– Плоскость поляризации – плоскость, в которой колеблется световой вектop (E).
– Плоскость пропускания поляризатора – плоскость, в которой колебания светового вектора проходят свободно.
– Закон Малюса:
\[
I=I_{0} \cos ^{2} \varphi .
\]
– Степень поляризации света:
\[
P=\left(I_{\text {maxc }}-I_{\text {max }}\right) /\left(I_{\text {maxc }}+I_{\text {van }}\right)=I_{\text {moa }} / I_{\text {mamp }} .
\]
– Закон Брюстера:
\[
\operatorname{tg} \hat{t}_{B}=n_{2} / n_{1} \text {. }
\]
– Формулы Френеля для интенсивности света, отраженного от границы раздела двух диэлектриков:
\[
I_{\perp}^{\prime}=I_{\perp} \frac{\sin ^{2}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)}{\sin ^{2}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)}, \quad I_{\|}^{\prime}=I_{\| 1} \frac{\operatorname{tg}^{2}\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)}{\operatorname{tg}^{2}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)}
\]

где $I_{\perp}$ и $I_{11}$ – интенсивности падающего света, у которого колебания светового вектора соответственно перпендикулярны и параллельны плоскости падения.
– Кристаллическая пластинка между двумя поляризаторами $\boldsymbol{P}$ и $\boldsymbol{P}^{\prime}$. Если угол между плоскостью пропускания поляризатора $P$ и оптической осью $O O^{\prime}$ пластинки равен $45^{\circ}$, то интенсивность $r$ света, прошедшего через поляризатор $\boldsymbol{P}^{\prime}$, оказывается максимальной или минимальной при следующих условиях:

Здесь $\delta=2 \pi\left(n_{0}-n_{e}\right) d / \lambda$ – разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами, $k=0,1,2 \ldots$
– Естественное и магнитное вращения плоскости поляризации:
\[
\varphi_{\text {cot }}=\alpha l, \quad \varphi_{\text {mar }}=V l H ;
\]

\[
\varphi_{\text {ocr }}=\alpha l, \quad \varphi_{\text {mars }}=V l H ;
\]

здесь $\alpha$ – постоянная вращения (для растворов $\alpha=[\alpha] c$, где $[\alpha]-$ удельная постоянная вращения, $c$ – концентрация активного вещества), $\boldsymbol{V}$ – постоянная Верде.
4.177. Плоская монохроматическая волна естественного света с интенсивностью $I_{0}$ падает нормально на систему из двух соприкасающихся поляроидных полуплоскостей. Плоскости пропускания поляроидов взаимно перпендикулярны. Изобразить примерный вид дифракционной картины на экране за этой системой. Какова интенсивность света в середине дифракционной картины?
4.178. Плоская монохроматическая волна естественного света с интенсивностью $I_{0}$ падает нормально на круглое отверстие, которое представляет собой первую зону Френеля для точки наблюдения $\boldsymbol{P}$. Найти интенсивность света в точке $\boldsymbol{P}$, если отверстие перекрыть двумя одинаковыми поляризаторами, плоскости пропускания которых взаимно перпендикулярны, а граница их раздела проходит:
a) по диаметру отверстия;
б) по окружности, ограничивающей первую половину зоны Френеля.
4.179. Линейно поляризованный световой пучок падает на поляризатор, вращающийся вокруг оси пучка с угловой скоростью $\omega=21$ рад/с. Найти световую энергию, проходящую через поляризатор за один оборот, если поток энергии в падающем пучке $\Phi_{0}=4,0 \mathrm{MBr}$.
4.180. При падении естественного света на некоторый поляризатор проходит $\eta_{1}=30 \%$ светового потока, а через два таких поляризатора $-\eta_{2}=13,5 \%$. Найти угол $\varphi$ между плоскостями пропускания этих поляризаторов.
4.181. Пучок естественного света падает на систему из $N=6$ поляризаторов, плоскость пропускания каждого из которых повернута на угол $\varphi=30^{\circ}$ относительно плоскости пропускания предыдущего поляризатора. Какая часть светового потока проходит через эту систему?
4.182. Естественный свет падает на систему из трех последовательно расположенных одинаковых поляроидов, причем плоскость пропускания среднего поляроида составляет угол $\varphi=60^{\circ}$ с плоскостями пропускания двух других поляроидов. Каждый поляроид обладает поглощением таким, что при падении на него линейно поляризованного света максимальный коэффициент пропускания составляет $\tau=0,81$. Во сколько раз уменьшится интенсивность света после прохождения этой системы?
