– Уравнение движения центра масс системы:
\[
m d \mathbf{v}_{c} / d t=\mathbf{F}_{\text {внешн }},
\]
где $\mathbf{F}_{\text {ввот }}$ – результирующая всех внешних сил.
– Приращение импульса системы:
\[
\mathbf{p}_{2}-\mathbf{p}_{1}=\int_{1}^{2} \mathbf{F}_{\text {внов }} d t .
\]
– Уравнение динамики тела переменной массы:
\[
m \frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{F}+\frac{d m}{d t} \mathbf{u}
\]
где u – скорость отделяемого (присоединяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.
– Работа и мощность силы:
\[
A=\int \mathbf{F} d \mathbf{r}=\int F_{s} d s, \quad P=\mathbf{F} \mathbf{v},
\]
где $d \mathbf{r}$ – элементарное перемещение точки приложения силы $\mathbf{F}$.
– Приращение кинетической энергии частицы:
\[
K_{2}-K_{1}=A \text {, }
\]
где $A$ – работа всех сил, действующих на частицу.
– Убыль потенциальной энергии частицы в поле:
\[
U_{1}-U_{2}=A_{\text {поля }},
\]
где $A_{\text {полх }}$ – работа силы поля.
– Связь между силой и потенциальной энергией частицы в поле:
\[
F_{l}=-\partial U / \partial l, \quad \mathbf{F}=-
abla U .
\]
– Приращение полной механической энергии частицы в поле:
\[
E_{2}-E_{1}=A_{\text {crop }},
\]
где $A_{\text {crop }}$ – работа результирующей всех сторонних сил, т.е. сил, не принадлежащих к силам данного поля.
– Приращение собственной механической энергии системы:
\[
E_{\text {с06 } 2}-E_{\text {со6 } 1}=A_{\text {ввот }}+A_{\text {внутр }}^{\text {двс }},
\]
где $\boldsymbol{E}_{\text {соб }}=\boldsymbol{K}+U_{\text {соб }}, \quad U_{\text {соб }}$ – собственная потенциальная энергия системы; $\boldsymbol{A}_{\text {внет }}$ – работа всех внешних сил; $\boldsymbol{A}_{\text {внутр }}^{\text {дис }}$ – работа всех внутренних диссипативных сил (сил трения и сопротивления).
– Приращение полной механической энергии системы в поле:
\[
E_{2}-E_{1}=A_{\mathrm{srom}}^{\mathrm{crop}}+A_{\mathrm{sRy} p}^{\text {mac }},
\]
где $E=E_{\text {соб }}+U_{\text {мнет }}, U_{\text {влеті }}$ – потенциальная энергия системы во внешнем поле; $\boldsymbol{A}_{\text {внеш }}^{\text {trop }}$ – работа внешних сил, т.е. сил, не принадлежащих к силам данного поля.
– Кинетическая ‘энергия системы:
\[
\boldsymbol{K}=\tilde{\boldsymbol{K}}+m v_{c}^{2} / 2,
\]
где $\tilde{\boldsymbol{K}}$ – ее кинетическая энергия в системе центра масс.
– Приращение момента импульса системы:
\[
\mathbf{M}_{2}-\mathbf{M}_{1}=\int_{1}^{2} \mathbf{N}_{\text {sнew }} d t .
\]
– Момент импульса системы:
\[
\mathbf{M}=\tilde{\mathbf{M}}+\left[\mathbf{r}_{c} \mathbf{p}\right],
\]
где $\tilde{\mathbf{M}}$ – ее момент импульса в системе центра масс (собственный момент импульса), $\mathbf{r}_{c}$ – радиус-вектор центра масс, $\mathbf{p}$ – импульс системы.
1.117. Через блок, укрепленный на потолке комнаты, перекинута нить, на концах которой подвешены тела масс $m_{1}$ и $\boldsymbol{m}_{2}$. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения нет. Найти ускорение центра масс этой системы.
1.118. Замкнутая цепочка $A$ массы $m=0,36 \mathbf{~ к r}$ соединена нитью с концом вертикальной оси центробежной машины (рис. 1.20) и вращается с угловой скоростью $\omega=$ $=35$ рад/c. При этом нить составляет угол $\boldsymbol{v}=45^{\circ}$ с вертикалью. Найти расстояние от центра масс цепочки до оси вращения, а также силу натяжения нити.
1.119. Круглый конус $A$ массы
Рис. 1.20
$m=3,2$ кг и с углом полураствора $\alpha=10^{\circ}$ катится равномерно без скольжения по круглой конической поверхности $B$ так, что его вершина $O$ остается неподвижной (рис. 1.21). Центр масс конуса $A$ находится на одном уровне с точкой $O$ и отстоит от нее на $l=17 \mathrm{~cm}$. Ось конуса движется с угловой скоростью $\omega=1,0 \mathrm{paд/с}$. Найти
Рис. 1.21 силу трения покоя, действующую на конус $\boldsymbol{A}$.
1.120. Мотоциклист едет по вертикальной цилиндрической стенке радиуса $R=5,0$ м. Центр масс человека с мотоциклом расположен на $l=0,8 \mathrm{~m}$ от стснки. Коэффициент трения между колесами и стенкой $k=0,34$. С какой минимальной скоростыо может ехать мотоциклист по горизонтальной окружности?
1.121. Система состоит из двух шариков масс $m_{1}$ и $m_{2}$, которые соединены между собой пружинкой. В момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$ шарикам сообцили скорости $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$, после чего система начала двигаться в однородном поле тяжести Земли. Найти зависимости от времени импульса этой системы в процессе движения и радиуса-вектора ее центра масс относительно его начального положения.
