– Фазовая скорость электромагнитной волны:
\[
v=c / \sqrt{\varepsilon \mu} \text {, где } c=1 / \sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}} \text {. }
\]
– В бегущей электромагнитной волне:
\[
E \sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0}}=H \sqrt{\mu \mu_{0}} .
\]
– Для плоской электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме вдоль оси $x$ :
\[
-\partial B_{z} / \partial t=\partial E_{y} / \partial x, \quad-\partial E_{y} / \partial t=-c^{2} \partial B_{z} / \partial x
\]
– Объемная плотность энергии электромагнитного поля:
\[
\boldsymbol{w}=\mathbf{B D} / 2+\mathbf{B} \mathbf{H} / 2 \text {. }
\]
– Плотность потока электромагнитной энергии – вектор Пойнтинга:
\[
\mathbf{S}=[\mathbf{E} \mathbf{H}] \text {. }
\]
– Основные уравнения двухпроводной линии:
\[
\partial I / \partial x=-C_{1} \partial U / \partial t, \quad \partial U / \partial x=-L_{1} \partial I / \partial t,
\]

где $C_{1}$ и $L_{1}$ – емкость и индуктивность единицы длины линии. Ее волновое сопротивление $\rho=\sqrt{L_{1} / C_{1}}$.
– Амплитуда электромагнитной волны, излучаемой диполем, в волновой зоне:
\[
E_{m} m(1 / r) \sin \theta
\]

где $r$ – расстояние от диполя, – угол между радиусом-вектором $\mathbf{r}$ и осью диполя.
– Мощности излучения диполя с электрическим моментом $\mathbf{p}(t)$ и заряда $q$, движущегося с ускорением :
\[
P=\left(1 / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \cdot 2 \boldsymbol{p}^{2} / 3 c^{3}, \quad P=\left(1 / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \cdot 2 q^{2} z^{2} / 3 c^{3} .
\]
– Эффект Доплера при $v<<$ :

где $v$ – скорость источника, – угол между направлением скорости $v$ источника и направлением на наблюдателя.
– Эффект Доплера в общем случае:
\[
v=v_{0} \frac{\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\beta \cos \theta}, \quad \text { где } \beta=v / c \text {. }
\]

При $\theta=0$ эффект Доплера называют продольным, а при $\theta=\pi / 2$ поперечным.
3.232. Электромагнитная волна частоты $v=3,0 \mathrm{M} \Gamma_{ц}$ переходит из вакуума в диэлектрик проницаемости $\varepsilon=4,0$. Найти приращение ее длины волны.
3.233. Плоская электромагнитная волна падает нормально на поверхность плоскопараллельного слоя толщины $l$ из диэлектрика, проницаемость которого уменьшается экспоненциально от $\varepsilon_{1}$ на передней поверхности до $\varepsilon_{2}$ на задней. Найти время распространения заданной фазы волны через этот слой.
3.234. Электромагнитная волна распространяется в вакууме вдоль оси $x$. В точке $A$ в некоторый момент модуль плотности тока смещения $j_{\text {см }}=160 \mathrm{mkA} / \mathrm{m}^{2}$. Найти в точке $A$ в тот же момент модуль производной $|\partial E / \partial x|$.
3.235. Плоская электромагнитная волна частоты $v=10 \mathrm{M}$ Гц распространяется в слабо проводящей среде с удельной проводимостью $\sigma=10 \mathrm{MCM} / \mathrm{M}$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=9$. Найти отношение амплитуд плотностей токов проводимости и смещения.
3.236. Плоская электромагнитная волна $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{m} \cos (\omega \boldsymbol{t}-\mathbf{k r})$ распространяется в вакууме. Считая векторы $\mathbf{E}_{m}$ и $\mathbf{k}$ известными, найти вектор $\mathbf{H}$ как функцию времени $\boldsymbol{t}$ точке $\mathbf{c}$ радиусом-вектором $\mathbf{r}=\mathbf{0}$.