4.183. Степень поляризации частично поляризованного света $\boldsymbol{P}=0,25$. Найти отношение интенсивности поляризованной составляющей этого света к интенсивности естественной составляющей.
4.184. Узкий пучок естественного света проходит через газ из оптически изотропных молекул. Найти степень поляризации света, рассеянного под углом ชे к пучку.
4.185. На пути частично поляризованного света поместили поляризатор. При повороте поляризатора на угол $\varphi=60^{\circ}$ из положения, соответствующего максимуму пропускания, интенсивность прошедшего света уменьшилась в $\eta=3,0$ раза. Найти степень поляризации падающего света.
4.186. На пути естественного пучка света поместили два несовершенных поляризатора. Оказалось, что при параллельных плоскостях пропускания поляризаторов эта система пропускает в $\eta=10,0$ раз больше света, чем при скрещенных плоскостях. Найти степень поляризации света, которую создает:
a) каждый поляризатор в отдельности;
б) вся система при параллельных плоскостях пропускания поляризаторов.
4.187. Показать с помощью формул (4.4г), что отраженный от поверхности диэлектрика свет будет полностью поляризован, если угол падения $\hat{\theta}_{1}$ удовлетворяет условию $\operatorname{tg} \hat{\theta}_{1}=n$, где $n-$ показатель преломления диэлектрика. Каков при этом угол между отраженным и преломленным лучами?
4.188. Частично поляризованный свет падает под углом Брюстера на поверхность изотропного диэлектрика. Найти его степень поляризации, если $\rho$-часть света отражается, а преломленный свет оказывается естественным.
4.189. Естественный свет падает под некоторым углом на поверхность изотропного диэлектрика. При этом $\rho$-часть светового потока отражается, имея степень поляризации $\boldsymbol{P}$. Найти степень поляризации $P^{\prime}$ преломленного света.
4.190. Естественный свет падает под углом Брюстера на поверхность стекла. Найти с помощью формул ( 4.4 г):
a) коэффициент отражения;
б) степень поляризации преломленного света.
4.191. Плоский пучок естественного света с интенсивностью $I_{0}$ падает под углом Брюстера на поверхность воды. При этом $\rho=0,039$ светового потока отражается. Найти интенсивность преломленного пучка.
4.192. На поверхность воды под углом Брюстера падает пучок плоскополяризованного света. Его плоскость поляризации составляет угол $\varphi=45^{\circ}$ с плоскостью надения. Найти коэффициент отражения.
4.193. Узкий пучок естественного света падает под углом Брютера на поверхность толстой плоскопараллельной прозрачной пластины. При этом от верхней новерхности отражается $\rho=0,080$ светового потока. Найти степень поляризации пучков $1-4$ (рис. 4.35).
4.194. Узкий пучок плоскополяризованного света интенсивности $I_{0}$ падает под углом Брюстера на плоскопаралРис. 4.35 лельную стеклянуую пластину (см. рис. 4.35) так, что его плоскость поляризации перпендикулярна плоскости падения. Найти с помощью формул ( 4.4 г) интенсивность прошедшего пучка $I_{4}$.
4.195. Узкий пучок естественного света падает под углом Брюстера на плоскопараллельную стеклянную пластину (см. рис. 4.35). Определить с помощью формул (4.4 г) степень поляризации прошедшего через пластину светового пучка 4.
4.196. Узкий пучок естественного света падает под углом Брюстера на стопу Столстова, состояцую из $N$ толстых стеклянных пластин. Найти:
a) степень поляризации $P$ прошсдшего пучка;
б) чему равно $P$ при $N=1,2,5$ и 10.
4.197. Оиределить с помощцю формул (4.4 г) коэффициент отражения естественного свста при норманьном падении на поверхность воды.
4.198. Найти относительную потерю светового потока за счет отражений при прохождении параксиального пучка чере? центрированную систему из $N=5$ стеклянных линз, если коэффициент отражения каждой поверхности $\rho=4,0 \%$. Вторичными отражениями пренебречь.
4.199. Свет интенсивности $I_{0}$ падает нормально на идеально прозрачную пластинку. Считая, что коэффициент отражения каждой поверхности ее $\rho=5,0 \%$, найти с учетом многократных отражений интенсивность $I$ прошедшего через пластинку света. Чему равна относительная погрешность $I$, найденная без учета вторичных отражений?
