– Первое начало термодинамики:
\[
Q=\Delta U+A,
\]

где $\Delta U$ – приращение внутренней энергии системы.
– Работа, совершаемая газом:
\[
A=\int p d V .
\]
– Внутренняя энергия идеального газа:
\[
U=\frac{m}{M} C_{V} T=\frac{m}{M} \frac{R T}{\gamma-1}=\frac{p V}{\gamma-1} .
\]
– Молярная теплоемкость газа при политропическом процессе ( $p V^{n}=$ $=$ const :
\[
C=\frac{R}{\gamma-1}-\frac{R}{n-1}=\frac{(n-\gamma) R}{(n-1)(\gamma-1)} .
\]
– Внутренняя энергия моля ван-дер-ваальсовского газа:
\[
U=C_{V} T-a / V_{M} .
\]
6.25. Показать, что внутренняя энергия $U$ воздуха в комнате не зависит от температуры, если наружное давление $p$ постоянно. Вычислить $U$, если $p$ равно нормальному атмосферному давлению и объем комнаты $V=40 \mathrm{~m}^{3}$.
6.26. Два теплоизолированных баллона 1 и 2 наполнены воздухом и соединены короткой трубкой с вентилем. Известны объемы баллонов, а также давление и температура воздуха в них $\left(V_{1}, p_{1}, T_{1}\right.$ и $V_{2}, p_{2}, T_{2}$ ). Найти температуру и давление воздуха, которые установятся после открытия вентиля.
6.27. Газообразный водород, находившийся при нормальных условиях в закрытом сосуде объемом $V=5,0$ л, охладили на $\Delta \boldsymbol{T}=55 \mathrm{~K}$. Найти приращение внутренней энергии газа и количество отданного им тепла.
6.28. Какое количество тепла надо сообщить азоту при изобарическом нагревании, чтобы газ совершил работу $A=2,0$ Дж?
6.29. Найти молярную массу газа, если при нагревании $m=0,50 \mathbf{~ x r}$ этого газа на $\Delta T=10 \mathrm{~K}$ изобарически требуется на $\Delta Q=1,48$ қДж тепла больше, чем при изохорическом нагревании.
6.30. Один моль некоторого идеального газа изобарически нагрели на $\Delta T=72 \mathrm{~K}$, сообщив ему количество тепла $Q=$ $=1,60$ кДж. Найти приращение его внутренней энергии и величину $\gamma=C_{p} / C_{V}$.
6.31. Два моля идеального газа при температуре $T_{0}=300 \mathrm{~K}$ охладили изохорически, вследствие чего его давление уменьшилось в $n=2,0$ раза. Затем газ изобарически расширили так, что в конечном состоянии его температура стала равной первоначальной. Найти количество тепла, поглощенного газом в данном процессе.
6.32. Вычислить $\gamma$ для газовой смеси, состоящей из $v_{1}=2,0$ моль кислорода и $v_{2}=3,0$ моль углекислого газа. Газы считать идеальными.
6.33. Вычислить удельные теплоемкости $c_{V}$ и $c_{p}$ для газовой смеси. состоящей из 7,0 г азота и 20 г аргона. Газы идеальные.
6.34. В вертикальном цилиндре под невесомым поршнем находится один моль некоторого идеального газа при температуре $T$. Пространство над поршнем сообщается с атмосферой. Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно поднимая поршень, изотермически увеличить объем газа под ним в $n$ раз? Трения нет.
6.35. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра находится легкоподвижный поршень. Первоначально поршень делит цилиндр на две равные части, каждая объемом $V_{0}$, в которых находится идеальный газ одинаковой температуры и под одним и тем же давлением $p_{0}$. Какую работу необходимо совершить, чтобы, медленно двигая поршень, изотермически увеличить объем одной части газа в $\eta$ раз по сравнению с объемом другой части?
6.36. Три моля идеального газа, находившегося при температуре $T_{0}=273 \mathrm{~K}$, изотермически расширили в $n=5,0$ раз и затем изохорически нагрели так, что его давление стало равным первоначальному. За весь процесс газу сообщили количество тепла $Q=80$ кДж. Найти $\gamma$ для этого газа.
6.37. Один моль кислорода, находившегося при температуре $T_{0}=290 \mathrm{~K}$, адиабатически сжали так, что его давление возросло в $\eta=10,0$ раз. Найти:
a) температуру газа после сжатия;
б) работу, которая была совершена над газом.
