б) $\lambda \sim T, \quad v \sim 1 / \sqrt{T}$.
6.201. а) $\lambda$ =const, $v$ увеличится в $\sqrt{n}$ раз; б) $\lambda$ уменьшится в $n$ раз, $v$ увеличится в $n$ раз.
6.202. а) $\lambda \sim V, v \sim V^{-6 / 5}$; 6) $\lambda \sim p^{-5 / 7}, v \sim p^{6 / 7}$; в) $\lambda \sim T^{-5 / 2}, v \sim T^{3}$.
6.203. a) $\lambda \sim V, v \sim V^{-(n+1) / 2}$;
б) $\lambda \sim p^{-1 / n}, v \sim p^{(n+1) / 2 n}$;
в) $\lambda \propto T^{1 /(1-n)}, \quad v \sim T^{(n+1) / 2(n-1)}$.
6.204. а) $C=R(1+2 i) / 4=23$ Дв $/(\mathrm{K} \cdot$ моп $) ;$ б) $C=R(i+2) / 2=$
6.205. $n=n_{0} \exp (-t / \tau)$, где $\tau=4 V / S\langle v\rangle,\langle v\rangle=\sqrt{8 R T / \pi M}$.
6.206. Увеличится в $(1+\eta) /(1+\sqrt{\eta})$ раз.
6.207. Увеличилось в $\alpha^{3} / \beta=2,0$ раза.
6.208. а) $D$ увеличится в $n$ раз, $\eta=$ const, б) $D$ увеличится в $n^{3 / 2}$ раз, $\eta-$ в $\sqrt{n}$ раз.
6.209. $D$ уменьшится в $n^{4 / 3} \approx 6,3$ раза, $\eta$ увеличится в $n^{1 / 5} \approx 1,6$ раза.
6.210. а) $n=3$; б) $n=1$; в) $n=1$.
6.211. 0,18 нм.
6.212. $d_{A r} / d_{\mathrm{He}}=1,7$.
6.213. $N_{1}=2 \pi \eta \omega R^{3} / \Delta R ; p=\sqrt{2} k T / \pi d^{2} n \Delta R=0,7 \Pi a$.
6.214. $\eta=\left(1 / R_{1}^{2}-1 / R_{2}^{2}\right) N_{1} / 4 \pi \omega$.
6.215. $N=\pi \eta \omega a^{4} / 2 h$.
6.216. $N=\sqrt{\pi M / 2 R T} \omega a^{4} p / 3$.
6.217. $\mu=\left(\pi a^{4} M / 16 \eta R T\right)\left|p_{2}^{2}-p_{1}^{2}\right| / l$.
6.218. $T=\left(x_{1} T_{1} / l_{1}+\kappa_{2} T_{2} / l_{2}\right) /\left(x_{1} / l_{1}+\kappa_{2} / L_{2}\right)$.
6.219. $x=\left(l_{1}+l_{2}\right) /\left(l_{1} / x_{1}+l_{2} / x_{2}\right)$.
6.220. $T(x)=T_{1}\left(T_{2} / T_{1}\right)^{x / l}, \quad q=(\alpha / l) \ln \left(T_{2} / T_{1}\right)$.
6.221. $\Delta T=(\Delta T)_{0} \exp (-\alpha t)$, где $\alpha=\left(1 / C_{1}+1 / C_{2}\right) S x / l$.
6.222. $q=2 i R^{3 / 2}\left(T_{2}^{3 / 2}-T_{1}^{3 / 2}\right) / 9 \pi^{3 / 2} l d^{2} N_{A} \sqrt{M}=40 \mathrm{BT} / \mathrm{M}^{2}$, где $i=3, \quad d-$ зффективный диаметр атома гелия.
6.223. $\lambda=23 \mathrm{mM}>l$, следовательно, газ ультраразреженный; $q=p\langle v\rangle\left(t_{2}\right.$ $\left.-t_{1}\right) / 6 T(\gamma-1)=22 \mathrm{BT} / \mathrm{M}^{2}$, где $\langle v\rangle=\sqrt{8 R T / \pi M}, T=\left(T_{1}+T_{2}\right) / 2$.