1.122. Две небольшие шайбы масс $m_{1}$ и $m_{2}$ связаны нитью длины $l$ и движутся по гладкой плоскости. В некоторый момент скорость одной шайбы равна нулю, а другой $v$, причем ее направление перпендикулярно нити. Найти силу натяжения нити.
1.123. Плот массы $M$ с чсловеком массы $m$ покоится на поверхности пруда. Относительно плота человек совершает перемещение 1’ со скоростью $\mathbf{v}^{\prime}(t)$ и останавливается. Пренебрегая сонротивлением воды, найти:
a) перемещение 1 плота относительно берега;
б) горизонтальную составляющую силы, с которой человек действовал на плот в процессе движения.
1.124. Через блок перекинута веревка, на одном конце которой висит лестница с человеком, а на другом – уравновешивающий груз массы $M$. Человек массы $m$ совершил перемещение $\mathbf{l}^{\prime}$ относительно лестницы ввсрх и остановился. Пренебрегая массами блока и веревки, а также трением в оси блока, найти перемещение 1 центра масс этой системы.
1.125. Частица $I$ столкнулась с частицей 2 , в результате чего возникла составная частица. Найти ее скорость $v$ и модуль $
u$, если масса частицы 2 в $\eta=2,0$ раза больше, чем частицы 1 , а их скорости перед столкновением $\mathbf{v}_{1}=2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}$ и $\mathbf{v}_{\mathbf{2}}=\mathbf{4 i}-\mathbf{5} \mathbf{j}$, где компоненты скорости в СИ.
1.126. Ствол пушки направлен под углом $\boldsymbol{v}=4^{\circ}$ к горизонту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда, масса которого в $\eta=50$ раз меньше массы пушки, $
u_{0}=180 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Найти скорость пушки сразу после выстрела, если колеса ее освободить.
1.127. Пушка массы $M$ начинает свободно скользить вниз по гладкой плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Когда пушка прошла путь $l$, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом р в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда, найти продолжительность выстрела.
1.128. Две небольшие муфточки масс $m_{1}=0,10 \mathrm{kr}$ и $m_{2}=$ $=0,20$ кг движутся навстречу друг другу по гладкому горизонтальному проводу, изогнутому в виде окружности, с постоянными нормальными ускорениями $a_{1}=3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$ и $a_{2}=9,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$. Найти нормальное ускорение составной муфты, образовавшейся после столкновения.
1.129. В момент, когда скорость падающего тела составила $
u_{0}=4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, оно разорвалось на три одинаковых осколка. Два осколка разлетелись в горизонтальной плоскости под прямым углом друг к другу со скоростью $v=5,0$ м/с каждый. Найти скорость третьего осколка сразу после разрыва.
1.130. Снаряд, выпущенный со скоростью $v_{0}=100 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ под углом $\alpha=45^{\circ}$ к горизонту, разорвался в верхней точке $O$ траектории на два одинаковых осколка. Один осколок упал на землю под точкой $O$ со скоростью $
u_{1}=97 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. С какой скоростью упал на землю второй осколок?
1.131. Шайба 1 , скользившая по шероховатой горизонтальной поверхности, испытала соударение с покоившейся шайбой 2. После столкновения шайба 1 отскочила под прямым углом к направлению своего первоначального движения и прошла до остановки путь $s_{1}=1,5 \mathrm{~m}$, а шайба 2 – путь $s_{2}=4,0$ м. Найти скорость шайбы 1 перед столкновением, если ее масса в $\eta=1,5$ раза меньше массы шайбы 2 и коэффициент трения $k=0,17$.
1.132. Цепочка массы $m=1,00 \mathrm{kr}$ и длины $l=1,40$ м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.
1.L33. Две одинаковые тележки 1 и 2 , на каждой из которых находится по одному человеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу по параллельным рельсам. Когда тележки поравнялись, с каждой из них на другую перепрыгнул человек – перпендикулярно движению тележек. В результате тележка 1 остановилась, а скорость тележки 2 стала v. Найти первоначальные скорости тележек $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$, если масса каждой тележки (без человека) $M$, а масса каждого человека $\boldsymbol{m}$.
1.134. Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью $\mathbf{v}_{0}$. Ha задней тележке находится человек массы $m$. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью и стносительно своей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки равна $M$, найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после этого.
1.135. На храю покоящейся тележки массы $M$ стоят два человека, масса каждого из которых равна $m$. Прснебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью и относительно тележки:
a) одновременно; б) друг за другом.
В каком случае скорость тележки будет больше?
1.136. Ракета выпускает непрерывную струю газа, имеющую скорость і относительно ракеты. Расход газа равен $\mu$ кг/с. Показать, что уравнение движения ракеты имеет вид $m \mathbf{a}=$ $=\mathbf{F}-\boldsymbol{\mu} \mathbf{u}$, где $\boldsymbol{m}$ – масса ракеты в данный момент, a – ее ускорение, $\mathbf{F}$ – внешняя сила.
1.137. Ракета движется в отсутствие внешних сил, выпуская непрерывную струю газа со скоростью и, постоянной относительно ракеты. Найти скорость ракеты $\mathbf{v}$ в момент, когда ее масса равна $m$, если в начальный момент она имела массу $m_{0}$ и ее скорость была равна нулю.
1.138. Найти закон изменения массы ракеты со временем, если она движется в отсутствие внешних сил с постоянным ускорением $a$, скорость истечения газа относительно ракеты постоянна и равна $u$, а ее масса в начальный момент равна $m_{0}$.
1.139. Ракета начала подниматься вертикально вверх в однородном поле сил тяжести. Начальная масса ракеты (с топливом) равна $m_{0}$. Скорость газовой струи относительно ракеты равна $u$. Найти скорость ракеты в зависимости от ее массы $m$ и времени подъема $t$.
