– Векторы обозначены жирным шрифтом (r, v, a) а их модули – светлым курсивным шрифтом $(r, v, a)$.
– Средние векторы скорости и ускорения точки:
\[
\langle\mathbf{v}\rangle=\Delta \mathbf{r} / \Delta t, \quad\langle\mathbf{Q}\rangle=\Delta \mathbf{v} / \Delta t,
\]

где $\boldsymbol{\Delta} \mathbf{r}$ – перемещение (приращение радиуса-вектора).
– Скорость и ускорение точки:
\[
\mathbf{v}=d \mathbf{r} / d t, \quad \mathbf{a}=d \mathbf{v} / d t .
\]
– Ускорение точки в проекциях на касательную и нормаль к траектории:
\[
a_{\tau}=d v_{t} / d t, \quad a_{n}=v^{2} / R,
\]

где $R$ – радиус кривизны траектории в данной точке.
– Путь, пройденный точкой:
\[
s=\int v d t
\]

где $v-$ модуль скорости точки.
– Угловые скорость и ускорение твердого тела:
\[
\omega=d \varphi / d t, \quad \beta=d \omega / d t .
\]
– Связь между линейными и угловыми величинами:
\[
\mathbf{v}=[\omega \mathbf{r}], a_{n}=\omega^{2} R, \quad a_{\tau}=\beta_{z} R,
\]

где $\mathbf{r}$ – радиус-вектор рассматриваемой точки относительно произвольной точки оси вращения, $\boldsymbol{R}$ – расстояние точки от оси вращения.
1.1. Катер, двигаясь вниз по реке, обогнал плот в пункте $\boldsymbol{A}$. Через $\tau=60$ мин после этого он повернул обратно и затем встретил плот на расстоянии $l=6,0 \mathrm{xм}$ ниже пункта $A$. Найти скорость течения, если при движении в обоих направлениях мотор катера работал в одном режиме.
1.2. Все звезды, в частности и некоторая звезда $N$, удаляются от Солнца со скоростями, пропорциональными их расстоянию до него. Как будет выглядеть эта картина с \”точки зрения\” звезды $N$ ?
1.3. Точка прошла половину пути со скоростью $v_{0}$. На оставшейся части пути она половину времени двигалась со скоростью $v_{1}$, а последний участок прошла со скоростью $v_{2}$. Найти среднюю за все время движения скорость точки.
1.4. Точка движется по прямой в одну сторону. На рис. 1.1 показан график пройденного ею пути $s$ в зависимости от времени $t$. Найти с помощью этого графика:
a) среднюю скорость точки за
Рис. 1.1
время движения:
б) максимальную скорость;
в) момент времени $t_{0}$, в который мгновенная скорость равна средней скорости за первые $t_{0}$ секунд.
1.5. Две частицы, 1 и 2, движутся с постоянными скоростями $\mathbf{v}_{1}$ и $\mathbf{v}_{2}$. Их радиусы-векторы в начальный момент равны $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$. При каком соотношении между этими четырьмя векторами частицы испытают столкновение друг с другом?
1.6. Корабль движется по экватору на восток со скоростью $v_{0}=30 \mathrm{~km} /$. С юго-востока под углом $\varphi=60^{\circ} \mathrm{K}$ экватору дует ветер со скоростью $v=15 \mathrm{~km} / ч$. Найти скорость $v^{\prime}$ ветра относительно корабля и угол $\varphi^{\prime}$ между экватором и направлением ветра в системе отсчета, связанной с кораблем.
1.7. Два пловца должны попасть из точки $\boldsymbol{A}$ на одном берегу реки в прямо противоположную точку $B$ на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой $A B$, другой же – все время держать курс перпендикулярно к течению, а расстояние, на которое его снесет, пройти пешком по берегу со скоростью $u$. При каком значении $и$ оба пловца достигнут точки $\boldsymbol{B}$ за одинаковое время, если скорость течения $v_{0}=2,0 \mathrm{~km} / ч$ и скорость каждого пловца относительно воды $v^{\prime}=2,5 \mathrm{~km} / \mathrm{q}$ ?
1.8. От бакена, который находится на середине широкой реки, отошли две лодки, $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$. Обе лодки стали двигаться по взаимно пергендикулярным прямым: лодка $A$ – вдоль реки, а лодка $B$ – поперек. Удалившись на одинаковое расстояние от бакена, лодки вернулись затем обратно. Найти отношение времен движения лодок $\tau_{A} / \tau_{B}$, если скорость каждой лодки относительно воды в $\eta=1,2$ раза больше скорости течения.
1.9. Лодка движется относительно воды со скоростью, в $n=2,0$ раза меньшей скорости течения реки. Под каким углом к направлению течения лодка должна держать курс, чтобы ее снесло течением как можно меньше?
1.10. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно – вертикально вверх, другое – под углом $\hat{t}=60^{\circ} \mathrm{K}$ горизонту. Начальная скорссть каждого тела $v_{0}=25$ м/c. Найти расстояние между телами через $t=1,70$ с.
1.11. Два шарика бросили одновременно из одной точки в горизонтальном направлении в противоположные стороны со скоростями $v_{1}=3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ и $v_{2}=4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Найти расстояние между шариками в момент, когда их скорости окажутся взаимно перпендикулярными.
1.12. Три точки находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной $a$. Они начинают одновременно двигаться с постоянной по модулю скоростью $v$, причем первая точка все время держит курс на вторую, вторая – на третью, третья – на первую. Через сколько времени точки встретятся?
1.13. Точка $A$ движется равномерно со скоростью $v$ так, что вектор $\mathbf{v}$ все время \”нацелен\” на точку $\boldsymbol{B}$, которая движется прямолинейно и равномерно со скоростью $u<v$. В начальный момент $\mathbf{v} \perp \mathbf{u}$ и расстояние между точками равно $l$. Через сколько времени точки встретятся?
1.14. Поезд длины $l=350$ м начинает двигаться по прямому пути с ускорением $a=3,0 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$. Через $t=30 \mathrm{c}$ после начала движения включили прожектор локомотива (событие 1), а через $\tau=60$ с после этого – сигнальную лампу в хвосте поезда (событие 2). Найти расстояние между точками, в которых произошли эти события, относительно полотна дороги. Как и с какой скоростью должна перемещаться некоторая $K$-система отсчета, чтобы оба события произошли в ней в одной точке?
1.15. Кабина лифта, у которой расстояние от пола до потолка 2,7 м, начала подниматься с ускорением 1,2 м/ $\mathrm{c}^{2}$. Через 2,0 с после начала подъема с потолка кабины стал падать болт. Найти:
a) время свободного падения болта;
б) перемещение и путь болта за время свободного падения в системе отсчета, связанной с шахтой лифта.

