– Затухающие колебания контура:
\[
q=q_{m} \mathrm{e}^{-\beta t} \cos (\omega t+\alpha),
\]

где
\[
\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}, \quad \omega_{0}=1 / \sqrt{L C}, \quad \beta=R / 2 L
\]
– Логарифмический декремент затухания $\lambda$ и добротность $Q$ контура определяются формулами (3.1 г). При слабом затухании:
\[
\lambda=\pi R \sqrt{C / L}, \quad Q=(1 / R) \sqrt{L / C} .
\]
– Установившиеся вынужденные колебания при последовательном включении в контур напряжения $U=U_{m} \cos \omega t$ :
\[
I=I_{m} \cos (\omega t-\varphi),
\]

где
\[
I_{m}=\frac{\cdot U_{m}}{\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}}, \quad \operatorname{tg} \varphi=\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}
\]

Соответствующая векторная диаграмма напряжений показана на рис. 3.26.
– Полное сопротивление (импеданс):
\[
Z=\sqrt{R^{2}+X^{2}},
\]

где $\boldsymbol{X}=\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{L}}-\boldsymbol{X}_{C}$ – реактивное сопротивление.
– Мощность, выделяемая в цепи переменного тока:
\[
P=U I \cos \varphi,
\]

где $U$ и $I$ – действующие (эффективные) значения напряжения и тока:
\[
U=U_{m} / \sqrt{2}, \quad I=I_{m} \sqrt{2} .
\]

Рис. 3.26
3.111. Небольшой шарик массы $m=21 r$, подвешенный на нерастяжимой изолирующей нити на высоте $h=12$ см от горизонтальной проводящей плоскости, соверцает малые колебания. После того как ему сообщили заряд $q$, период колебаний изменился в $\eta=2,0$ раза. Найти $q$.
3.112. Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси, перпендикулярной направлению внешнего магнитного поля. При изменении индукции этого поля период колебаний стрелки уменьшился в $\eta=5,0$ раз. Во сколько раз и как изменилась индукция поля? Затухание колебаний пренебрежимо мало.
Рис. 3.27

плоскости в однородном индукцией $B$. Расстояние $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$ стрежню сообщили начальную скорость $v_{0}$. Найти закон его движения $x(t)$. Сопротивление контура пренебрежимо мало.
3.114. Катушка индуктивности $L$ соединяет верхние концы двух вертикальным медных шин, отстоящих друг от друга на расстояние $l$. Вдоль шин падает без начальной скорости горизонтальный проводник-перемычка массы $m$ (без нарушения контакта с шинами). Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией $B$, периендикулярном плоскости шин. Найти закон движения проводника $x(t)$. Сопротивление всех проводников пренебрежимо мало.
3.115. Ток в колебательном контуре зависит от времени как $I=I_{m} \sin \left(\omega_{0} t\right)$, где $I_{m}=9,0 \mathrm{MA}, \omega_{0}=4,5 \cdot 10^{4} \mathrm{c}^{-1}$. Емкость конденсатора $C=0,50$ мкФ. Найти индуктивность контура и напржение на конденсаторе в момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$.
3.116. В контуре, состоящем из конденсатора емкости $C$ и катушки индуктивности $L$, совершаются свободные незатухающие колебания, при которых амплитуда напряжения на конденсаторе равна $U_{m}$. Найти связь между током $I$ в контуре и напряжением $U$ на конденсаторе.
3.117. Колебательный контур состоит из конденсатора емкости $C$, катушки индуктивности $L$ с пренебрежимо малым сопротивлением и ключа. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения $U_{m}$ и затем в момент $t=0$ замкнули ключ. Найти:
a) ток в контуре как функцию времени;
б) ЭДС самоиндукции в катушке в моменты, когда электрическая энергия конденсатора равна энергии тока в катушке.
3.118. Найти максимальный ток в цепи (рис. 2.28) и максимальное напряжение на конденсаторе после замыкания ключа $\boldsymbol{K}$. Активное сопротивление цепи пренебрежимо мало.