6.224. $T=T_{1}+\left(T_{2}-T_{1}\right) \ln \left(r / R_{1}\right) / \ln \left(R_{2} / R_{1}\right)$.
6.225. $T=T_{1}+\left(T_{2}-T_{1}\right)\left(1 / R_{1}-1 / r\right) /\left(1 / R_{1}-1 / R_{2}\right)$.
6.226. $T=T_{0}+\left(R^{2}-r^{2}\right) w / 4 x$.
6.227. $T=T_{0}+\left(R^{2}-r^{2}\right) w / 6 x$.
6.229. a) $T_{x}=T / \sqrt[4]{2}$
б) $T_{x}=T \sqrt[4]{17 / 2}$
6.230. $T_{2}=b T_{1} /\left(b+N_{1} \Delta \lambda\right) \approx 1750 \mathrm{~K}$.
6.231. $\lambda_{m}=3,4$ мкм.
6.232. $5 \cdot 10^{9} \mathrm{xr} / \mathrm{c}$, около $10^{11}$ лет.
6.233. $T=\sqrt[3]{3 c R \rho / \sigma M}=2 \cdot 10^{7} \mathrm{~K}$, где $R$ – универсальная газовая постоянная, $M$ – молярная масса водорода ( $\left.\mathbf{H}_{2}\right)$.
6.234. $t=\left(\eta^{3}-1\right) c \rho d / 18 \sigma T_{0}^{3}=3$ ч, где $c$ – удельная теплоемкость меди, $p$ – ее плотность.
6.235. $T \approx T_{0} \sqrt{R / 2 l}=266 \mathrm{~K}$, где $R$ – радиус Солнца, $l$ – расстояние между Солнцем и Землей.
6.236. $T_{2}=T_{1} \sqrt{d / 2 l} \approx 400 \mathrm{~K}$.
6.237. а) $C_{V}=(\partial U / \partial T)_{V}=16 \sigma T^{3} V / c=3$ нДж/К, где $U=4 \sigma T^{4} V / c$;
б) $S=16 \sigma T^{3} V / 3 c=1,0 \mathrm{\text { \# }} \mathrm{z} / \mathrm{K}$.
6.238. $V T^{3}=$ const.
6.239. a) $\omega_{\text {aep }}=2 T / a=5,24 \cdot 10^{14} \mathrm{c}^{-1}$;
б) $\lambda_{\text {mep }}=2 \pi c a / 5 T=1,44 \mathrm{mKM}$.
6.240. a) $u_{\omega}=\left(k T / \pi^{2} c^{3}\right) \omega^{2}$;
б) $u_{\omega}=\left(h / \pi^{2} c^{3}\right) \omega^{3} \exp (-h \omega / k T)$.
6.241. $u_{v}=\frac{16 \pi^{2} h}{c^{3}} \frac{v^{3}}{\exp (2 \pi h v / k T)-1}, \quad u_{\lambda}=\frac{16 \pi^{2} c h \lambda^{-5}}{\exp (2 \pi h c / k T \lambda)-1}$.
6.242. $\Delta P=4 \pi^{2} c^{2} \hbar T^{5} \Delta \lambda / b^{5}(\exp (2 \pi \hbar c / k b)-1)=0,31 \mathrm{BT} / \mathrm{cm}^{2}$, где $\quad b-$ постоянная в законе смещения Вина.
6.243. $P_{n}=[1-\exp (-x)] \exp (-n x)$, где $x=h \omega / k T$.
6.244. $n_{\omega} d \omega=\frac{1}{\pi^{2} c^{3}} \frac{\omega^{2} d \omega}{\exp (h \omega / k T)-1}, \quad n_{\lambda} d \lambda=\frac{8 \pi \lambda^{-4} d \lambda}{\exp (2 \pi h c / k T \lambda)-1}$.
6.245. $P_{\text {внд }} / P_{\text {сп }}=1 /[\exp (-h \omega / k T)-1]=7 \cdot 10^{-18}, \quad$ где $\quad \omega=3 R / 4, \quad R-$ постоянная Ридберга; б) $T=1,7 \cdot 10^{5} \mathrm{~K}$.