1.140. Ракета поддерживается в воздухе на постоянной высоте, выбрасывая вертикально вниз струю газа со скоростью $u=900 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Найти:
a) время, которое ракета может оставаться в состоянии покоя, если начальная масса топлива составляет $\eta=25 \%$ ее массы (без топлива);
б) массу газов $\mu(t)$, которую должна ежесекундно выбрасывать ракета, чтобы оставаться на постоянной высоте, если начальная масса ракеты (с топливом) равна $m_{0}$.
1.141. Космический корабль массы $m_{0}$ движется в отсутствие внешних сил со скоростью $\mathbf{v}_{0}$. Для изменения направления движения включили реактивный двигатель, который стал выбрасывать струю газа с постоянной относительно корабля скоростью $u$, все время перпендикулярной направлению движения корабля. В конце работы двигателя масса корабля стала равной $m$. На какой угол $\alpha$ изменилось направление движения корабля за время работы двигателя?
1.142. Тележка с песком движется по горизонтальной плоскости под действием постоянной силы $\mathbf{F}$, сонаправленной с ее скоростью. При этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью $\mu$ кгіс. Найти ускорение и скорость тележки в момент $\boldsymbol{t}$, если в момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$ тележка с песком имела массу $m_{0}$ и ее скорость была равна нулю.
1.143. Платформа массы $m_{0}$ начинает двигаться вправо под действием постоянной силы $\mathbf{F}$ (рис. 1.22). Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна $\mu \mathrm{кr} / \mathrm{c}$. Найти зависимости от времени скорости и ускорения платформы при погрузке.
Рис. 1.22
Рис. 1.23
1.144. Цепочка $A B$ длины $l$ находится в гладкой горизонтальной трубке так, что часть ее длины $h$ свободно свешивается, касаясь своим концом $B$ поверхности стола (рис. 1.23). В некоторый момент конец $A$ цепочки отпустили. С какой скоростью он выскочит из трубки?
1.145. Однородный цилиндр находится на двух горизонтальных рельсах (рис. 1.24). На него намотана нить, к концу которой приложили постоянную силу $\mathbf{F}$. Найти работу силы $\mathbf{F}$ за время, в течение которого ось цилиндра переместилась без скольжения на расстояние $l$, если сила:
a) горизонтальна (случай $a$ );
б) вертикальна (случай б).
1.146. Частица совершила перемещение
Рис. 1.24
по некоторой траектории в плоскости $x y$
из точки 1 с радиусом-вектором $\mathbf{r}_{1}=\mathbf{i}+2 \mathbf{j}$ в точку 2 с радиусомвектором $\mathbf{r}_{2}=2 \mathbf{i}-3 \mathbf{j}$. При этом на нее действовали некоторые силы, одна из которых $\mathbf{F}=3 \mathbf{i}+4 \mathbf{j}$. Найти работу, которую совершила сила F. Здесь $r_{1}, r_{2}$ и $F$ – в СИ.
1.147. Необольшая муфточка массы $m=0,15 \mathrm{kr}$ движется по гладкому проводу, изогнутому в горизонтальной плоскости в виде дуги окружности радиуса $R=50 \mathrm{~cm}$ (рис. 1.25, вил сверху). В точке $l$, где скорость муфточки $v_{0}=7,5 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, на нее начала действовать постоянная горизонтальная сила F. Найти скорость муфточки в точке 2 , если $F=30 \mathrm{H}$.
Рис. 1.25
1.148. Локомотив массы $m$ начинает двигаться со станции так, что его скорость меняется по закону $v=\alpha \sqrt{s}$, где $\alpha$ – постоянная, $s$ – пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за псрвые $t$ секунд после начала движения.
1.149. Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса $R$, зависит от пройденного пути $s$ по закону $\boldsymbol{K}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{s}^{2}$, где $\boldsymbol{\alpha}$ – постоянная. Найти модуль силы, действуюций на частицу, в зависимости от $s$.
1.150. Частицы массы $m$ попадают в область, где на них действует встречная тормозящая сила. Глубина $x$ проникновения частиц в эту область зависит от импульса $p$ частиц как $x=\alpha p$, где $\alpha$ – заданная постоянная. Найти зависимость модуля тормозящей силы от $\boldsymbol{x}$.
1.151. Небольшое тело массы $m$ медленно втащили на горку, действуя силой $\mathbf{F}$, которая в каждой точке направлена по касательной к траектории (рис. 1.26). Найти работу этой силы, если высота горки $h$, длина ее основания $l$ и коэффициент трения $k$.
1.152. Брусок массы $m=2,0$ кг мед-
Рис. 1.26 ленно подняли по шероховатой наклонной плоскости на высоту $h=51 \mathrm{cм}$ при помощи нити, параллельной этой плоскости. При этом совершили работу $A=16,0$ Дж. На высоте $h$ нить отпустили. Найти скорость бруска, достигшего первоначального положения.
1.153. Шайба массы $m=50$ г соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha=30^{\circ}$ с горизонтом, и, пройдя по горизонтальной плоскости расстояние $l=50 \mathrm{~cm}$, останавливается. Найти работу сил трения на всем пути, считая всюду коэффициент трения $k=0,15$.
1.154. К небольшому бруску массы $m=50 \mathrm{r}$, лежащему на горизонтальной плоскости, приложили постоянную горизонтальную силу $F=0,10 \mathrm{H}$. Найти работу сил трения за время движения бруска, если коэффициент трения зависит от пройденного пути $x$ как $k=\gamma x$, где $\gamma$ – постоянная.
1.155. Два бруска масс $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенные недеформированной пружинкой, лежат на горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между брусками и плоскостью равен $k$. Какую минимальную постоянную силу нужно приложить в горизонтальном направлении к бруску массы $m_{1}$, чтобы другой брусок сдвинулся с места?