3.119. В контуре, состоящем из плоского конденсатора и катушки индуктивности с пренебрежимо малым активным сопротивлением, происходят колебания с энергией $W$. Пластины конденсатора медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в $\eta$ раз. Какую работу совернили при этом против электрических сил?
3.120. Найти собственную частоту $\omega_{0}$ резонатора (рис.3.29), считая, что его плоская часть является конденсатором, а цилиндрическая – индуктивностью. Необходимые размеры указаны на рисунке.
Рис. 3.28
Рис. 3.29
3.121. На рис. 3.30 показано сечение тороидального резонатора, используемого во многих микроволновых генераторах. Считая, что центральная часть резонатора является плоским конденсатором, а тороидальная полость – индуктивностью, оцеРис. 3.30 нить собственную частоту резонатора. Необходимые размеры даны на рисунке.
3.122. В колебательном контуре (рис. 3.31) индуктивность катушки $L=2,5 \mathrm{M}$ Гн, а емкости конденсаторов $C_{1}=2,0$ мкФ и $C_{2}=3,0$ мкф. Конденсаторы зарядили до напряжения $U=180 \mathrm{~B}$ и замкнули ключ $\boldsymbol{K}$. Найти:
a) период собственных колебаний;
б) амплитудное значение тока через катушку.
3.123. Электрическая цепь (рис. 3.32) имеет пренебрежимо малое активное сопротивление. Левый конденсатор зарядили до напряжения $U_{0}$ и затем – в момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$ – замкнули ключ $\boldsymbol{K}$. Найти зависимость от времени $t$ напряжений на обоих конденсаторах.
Рис. 3.31
Рис. 3.32
3.124. Контур состоит из катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$. Сопротивление катушки и проводов пренебрежимо мало. Катушка находится в постоянном магнитном поле, так что суммарный поток, пронизывающий все витки катушки, равен $\Phi$. В момент $t=0$ магнитное поле выключили. Считая время выключения очень малым по сравнению с периодом собственных колебаний контура, найти ток в контуре как функцию времени $t$.
3.125. В контуре совершаются свободные затухающие колебания, при которых напряжение на конденсаторе меняется во времени по закону $U=U_{m} \mathrm{e}^{-\beta t} \cos \omega t$. Найти моменты времени, когда модуль напряжения на конденсаторе достигает:
a) амплитудных значений;
б) максимальных (экстремальных) значений.
3.126. Контур содержит конденсатор емкости $C$, катушку с индуктивностью $L$ и активным сопротивлением $R$, а также ключ. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, после чего ключ замкнули, и начались колебания. Найти отношение напряжения на конденсаторе к его амплитудному значению в момент непосредственно после замыкания ключа.
3.127. В контуре с емкостью $C$ и индуктивностью $L$ происходят свободные затухающие колебания, при которых ток меняется во времени по закону $I=I_{m} \mathrm{e}^{-\beta t} \sin \omega t$. Найти напряжение на конденсаторе в зависимости от времени и в момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$.
3.128. Контур состоит из конденсатора емкости $C=4,0$ мкФ и катушки с индуктивностью $L=2,0 \mathrm{M}$ Гн и активным сопротивлением $R=10$ Ом. Найти отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля конденсатора в момент максимума тока.
3.129. Контур содержит две последовательно соединенные катушки с активными сопротивлениями $R_{1}$ и $R_{2}$ и индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$, причем взаимная индуктивность их пренебрежимо мала. Эти катушки надо заменить одной так, чтобы частота и добротность контура не изменились. Найти индуктивность и активное сопротивление такой катушки.
3.130. Найти время, за которое амплитуда колебаний тока в контуре с добротностью $Q=5000$ уменьшится в $\eta=2,0$ раза, если частота колебаний $v=2,2$ МГц.