6.246. Пусть $I$ – интенсивность проходящего света. Убыль этой величины при прохождении слоя вещества толщины $d x$ равна $-d I=x I d x=\left(N_{1} B_{12}-\right.$ – $\left.N_{2} B_{21}\right)(I / c) d x$, где $N_{1}$ и $N_{2}$ – концентрации атомов на нижнем и верхнем уровнях, $B_{12}$ и $B_{21}$ – коэффициенты Эйнштейна. Отсюда $x=(h \omega / c) N_{1} B_{12}(1$ $-g_{1} N_{2} / g_{2} N_{1}$ ). Далее следует учесть распределение Больцмана и тот факт, что $\hbar \omega \gg k T$ (при этом $N_{1} \approx N_{0}$ – полный концентрации атомов).
6.247. $a=\sqrt[3]{2 M / N_{A} p}=0,31$ нм, где $M$ – молярная масса.
6.248. $a=\sqrt[3]{4 M / N_{A} \rho}=0,36 \mathrm{нм}$.
6.249. $\rho=4\left(M_{\mathrm{Na}}+M_{\mathrm{Cl}}\right) / N_{A} a^{3}=2,18 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$.
6.250. а) $a, a / \sqrt{2}, a / \sqrt{3}$; б) $a / 2, a / \sqrt{3}, a / \sqrt{12}$; в) $a / 2, a / \sqrt{8}, a / \sqrt{3}$.
6.251. Плоскость ( $h k l$ ), ближайшая к началу координат $O$, взятому в одном из узлов решетки, отсекает на осях координат отрезки $a / h, a / k$ и $a / l$. Расстояние от точки $O$ до данной плоскости равно $d$. Пусть углы между нормалью к плоскости и осями координат $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z$ равны $\alpha, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$. Тогда $\cos \alpha=h d / a, \cos \beta=k d / a, \cos \gamma=l d / a$. Остается использовать тот факт, что сумма квадратов этих косинусов равна единице.
6.252. (111), $1,77 \cdot 10^{16}$ атом/cм $\mathbf{c}^{2}$.
6.253. $\cos \alpha=h / \sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}$, отсюда $\alpha=74^{\circ} 30^{\prime}$. Аналогично $\beta=57^{\circ} 40^{\prime}$ и $\gamma=36^{\circ} 40^{\prime}$.
6.254. $d N_{\omega}=(l / \pi v) d \omega$.
6.255. Исходим из волнового уравнения $\xi_{x}^{\prime \prime}+\xi_{y}^{\prime \prime}=\left(1 / v^{2}\right) \xi$. Erо решение ищем в виде $\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{X}(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{Y}(\boldsymbol{y}) \sin \omega t$. После подстановки в волновое уравнение получим $X_{x}^{\prime \prime} / \boldsymbol{X}+Y_{y}^{\prime \prime} / \boldsymbol{Y}=(\omega /
u)^{2}$. Левая часть этого уравнения содержит функции, зависящие только от $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$. Эти переменные независимые, поэтому левая часть последнего уравнения должна быть суммой постоянных. Обозначим их $k_{1}^{2}$ и $\boldsymbol{k}_{2}^{2}$; тогда
\[
X_{x}^{\prime \prime}+k_{1}^{2} X=0, \quad Y_{y}^{\prime \prime}+k_{2}^{2} Y=0,
\]

причем $k_{1}^{2}+k_{2}^{2}=(\omega / v)^{2}$. Решения этих уравнений с учетом граничных условий $X(0)=0$ и $Y(0)=0$ запишем сразу в виде $X=\sin k_{1} x, Y=\sin k_{2} y$ (амплитуды можно опустить, ибо для решения нашей задачи они не существенны). Постоянные $k_{1}$ и $k_{2}$ находим из граничных условий $X(a)=0$ и $Y(b)=0$, где $a$ и $b$ – длины сторон мембраны.

Итак, $\xi=\sin \left(k_{1} x\right) \sin \left(k_{2} y\right) \sin \omega t$, где $k_{1}=n_{1} \pi / a, \quad k_{2}=n_{2} \pi / b, \quad n_{1} \quad$ и $n_{2}$ – целые положительные числа (отрицательные не дают новых линейнонезависимых решений).