1.156. Прямая цепочка массы $m=50$ г и длины $l=52 \mathrm{cм}$ лежит на гладкой горизонтальной полуплоскости у ее границы с другой горизонтальной полуплоскостью, где коэффициент трения $k=\mathbf{0 , 2 2}$. Цепочка расположена перпендикулярно границе раздела полуплоскостей. Какую работу необходимо совершить, чтобы, действуя горизонтальной силой на конец цепочки, находящийся у границы раздела, медленно перетащить всю цепочку через эту границу?
1.157. Цепочка массы $m=0,80$ кг и длины $l=1,5$ м лежит на шероховатом столе так, что один ее конец свешивается у его края. Цепочка начинает сама соскальзывать, когда ее свешивающаяся часть составляет $\eta=1 / 3$ длины цепочки. Какую работу совершат силы трения, действуюцие на цепочку, при ее полном соскальзывании со стола?
1.158. Тело массы $m$ бросили под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_{0}$. Найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за все время движения тела, и мгновенную мощность этой силы как функцию времени.
1.159. Частица массы $m$ движется по окружности радиуса $R$ с нормальным ускорением, которое меняется со временем по закону $a_{n}=\alpha t^{2}$, где $\alpha$ – постоянная. Найти зависимость от времени мощности всех сил, действующих на частицу, а также среднее значение этой мощности за первые $t$ секунд после начала движения.
1.160. Брусок массы $m=1,00$ кг находится на горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $k=0,27$. В некоторый момент ему сообщили начальную скорость $v_{0}=1,50 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Найти среднюю мощность силы трения за все время движения бруска.
1.161. Небольшому телу массы $m$, находящемуся на горизонтальной плоскости, сообщили скорость $v_{0}$. Коэффициент трения зависит от пройденного пути $s$ по закону $k=\alpha s$, где $\alpha$ – постоянная. Найти максимальную мгновенную мощность силы трения.
1.162. Какую мощность развивают двигатели ракеты массы $M$, которая неподвижно висит над поверхностью Земли, если скорость истечения газов равна $u$ ?
1.163. В системе отсчета, вращающийся вокруг неподвижной оси с $\omega=5,0 \mathrm{paд} / \mathrm{c}$, движется небольшое тело массы $m=100$ г. Какую работу совершила центробежная сила инерции при перемещении этого тела по произвольному пути из точки 1 в точку 2 , которые расположены на расстояниях $r_{1}=30 \mathrm{~cm}$, и $r_{2}=50$ см от оси врацения?
1.164. Горизонтально расположенный диск вращается с $\omega=5,0 \mathrm{pan} / \mathrm{c}$ вокруг своей оси. Из центра диска с начальной скоростью $
u_{0}=2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ движется небольшая шайба массы $m=160 \mathrm{r}$. На расстоянии $r=50 \mathrm{cм}$ от оси ее скорость оказалась равной $v=3,00 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ относительно диска. Найти работу, которую совершила при этом сила трения, действующая на шайбу, в системе отсчета \”диск\”.
1.165. Система состоит из двух последовательно соединенных пружинок с жесткостями $x_{1}$ и $x_{2}$. Найти работу, которую необходимо совершить, чтобы растянуть эту систему на $\Delta l$.
1.166. Тело массы $m$ начинают поднимать с поверхности Земли, приложив к нему силу $\mathbf{F}$, которую изменяют с высотой подъема $\boldsymbol{y}$ по закону $\mathbf{F}=2(a \boldsymbol{y}-1) \mathrm{mg}$, где $\boldsymbol{a}$ – положительная постоянная. Найти работу этой силы и приращение потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли на первой половине пути подъема.
1.167. Частица движется вдоль оси $x$ под действием силы поля $F_{x}=\alpha x-\beta x^{2}$, где $\alpha=8,0 \mathrm{H} / \mathrm{M}, \beta=6,0 \mathrm{H} / \mathrm{m}^{2}$. Найти координату $x_{0}$ точки, в которой потенциальная энергия частицы такая же, как в точке $\boldsymbol{x}=0$.
1.168. Тонкая цепочка массы $m=25$ и длины $l=100$ см лежит на столе в виде небольшюй кучки. К одному из концов цепочки приложили направленную вертикально вверх силу $F=\alpha y$, где $\alpha=0,47 \mathrm{H} / \mathrm{M}, y-$ высота подъема от поверхности стола. Найти скорость цепочки в момент отрыва ее нижнего конца от стола.
1.169. Потенциальная эпергия частицы в некотором поле имеет вид $U=a / r^{2}-b / r$, где $a$ и $b-$ положительные постоянные, $r$ – расстояние от центра поля. Найти:
a) значение $r_{0}$, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение;
б) максимальное значение силы притяжения; изобразить примерные графики зависимостей $U(r)$ и $F_{r}(r)$.
1.170. Частица массы $m=4,0$ г движется в двумерном поле, це ее потенциальная энергия $U=\alpha x y$ и $\alpha=0,19 \mathrm{mДж/ \textrm {m } ^ { 2 }}$. В точке $1\{3,0 \mathrm{~m}, 4,0 \mathrm{~m}\}$ частица имела скорость $v_{1}=3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, а в точке $2\{5,0 \mathrm{~m},-6,0 \mathrm{~m}\}$ скорость $
u_{2}=4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Найти работу сторонних сил на пути между точками 1 и 2.
1.171. Частица массы $m=5,0$ мг движется по окружности радиуса $r_{0}=5,5 \mathrm{~cm}$ в центральном поле, где ее потенциальная энергия зависит от расстояния до центра поля как $U=x r^{3}$, где $x>0$. Найти значение $x$, если период обращения частицы по окружности составляет $\tau=10$ мс.