6.38. Некоторую массу азота сжали в $\eta=5,0$ раз (по объему) один раз адиабатически, другой раз изотермически. Начальное состояние газа в обоих случаях одинаково. Найти отношение соответствующих работ, затраченных на сжатие.
6.39. Внутри закрытого теплоизолированного цилиндра с идеальным газом находится легкоподвижный теплопроводящий поршень. При равновесии поршень делит цилиндр на две равные части и температура газа равна $T_{0}$. Поршень начали медленно перемещать. Найти температуру газа как функцию отношения $\eta$ объема большей части к объему меньшей части. Показатель адиабаты газа $\gamma$.
6.40. В закрытом с обоих торцов горизонтальном цилиндре, заполненном идеальным газом с показателем адиабаты $\gamma$, находится поршень массы $m$ с площадью сечения $S$. В положении равновесия давление газа равно $p_{0}$ и поршень делит цилиндр на две одинаковые части, каждая объемом $V_{0}$. Найти частоту малых колебаний поршня около положения равновесия, считая процесс в газе адиабатическим и трение ничтожно малым.
6.41. Определить скорость $v$ истечения гелия из теплоизолированного сосуда в вакуум через малое отверстие. Считать, что при этом условии скорость потока газа в сосуде пренебрежимо мала. Температура гелия в сосуде $T=1000 \mathrm{~K}$.
6.42. Объем моля идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$ изменяют по закону $V=a / T$, где $a$ – постоянная. Найти количество тепла, полученное газом в этом процессе, если его температура испытала приращение $\Delta T$.
6.43. Показать, что процесс, при котором работа идеального газа пропорциональна соответствующему прирацению его внутренней энергии, описывается уравнением $p V^{n}=$ const, где $n$ – постоянная.
6.44. Найти молярную теплоемкость идеального газа при политропическом процессе $p V^{n}=$ const, если показатель адиабаты газа равен $\gamma$. При каких значениях показателя политропы $n$ теплоемкость газа будет отрицательной?
6.45. При некотором политроническом процессе объем аргона был увеличен в $\alpha=4,0$ раза. Давление при этом уменьшилось в $\beta=8,0$ раз. Найти молярную теплоемкость аргона в этом процессе, считая газ идеальным.
6.46. Один моль аргона расширили по политропе с показателем $n=1,50$. При этом температура газа испытала прирацение $\Delta T=-26 \mathrm{~K}$. Найти:
a) количество полученного газом тепла;
б) работу, совершенную газом.
6.47. Идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$ расширили по закону $p=\alpha \boldsymbol{V}$, где $\alpha$ – постоянная. Первоначальный объем газа $V_{0}$. В результате расширения объем увеличился в $\eta$ раз. Найти:
a) прирацение внутренней энергии газа;
б) работу, совершенную газом;
в) молярную теплоемкость газа в этом процессе.
6.48. Идеальный газ, показатель адиабаты которого $\gamma$, расширяют так, что сообщаемое газу тепло равно убыли его внутренней энергии. Найти:
a) молярную теплоемкость газа в этом процессе;
б) уравнение процесса в параметрах $T, V$.
6.49. Один моль идеального газа с показателем адиабаты $\gamma$ совершает процесс, при котором его давление $p \sim T^{\alpha}$, где $\alpha$ – постоянная. Найти:
a) работу, которую произведет газ, если его температура испытает приращение $\Delta T$;
б) молярную теплоемкость газа в этом процессе; при каком значении $\alpha$ теплоемкость будет отрицательной?
6.50. Идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$ совершает процесс, при котором его внутренняя энергия $U \sim V^{\alpha}$, где $\alpha$ – постоянная. Найти:
a) работу, которую произведет газ, чтобы внутренняя энергия испытала приращение $\Delta U$;
б) молярную теплоемкость газа в этом процессе.
6.51. Один моль идеального газа с известным значением $C_{V}$ находится в левой половине цилиндра (рис. 6.2). Справа от поршня вакуум. В отсутствие газа поршень находится вплотную к левому торцу цилиндра, и пружина в этом положении не деформирована.
Рис. 6.2

Боковые стенки цилиндра и поршень адиабатные. Трения нет. Газ нагревают через левый торец цилиндра. Найти теплоемкость газа в этих условиях.