3.131. Колебательный контур имеет емкость $C=10$ мкФ, индуктивность $L=25$ мГн и активное сопротивление $R=1,0$ Ом. Через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшится в е раз?
3.132. На сколько процентов отличается частота $\omega$ свободных колебаний контура с добротностью $Q=5,0$ от собственной частоты $\omega_{0}$ колебаний этого контура?
3.133. Проводник в форме квадратной рамки со стороной $a$, подвешенный на упругой нити, находится в однородном горизонтальном магнитном поле $\mathcal{c}$ индукцией $B$. В положении равновесия плоскость рамки параллельна вектору В (рис. 3.33). Будучи выведана из положения равновесия, рамка совершает малые колебаний вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Момент инерции рамки относительно этой оси $I$, ее электрическое сопротивле-

Рис. 3.33 ние $R$. Пренебрегая индуктивностью рамки, найти время, через которое амплитуда ее углового поворота уменьшится в $е$ раз.
3.134. В схеме (рис. 3.34) ЭДС элемента $\mathscr{E}=2,0 \mathrm{~B}$, его внутреннее сопротивление $r=9,0$ Ом, емкость конденсатора $C=10$ мк $\Phi$, индуктивность катушки $L=100$ мГн и активное сопротивление $R=1,0$ Ом. В некоторый момент ключ $K$ разомкнули. Найти энергию колебаний в контуре:
a) непосредственно после размыкания ключа;
б) через $t=0,30$ с после размыкания ключа.
Рис. 3.34
3.135. В контуре, добротность которого $Q=50$ и собственная частота колебаний $\mathbf{v}_{0}=\mathbf{5 , 5}$ кГц, возбуждаются затухающие колебания. Через сколько времени энергия, запасенная в контуре, уменьшится в $\eta=2,0$ раза?
3.136. Колебательный контур содержит конденсатор с утечкой. Емкость конденсатора $C$, его активное сопротивление $R$. Индуктивность катушки $\boldsymbol{L}$. Сопротивление катушки и проводов пренебрежимо мало. Найти:
a) частоту затухающих колебаний такого контура;
б) его добротность.
3.137. Найти добротность контура с емкостью $C=2,0$ мкФ и индуктивностью $\boldsymbol{L}=\mathbf{5 , 0} \mathrm{M}$ Гн, если на поддержание в нем незатухающих колебаний с амплитудой напряжения на конденсаторе $U_{m}=1,0$ В необходимо подводить моцность $\langle P\rangle=0,10 \mathrm{mBT}$. Затухание колебаний в контуре достаточно мало.
3.138. Какую среднюю мощность должен потреблять колебательный контур с активным сопротивлением $R=0,45$ Ом, чтобы в нем поддерживались незатухающие гармонические колебания с амплитудой тока $I_{m}=30 \mathrm{MA}$ ?
3.139. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью $C=1,2$ н $Ф$ и катушку с индуктивностью $L=6,0$ мкГн и активным сопротивлением $R=0,50$ Ом. Какую среднюю мощность нужно подводить к контуру, чтобы поддерживать в нем незатухающие гармонические колебания с амплитудой напряжения на конденсатора $U_{m}=10 \mathrm{~B}$ ?
3.140. Найти частоту затухающих колебаний контура, показанного на рис. 3.35. Емкость $C$, индуктивность $L$ и активное сопротивление $\boldsymbol{R}$ предполагаются известными.
3.141. Имеются два колебательных контура (рис. 3.36) с конденсаторами одинаковой емкости. При каком соотношении между индуктивностями и активными сопротивлениями катушек частоты и затухания свободных колебаний в обоих контурах будут одинаковыми? Взаимная индуктивность катушек левого контура пренебрежимо мала.
Рис. 3.35
Рис. 3.36
3.142. Контур состоит из последовательно включенных конденсатора емкости $C$, катушки индуктивности $L$, ключа и сопротивления, равного критическому для данного контура. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили до напряжения $U_{0}$ и в момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$ ключ замкнули. Найти ток $l$ в контуре как функцию времени $t$. Чему равен $I_{\text {махс }}$ ?