1.172. Частица находится в двумерном силовом поле, где ее потенциальная энергия $U=-\alpha x y, \alpha=6,0$ Дж/ $\mathrm{m}^{2}$. Найти модуль, силы, действующий на частицу в точке, где $U=-0,24$ Дж и вектор силы составляет угол $\hat{v}=15^{\circ}$ с ортом оси $\boldsymbol{y}$.
1.173. Неболыная шайба $A$ соскальзывает без началыной скорости с вершины гэадкой горки высотой $\boldsymbol{H}$, имеюцей горизонтальный трамплин (рис. 1.27). При какой высоте $h$ трамплина пайба пролетит наибольшее расстояние $s$ ? Чему оно равно?
1.174. Небольшое тело $A$ начинает скользить с высоты $h$ по наклонному желобу, переходящему в полуокружность
Рис. 1.27
Рис. 1.28
радиуса $h / 2$ (рис. 1.28). Пренебрегая трением, найти скорость тела в наивысшей точке ег траектории (после отрыва от желоба).
1.175. Небольшой шарик на нити движется по окружности в вертикальной плоскости. Найти массу шарика, если максимальное натяжение нити на $\Delta F=2,35 \mathrm{H}$ больше минималыного.
1.176. На нити длины $l$ подвешен шарик массы $m$. С какой наименьшей скоростью надо перемещать точку подвеса в горизонтальном направлении, чтобы шарик стал двигаться по окружности вокрут этой точки? Какова при этом сила натяжения нити в момент, когда она будет проходить горизонтальное положение?
1.177. Небольной шарик массы $m=50 \mathrm{r}$ прикреплен к концу упругой нити, жесткость которой $x=63 \mathrm{H} / \mathrm{M}$. Нить с шариком отвели в горизонтальное положение, не деформируя нити, и осторожно отпустили. Когда нить проходила вертикальное положение, ее длина оказалась $l=1,5 \mathrm{~m}$ и скорость шарика $
u=3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Найти силу натяжения нити в этом положении.
1.178. Гладкий легкий горизонтальный стержень $A B$ может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец $\boldsymbol{A}$. На стержне находится небольшая муфточка массы $m$, соединенная пружинкой длины $l_{0}$ с концом $A$. Жесткость пружинки равна $x$. Какую работу надо совершить, чтобы эту систему медленно раскругить до угловой скорости $\omega$ ?
1.179. На пружинке жесткости $x$ висит вертикальный стержень, состоящий из двух неравных частей. Нижняя часть массы $\boldsymbol{m}$ оторвалась. На какую высоту поднимется оставшаяся часть стержня?
1.180. Гладкая упругая нить длины $l$ и жесткости $x$ подвешена одним концом к точке $O$. На нижнем конце иместся невесомый упор. Из точки $O$ начала падать небольшая муфта масеы $\boldsymbol{m}$. Найти:
$\boldsymbol{\lambda}$
a) максимальное растяжение нити:
б) убыль механической энергии системы к моменту установления равновесия (из-за сопротивления воздуха).
1.181. На подставке лежит гиря массы $m=1,00$ кг, подвешенная на недеформированной пружине жесткости $x=80 \mathrm{H} / \mathrm{m}$. Подставку начали опускать с ускорением $a=5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$. Пренебрегая массой пружины, найти максимальное растяжение пружины в этом процессе.
1.182. Неболышая шайба массы $m=5,0$ г начинает скользить, если ее положить на шероховатую поверхность полусферы на высоте $h_{1}=60 \mathrm{~cm}$ от горизонтально основания полусферы. Продолжая скользить, шайба отрывается от полусферы на высоте $h_{2}=25$ см. Найти работу сил трения, действуюцих на шайбу при ее соскальзывании.
1.183. В системе (рис. 1.29) масса
Рис. 1.29
Рис. 1.30 каждого бруска $m=0,50 \mathrm{kr}$, жесткость пружины $x=40 \mathrm{H} / \mathrm{m}$, коэффициент трения между бруском и плоскостью $k=0,20$. Массы блока и пружины пренебрежимо малы. Система пришла в движение с нулевой начальной скоростью при недеформированной пружине. Найти максимальную скорость брусков.
1.184. На столе лежит брусок массы $m$, соединенный с неподвижной точкой $O$ (рис. 1.30) недеформированной упругой нитью длины $l_{0}$. Коэффициент трения между бруском и столом $k$. Стол медленно переместили по полу до положения, при котором брусок начал скользить. Это произошло в момент, когда нить отклонилась от вертикали на угол ө. Найти работу, которую совершила к этому моменту сила трения покоя, действующая на брусок, в системе отсчета, связанной с полом.
1.185. Частица массы $m$ движется со скоростью $v_{1}$ под углом $\alpha_{1}$ к нормали плоскости, разделяющей области, в которых потенциальная энергия частицы равна $U_{1}$ и $U_{2}$. Под каким углом $\alpha_{2}$ к нормали она будет двигаться после пересечения этой плоскости? При каком условии частица не проникнет во вторую область?
1.186. Нить переброшена через гладкие горизонтальные стержни 1 и 2, на ее концах и в середине подвешены одинаковой массы грузы $A, B, C$ (рис. 1.31.). Расстояние между стержнями равно $l$. В некоторый момент груз $C$ осторожно отпустили, и система пришла в движение. Найти скорость груза $C$ в момент, когда кинетическая энергия системы максимальна, а также максимальное перемещение груза $C$ Рис. 1.31 при движении вниз.
1.187. В $K$-системе отсчета вдоль оси $x$ движутся две частицы: одна массы $m_{1}$ со скоростыо $v_{1}$, другая массы $m_{2}$ со скоростью $v_{2}$. Найти:
a) скорость $K$ ‘-системы отсчета, в которой суммарная кинетическая энергия этих частиц минимальна;
б) суммарную кинетическую энергию этих частиц в $K^{\prime}$ системе.
1.188. Получить формулу (1.3л).