Изобразим определенное собственное колебание точкой на плоскости с осями $k_{1}$ и $k_{2}$. Тогда $k_{1}^{2}+k_{2}^{2}=(\omega / v)^{2}$ есть уравнение окружности радиуса $k=\omega / v$. Число собственных колебаний с частотой, меньшей $\omega$, равно числу точек (рис.53) внутри круга радиуса $k=\omega / v$ в его первой четверти (так как все $\boldsymbol{n}_{\boldsymbol{i}}>\mathbf{0}$ ). Плоцадь ячейки, содержащей одну точку, равна $\delta k_{1} \delta k_{2}=$ $=\left(\pi^{2} / a b\right) \delta n_{1} \delta n_{2}=\pi^{2} / S$, ибо $\delta n_{1} \delta n_{2}=1$.

Поделив площадь четверти круга радиуса $\boldsymbol{k}=\omega / v$ на плоцадь одной ячейки, найдем $\quad N_{\omega}=k^{2} S / 4 \pi=\omega^{2} S / 4 \pi v^{2}$. Отсюда $d N_{\omega}=\left(S^{2} / 2 \pi v^{2}\right) \omega d \omega$.
Рис. 53
6.256. Решение аналогично приведенному в предыдущей задаче. Но в данном случае вместо $1 / 4$ площади круга следует взять $1 / 8$ объема шара и, кроме того, полученное выражение надо еще умножить на 2 , поскольку каждой частоте соответствуют две стоячие волны со взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации. В результате получим $d N_{\omega}=\left(V / 2 \pi^{2} v^{3}\right) \omega^{2} d \omega$.
6.257. a) $\Theta=(h / k) \pi v n_{0}$;
6) $\Theta=(h / k) v \sqrt{4 \pi n_{0}}$;
в) $\boldsymbol{\theta}=(h / k) v \sqrt[3]{6 \pi^{2} n_{0}}$
6.258. $\Theta=(h / k) \sqrt[3]{18 \pi^{2} n_{0} /\left(v_{11}^{-3}+2 v_{+}^{-3}\right)}=470 \mathrm{~K}$, где $n_{0}$ – концентрация атомов.
6.258. $v \approx k \Theta / \hbar \sqrt[3]{6 \pi^{2} n_{0}}=3,4 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$, где $n_{0}$ – концентрация атомов. Табличные значения: $v_{\|}=6,3 \mathrm{~km} / \mathrm{c}, v_{\perp}=3,1 \mathrm{~km} / \mathrm{c}$.
6.260. Колебательная энергия и теплоемкость моля \”кристалла\”:

\[
U=R \theta\left(\frac{1}{4}+\frac{T^{2}}{\theta^{2}} \int_{0}^{\theta / r} \frac{x d x}{\theta^{2}-1}\right), \quad C=R\left(\frac{2 T}{\theta} \int_{0}^{\theta / T} \frac{x d x}{\theta^{x}-1}-\frac{\theta / T}{e^{\theta / T}-1}\right),
\]

где $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{h} \omega / \boldsymbol{k} \boldsymbol{T}$. При $T \gg \theta$ теплоемкость $\boldsymbol{C} \approx R$.
6.261. $d N / d \omega=2 l / \pi a \sqrt{\omega_{\text {muce }}^{2}-\omega^{2}} ; \quad N=l / a$, r. е. равно числу атомов в цепочке.
6.262. $U_{0}=9 R \theta / 8 M=48,6$ Дж/г, где $M$ – молярная масса меди.
6.263. а) $\Theta \approx 220 \mathrm{~K} ;$ б) $C \approx 10$ Дж/(К м моль);
в) $\omega_{\text {marc }} \approx 4,1 \cdot 10^{13} \mathrm{c}^{-1}$.
6.265. $\omega_{\max }=(k T / b) \sqrt[3]{12 \pi^{4} R / 5 M c}=6 \cdot 10^{13} \mathrm{c}^{-2}$, где $M$ – молярная масса.
