– Ширина интерференционной полоск:
\[
\Delta x=\lambda / \varphi,
\]

где $\varphi$ – угловое расстояние между источниками.
– Длина и радиус когерентности:
\[
l_{\mathrm{ror}} \approx \lambda^{2} / \Delta \lambda, \quad \rho_{\mathrm{zor}} \approx \lambda / \psi .
\]

где $\downarrow$ – утловой размер источника.
– При отражении света от оптически более плотной среды световой вектор Е испытывает скачок фазы на $\pi$.
– Условие максимумов при интерференции света, отраженного от тонкой пластинки толщины $b$
\[
2 b \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \theta}=(k+1 / 2) \lambda,
\]

где $\boldsymbol{0}$– угол падения, $\boldsymbol{k}$ – целое число.
– Кольца Ньютона при отражении света от поверхностей воздушной прослойки, образованной между стеклянной пластинкой и соприкасающейся с ней выпуклой поверхностью линзы с радиусом кривизны $\boldsymbol{R}$. Радиусы колец:
\[
r=\sqrt{k \lambda R / 2},
\]

причем кольца светлые, если $k=1,3,5, \ldots$, и темные, если $k=2,4,6, \ldots$
– Эффект Вавилова – Черенкова:
\[
\cos \theta=c / n v,
\]

где ठ – угол между направлением распространения излучения и скоростью $\mathbf{v}$ частицы.
4.71. Показать, что при сложении двух гармонических колебаний средняя по времени энергия результирующего колебания равна сумме энергий каждого из них, если оба колебания;
a) имеют одинаковое направление и некогерентны, причем все значения их разности фаз равновероятны;
б) взаимно перпендикулярны, имеют одну и ту же частоту и произвольную разность фаз.
4.72. Найти графически амплитуду колебания, которое возникает в результате сложения следующих трех колебаний одного направления:
\[
\xi_{1}=a \cos \omega t, \quad \xi_{2}=2 a \sin \omega t, \quad \xi_{3}=1,5 a \cos (\omega t+\pi / 3) .
\]
4.73. Некоторое колебание возникает в результате сложения $N$ когерентных колебаний одного направления, имеющих следующий вид $\xi_{k}=a \cos [\omega t+(k-1) \alpha]$, где $k$ – номер колебания $(k=1,2, \ldots, N), \alpha$ – разность фаз между $k$-м и $(k-1)$-м колебаниями. Найти амплитуду результирующего колебания.
4.74. Система (рис. 4.17) состоит из двух точечных когерентных излучателей 1 и 2 , которые расположены в некоторой плоскости так, что их дипольные моменты перпендикулярны этой плоскости. Расстояние между излучателями $d$, длина волны излучения $\lambda$. Имея в виду, что колебания излучателя 2 отстают по фазе на $\alpha(a<\pi)$ от колебаний излучателя 1 , найти:

Рис. 4.17
a) углы ө, в которых интенсивность излучения максимальна;
б) условия, при которых в направлении $\theta=\pi$ интенсивность излучения будет максимальна, а в противоноложном направлении – минимальна.
4.75. Найти примерный вид полярной диаграммы направленности излучения в экваториальной плоскости системы, состоящей из двух одинаковых излучателей 1 и 2, дипольные моменты которых расположены параллельно друг другу на расстоянии $d=\lambda / 2$ и
а) совпадают но фазе;
б) противоположны по фазе.
4.76. То же, что в предыдущей задачс, но излучатели 1 и 2 находятся на расстоянии $\lambda$ друг от друга.
4.77. То же, что в задаче 4.75, но излучатели 1 и 2 отстоят друг от друга на расстояние $d=\lambda / 4$ и колеблются со сдвигом фаз $\pi / 2$.
4.78. Неподвижная излучающая система состоит из линейной цепочки параллельных вибраторов, отстоящих друг от друга на расстояние $d$, причем фаза колебаний вибраторов линейно меняется вдоль цепочки. Найти зависимость от времени разности фаз $\Delta \alpha$ между соседними вибраторами, при которой главный максимум излучения системы будет совершать круговой \”обзор\” местности с постоянной угловой скоростью $\omega$. 4.79. В опыте Ллойда (рис. 4.18) световая волна, исходяџая непосредственно из источника $S$ (узкой щели), интерферирует с волной, отраженной от зеркала 3. В результате на экране Э образуется система интерференционных полос. Расстояние от источника до экрана $l=100 \mathrm{~cm}$. При некотором положении источника ширина интерференционной полосы на экране $\Delta x=0,25 \mathrm{mм}$, а после того, как источник отодвинули от плоскости зеркала на $\Delta h=0,60$ мм, ширина полос уменьшилась в $\eta=1,5$ раза. Найти длину волны света.
Рис. 4.18
4.80. Две когерентные плоские световые волны, угол между направлениями распространения которых $\varphi<<1$, падают почти нормально на экран. Амплитуды волн одинаковы. Показать, что расстояние между соседними максимумами на экране $\Delta x=\lambda / \varphi$, где $\lambda$ – длина волны.
4.81. На рис. 4.19 показана интерференционная схема с бизеркалами Френеля. Угол между зеркалами $\alpha=12^{\prime}$, расстояния от линии пересечения зеркал до узкой щели $S$ и экрана Э равны соответственно $r=10,0$ см и $b=130$ см. Длина волны света $\lambda=0,55$ мкм. Определить:
a) ширину интерференционной полосы на экране и число возможных максимумов;
б) сдвиг картины на экране при смещении щели на $\delta l=1,0$ мм по дуге радиуса $r$ с центром в точке $O$;
в) при какой ширине щели $h_{\text {махс }}$ интерференционные полосы на экране будут наблюдаться еще достаточно отчетливо.
Рис. 4.19
4.82. Плоская световая волна падает на бизеркала Френеля, угол между которыми $\alpha=2,0^{\prime}$. Определить длину волны света, если ширина интерференционной полосы на экране $\Delta x=0,55 \mathrm{mм}$.
4.83. Линзу диаметром 5,0 см и с фокусным расстоянием $f=25,0$ см разрезали по диаметру на две одинаковые половины, причем удаленным оказался слой толщины $a=1,00$ мм. После этого обе половины сдвинули до соприкосновения и в фокальной плоскости полученной таким образом билинзы поместили узкую щель, испускающую монохроматический свет с $\lambda=0,64$ мкм. За билинзой расположили экран на расстоянии $b=50$ см от нее. Определить:
a) ширину интерференционной полосы на экране и число $N$ возможных максимумов;
б) ширину щели $h_{\text {махс }}$, при которой полосы на экране будут наблюдаться еще достаточно отчетливо.
4.84. Расстояния от бипризмы Френеля до узкой щели и экрана равны соответственно $a=25 \mathrm{~cm}$ и $b=100 \mathrm{~cm}$. Бипризма стеклянная с преломляющим углом $\theta=20^{\prime}$. Найти длину волны света, если ширина интерференционной полосы на экране $\Delta x=0,55$ мм.
4.85. Плоская световая волна с $\lambda=0,70$ мкм падает нормально на основание бипризмы, сделанной из стекла ( $n=1,520)$ с преломляющим углом $\theta=5,0^{\circ}$. За бипризмой (рис. 4.20) находится плоскопараллельная стеклянная пластинка, и пространство между ними заполнено бензолом $\left(n^{\prime}=1,500\right)$. Найти ширину интерференционной полосы на экране Э, расположенном за этой системой.