1.189. На гладкой горизонтальной поверхности находятся две небольшие шайбы масс $m_{1}$ и $m_{2}$, соединеннье между собой пружинкой. Шайбам сообщили начальные скорости $v_{1}$ и $v_{2}$, направления которых взаимно перпендикулярны и лежат в горизонтальной плоскости. Найти механическую энергию этой системы в системе ее центра масс.
1.190. Система состоит из двух шариков масс $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенных между собой недеформированной пружинкой и расположенных на одном уровне. В некоторый момент шарикам сообщили скорости $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$ (рис. 1.32). Найти:
a) максимальное приращение потенциРис. 1.32 альной энергии системы в поле тяжести Земли;
б) собственную механическую энергию системы $E_{\text {соб }}$, когда ее центр масс поднимется на максимальную высоту.
1.191. На гладкой горизонтальной плоскости находятся два бруска масс $m_{1}$ и $m_{2}$, соединенные пружинкой жесткости $x$ (рис. 1.33). Брусок 2 переместили влево на небольшое расстояние $x$
Рис. 1.33
и отпустили. Найти скорость центра масс системы после отрыва бруска 1 от стенки.
1.192. На гладкой горизонтальной плоскости лежат два одинаковых бруска, соединенные недеформированной пружинкой
Рис. 1.34 жесткости $x$ и длины $l_{0}$. На один из брусков начали действовать постоянной горизоитальной силой $F$ (рис. 1.34). Найти максимальное и минималыное расстяния между брусками в процессе и движения.
1.193. Система состоит из двух одинаковых цилинцриков, каждый массы $m$, между которыми находится сжатая пружина (рис. 1.35). Цилиндрики связаны нитью, которую в некоторый момент пережигают. При каких значениях $\Delta l$ – начаныном сжатии пружинки – нижний цилиндрик подскочит после пережигания нити?
1.194. Летевшая горизонтально пуля массы $m$ попала в тело массы $M$, которое подвешено на двух одинаковых иитях длины $l$ (рис. 1.36), и застряла в нем. В результате нити отклонились на угол $ิ$. Считая $m \ll M$, нійти:
a) скорость пули перед попаданием в тело;
б) относительную долю первоначальной кинетической энергии пули, которая перешла во внутренню энергию.
Рис. 1.35
Рис. 1.36
Pиc. 1.37
1.195. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массы $M$ (рис, 1.37) и на нем неболышая шайба массы $\boldsymbol{m}$. Шайбе сообщили в горизонтальном направлении скорость $
u$. На какую высоту (по сравнению с первоначальным уровнем) она поднимется после отрыва от тела $M$ ? Трения нет.
1.196. Небольшая шайба массы $m$ без начальной скорости соскальзывает с гладкой горки высоты $h$ и попадаст на доску массы $M$, лежащую у основания горки на гиадкой горизонтальной плоскости (рис. 1.38). Вследствие трения между шайбой и доской иайба тормозится и, начиная с некоторого момента, движется вместе с доской как единос целое. Найти суммарную работу сил трения в этом процессе.
1.197. На гладкой горизонтальной плоскости лежич цоска $A B$ цлины $l=$ $=100 \mathrm{cм}$, на конце $A$ кото-
Рис. 1.38 рой нахоцится небиыная
шайба. Масса доски в $\eta=10$ раз больше массы шайбы, коэффициент трсния между ними $k=0,15$. Какую начальную скорость надо сообщить шайбе в направлении от $\boldsymbol{A}$ к $\boldsymbol{B}$, чтббы она смогла соскользнуть с доски?
1.198. Найти приращение кинетической энергии системы из двух шариков масс $m_{1}$ и $m_{2}$ при их абсолютно неупругом соударснии. До соударения скорости шариков были $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$.
1.199. Частица $A$ массы $m$, пролетев вблизи другой покоившейся тастицы $B$, отклонилась на угол $\alpha$. Импульс частицы $A$ до взаимодействия был равен $p_{0}$, после взаимодействия стал p. Найти массу частицы $B$, если система замкнутая.
1.200. В некоторый момент две одинаковые частицы, образуюцие замкнутую систему, находятся на расстоянии $l_{0}$ цруг от друга и имеют скорости $v$, направление которых составляет угол $\alpha$ с прямой, их соединяющей (рис. 1.39). Масса каждой частицы $m$, сила взаимного отталкивания зависит от расстояния $r$ межлу частицами как $a / r^{2}$, где $a$ – известная постоянная. Pис. 1.39 Найти наименьшее расстояние, на которое соллизятся частицы.
1.201. Замкнутая система состоит из двух одинаковых взаимодействующих ґастиц. В некоторый момент $t_{0}$ скорость одной частицы равна нулю, а другой $v$. Когда расстояние между частицами оказалось онять таким же, как и в момент $t_{0}$, скорость одной из частиц стала равной $v_{1}$. Чему равны в этот момент скорость другой частицы и утол между направлениями их движения?
1.202. Замкнутая система состоит из двух одинаковых частиц, которые движутся со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ так, что угол между направлениями их движения равен $\theta$. После упругого столкновения скорости частиц оказались равными $v_{1}^{\prime}$ и $v_{2}^{\prime}$. Найти угол $\theta^{\prime}$ между направлениями их разлета.
1.203. Частица массы $m_{1}$ испытала упругое столкновение с покоившейся частицей массы $m_{2}$. Какую относительную часть кинетической энергии потеряла налетающая частица, если:
a) она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения;
б) столкновение лобовое?
1.204. В результате упругого лобового столкновения частицы 1 массы $m_{1}$ с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись в противоположных направлениях с одинаковыми скоростями. Найти массу частицы 2.
1.205. После упругого столкновения частицы 1 с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения частицы 1 , и угол между их направлениями разлета $\theta=60^{\circ}$. Найти отношение масс этих частиц.