6.266. Да, так как при этих температурах теплоемкость $\sim T^{3}$.
6.267. $\theta=\sqrt[3]{\left(3 \pi^{4} m R / 5 M Q\right)\left(T_{2}^{4}-T_{1}^{4}\right)}=330 \mathrm{~K}$, где $M$ – молярная масса.
6.268. $\langle E\rangle=3 k \theta / 8$.
6.269. $\left.U_{0} \approx 9 \pi\right\lrcorner N_{A} v / 8 a=3 \mathrm{k} * /$ моль.
6.270. См. рис. 54 .
6.271. $\Delta \omega_{\text {maso }}=28 \mathrm{M} B, \quad \Delta k_{\text {maxi }} \sim$ $\sim 10^{-19} \mathrm{r} \cdot \mathrm{cm} / \mathrm{c}$.
6.272. $d N=\frac{9 N(\Delta / k \Theta)^{3} \omega^{2} d \omega}{\exp (h \omega / k T)-1}$.
6.273. $p \approx \frac{3 k T^{4} n}{\theta} \int_{0}^{\theta / T} \frac{x d x}{e^{x}-1}=$ $=260 \mathrm{MПа}\left(2,6 \cdot 10^{5}\right.$ атм), где $n$ – концентрация атомов. Здесь использована молекулярно-кинетическая модель фононного газа.
6.274. a) $K_{\text {caxc }}=\left(3 \pi^{2} n\right)^{2 / 3} h^{2} / 2 m$;
б) $\langle X\rangle=(3 / 5) K_{\text {maxc }}$.
Рис. 54
6.275. $\Delta N / N=3 \eta / 2=1,5 \%$.
6.276. $\eta=1-2^{-3 / 2} \approx 65 \%$.
6.277. 0,96 .
6.278. Приблизительно до $3 \cdot 10^{4} \mathrm{~K}$.
6.279. $\Delta E=2 \pi^{2} h^{2} / m V\left(3 \pi^{2} n\right)^{1 / 3}=2 \cdot 10^{-22}$ эB.
6.250. $d n_{q}=\left(m^{3} / \pi^{2} n^{3}\right) v^{2} d v$;
6) $\langle v\rangle / v_{\text {maxt }}=3 / 4$.
6.281. $\lambda_{\operatorname{ma}} \approx 2 a$.
6.282. $T \approx 2 \pi^{2} \hbar^{2} n^{2 / 3} / k m=3,3 \cdot 10^{5} \kappa$, где $n$ – концентрация атомов, $m$ масса электрона.
6.283. $d n_{\lambda}=8 \pi \lambda^{-4} d \lambda$.
6.284. $p=(2 / 3) n\langle X\rangle=\sqrt[3]{9} \pi^{4 / 3} n^{5 / 3} n^{2} / 5 m=5 \cdot 10^{6} \mathrm{rIa}\left(5 \cdot 10^{4} \mathrm{amM}\right)$, где $\langle X\rangle-$ средняя кинетическая энергия свободных электронов.
6.285. $C_{\mathrm{ox}} / C_{\max }=\pi^{2} k T / 6 E_{F}=7,7 \cdot 10^{-3}$.
6.286. $A=k T(\eta T / \Delta T-2)=4,5,3 B$.
6.287. $n=\sqrt{1+U_{0} / \bar{K}}=1,02$, где $U_{0}=K_{\text {maxc }}+A, A-$ работа выхода, $K_{\text {mare }}=\left(3 \pi^{2} n^{2}\right)^{2 / 3} h^{2} / 2 m$.
6.288. $E_{\text {мпв }}=2 k T_{1} T_{2} \ln \eta /\left(T_{2}-T_{1}\right)=0,33$ зВ.
6.289. $\alpha=(1 / \rho) \partial \rho / \partial T=-\pi c h / k T^{2} \lambda_{\mathrm{z}}=-0,05 \mathrm{~K}^{-1}$, где $\rho \sim \exp \left(\Delta E_{0} / 2 k T\right)$, $\Delta E_{0}$ – ширина запрещенной зоны.
