– Энергетическая светимость:
\[
M_{3}=c u / 4 \text {, }
\]
где $u$ – объемная плотность энергии теплового излучения.
– Формула Вина и закон смещения Вина:
\[
u_{\omega}=\omega^{3} F(\omega / T), \quad T \lambda_{m}=b,
\]
где $\lambda_{m}$ – длина волны, соответствующая максимуму функции $u_{\lambda}$.
– Закон Стефана-Больцмана:
\[
M_{s}=\sigma T^{4}
\]
где $\sigma$ – постоянная Стефана-Больцмана.
– Формула Планка:
\[
u_{\omega}=\frac{\hbar \omega^{3}}{\pi^{2} c^{3}} \frac{1}{\mathrm{e}^{n \omega / k T}-1} .
\]
– Вероятности перехода атома в единицу времени между уровнем 1 и более высоким уровнем 2 для спонтанного и индуцированного излучения и поглощения:
\[
P_{21}^{\text {cI }}=A_{21}, \quad P_{21}^{\text {пII }}=B_{21} u_{\omega}, \quad P_{12}^{\text {пог\” }}=B_{12} u_{\omega},
\]
где $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ – коэффициенты Эйнштейна, $\boldsymbol{u}_{\omega}$ – спектральная плотность излучения, отвечающая частоте $\omega$ перехода между данными уровнями.
– Связь между коэффициентами Эйнштейна:
\[
g_{1} B_{12}=g_{2} B_{21}, \quad B_{21}=\left(\pi^{2} c^{3} / h \omega^{3}\right) A_{21} .
\]
6.228. Показать с помоцью формулы Вина, что:
a) наиболее вероятная частота излучения $\omega_{\text {вер }} \sim T$;
б) максимальная спектральная плотность теплового излучения $\left(u_{\omega}\right)_{\operatorname{maxc}} \sim T^{3}$;
в) энергетическая светимость $M_{9} \sim T^{4}$.
6.229. Имеются три параллельные друг другу абсолютно черные плоскости. Найти установившуюся температуру $T_{x}$ :
a) внешних плоскостей, если внутреннюю плоскость поддерживают при температуре $T$;
б) внутренней плоскости, если внешние плоскости поддерживают при температурах $T$ и $2 T$.
6.230. Имеется два абсолютно черных источника теплового излучения. Температура одного из них $T_{1}=2500 \mathrm{~K}$. Найти температуру другого источника, если длина волны, отвечающая максимуму его испускательной способности, на $\Delta \lambda=0,50$ мкм больше длины волны, соответствующей максимуму испускательной способности первого источника.
6.231. Энергетическая светимость абсолютно черного тела $M_{9}=3,0 \mathrm{~B} / \mathrm{cm}^{2}$. Определить длину волны, отвечающую максимуму испускательной способности этого тела.
6.232. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению абсолютно черного тела, для которого максимум испускательной способности приходится на длину волны 0,48 мкм. Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счет этого излучения. Оценить время, за которое масса Солнца уменьшится на $1 \%$.
6.233. Найти температуру полностью ионизованной водородной плазмы плотностью $\rho=0,10 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$, при которой давление теплового излучения равно газокинетическому давлению частиц плазмы. Иметь в виду, что давление теплового излучения $p=u / 3$, где $u$ – объемная плотность энергии излучения, и что при высоких температурах вещества подчиняются уравнению состояния идеальных газов.
6.234. Медный шарик диаметра $d=1,2$ см поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика $T_{0}=300 \mathrm{~K}$. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, через сколько времени его температура уменышится в $\eta=2,0$ раза.
6.235. Температура поверхности Солнца $T_{0}=5500 \mathrm{~K}$. Считая, что поглощательная способность Солнца и Земли равна единице и что Земля находится в состоянии теплового равновесия, оценить ее температуру.
6.236. Имеется две полости (рис. 6.5) с малыми отверстиями одинаковых диаметров $d=1,0$ см и абсолютно отражающими наружными поверхностями. Рис. 6.5 Расстояние между отверстиями $l=10 \mathrm{~cm}$. В полости 1 поддерживается постоянная температура $T_{1}=1700 \mathrm{~K}$. Вычислить установившуюся температуру в полости 2.
Ук а з а н и е. Иметь в виду, что абсолютно черное тело является косинусным излучателем.
6.237. Полость объемом $V=1,0$ л заполнена тепловым излучением при температуре $T=1000 \mathrm{~K}$. Найти:
a) теплоемкость $C_{v}$; б) энтропию $s$ этого излучения.
6.238. Найти уравнение адиабатического процесса (в переменных $V, T$ ), проводимого с тепловым излучением, имея в виду, что между давлением и плотностью энергии теплового излучения существует связь $p=u / 3$.
6.239. Считая, что спектральное распределение энергии теплового излучения подчиняется формуле Вина $u(\omega, T)=$ $=A \omega^{3} \mathrm{e}^{-\alpha \omega / T}$, где $a=7,64 \mathrm{mc} \cdot \mathrm{K}$, найти для температуры $T=2000 \mathrm{~K}$ наиболее вероятную:
a) частоту излучения; б) длину волны излучения.
6.240. Получить с помощью формулы Планка приближенные выражения для объемной спектральной плотности излучения $u_{\omega}$ в области, где:
a) $\boldsymbol{\hbar} \omega \ll k T$ (формула Рэлея-Джинса);
б) $h \omega \gg k T$ (формула Вина).
6.241. Преобразовать формулу Планка (6.6г) от переменной $\omega$ к переменным $v$ (линейная частота) и $\lambda$ (длина волны). 6.242. Найти с помощью формулы Планка мощность излучения единицы поверхности абсолютно черного тела, приходящегося на узкий интервал длин волн $\Delta \lambda=1,0$ нм вблизи максимума спектральной плотности излучения, при температуре тела $T=3000 \mathrm{~K}$.
6.243. Система квантовых осцилляторов с частотой $\omega$ находится при температуре $T$. С какой вероятностью можно обнаружить в этой системе осциллятор с энергией $\varepsilon_{n}=$ $=(n+1 / 2) \boldsymbol{h} \omega$ ?
6.244. Найти с помощью формулы Планка выражения, определяющие число фотонов в 1 см $^{3}$ полости при температуре $T$ в спектральных интервалах $(\omega, \omega+d \omega)$ и $(\lambda, \lambda+d \lambda)$.
6.245. Атомарный водород находится в термодинамическом равновесии со своим излучением. Найти:
a) отношение вероятностей индуцированного и спонтанного излучений атомов с уровня $2 P$ при $T=3000 \mathrm{~K}$;
б) температуру, при которой эти вероятности одинаковы.
6.246. Через газ с температурой $T$ проходит пучок света с частотой $\omega$, равной резонансной частоте перехода атомов газа, причем $\boldsymbol{h} \omega \gg k T$. Показать, учитывая индуцированное излучение, что коэффициент поглощения газа $x=x_{0}\left(1-\mathrm{e}^{-\Delta \omega / t T}\right)$, где $\boldsymbol{x}_{0}$ – коэффициент поглощения при $\boldsymbol{T} \rightarrow \mathbf{0}$.