1.206. Какой минимальной скоростью должен обладать нейтрон, чтобы при столкновении с покоившимся ядром массы $M$ увеличить его внутреннюю энергию на $\Delta E$ ?
1.207. Шар, двигавшийся поступательно, испытал упругое соударение с другим, покоившимся шаром той же массы. При соударении угол между прямой, проходящей через центры шаров, и направлением первоначального движения налетающего шара оказался равным $\alpha=4^{\circ}$. Считая шары гладкими, найти долю $\eta$ кинетической энергии налетающего шара, которая перешла в потенциальную энергию в момент наибольшей деформации.
1.208. Снаряд, летящий со скоростью $v=500 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, разрывается на три одинаковых осколка так, что кинетическая энергия системы увеличивается в $\eta=1,5$ раза. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков?
1.209. Частица 1 , имевшая скорость $v=10 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, испытала лобовое столкновение с покоившейся частицей 2 той же массы. В результате столкновения кинетическая энергия системы уменьшилась на $\eta=1,0 \%$. Найти модуль и направление скорости частицы 1 после столкновения.
1.210. Частица массы $m$ испытала столкновение с покоившейся частицей массы $M$, в результате которого частица $m$ отклонилась на угол $\pi / 2$, а частица $M$ отскочила под углом v $=30^{\circ}$ к первоначальному направлению движения частицы $\boldsymbol{m}$.
На сколько процентов и как изменилась кинетическая энергия этой системы после столкновения, если $M / m=5,0$ ?
1.211. Замкнутая система состоит из двух частиц с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, движущихся под прямым углом друг к другу со скоростями $
u_{1}$ и $
u_{2}$. Найти в системе их центра масс:
a) импульс каждой частицы;
б) суммарную кинетическую энергию обеих частиц.
1.212. Частица массы $m_{1}$ испытала упругое соударение с покоившейся частицей массы $m_{2}$, причем $m_{1}>m_{2}$. Найти максимальный угол, на который может отклониться налетающая частица в результате соударения.
1.213. На гладкой горизонтальной плоскости лежат три одинаковые шайбы $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$, и $C$ (рис. 1.40). Шайбе $\boldsymbol{A}$ сообщили скорость $\mathbf{v}$, после чего она испытала упругое соударение одновременно с шайбами $B$ и $C$. Расстояние между центрами последних до соударения было в $\eta$ раз больше диаметра каждой шайбы. Рис. 1.40 Найти скорость шайбы $A$ после соударения. При каком значении $\eta$ шайба $A$ после соударения отскочит назад; остановится; будет двигаться вперед?
1.214. Молекула испытала столкновение с другой, покоившейся молекулой той же массы. Показать, что угол между направлениями разлета молекул:
a) равен $90^{\circ}$, если соударение упругое;
б) отличен от $90^{\circ}$, если соударение неупругое.
1.215. К точке, радиус-вектор которой относительно начала координат $O$ равен $\mathbf{r}=a \mathbf{i}+b \mathbf{j}$, приложена сила $\mathbf{F}=A \mathbf{i}+B \mathbf{j}$, где $a, b, A, B$ – постоянные, і и $\mathbf{j}$ – орты осей $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$. Найти момент $\mathbf{N}$ и плечо $l$ силы $\mathbf{F}$ относительно точки $O$.
1.216. Момент импульса частицы относительно точки $O$ меняется со временем по закону $\mathbf{M}=\mathbf{a}+\mathbf{b} t^{2}$, где а и $\mathbf{b}-$ постоянные векторы, причем $\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$. Найти относительно точки $O$ момент $\mathbf{N}$ силы, действующей на частицу, когда угол между векторами $\mathbf{N}$ и $\mathbf{M}$ окажется равным $45^{\circ}$.
1.217. Шарик массы $m$ бросили под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_{0}$. Найти модуль момента импульса шарика относительно точки бросания в зависимости от времени движения. Вычислить $M$ в вершине траектории, если $m=130$ г, $\alpha=45^{\circ}$ и $v_{0}=25 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.218. Неб̈ольшая шайба масыы $\boldsymbol{m}=\mathbf{5 0} \mathrm{r}$ начинает скользить с вершины гладкой наклонной плоскости, высота которой $h=100$ см и угчп наклона к горизоиту $\alpha=15^{\circ}$ (рис. 1.41). Найти модуль момента импульса шайбы относительно оси $O$, нернсн-
Puc. 1.41
Pис. 142 дикулярной нлекости рисунка, через $t=1,3$ с после начала дьижения.
1.219. Шайба $A$ массы $m$, скользя лю гладкой горизонтальной поверхнчени со скоростью $
u$, испытала в тінке $O$ (рис. 1.42, вил сверху) упругое стоннове ние с гладой ненодижной стенкии. Уюл между напракиением дижения шайбы и нормальн $к$ cтeнке paisи $\alpha$. Найти:
a) точки, относительно котџих мо мент импульса $M$ пайбы остате нотоянным в этом ироцессе;
б) модуль прнрансиия момена им пуньса иайбы огносительно точки $O^{\prime}$, которая находится в поскости дынсния шайбы на расстоянии $l$ о тонки $O$.
1.220. Вертикальный цилиндр укренјен на гиадкой горизонтальнй поверхности. На цилиндр плотно намогана нить, скоб̈одний конец корой соединен с небольной найбой $A$ масы $m=50 \mathrm{r}$ (рис 1.43, вид сверху). Шайб̈ сообщили горизонтальну скорость
Рис. 1.43 $v=\mathbf{5 , 0} \mathrm{M} / \mathrm{c}$, как ноказано на рисунке. Имся в виду, что сила натяжения нити, лри которой наступает ее разрыв, $F_{m}=26 \mathrm{H}$, найти момеит импуліса шайбы относительно вертикальной оси $C$ после разрына нити.