3.143. Катушку с активными сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$ подключили в момент $t=0$ к исгочнику напряжения $U=U_{\text {in }} \cos \omega t$. Найти ток в катушке $l(t)$.
3.144. Цепь, состояцую из последовательно соединенных конденсатора емкости $C$ и сопротивления $R$, подключили к неременному напряжению $U=U_{m} \cos \omega t$ в момент $t=0$. Найти ток в цепи как функцию времени $t$.
3.145. Длинный однослойный соленоид из проволоки с удельным сопротивлением $\rho$ имеет на единицу длины $n$ плотно расположенных витков. Толцина изоляции провода пренебрежимо мала. Радиус сечения соленоида равен $a$. Найти разность фаз между током и переменным напряжением частоты $v$, которое подключено к концам соленоида.
3.146. Концы цепи, состоящей из последовательно включенных конденсатора и активного сопротивления $R=110$ Ом, подсоединили к переменному напряжению с амплитудой $U_{m}=110$ В. При этом амплитуда установившегося тока в цепи $I_{m}=0,50 \mathrm{~A}$. Найти разность фаз между током и подаваемым напряжением.

3.147. На рис. 3.37 показана простейшая схема сглаживающего фильтра. На вход подают напряжение $U_{0}=[1+\cos \omega t]$. Найти:
a) выходное напряжение $U^{\prime}(t)$;
б) значение $R C$, при котором амплитуда

Рис. 3.37 переменной составляющей напряжения на выходе будет в $\eta=7,0$ раз меньше постоянной составляющей, если $\omega=314 \mathrm{c}^{-1}$.
3.148. Колебательный контур с индуктивностью $L$ подключен последовательно к внешнему синусоидальному напряжению с амплитудой $U_{m}$. Контур настроен в резонанс, при котором амплитуда установившегося тока равна $I_{m}$. Найти промежуток времени $\tau$, за который амплитуда тока уменьшится в $е$ раз, если процесс будет происходить в режиме свободных затухающих колебаний.
3.149. Изобразить примерные векторные диаграммы напряжений в электрических цепях, показанных на рис. 3.38 а, б. Внешнее напряжение $U$ предполагается гармоническим с частотой $\omega$.
Рис. 3.38
3.150. Цепь из последовательно соединенных конденсатора емкости $C=22$ мкФ и катушки с активным сопротивлением $R=20$ Ом и индуктивностью $L=0,35$ Гн подключена к сети переменного напряжения с амплитудой $U_{m}=180 \mathrm{~B}$ и частотой $\omega=314 \mathrm{c}^{-1}$. Найти:
a) амплитуду тока в цепи;
б) разность фаз между током и внешним напряжением;
в) амплитуды напряжения на конденсаторе и катушке.
3.151. Цепь из последовательно соединенных конденсатора емкости $C$, катушки индуктивности $L$ (без активного сопротивления) и резистора с сопротивлением $\boldsymbol{R}$ подключили к источнику гармонического напряжения, частоту $\omega$ которого можно менять, не изменяя его амплитуды. Найти частоту $\omega$, при которой становится максимальным напряжение:
a) на конденсаторе; б) на катушке.
Убедиться, что эти частоты связаны соотношениями $\omega_{\text {Cрes }}<\omega_{L \text { pe3 }}$ и $\omega_{C_{\text {pes }}} \cdot \omega_{L \text { pes }}=\omega_{0}^{2}$.
3.152. Переменное напряжение с частотой $\omega=314 \mathrm{c}^{-1}$ и амплитудой $U_{m}=180 \mathrm{~B}$ подключено к концам цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки с активным сопротивлением $R=40$ Ом и индуктивностью $L=0,36$ Гн. При каком значении емкости конденсатора амплитуда напряжения на катушке будет максимальной? Чему равна эта амплитуда и соответствующая амплитуда напряжения на конденсаторе?