6.52. Имеется идеальный газ, молярная теплоемкость $C_{V}$ которого известна. Найти молярную теплоемкость этого газа как функцию его объема $V$, если газ совершает процесс по закону:
а) $T=T_{0} \mathrm{e}^{\alpha V}$; б) $p=p_{0} \mathrm{e}^{\alpha V}$, где $T_{0}, p_{0}$ и $\alpha$ – постоянные.
6.53. Один моль идеального газа, теплоемкость которого при постоянном давлении $C_{p}$, совершает процесс по закону $p=p_{0}+\alpha / V$, где $p_{0}$ и $\alpha$ – постоянные. Найти:
a) теплоемкость газа как функцию его объема $V$;
б) сообщенное газу тепло при его расширении от $V_{1}$ до $V_{2}$.
6.54. То же, что в предыдущей задаче, но газ совершает процесс по закону $T=T_{0}+\alpha V$.
6.55. Найти уравнение процесса (в переменных $T, V$ ), при котором молярная теплоемкость идеального газа изменяется по закону:
а) $C=C_{V}+\alpha T$; б) $C=C_{V}+\beta V$; в) $C=C_{V}+a p$.

Здесь $\alpha$, $\beta$ и $a$ – постоянные.
6.56. Имеется идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$. Его молярная теплоемкость при некотором процессе изменяется по закону $C=\alpha / T$, где $\alpha$ – постоянная. Найти:
a) работу, совершенную одним молем газа при его нагревании от $T_{0}$ до температуры в $\eta$ раз большей;
б) уравнение процесса в параметрах $p, V$.
6.57. Найти работу, совершаемую одним молем ван-дерваальсовского газа при изотермическом расширении его от объема $V_{1}$ до $V_{2}$ при температуре $T$.
6.58. Один моль кислорода расширили от объема $V_{1}=1,00$ л до $V_{2}=5,0$ л при постоянной температуре $T=280 \mathrm{~K}$. Вычислить количество поглощенного газом тепла. Газ считать ван-дерваальсовским.
6.59. Найти для моля ван-дер-ваальсовского газа уравнение адиабаты в переменных $T, V$, если его теплоемкость при постоянном объеме равна $C_{V}$.
6.60. Определить для ван-дер-ваальсовского газа разность молярных теплоемкостей $C_{p}-C_{V}$.
6.61. Два теплоизолированных баллона соединены между собой трубкой с вентилем. В одном баллоне объемом $V_{1}=10$ л находится $v=2,5$ моль углекислого газа. Второй баллон объемом $V_{2}=100$ л откачан до высокого вакуума. Вентиль открыли, и газ расширился. Считая газ ван-дер-ваальсовским, найти приращение его температуры.
6.62. Какое количество тепла надо сообщить $v=3,0$ моль углекислого газа, чтобы при расширении в вакуум от объема $V_{1}=5,0$ п до $V_{2}=10$ л температура его не изменилась? Газ считать ван-дер-ваальсовским.
6.63. Прохождение газа через пористую перегородку в теплоизолированной трубе сопровождается расширением и изменением температуры газа (эффект Джоуля-Томсона). Если до расширения газ считать ван-дер-ваальсовским, а после расширения – идеальным, то соответствующее приращение температуры газа
\[
T_{2}-T_{1}=\frac{1}{C_{p}}\left(\frac{R T_{1} b}{V_{1}-b}-\frac{2 a}{V_{1}}\right) .
\]

Получить эту формулу, применив первое начало термодинамики к молю газа, проходящему через перегородку. Процесс считать адиабатическим.
6.64. Воспользовавшись формулой из предыдущей задачи, найти значения $T_{1}$ водорода с начальным молярным объемом $V_{1}=0,160$ л/моль, при которых эффект Джоуля-Томсона будет положительным (т.е. $T_{2}<T_{1}$ ).
6.65. Найти с помощью формулы из задачи 6.63 приращение $\Delta \boldsymbol{T}$ температуры газа, если в начальном состоянии при $T_{1}=300 \mathrm{~K}$ его молярный объем $V_{1}=0,100$ л/моль, а затем в процессе Джоуля-Томсона газ сильно расширили. Расчет провести:
a) для водорода; б) для азота.