1.221. Небольшой шарик массы $m$, иривязанный на нити длины $l$ к потолку в точке $O$, движетея по горизонталы!ой окружности так, что нить врацается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью $\omega$. Относительно каких точек момент импульса $\mathbf{M}$ шарика остастся постоянным? Найти модуль приращения момента имнульса шарика отиосительн точки $O$ за половину оборота.
1.222. Шарик массы $m$ падает без начальной скорости с высоты $h$ нал поверхностью Земли. Найти модуль приращения момента импульса шарика за время падения относительно точки $O$ системы отсчета, движущейся поступательно со скоростью $V$ в горизонтальном направлении. В момент начала падения точка $O$ совпадала с шариком.
1.223. Горизонтальный гладкий диск вращают с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг неподвижной вертикальной оси, проходяцей через его центр – точку $O$. Из этой точки в момент $t=0$ пустили шайбу массы $m$ со скоростью $v_{0}$. Найти момент импульса найбы $M(t)$ относительно точки $O$ в системе отсчета, связанной с диском. Убедиться, что этот момент импульса обусловлен действием силы Кориолиса.
1.224. Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где ее потенциалиная энергия $U=k r^{2}$, $k$ – ноложительная постоянная, $r$ – расстояние частицы до центра поля $O$. Найти массу частицы, если наименышее расстояние ее до точки $O$ равно $r_{1}$, а скорость на наибольшем расстоянии от этой точки $v_{2}$.
1.225. Неболыие тело движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где его потенциальная энергия пропорциональна квадрату расстояния до центра поля. Наименьиее расстояние тела до центра поля равно $r_{0}$, а наибольшес — в $\eta$ раз болыше. Найти радиус кривизны траектории тела в точкс, соответствнцей $r_{0}$.
1.226. Небольной щарик подвесили к точке $O$ на легкой иити длины $l$. Затем нарик отвели в сторону так, что нить отклонилась на угол о от вертикали, и сообщили ему скорость в горизонтальном направлении пернендикулярно вертикальной плоскости, в которой расположена нить. Какую начальную скорость надо сообщить нарику, чтобы в процессе движения максимальный угол отклонения нити от вертикали оказался равным $\pi / 2$ ?
1.227. Небольшую шайбу номсстили на внугреннюю гидкую поверхность неподвижного кругюого конуса (рис. 1.44) на высоте $h_{1}$ от ею веринны и сообцили ей в горизонталыном направлении по касательной к поверхности конуса скорость $v_{1}$. На какую высоту $h_{2}$ (от вершины конуса) поднимется
Рис. 1.44
шайба?
1.228. На гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массы $m$, привязанное к нити, другой конец которой втягивают в отверстие $O$ (рис. 1.45) с постоянной скоростью. Найти силу натяжения нити в зависимости от расстоя-
Рис. 1.45 ния $r$ тела до отверстия, если при $r=r_{0}$ угловая скорость нити была равна $\omega_{0}$.
1.229. На массивный неподвижный блок радиуса $R$ намотана нить, к свободному концу которой подвешено небольшое тело массы $m$. В момент $\boldsymbol{t}=0$ систему предоставили самой себе, и она пришла в движение. Найти ее момент импульса относительно оси блока в зависимости от $\boldsymbol{t}$.
1.230. Система (рис. 1.46) состоит из однородного массивного блока радиуса $R=150 \mathrm{mм}$, на который намотана нить с грузом на конце. Нить перекинута через гладкий горизонтальный стержень $C$, укрепленный в стене, В момент $t=0$ груз отпустили, и система пришла в движение. Найти момент импульса системы относительно оси $O$ блока через $t=4,0$ с после начала движения, если в процессе движения нить давит на стержень $C$ с постоянной силой $F=50 \mathrm{H}$. Угол ฤ $=60^{\circ}$.
Рис. 1.46
1.231. Однородный шар массы $m$ и радиуса $R$ начинает скатываться без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Найти зависимость от времени момента импульса шара относительно точки касания в начальный момент. Как изменится результат в случае абсолютно гладкой наклонной плоскости?
1.232. Система частиц имеет суммарный импульс $\mathbf{p}$ и момент импульса $\mathbf{M}$ относительно точки $O$. Найти ее момент импульса $\mathbf{M}^{\prime}$ относительно точки $O^{\prime}$, положение которой по отношению к точке $O$ определяется радиусом-вектором $\mathbf{r}_{0}$. В каком случае момент импульса системы частиц не будет зависеть от выбора точки $O$ ?
1.233. Получить формулу (1.3н).
1.234. Система состоит из двух частиц масс $m_{1}$ и $m_{2}$. В некоторый момент их радиусы-векторы $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$, а скорости – соответственно $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$. Найти собственный момент импульса системы в данный момент.
1.235. Шарик массы $m$, двигавшийся со скоростью $v_{0}$, испытал упругое лобовое соударение с одним из шариков покоившейся жесткой гантели, как показано на рис. 1.47. Масса каждого шарика гантели равна $m / 2$, расстояние между ними $l$. Пренебрегая размерами шариков, найти Pис. 1.47 собственный момент импульса $\tilde{M}$ гантели после соударения, т. е. момент импульса в поступательно движущейся системе отсчета, связанной с центром масс гантели.
1.236. На гладкой горизонтальной плоскости лежат две небольшие одинаковые шайбы, каждая массы $\boldsymbol{m}$. Шайбы соединены легкой недеформированной пружинкой, длина которой $l_{0}$ и жесткость $x$. В некоторый момент одной из шайб сообщили скорость $v_{0}$ в горизонтальном направлении перпендикулярно пружинке. Найти максимальное относительное удлинение пружинки в процессе движения, если известно, что оно значительно меньше единицы.