3.237. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна $\mathrm{E}=\mathrm{e}_{y} E_{m} \cos (\omega t-k x)$, где $\mathrm{e}_{y}-$ орт оси $y, E_{m}=160 \mathrm{~B} / \mathrm{M}$, $k=0,51 \mathrm{~m}^{-1}$. Найти вектор Н в точке с координатой $x=7,7 \mathrm{M}$ в момент:
а) $t=0$; б) $t=33 \mathrm{нс}$.
3.238. Тонкая катушка, имеющая вид кольца радиуса $R=35$ см, состоит из $n=10$ витков провода. Катушка находится в поле электромагнитной волны частоты $v=5,0$ МГц, направление распространения которой и ее электрический вектор перпендикулярны оси катушки. Амплитудное значение модуля электрического вектора волны $E_{m}=0,50 \mathrm{mB} / \mathrm{M}$. Найти амплитудное значение ЭДС индукции в катушке.
3.239. Исходя из уравнений Максвелла, показать, что для плоской электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме в направлении оси $x$, справедливы соотношения ( 3.4 в).
3.240. Найти средний вектор Пойнтинга плоской электромагнитной волны с электрической составляющей $\mathbf{E}=\mathbf{E}_{m} \cos (\omega t-\mathbf{k r})$, если волна распространяется в вакууме.
3.241. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна, частота которой $v=100 \mathrm{M}$ ц и амплитуда электрической составляющей $E_{m}=50 \mathrm{MB} / \mathrm{m}$. Найти средние за период колебания значения:
a) модуля плотности тока смещения;
б) плотности потока энергии.
3.242. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна частоты $\omega$, для которой среднее значение плотности потока энергии равно $\langle S\rangle$. Найти амплитудное значение плотности тока смещения в этой волне.
3.243. В вакууме вдоль оси $x$ распространяются две плоские одинаково поляризованные волны, электрические составляющие которых изменяются по закону $\mathbf{E}_{1}=\mathbf{E}_{0} \cos (\omega t-k x)$ и $\mathrm{E}_{2}=\mathrm{E}_{0} \cos (\omega t-k x+\varphi)$. Найти среднее значение плотности потока энергии.
3.244. В вакууме распространяются две плоские электромагнитные волны, одна – вдоль оси $x$, другая – вдоль оси $y$ : $\mathbf{E}_{1}=\mathbf{E}_{0} \cos (\omega t-k x), \mathbf{E}_{2}=\mathbf{E}_{0} \cos (\omega t-k y)$, где вектор $\mathbf{E}_{0}$ параллелен оси $z$. Найти среднее значение плотности потока энергии в точках плоскости $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}$.
3.245. Шар радиуса $R=50$ см находится в немагнитной среде проницаемости $\varepsilon=4,0$. В среде распространяется плоская электромагнитная волна, длина которой $\lambda<<$ и амплитуда электрической составляющей $E_{m}=200 \mathrm{~B} / \mathrm{M}$. Какая энергия падает на шар за время $t=60 \mathrm{c}$ ?
3.246. В вакууме в направлении оси $x$ установилась стоячая электромагнитная волна с электрической составляющей $\mathbf{E}=\mathrm{E}_{m} \cos (k x) \cos (\omega t)$. Найти магнитную составляющую волны $\mathbf{B}(x, t)$. Изобразить примерную картину распределения электрической и магнитной составляющих волны в моменты $t=0$ и $t=T / 4$, где $T-$ период колебаний.
3.247. В вакууме вдоль оси $x$ установилась стоячая электромагнитная волна с электрической составляющей $\mathrm{E}=\mathrm{E}_{m} \cos (k x) \cos (\omega t)$. Найти $x$-проекцию вектора Пойнтинга $S_{x}(x, t)$ и ее среднее за период колебаний значение.
3.248. Плоский воздушный конденсатор, обкладки которого имеют форму дисков радиуса $R=6,0 \mathrm{~cm}$, подключен к синусоидальному напряжению частоты $\omega=1000 \mathrm{c}^{-1}$. Найти отношение амплитудных значений магнитной и электрической энергий внутри конденсатора.
3.249. Синусоидальный ток частоты $\omega=1000 \mathrm{c}^{-1}$ течет по обмотке соленоида, радиус сечения которого $R=6,0$ см. Найти отношение амплитудных значений электрической и магнитной энергий внутри соленоида.