6.290. $\Delta E=-2 k \Delta(\ln \sigma) / \Delta(1 / T)=1,2$ и 0,06 эВ.
6.291. $\tau=t / \ln \left[\left(\rho-\rho_{1}\right) \rho_{2} /\left(\rho-\rho_{2}\right) \rho_{1}\right]=0,01 \mathrm{c}$.
6.292. $n=h B U / e l_{p} U_{H}=5 \cdot 10^{15} \mathrm{~cm}^{-3}, u_{0}=l U_{H} / h B U=0,05 \mathrm{M}^{2} /(\mathrm{B} \cdot \mathrm{c})$.
6.293. $\left|u_{0}^{-}-u_{0}^{+}\right|=1 / \eta B=0,20 \mathrm{M}^{2} /(\mathrm{B} \cdot \mathrm{c})$.
6.294. $n^{+} / n^{-}=\eta^{2}=4,0$.
6.295. a) $\Delta p=4 \alpha / d=13$ aтM;
б) $\Delta p=8 \alpha / d=1,2 \cdot 10^{-3}$ атм.
6.296. $h=4 \alpha / \rho g d=21 \mathrm{~cm}$.
6.297. $\alpha=p_{0} d\left(1-\eta^{3} / n\right) / 8\left(\eta^{2}-1\right)$.
6.298. $F=2 \alpha R=0,60 \mathrm{MH}$.
6.299. $\alpha=p\left(R^{3}-R_{1}^{3}-R_{2}^{3}\right) / 4\left(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}-R^{2}\right)$.
6.300. $R=a b /(a-b) ; \quad \theta=120^{\circ}$.
6.301. $p=p_{0}+\rho g h+4 \alpha / d=2,2$ атм.
6.302. $h=\left[p_{0}\left(n^{3}-1\right)+4 \alpha\left(n^{2}-1\right) / d\right] / \rho g=5 \mathrm{~m}$.
6.303. $\Delta \boldsymbol{h}+4 \alpha|\cos \theta|\left(d_{2}-d_{1}\right) / d_{1} d_{2} \rho g=11 \mathrm{~mm}$.
6.304. $R=2 \alpha / \rho g h=0,6 \mathrm{mM}$.
6.305. $x=l /\left(1+p_{0} d / 4 \alpha\right)=1,4 \mathrm{~cm}$.
6.306. $\alpha=\left[\rho g h+p_{0} l /(l-h)\right] d / 4 \cos \theta$.
6.307. $h=4 \alpha / \rho g\left(d_{2}-d_{1}\right)=6 \mathrm{~cm}$.
6.308. $h=2 \alpha \cos \theta / \rho g x \delta \hat{\varphi} \varphi$.
6.309. $V_{1}=\pi d^{2} \sqrt{2 g l-4 \alpha(n-1) / \rho d} / 4 \sqrt{n^{4}-1}=0,9 \mathrm{~cm}^{3}$.
6.310. $R=2 \alpha /\left(m g / \pi a^{2}-\rho g h\right)$.
6.311. $R_{2}-R_{1} \approx \rho g h^{3} / 8 \alpha=0,20 \mathrm{mM}$.
6.312. $\alpha=h R\left(\rho-\rho_{0}\right) g / 2=0,07 \mathrm{H} / \mathrm{M}$, где $\rho$ и $\rho_{0}$ – плотность алюминия и воды.
6.313. $m \approx 2 \pi R^{2} \alpha|\cos \theta|\left(n^{2}-1\right) / g h=0,7 \mathrm{kr}$.
6.314. $F \approx 2 \alpha m / \rho h^{2}=1,0 \mathrm{H}$.
6.315. $F=2 \pi R^{2} \alpha / h=0,6 \mathrm{kH}$.
6.316. $F=2 \alpha^{2} l / \rho g d^{2}=13 \mathrm{H}$.
6.317. $h=2 \alpha(1-\sin \theta) / \rho d$.
6.318. $h=\sqrt{\alpha / \rho g} \sin (\theta / 2)$.
6.319. $t=2 \operatorname{l\eta } R^{4} / \alpha r^{4}$.
6.320. $Q=2 \pi \alpha^{2} / \rho 8$.