4.200. Световая волна падает нормально на поверхность стекла, покрытого тонким слоем прозрачного вещества. Пренебрегая вторичными отражениями, показать, что амплитуды световых волн, отраженных от обеих поверхностей такого слоя, будут одинаковы при условии $n^{\prime}=\sqrt{n}$, где $n^{\prime}$ и $n$ показатели преломления слоя и стекла.
4.201. На поверхность стекла падает пучок естественного света. Угол падения равен $45^{\circ}$. Найти с помощью формул (4.4 г) степень поляризации:
a) отраженного света; б) преломленного света.
4.202. Построить по Гюйгенсу волновые фронты и направления распространения обыкновенного и необыкновенного лучей в положительном одноосном кристалле, оптическая ось которого:
a) перпендикулярна плоскости падения и параллельна поверхности кристалла;
б) лежит в плоскости падения и параллельна поверхности кристалла;
в) лежит в плоскости падения под углом $45^{\circ}$ к поверхности кристалла, и свет падает перпендикулярно оптической оси.
4.203. Узкий пучок естественного света с длиной волны $\lambda=589$ нм падает нормально на поверхность призмы Волластона, сделанной из исландского шпата, как показано на рис. 4.36. Оптические оси обеих частей призмы взаимно перпендикулярны. Найти угол $\alpha$ между направлениями пучков за призмой, если угол $\theta=30^{\circ}$.
Рис. 4.36
4.204. Какой характер поляризации имеет плоская электро-

магнитная волна, проекции вектора Е которой на оси $\boldsymbol{x}$ и $y$, перпендикулярные направлению ее распространения, определяются следующими уравнениями:
a) $E_{x}=E \cos (\omega t-k z), \quad E_{y}=E \sin (\omega t-k z)$;
б) $E_{x}=E \cos (\omega t-k z), \quad E_{y}=E \cos (\omega t-k z+\pi / 4)$;
в) $E_{x}=E \cos (\omega t-k z), \quad E_{y}=E \cos (\omega t-k z+\pi)$ ?
4.205. На пути частично поляризованного света поместили поляризатор. При повороте поляризатора обнаружили, что наименьшая интенсивность света равна $I_{0}$. Если же перед поляризатором поместить пластинку в четверть волны, оптическая ось которой ориентирована под углом $45^{\circ}$ к плоскости пропускания поляризатора, то интенсивность света за поляризатором становится равной $\eta I_{0}$, где $\eta=2,0$. Найти степень поляризации падающего света.
4.206. Требуется изготовить параллельную оптической оси кварцевую пластинку, толщина которой не превышала бы 0,50 мм. Найти максимальную толщину этой пластинки, при которой линейно поляризованный свет с $\lambda=589$ нм после прохождения ее:
a) испытывает лишь поворот плоскости поляризации;
б) станет поляризованным по кругу.
4.207. Кварцевую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси, поместили между двумя скрещенными поляризаторами. Угол между плоскостями пропускания поляризаторов и оптической осью пластинки равен $45^{\circ}$. Толщина пластинки $d=0,50$ мм. При каких длинах волн в интервале 0,50 0,60 мкм интенсивность света, прошедшего через эту систему, не будет зависеть от поворота заднего поляризатора? Разность показателей преломления необыкновенного и обыкновенного лучей в этом интервале длин волн считать равной $\Delta n=0,0090$.
4.208. Белый естественный свет падает на систему из двух скрещенных поляризаторов, между которыми находится кварцевая пластинка толщины $1,50 \mathrm{mM}$, вырезанная параллельно оптической оси. Ось пластинки составляет угол $45^{\circ}$ с плоскостями пропускания поляризаторов. Прошедший через эту систему свет разложили в спектр. Сколько темных полос будет наблюдаться в интервале длин волн 0,55 – 0,66 мкм? Считать, что в этом интервале длин волн $n_{e}-n_{o}=0,0090$.
4.209. Кристаллическая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси, имеет толщину 0,25 мм и служит пластинкой в четверть волны для $\lambda=0,53$ мкм. Для каких еще длин волн в области видимого спектра она будет также пластинкой в четверть волны? Считать, что для всех длин волн видимого спектра $n_{e}-n_{o}=0,0090$.
4.210. Кварцевая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси, помещена между двумя скрещенными поляризаторами. Ее оптическая ось составляет угол $45^{\circ}$ с их плоскостями пропускания. При какой минимальной толщине пластинки свет с $\lambda_{1}=643 \mathrm{нм}$ будет проходить через эту систему с максимальной интенсивностью, а с $\lambda_{2}=564$ нм сильно ослаблен, если $n_{e}-n_{o}=0,0090$ ?