4.86. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на Рис. 4.20 диафрагму с двумя узкими щелями, отстоящими друг от друга на $\boldsymbol{d}=2,5 \mathrm{mм}$. На экране, расположенном за диафрагмой на $l=100 \mathrm{~cm}$, образуется система интерференционных полос. На какое расстояние и в какую сторону сместятся эти полосы, если одну из щелей перекрыть стеклянной пластинкой толщины $h=10$ мкм?
4.87. На рис. 4.21 показана схема интерферометра для измерения показателей преломления прозрачных веществ. Здесь $s$ – узкая щель, освецаемая монохроматическим светом $\lambda=589$ нм, 1 и 2 – две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой из которых $l=10,0 \mathrm{~cm}, Д$ – диафрагма с двумя щелями. Когда воздух в трубке $l$ заменили аммиаком, то интерференционная картина на экране Э сместилась вверх на $N=17$ полос. Показатель преломления воздуха $n=1,000277$. Определить показатель преломления аммиака.
Рис. 4.21
4.88. На поверхности стекла находится пленка воды. На нее падает свет с $\lambda=0,68$ мкм под углом $\hat{0}=30^{\circ}$ к нормали. Найти скорость, с которой уменьшается толцина пленки (из-за испарения), если интенсивность отраженного света меняется так, что промежуток времени между последовательными максимумами отражения $\Delta t=15$ мин.
4.89. На тонкую пленку ( $n=1,33$ ) падает параллельный пучок белого света. Угол падения $\hat{0}_{1}=52^{\circ}$. При какой толщине пленки зеркально отраженный свет будет наиболее сильно окрашен в желтый цвет ( $\lambda=0,60$ мкм )?
4.90. Найти минимальную толщину пленки с показателем преломления 1,33 , при которой свет с длиной волны 0,64 мкм испытывает максимальное отражение, а свет с длиной волны 0,40 мкм не отражается совсем. Угол падения света равен $30^{\circ}$.
4.91. Для уменьшения потерь света из-за отражения от поверхности стекла последнее покрывают тонким слоем вещества с показателем преломления $n^{\prime}=\sqrt{n}$, где $n$ – показатель преломления стекла. В этом случае амплитуды световых колебаний, отраженных от обеих поверхностей такого слоя, будут одинаковыми. При какой толщине этого слоя отражательная способность стекла в направлении нормали будет равна нулю для света с длиной волны $\lambda$ ?
4.92. Рассеянный монохроматический свет с $\lambda=0,60$ мкм падает на тонкую пленку вещества с показателем преломления $n=1,5$. Определить толщину пленки, если угловое расстояние между соседними максимумами, наблюдаемыми в отраженном свете под углами с нормалью, близкими к $\hat{\theta}=45^{\circ}$, равно $\delta \delta=3,0^{\circ}$.
Рис. 4.22
4.93. Монохроматический свет проходит через отверстие в экране Э (рис. 4.22) и, отразившись от тонкой плоскопараллельной стеклянной пластинки $\Pi$, образует на экране систему интерференционных полос равного наклона. Толщина пластинки $b$, расстояние между ней и экраном $l$, радиусы $i$-го и $k$-го темных колец $r_{i}$ и $r_{k}$. Учитывая, что $r_{i k}<<l$, найти длину волны света.
4.94. Плоская монохроматическая световая волна длины $\lambda$ падает на поверхность стеклянного клина, угол между гранями которого $\alpha<<1$. Плоскость падения перпендикулярна ребру клина, угол падения $\boldsymbol{t}_{1}$. Найти расстояние между соседними максимумами интерференционных полос на экране, расположенном перпендикулярно отраженному свету.
4.95. Свет с $\lambda=0,55$ мкм от удаленного точечного источника падает нормально на поверхность стеклянного клина. В отраженном свете наблюдают систему интерференционных полос, расстояние между соседними максимумами которых на поверхности клина $\Delta x=0,21$ мм. Найти:
a) угол между гранями клина;
б) степень монохроматичности света ( $\Delta \lambda / \lambda$ ), если исчезновение интерференционных полос наблюдается на расстоянии $l \approx 1,5$ см от вершины клина.
4.96. Плоско-выпуклая стеклянная линза выпуклой поверхностью соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы $R$, длина волны света $\lambda$. Найти ширину $\Delta r$ кольца Ньютона в зависимости от его радиуса $r$ в области, где $\Delta r<<r$.