3.153. Конденсатор емкости $C$, пространство между обкладками которого заполнено слабо проводящей средой с активным сопротивлением $R$, подключили к источнику переменного напряжения $U=U_{m} \cos \omega t$. Найти установившийся ток в подводящих проводах в зависимости от времени. Сопротивление проводов пренебрежимо мало.
3.154. Колебательный контур содержит конденсатор емкости $C$ и соленоид с индуктивностью $L_{1}$. Соленоид индуктивно связан с короткозамкнутой катушкой, имеющей индуктивность $L_{2}$ и пренебрежимо малое активное сопротивление. Их взаимная индуктивность $L_{12}$. Найти собственную частоту данного колебательного контура.
3.155. Найти добротность колебательного контура, в который последовательно включен источник переменной ЭДС, если при резонансе напряжение на конденсаторе в $\boldsymbol{n}$ раз превышает напряжение на источнике.
3.156. Цепь переменного тока, состоящая из последовательно соединенных катушки и конденсатора, подключена к источнику переменной ЭДС, причем индуктивность катушки подобрана так, что ток в цепи максимален. Найти добротность системы, если известно, что при увеличении индуктивности в $\boldsymbol{n}$ раз ток в цепи уменьшается в $\eta$ раз.
3.157. Последовательно соединенные конденсатор емкости $C=45$ мкФ и катушка с активным сопротивлением подключены к источнику гармонического напряжения, частоту которого можно менять, не изменяя его амплитуды. При частотах $v_{1}=1,50$ кГц и $v_{2}=2,50$ кГц амплитуда тока оказалась одинаковой. Найти индуктивность катушки.
3.158. Показать, что при малом затухании добротность контура, в котором совершаются вынужденные колебания, $Q \approx \omega_{0} / \Delta \omega$, где $\omega_{0}$ – собственная частота колебаний, $\Delta \omega-$ ширина резонансной кривой $I(\omega)$ на \”высоте\”, в $\sqrt{2}$ раз меньшей амплитуды тока при резонансе.
3.159. К концам цепи, состояцей из последовательно соединенных конденсатора и катушки, подают поочередно два переменных напряжения одинаковой амплитуды, но разной частоты. Частота одного иапржения равна собственной частоте $\left(\omega_{0}\right)$, другого – в $\eta$ раз больше. Найти отношение амплитуд токов $I_{0} / I$, возбуждаемых обоими напряжениями, если добротность системы равна $Q$. Вычислить это отношение для $Q=10$ и 100, если $\eta=1,10$.
3.160. Для зарядки аккумулятора постоянным током $I_{0}$ требуется $t_{0}$ часов. Сколько времени понадобится для зарядки такого аккумулятора от сети через однополупериодный выпрямитель, если действуюцее значение тока тоже равно $I_{0}$.
3.161. Найти действующее значение тока, если среднее значение его равно $I_{0}$, а сам ток зависит от времени по закону:
a) показанному на рис. 3.39 ;
Pис. 3.39
б) $I \omega \sin (\omega t) \mid$.
3.162. Соленоид с индуктивностью $L=7 \mathrm{M} \Gamma \mathrm{H}$ и активным сопротивлением $R=44$ Ом подключили сначала к источнику постоянного напряжения $U_{0}$, а затем к генератору синусоидального напряжения с действующим значением $U=U_{0}$. При какой частоте генератора мощность, потребляемая соленоидом, будет в $\eta=5,0$ раза меньше, чем в первом случае?
3.163. К сети с действующим напряжением $U=100 \mathrm{~B}$ подключили катушку, индуктивное сопротивление которой $X_{L}=30$ Ом и импеданс $Z=50$ Ом. Найти разность фаз между током и напряжением, а также тенипну моңцость, выдетяемую в катушкс.