3.250. Плоский конденсатор с круглыми параллельными пластинами медленно заряжают. Показать, что поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность конденсатора равен приращению энергии конденсатора за единицу времени. Рассеянием поля на краях при расчете пренебречь.
3.251. По прямому проводнику круглого сечения течет постоянный ток I. Найти поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление $R$.
3.252. Нерелятивистские протоны, ускоренные разностью потенциалов $U$, образуют пучок круглого сечения с током $I$. Найти модуль и направление вектора Пойнтинга вне пучка на расстоянии $r$ от его оси.
3.253. Ток, протекающий по обмотке длинного прямого соленоида, достаточно медленно увеличивают. Показать, что скорость возрастания энергии магнитного поля в соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга через его боковую поверхность.
3.254. На рис. 3.42 показан участок двухпроводной линии передачи постоянного тока, направление которого отмечено стрелками. Имея в виду, что потенциал $\varphi_{2}>\varphi_{1}$, установить с помощью вектора Пойнтинга, где нахоРис. 3.42 дится генератор тока (слева, справа?).
3.255. Энергия от источника постоянного напряжения $U$ передается к потребителю по длинному прямому коаксиальному кабелю с пренебрежимо малым активным сопротивлением. Потребляемый ток равен I. Найти поток энергии через поперечное сечение кабеля. Внешняя проводящая оболочка кабеля предполагается тонкостенной.
3.256. Генератор переменного напряжения $U=U_{0} \cos \omega t$ передает энергию потребителю по длинному прямому коаксиальному кабелю с пренебрежимо малым активным сопротивлением. Ток в цепи меняется по закону $I=I_{0} \cos (\omega t-\varphi)$. Найти средний по времени поток энергии через поперечное сечение кабеля. Внешня оболочка кабеля тонкостенная.
3.257. Показать, что на границе раздела двух сред нормальные составляющие вектора Пойнтинга не терпят разрыва, т.е. $S_{1 n}=S_{2 n}$.
2.258. Исходя из основных уравнений двухпроводной линии (4.4 е), показать, что:
a) напряжение и ток распространяются вдоль линии в виде волны со скоростью $v=1 / \sqrt{L_{1} C_{1}}$;
б) волновое сопротивление линии $\rho=\sqrt{L_{1} / C_{1}}$.
3.259. Волновое сопротивление коаксиального кабеля (без потерь) $\rho=60$ Ом, пространство между внешним и внутренним проводниками заполнено диэлектриком проницаемости $\varepsilon=4,0$. Найти индуктивность и емкость единицы длины кабеля.
3.260. Определить волновое сопротивление $\rho$ :
a) двухпроводной линии без потерь, провода которой имеют радиус $a$ и расстояние между осями $b$, если $b>>a$;
б) коаксиального кабеля без потерь, радиус внутреннего провода которого $a$ и внутренний радиус внешнего цилиндрического проводника $b$, считая $\varepsilon=1$.
3.261. Найти с помощью уравнений (3.4 e) распределение тока $I(x, t)$ в двухпроводной линии, вдоль которой установилось распределение напряжений по закону $U=U_{m} \cos (k x) \cos (\omega t)$, если волновое сопротивление линии равно $\rho$.
3.262. Найти с помощью уравнений (3.4 е) закон распределения амплитуд напряжений $U_{m}(x)$ и токов $I_{m}(x)$ при наличии собственных колебаний в двухпроводной линии длины $l, \mathrm{y}$ которой:
a) концы с обеих сторон размокнуты;
б) концы с обеих сторон замкнуты;
в) левые концы линии замкнуты, правые разомкнуты.
2.263. Найти длину $L$ воздушной двухпроводной линии, концы которой замкнуты с обеих сторон, если резонанс в линии наступает при двух последовательных частотах $v_{1}=3,0 \mathrm{M} \Gamma_{ц}$ и $v_{2}=4,5$ МГц.
3.264. Доказать, что у замкнутой системы заряженных нерелятивистских частиц с одинаковым удельным зарядом дипольное излучение отсутствует.