6.321. а) $F=\pi \alpha d^{2}=3$ мкДж; б) $F=2 \pi \alpha d^{2}=10$ мкДж.
6.322. а) $\Delta F=2 \pi \alpha d^{2}\left(2^{-1 / 3}-1\right)=-1,5$ мкДж;
б) $A^{\prime}=4 \pi R^{2}\left(2 \alpha+R p_{0} / 3\right)$.
6.323. $C-C_{p}=R / 2\left(1+3 p_{0} r / 8 \alpha\right)$.
6.325. a) $\Delta S=-2(d \alpha / d T) \Delta \sigma$;
б) $\Delta U=2(\alpha-T \cdot d \alpha / d T) \Delta \sigma$.
6.326. $A=\Delta m R T / M=1,2$ Дж.
6.327. $m_{\mathrm{n}}=\left(V-m V_{\mathrm{x}}^{\prime}\right) /\left(V_{\mathrm{n}}^{\prime}-V_{\mathrm{x}}^{\prime}\right)=20 \mathrm{r}, \quad V_{\mathrm{n}}=1,0$ л. Здесь $V_{\mathrm{x}}^{\prime}-$ удельный объем воды.
6.328. $m_{\mathrm{z}} \approx M p_{0}\left(V_{0}-V\right) / R T=2,0 \mathrm{r}$, где $p_{0}$ – нормальное давление.
6.329. $\eta=(n-1) /(N-1) ; \eta=1 /(N+1)$.
6.330. $\Delta S=m q / T=6,0$ кДж/К, $\Delta U \approx m(q-R T / M)=2,1$ МДж, где $T=373$ К.
6.331. $h \approx(Q-m c \Delta T) R T / q p S M=20 \mathrm{~cm}$, где $c$ – удельная теплоемкость воды, $\Delta T=100 \mathrm{~K}, q$ – удельная теплота парообразования воды, $T$ – ее температура кипения.
6332. $A=m c\left(T-T_{0}\right) R T / q M=25$ Дж, где $c$ – удельная теплоемкость воды, $T$ – начальная температура пара, равная температуре кипения воды (это видно из условия), $q$ – удельная теплота конденсации пара.
6.333. $A=m q\left(T_{1} / T_{2}-1\right)=0,67$ МДж, где $q=2,25$ кДж/г.
6.334. $d \approx 4 \alpha M / \eta \rho R T=0,24$ мкм, где $\rho$ – плотность воды.
6.335. $\mu=\eta p_{0} \sqrt{M / 2 \pi R T}=0,35 \mathrm{r} /\left(\mathrm{c} \cdot \mathrm{cm}^{2}\right)$, где $p_{0}$ – нормальное давление.
6.336. $p=\mu \sqrt{2 \pi R T / M}=0,9$ нПа.
6.337. $\Delta p=a / V_{M}^{2}=1,7 \cdot 10^{4} \mathrm{aтM}$.
6.338. $p_{i} \approx \rho q$, приблизительно $2 \cdot 10^{4}$ атм.
6.340. $a=27 R^{2} T_{\mathrm{xp}}^{2} / 64 p_{\mathrm{xp}}=3,6$ атм $\cdot \pi^{2} /$ моль $^{2}, \quad b=R T_{\mathrm{xp}} / 8 p_{\mathrm{xp}}=0,043 \pi /$ моль.
6.341. $V_{\mathrm{xp}}^{\prime}=3 R T_{\mathrm{xp}} / 8 M p_{\mathrm{xp}}=4,7 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{r}$.
6.342. $\left(\pi+3 / v^{2}\right)(3 v-1)=8 \tau, \quad \tau=1,5$.
6.343. а) $V_{\text {maxc }}=3 b \mathrm{~b} / M=5,0 \pi$; $p_{\operatorname{maxc}}=a / 27 b^{2}=230$ атм.
6.344. $T_{\mathrm{xp}}=8 a / 27 b R \approx 300 \mathrm{~K}, \rho_{\mathrm{xp}}=V / 3 b=0,34 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$.