4.211. Между двумя скрещенными поляризаторами поместили кварцевый клин с преломляющим углом $\theta=3,5^{\circ}$. Оптическая ось клина параллельна его ребру и составляет угол $45^{\circ}$ с плоскостями пропускания поляризаторов. При прохождении через систему света с $\lambda=\mathbf{5 5 0}$ нм наблюдают интерференционные полосы. Ширина каждой полосы $\Delta x=1,0$ мм. Найти разность $\boldsymbol{n}_{\boldsymbol{e}}-\boldsymbol{n}_{\boldsymbol{o}}$ кварца для указанной длины волны.
4.212. Монохроматический свет интенсивности $I$, поляризованный в плоскости $P$, падает нормально на кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси. Угол между $\boldsymbol{P}$ и этой осью равен $45^{\circ}$. За пластинкой расположен поляризатор, плоскость пропускания которого $P^{\prime}$. Найти интенсивность света за поляризатором, если пластинка вносит разность фаз $\delta$ между обыкновенным и необыкновенным лучами. Рассмотреть случаи:
a) $P^{\prime} \| P ; \quad$ б) $P^{\prime} \perp P$.
4.213. Монохроматический поляризованный по кругу свет падает нормально на кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси. За пластинкой находится поляризатор, плоскость пропускания которого составляет угол $\varphi$ с оптической осью пластинки. Показать, что интенсивность света, прошедшего эту систему, $I \infty(1+\sin 2 \varphi \sin \delta), \delta$ – разность фаз между обыкновенным и необыкновснным лучами, вносимая пластинкой.
4.214. Как с помощью поляриода и пластинки в четверть волны, изготовленной из положительного одноосного кристалла ( $n_{e}>n_{o}$ ), отличить:
a) свет лево- от правополяризованного по круту;
б) естественный свет от поляризованного по кругу и от смеси естественного света с поляризованным по кругу?
4.215. Свет с длиной волны
Рис. 4.37
$\lambda$ падает на систему из скрещенных поляризатора $\Pi$ и анализатора $A$, между которыми находится компенсатор Бабине $\boldsymbol{K}$ (рис. 4.37). Он состоит из двух кварцевых клиньев, оптическая ось одного из которых параллельна ребру клина, другого перпендикулярна ему. Плоскости пропускания поляризатора и анализатора составляют угол $45^{\circ}$ с оптическими осями компенсатора. Известны также преломляющий угол $\theta$ клиньев $(\theta \ll 1)$ и разность показателей преломления кварца $n_{e}-n_{o}$. При введении исследуемого двупреломляющего образца $O$ (его оптическая ось ориентирована так, как показано на рисунке) наблюдаемые интерференционные полосы сдвинулись вверх на $\delta \boldsymbol{x}$ мм. Найти:
a) ширину интерференционной полосы $\Delta x$;
б) величину и знак оптической разности хода обыкновенного и необыкновенного лучей в образце $O$.
4.216. Плоская монохроматическая световая волна интенсивности $I_{0}$ падает нормально на прозрачный диск из оптически активного вещества, который перекрывает полторы зоны Френеля для точки наблюдения $P$ и поворачивает плоскость поляризации на $90^{\circ}$. Пренебрегая отражениями и поглощением, найти интенсивность света в точке $\boldsymbol{P}$.
4.217. Вычислить с помощью таблиц приложения разность показателей преломления кварца для право- и левополяризованного по кругу света с $\lambda=\mathbf{5 9 0}$ нм.
4.218. Плоскополяризованный свет с $\lambda=0,59$ мкм падает на трехгранную кварцевую призму $\Pi$ (рис. 4.38) с преломляющим углом $\theta=30^{\circ}$. В призме свет распространяется вдоль оптической оси, направление которой показано штриховкой. За поляризатором $\boldsymbol{P}$ наблюдают систему светлых и темных полос, ширина которых $\Delta x=14,2$ мм. Найти постоянную вращения кварца, а также характер распределения интенсивности света за поляризатором.
Рис. 4.38
4.219. Естественный свет с $\lambda=656$ нм падает на систему из двух скрещенных поляризаторов, между которыми находится кварцевая пластинка, вырезанная перпендикулярно оптической оси. При какой минимальной толщине пластинки система будет пропускать $\eta=0,30$ светового потока?