3.164. Катупка с индуктивносюю $L=0,70$ Гн и активним сопротивлением $r=20$ Ом сосцинєна носясдовательно с безыидукционным сопротивлением $R$, и межуу концами этой цени $U=220$ В и частотой $\omega=314 \mathrm{c}^{-1}$. При какем значении сопротивмонцость? ‘елу ина ранна\” моцност в катупке в $n=1,7$ раза. На сколько процсптов изменилось ири том значение $\cos \varphi$ ?
3.166. В колебателиний контур с цоброгностью $Q=100$ ностоянной амплитугой наряжения. При нскоторої час готе yменьнинась $B \quad n=2,0$ paisi? безнндукционои сонротивисния $R=0,16 \mathrm{kOM}$ и катунки с и катунке равни соотьствснио $U_{1}=80 \mathrm{~B}$ и $U_{2}=180 \mathrm{~B}$.
3.168. Катупка и безындукциониос сопротивисние $R=25$ ом подключены параллельно к сети неременного наряжения. Найти тепновую мощност, виделясмую в катушке, сели из сети потребляетея ток $I=0,90 \mathrm{~A}$, а чере катунку и сопротивиние $R$ текут токи соответетвнно, $I_{1}=0,50$ А и $I_{2}=0,60 \mathrm{~A}$.
3.169. Найти полнос сопротияление унстка цени, сосюяцего из параллельно включенного конденсатора емкости $C=73$ мкФ и активного сопротивления $R=100 \mathrm{OM}$, цля переменного тока Уастоты $\omega=314 \mathrm{c}^{-1}$.
3.170. Изобразить примерные вскторные диаграммы токов в электрических контурах, показанных на рис. 3.40. Предполагается, что подаваемое между точками $A$ и $B$ нанряжение синусоидальное и параметры каждого контура подобраны так, что суммарный ток $I_{0}$ через контур отстает по фазе от внешнего напряжения на угол $\varphi$.
Рис. 3.40
3.171. Конденсатор емкости $C=1,0$ мкФ и катушку с активным сопротивлением $R=0,10$ Ом и индуктивностью $L=1,0$ мГн подключили параллельно к источнику синусоидального напряжения с действующим значением $U=31$ В. Найти:
a) частоту $\omega$, при которой наступает резонанс;
б) действующее значение подводимого тока при резонансе и соответствующие токи через катушку и конденсатор.
3.172. К источнику синусоидального напряжения с частотой $\omega$ подключили параллельно конденсатор емкости $C$ и катушку с активным сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$. Найти разность фаз между подводимым к контуру током и напряжением на источнике.
3.173. Участок цепи состоит из параллельно включенных конденсатора емкости $C$ и катушки с активным сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$. Найти полное сопротивление этого участка для переменного напряжения с частотой $\omega$.
3.174. Кольцо из тонкого провода с активным сопротивлением $R$ и индуктивностью $L$ вращают с постоянной угловой скоростью $\omega$ во внешнем однородном магнитном поле, перпендикулярном к оси вращения. При этом поток магнитной индукции внешнего поля через кольцо изменяется во времени по закону $\Phi=\Phi_{0} \cos \omega t$. Показать, что индукционный ток в кольце зависит от времени как $I=I_{m} \sin (\omega t-\varphi)$, где $I_{m}=\omega \Phi_{0} / \sqrt{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}$, причем $\operatorname{tg} \varphi=\omega L / R$.
3.175. Найти среднюю механическую мощность, развиваемую внешними силами для поддержания вращения кольца из предыдущей задачи с постоянной угловой скоростью.
3.176. На деревянный сердечник (рис. 3.41) надеты две катушки: катушка 1 с индуктивностью $L_{1}$ и замкнутая накоротко катущқа 2 с активным сопротивлением $R$ и индуктивностью $L_{2}$. Взаимная индуктивность катушек зависит от расстояния
Рис. 3.41
$\boldsymbol{x}$ между ними по закону $\boldsymbol{L}_{12}(\boldsymbol{x})$.
Найти среднее значение силы взаимодействия между катушками, когда по катушке 1 течет ток $I_{1}=I_{0} \cos \omega t$.