6.345. $\eta=8 M p_{\mathrm{xp}} / 3 \rho R T_{\mathrm{xp}}=0,25$, где $\rho$ – плотность эфира при комнатной температуре.
6.346. Применим уравнение (6.4 д) к обратимому изотермическому процессу 1-2-3-4-5-3-1: $T \oint d S=\oint d U+\oint p d V$. Так как первые два интеграла равны нулю, то и $\oint p d V=0$. Последнее может быть только при равенстве плоцадей I и II. Заметим, что зти рассуждения неприменимы. например, к циклу 1-2-3-1. Он необратим, ибо включает совершаемый в точке 3 необратимый переход из однофазного состояния в двухфазное.
6.347. $\eta=c|t| / q=0,25$, где $q$ – удельная теплота плавления льда. При $t=-80^{\circ} \mathrm{C}$.
6.348. $\Delta T=-\left(T \Delta V^{\prime} / q\right) \Delta p=-7,5$ мК, где $q$ – удельная теплота плавления льда.
6.349. $V_{\mathrm{mI}}^{\prime} \approx q \Delta T / T \Delta p=1,7 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{\kappa г}$, где $q$ – удельная теплота парообразования, $T=373 \mathrm{~K}$.
6.350. $p_{\text {mп }} \approx p\left(1+q M \Delta T / R T^{2}\right)=1,04$ атм, где $q-$ удельная теплота парообразования, $p_{0}$ – нормальное давление, $\Delta T=1,1 \mathrm{~K}$.
6.351. $\Delta m / m=(q M / R T-1)=5 \%$.
6.352. $q=R(a-b T)$.
6.353. $p=p_{0} \exp \left[(q M / R)\left(1 / T_{0}-1 / T\right)\right]$. Эти упрощения допустимы для не слишком широкого интервала температур, значительно меньших критической.
6.354. $\eta=c p T \Delta V^{\prime} / q^{2}=0,03$, где $c$ – удельная теплоемкость льда, $T=$ $=273 \mathrm{~K}, q-$ удельная теплота плавления.
6.355. а) $216 \mathrm{~K}, 5,1$ атм; б) соответственно $0,78,0,57$ и 0,21 кДж/г.
6.356. $\Delta S \approx m\left[c \ln \left(T_{2} / T_{1}\right)+q / T_{2}\right)=7,2$ кДж/К.
6.357. $\Delta S_{\mathrm{yr}} \approx q_{\mathrm{min}} / T_{1}+c \ln \left(T_{2} / T_{1}\right)+q_{\mathrm{map}} / T_{2}=8,6$ Дж/( $\left.\cdot \mathrm{K} \cdot \mathrm{K}\right)$.
6.358. $\Delta S \approx m c \ln \left(T / T_{1}\right)=-10$ Дж/К, где $c$ – удельная теплоемкость меди, $T=273$ К (при данных условиях лед растает частично).
6.359. а) При $m_{2} c_{2} t_{2}<m_{1} q$ лед растает не весь и
\[
\Delta S=m_{2} c_{2}\left[T_{2} / T_{1}-1-\ln \left(T_{2} / T_{1}\right)\right]=9,2 \text { Дж/К; }
\]
б) при $m_{2} c_{2} t_{2}>m_{1} q$ лед растает весь и
\[
\Delta S=m_{1} q / T_{1}+c_{2}\left[m_{1} \ln \left(T / T_{1}\right)-m_{2} \ln \left(T_{2} / T\right)\right]=18 \text { Дж/К, }
\]

где $T=\left(m_{1} T_{1}+m_{2} T_{2}-m_{1} q / c_{2}\right) /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
6.360. $\Delta S=m q\left(1 / T_{1}-1 / T_{2}\right)+m c\left[T_{2} / T_{1}-1-\ln \left(T_{2} / T_{1}\right)\right]=0,48$ Дж/К.
6.361. $C=C_{p}-q M / T=-74$ Дж/(К-моль), где $C_{p}=R \gamma /(\gamma-1)$.
6.362. $\Delta S=q M / T_{2}+C_{p} \ln \left(T_{2} / T_{1}\right)$, где $C_{p}=R \gamma /(\gamma-1)$.