4.220. Свет проходит через систему из двух скрещенных поляризаторов, между которыми расположена кварцевая пластинка, вырезанная перпендикулярно оптической оси. При какой минимальной толщине пластинки свет с $\lambda_{1}=436$ нм будет полностью задерживаться системой, а с $\lambda_{2}=497$ нм пропускаться наполовину?
4.221. Плоскополяризованный свет с $\lambda=589$ нм проходит вдоль оси цилиндрического стеклянного сосуда, заполненного слегка замутненным раствором сахара с концентрацией 500 г/л. При наблюдении сбоку видна система винтообразных полос, причем расстояние между соседними темными полосами вдоль оси равно $50 \mathrm{cм}$. Объяснить возникновение полос и определить удельную постоянную вращения раствора.
4.222. Ячейку Керра поместили между двумя скрещенными поляризаторами так, что направление электрического поля $\mathbf{E}$ в конденсаторе образует угоп $45^{\circ}$ с плоскостями пропускания поляризаторов. Конденсатор имеет длину $l=100$ мм и заполнен нитробензолом. Через систему проходит свет с $\lambda=0,50$ мкм. Имея в виду, что в данном случае постоянная Керра $\boldsymbol{B}=$ $=2,2 \cdot 10^{-10} \mathrm{~cm} / \mathrm{B}^{2}$, определить:
a) минимальную напряженность электрического поля $E$ в конденсаторе, при которой интенсивность света, прошедшего через эту систему, не будет зависеть от поворота заднего поляризатора;
б) чиисло прерываний света в $1 \mathrm{c}$, если на конденсатор подать синусоидальное напряжение с частотой $v=10 \mathrm{M}$ ц и амплитудным значением напряженности $E_{m}=50 \mathrm{kB} / \mathrm{cм}$.

П р и м е ч а и е. Постоянной Керра называют коэффициент $B$ в формуле $n_{e}-n_{o}=B \lambda E^{2}$.
4.223. Монохроматический плоскополяризованный свет к круговой частотой $\omega$ проходит через вещество вдоль однородного магнитного поля с напряженностью $H$. Найти разность показателей преломления для право- и левополяризованных по кругу компонент светового пучка, если постоянная Верде равна $V$.
4.224. Некоторое вещество поместили в продольное магнитное поле соленоида, расположенного между двумя поляризаторами. Длина трубки с веществом $l=30 \mathrm{~cm}$. Найти постоянную Верде, если при напряженности поля $H=56,5 \mathrm{kA} / \mathrm{M}$ угол поворота плоскости поляризации $\varphi_{1}=+5^{\circ} 10^{\prime}$ для одного направления поля и $\varphi_{2}=3^{\circ} 20^{\prime}$ для противоположного направления поля.
Рис. 4.39
4.225. Узкий пучок плоскополяризованного света проходит через правовращающее положительное вещество, находящееся в продольном магнитном поле, как показано на рис. 4.39.
Найти угол, на который повернется плоскость поляризации вышедшего пучка, если длина трубки с веществом равна $l$, его постоянная вращения $\alpha$, постоянная Верде $V$ и напряженность магнитного поля $\boldsymbol{H}$.
4.226. Трубка с бензолом длины $l=26 \mathrm{~cm}$ находится в продольном магнитном поле соленоида, расположенного между двумя поляризаторами. Угол между плоскостями пропускания поляризаторов равен $45^{\circ}$. Найти минимальную напряженность магнитного поля, при которой свет с длиной волны 589 нм будет проходить через эту систему только в одном направлении (оптический вентиль). Как будет вести себя этот оптический вентиль, если изменить направление данного магнитного поля на противоположное?
4.227. Опыт показывает, что телу, облучаемому поляризованным по кругу светом, сообщается вращательный момент (эффект Садовского). Это связано с тем, что данный свет обладает моментом импульса, плотность потока которого в вакууме $\boldsymbol{M}=I / \omega$, где $\boldsymbol{I}$ – интенсивность света, $\boldsymbol{\omega}$ – его круговая частота колебаний. Пусть поляризованный по кругу свет с длиной волны $\lambda=\mathbf{0 , 7 0}$ мкм падает нормально на однородный черный диск массы $m=0,70$ мкм падает нормально на однородный черный диск массы $m=10$ мг, который может свободно вращаться вокруг своей оси. Через сколько времени его угловая скорость станет $\omega_{0}=1,0$ рад $/ \mathrm{c}$, если $I=10 \mathrm{Br} / \mathrm{cm}^{2}$ ?