3.265. Найти средню мощность излучения электрона, совершающего гармонические колебания с амплитудой $a=0,10$ нм и частотой $\omega=6,5 \cdot 10^{14} \mathrm{c}^{-1}$.
3.266. Найти мощность излучения нерелятивистской частицы с зарядом $e$ и массой $m$, движущейся по круговой орбите радиуса $R$ в поле неподвижного точечного заряда $q$.
3.267. Нерелятивистский протон влетел по нормали в полупространство с поперечным однородным магнитным полем, индукция которого $B=1,0$ Тл. Найти отношение энергии, потерянной протоном на излучение за время движения в поле, к его первоначальной кинетической энергии.
3.268. Нерелятивистская заряженная частица движется в поперечном однородном магнитном поле с индукцией $\boldsymbol{B}$. Найти закон убывания (за счет излучения) кинетической энергии частицы во времени. Через сколько времени ее кинетическая энергия уменышается в $e$ раз? Вычислить это время для электрона и протона, если $B=1,0$ Тл.
3.269. Заряженная частица движется вдоль оси $у$ по закону $y=a \cos \omega t$, а точка наблюдения $P$ находится на оси $x$ на расстоянии $l$ от частицы ( $l>>a$ ). Найти отношение плотностей потока электромагнитного излучения $S_{1} / S_{2}$ в точке $P$ в моменты, когда координата частицы $y_{1}=0$ и $y_{2}=a$. Вычислить это отношение, если $\omega=2,01 \cdot 10^{8} \mathrm{~cm}^{-1}$ и $l=50,0 \mathrm{~m}$. Запаздывание пренебрежимо мало.
3.270. В направлении максимального излучения на расстоянии $r_{0}=10$ м от элементарного диполя (волновая зона) амплитуда напряженности электрического поля $E_{m}=6 \mathrm{~B} / \mathrm{M}$. Найти среднее значение плотности потока энергии на расстоянии $r=20$ м от диполя в направлении, составляющем угол $\hat{\boldsymbol{v}}=30^{\circ}$ с его осью.
3.271. Электромагнитная волна, излучаемая диполем, распространяется в вакууме так, что в волновой зоне на луче. перпендикулярном оси диполя, на расстоянии $r$ от него среднее значение плотности потока энергии равно $s_{0}$. Найти среднюю мощность излучения диполя.
3.272. Средняя мощность, излучаемая диполем, равна $\boldsymbol{P}_{0}$. Найти среднюю плотность энергии электромагнитного поля в вакууме в волновой зоне на луче, перпендикулярном оси диполя, на расстоянии $r$ от него.
3.273. Постоянный по модулю электрический диполь с моментом $\boldsymbol{p}$ вращают с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, перпендикулярной оси диполя и проходящей через его середину. Найти мощность излучения диполя.
3.274. Считая, что частица имеет форму шарика и поглощает весь падающий на нее свет, найти радиус частицы, при котором гравитационное притяжение ее к Солнцу будет компенсироваться силой светового давления. Мощность светового излучения Солнца $\boldsymbol{P}=4 \cdot 10^{26} \mathrm{~B}$, плотность частицы $\rho=1,0 г / \mathrm{cm}^{3}$.
3.275. В опыте Физо по определению скорости света расстояние между зубчатым колесом и зеркалом $l=7,0 \mathrm{~km}$, число зубцов $z=720$. Два последовательных исчезновения света наблюдали при частотах вращения колеса $n_{1}=283$ об/с и $n_{2}=313$ об/с. Найти скорость света.
3.276. Источник света движется со скоростью о относительно приемника. Показать, что при $v<<c$ относительное изменение частоты света определяется формулой (3.4 и).
3.277. Одна из спектральных линий, испускаемых возбужденными ионами $\mathrm{He}^{+}$, имеет длину волны $\lambda=410$ нм. Найти доплеровское смещение $\Delta \lambda$ этой линии, если ее наблюдать под углом $=30^{\circ}$ к пучку ионов, движущихся с кинетической энергией $K=10$ МэВ.