4.97. Плоско-выпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны $R=40$ см соприкасается выпуклой поверхностью со стеклянной пластинкой. При этом в отраженном свете радиус некоторого кольца $r=2,5$ мм. Наблюдая за данным кольцом, линзу осторожно отодвинули от пластинки на $h=5,0$ мкм. Каким стал радиус этого кольца?
4.98. На вершине сферической поверхности плоско-выпуклой стеклянной линзы имеется сошлифованный плоский участок радиуса $r_{0}=3,0$ мм, которым она соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы $R=150$ см. Найти радиус шестого светлого кольца в отраженном свете с $\lambda=655$ нм.
4.99. Плоско-выпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны сферической поверхности $R=12,5$ см прижата к стеклянной пластинке. Диаметры десятого и пятнадцатого темных колец Ньютона в отраженном свете равны $d_{1}=1,00$ мм и $d_{2}=1,50$ мм . Найти длину волны света.
4.100. Две плоско-выпуклые тонкие стеклянные линзы соприкасаются своими сферическими поверхностями. Найти оптическую силу системы, если в отраженном свете с $\lambda=0,60$ мкм циаметр пятого светлого кольца $d=1,50$ мм.
4.101. Две соприкасающиеся тонкие симметричные стеклянные линзы – двояковыпуклая и двояковогнутая – образуют систему с оптической силой $\Phi=0,50$ дптр. В свете с $\lambda=0,61$ мкм, отраженном от этой системы, наблюдают кольца Ньютона. Определить:
a) радиус цесятого темного кольца;
б) как изменится радиус этого кольца, если пространство между линзами заполнить водой.
4.102. Сферическая поверхность плоско-выпуклой линзы соприкасается со стеклянной пластинкой. Пространство между линзой и пластинкой заполнено сероуглеродом. Показатели преломления линзы, сероуглерода и пластинки равны соответственно $n_{1}=1,50, n_{2}=1,63$ и $n_{3}=1,70$. Радиус кривизны сферической поверхности линзы $R=100 \mathrm{~cm}$. Определить радиус пятого темного кольца Ньютона в отраженном свете с $\lambda=0,61$ мкм.
4.103. В двухлучевом интерферометре используется оранжевая линия ртути, состоящая из двух компонент с $\lambda_{1}=576,97$ нм и $\lambda_{2}=579,03$ нм. При каком наименьшем порядке интерференции четкость интерференционной картины будет наихудшей?
4.104. В интерферометре Майкельсона использовалась желтая линия натрия, состоящая из двух компонент с $\lambda_{1}=\mathbf{5 8 9 , 0}$ нм и $\lambda_{2}=589,6$ нм. При перемещении одного из зеркал интерференционная картина периодически исчезла (почему?). Найти перемещение зеркала между двумя последовательными появлениями наиболее четкой картины.
4.105. При освещении интерферометра Фабри – Перо расходящимся монохроматическим светом с длиной волны $\lambda$ в фокальной плоскости линзы возникает интерференционная картина – система концентрических колец (рис. 4.23). Толщина эталона равна $d$. Определить, как зависит от порядка интерференции:
a) расположение колец;
б) угловая ширина полос интерференции.
Рис. 4.23
4.106. Найти для интерферометра Фабри – Перо, толщина которого $d=2,5$ см:
a) максимальный порядок интерференции света с длиной волны $\lambda=0,50$ мкм;
б) дисперсионную область $\Delta \lambda$, т.е. спектральный интервал длин волн, для которого еще нет перекрытия с другими порядками интерференции, если наблюдение ведется вблизи $\lambda=0,50$ мкм.
4.107. Найти условия, при которых заряженная частица, движущаяся равномерно в среде с показателем преломления $n$, будет излучать свет (эффект Вавилова – Черенкова). Найти также направление этого излучения.

Ука з а и е. Рассмотреть интерференцию колебаний, возбуждаемых частицей в разные моменты времени.
4.108. Найти наименьшие значения кинетической энергии электрона и протона, при которых возникает черенковское излучение в среде с показателем преломления $n=1,60$. Для каких частиц это значение кинетической энергии $K_{\text {мин }}=29,6$ МэВ?
4.109. Определить кинетическую энергию электронов, которые в среде с показателем преломления $n=1,50$ излучают свет под углом $\hat{0}=30^{\circ}$ к направлению своего движения.