3.278. При наблюдении спектральной линии $\lambda=0,59$ мкм в направлениях на противоположные края солнечного диска на его экваторе обнаружили различие в длинах волн на $\delta \lambda=8,0$ пм. Найти период вращения Солнца вокруг собственной оси.
3.279. Эффект Доплера позволил открыть двойные звезды столь удаленные, что разрешение их с помощью телескопа оказалось невозможным. Спектральные линии таких звезд периодически становятся двойными, из чего можно заключить, что источником являются две звезды, обращающиеся вокруг их центра масс. Считая массы обеих звезд одинаковыми, найти расстояние между ними и их массы, если максимальное расщепление спектральных линий $(\Delta \lambda / \lambda)_{m}=1,2 \cdot 10^{-4}$, причем оно возникает через каждые $\tau=30$ сут.
3.280. Плоская электромагнитная волна частоты $\omega_{0}$ падает нормально на поверхность зеркала, движущегося навстречу с релятивистской скоростью $v$. Найти с помощью формулы Доплера частоту отраженной волны. Рассмотреть также случай $v<<c$.
3.281. Радиолокатор работает на длине волны $\lambda=50,0$ см. Найти скорость приближающегося самолета, если частота биений между сигналами передатчика и отраженными от самолета в месте расположения локатора $\Delta v=1,00$ кГц.
3.282. Имея в виду, что фаза электромагнитной волны $\omega t-k x$ есть инвариант, т.е. не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, определить, как преобразуются частота $\omega$ и волновое число $k$.
3.283. С какой скоростью удаляется от нас некоторая туманность, если линия водорода $\lambda_{0}=434$ нм (для неподвижного источника) в ее спектре смещена в длинноволновую сторону на 130 нм?
3.284. С какой скоростью должна была бы двигаться автомашина, чтобы красный свет светофора ( $\lambda \approx 0,70$ мкм) превратился в зеленый ( $\lambda^{\prime} \approx 0,55$ мкм)?
3.285. По некоторой прямой движутся в одном направлении наблюдатель со скоростью $v_{1}=\mathbf{0 , 5 0} c$ и впереди него источник света со скоростью $v_{2}=0,75 c$. Собственная частота света равна $\omega_{0}$. Найти частоту света, которую зафиксирует наблюдатель.
3.286. Одна из спектральных линий атомарного водорода имеет длину волны $\lambda=656,3$ нм. Найти доплеровское смещение $\Delta \lambda$ этой линии, если ее наблюдать под прямым углом к пучку атомов водорода с кинетической энергией $K=1,0$ МэВ (поперечный доплер-эффект).
3.287. Источник, испускающий электромагнитные сигналы с собственной частотой $v_{0}=3,0$ ГГц, движется со скоростью $v=\mathbf{0 , 8 0} c$ по прямой, отстоящей от неподвижного наблюдателя $\boldsymbol{P}$ на расстояние $l$ (рис. 3.43). Найти частоту
Рис. 3.43

сигналов, принимаемых наблюдателем в момент:
a) когда источник окажется в точке $O$;
б) когда наблюдатель увидит его в точке $O$.
3.288. Узкий пучок электронов проходит над поверхностью металлического зеркала, на котором нанесена система штрихов с шагом $d=2,0$ мкм. Электроны движутся с релятивистской скоростью $v$ перпендикулярно Рис. 3.44 штрихам. При этом наблюдается видимое излучение: траектория электронов имеет вид нолоски, окраска которой меняется в зависимости от угла наблюдения ө (рис. 3.44). Объяснить это явление. Найти длину волны наблюдаемого излучения при $\hat{\theta}=\mathbf{4 5 ^ { \circ }}$.
3.289. Из-за движения Земли направление на звезду в плоскости эклиптики в течение года периодически меняется, и звезда совершает кажуциеся колебания в пределах угла $\alpha=41^{\prime \prime}$. Найти скорость Земли на орбите.
3.290. Найти угол полураствора конуса, в котором будут видны звезды, расположенные в полусфере для земного наблюдателя, если двигаться относительно Земли со скоростью, отличающейся от скорости света на $\eta=1,0 \%$.