1.16. Две частицы движутся с постоянными скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$ по двум взаимно перпендикулярным прямым к точке их пересечения $O$. В момент $t=0$ частицы находились на расстояниях $l_{1}$ и $l_{2}$ от точки $O$. Через сколько времени после этого расстояние между частицами станет наименьшим? Чему оно равно?
1.17. Из пункта $A$, находящегося на шоссе (рис. 1.2), необходимо за кратчайшее время попасть на машине в пункт $B$, расположенный в поле на расстоянии $l$ от шоссе. На каком расстоянии от точки $D$ следует свернуть с шоссе, если скорость машины по полю в $\eta$ раз меньше ее скорости по шоссе?
Рис. 1.2
Рис. 1.3
1.18. Точка движется вдоль оси $x$ со скоростью, проекция которой $v_{x}$ как функция времени описывается графиком на рис. 1.3. В момент $t=0$ координата точки $x=0$. Изобразить примерные графики зависимостей ускорения $a_{x}$, координаты $x$ и пройденного пути $s$ от времени.
1.19. За время $\tau=10,0$ с точка прошла половину окружности радиуса $R=160 \mathrm{cм}$. Найти за это время:
a) среднее значение модуля скорости;
б) модуль среднего вектора скорости;
в) модуль среднего вектора полного ускорения, если тангенциальное ускорение постоянно.
1.20. Радиус-вектор частицы меняется со временем $t$ по закону $\mathbf{r}=\mathbf{b} t(1-\alpha t)$, где $\mathbf{b}$ – постоянный вектор, $\alpha$ – положительная постоянная. Найти:
a) скорость и ускорение частицы как функции $t$;
б) время, через которое частица вернется в исходную точку, и пройденный при этом путь.
1.21. В момент $t=0$ частица вышла из начала координат в положительном направлении оси $x$. Ее скорость меняется со временем $t$ как $\mathbf{v}=\mathbf{v}_{0}(1-t / \tau)$, где $\mathbf{v}_{0}-$ начальная скорость, ее модуль $v_{0}=10,0 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}, \tau=5,0 \mathrm{c}$. Найти:

a) координату $x$ частицы, когда $t=6,0,10$ и $20 \mathrm{c}$;
б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10,0 см от начала координат.
1.22. Частица движется в положительном направлении оси $x$ так, что ее скорость меняется по закону $v=\alpha \sqrt{x}$, где $\alpha-$ положительная постоянная. В момент $\boldsymbol{t}=0$ частица находилась в точке $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$. Найти:
a) ее скорость и ускорение как функции времени;
б) среднюю скорость за время, в течение которого она пройдет первые $s$ метров пути.
1.23. Точка движется, замедляясь, по прямой с ускоренисм, модуль которого зависит от ее скорости $v$ как $a=\alpha \sqrt{v}$, где $\alpha$ постоянная. В начальный момент скорость точки равна $v_{0}$. Какой путь она пройдет до остановки и за какое время?
1.24. Точка движется в плоскости $x y$ по закону $x=\alpha t$, $y=\beta t^{2}$, где $\alpha$ и $\beta$ – положительные постоянные. Найти:
a) уравнение траектории точки $y(x)$ и ее график;
б) модули скорости и ускорения точки как функции $t$;
в) угол $\varphi$ между векторами а и $\mathbf{v}$ как функцию $t$.
1.25. Точка движется в плоскости $x y$ по закону $x=A \sin \omega t$, $y=A(1-\cos \omega t)$, где $A$ и $\omega$ – положительные постоянные. Найти:
a) путь $s$, проходимый точкой за время $\tau$;
б) утол между скоростью и ускорением точки.
1.26. Частица движется в плоскости $x y$ с постоянным ускорением a, противоположным положительному направлению оси $y$. Уравнение траектории частицы имеет вид $y=\alpha x-\beta x^{2}$, где $\alpha$ и $\beta$ – положительные постоянные. Найти скорость $v_{0}$ частицы в начале координат.
1.27. Небольшое тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью $\mathbf{v}_{0}$. Найти:
a) перемещение тела как функцию времени, r $(t)$;
б) средний вектор скорости за первые $t$ секунд и за все время движения.
1.28. Тело бросили с поверхности земли под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_{0}$. Найти:
a) время движения;
б) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета; при каком $\alpha$ они равны друг другу;
в) уравнение траектории $y(x)$, где $y$ и $x$ – перемещения тела по вертикали и горизонтали соответственно.

1.29. Под каким углом к горизонту надо бросить шарик, чтобы:
a) радиус кривизны начала его траектории был в $\eta=8,0$ раз больше, чем в вершине;
б) центр кривизны вершины траектории находился на земной поверхности?
1.30. Шарик падает с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом. Пролетев расстояние $h$, он упруго отразился от плоскости. На каком расстоянии от места падения шарик отразится второй раз?
1.31. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,1 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью $240 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ достигнет цели?
1.32. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью $v_{0}=250 \mathrm{~m} / \mathrm{c}:$ первый – под углом $\hat{v}_{1}=60^{\circ}$ к горизонту, второй – под углом $\hat{\vartheta}_{2}=45^{\circ}$ (азимут один и тот же). Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.
1.33. Воздушный шар начинает подниматься с поверхности земли. Скорость его подъема постоянна и равна $v_{0}$. Благодаря ветру шар приобретает горизонтальную компоненту скорости $v_{x}=\alpha y$, где $\alpha$ – постоянная, $y$ – высота подъема. Найти зависимости от высоты подъема:
a) сноса шара $x(y)$;
б) полного, тангенциального и нормального ускорений шара.
1.34. Частица движется в плоскости $x y$ со скоростью $\mathbf{v}=\boldsymbol{\alpha} \mathbf{i}+\beta \boldsymbol{j}$, где $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}-$ орты осей $\boldsymbol{x}$ и $y, \alpha$ и $\boldsymbol{\beta}$ – положительные постоянные. В начальный момент частица находилась в начале координат. Найти:
a) уравнение траектории частицы $y(x)$;
б) радиус кривизны траектории как функцию $x$.
Рис. 1.4
1.35. Частица $A$ движется в одну сторону по траектории (рис. 1.4) с тангенциальным ускорением $a_{\tau}=\alpha \tau$, где $\alpha$ – постоянный вектор, совпадающий по направлению с осью $x$, а $\tau$ – орт, связанный с частицей $A$ и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты. Найти скорость частицы как функцию $x$, если в точке $\boldsymbol{x}=0$ ее скорость равна нулю.

1.36. Точка движется по окружности со скоростью $v=\alpha t$, где $\alpha=0,50 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$. Найти ее полное ускорение в момент, когда она пройдет $n=0,10$ длины окружности после начала движения.
1.37. Точка движется, замедляясь, по окружности радиуса $R$ так, что в каждый момент ее тангенциальное и нормальное ускорения одинаковы по модулю. В момент $\boldsymbol{t}=0$ скорость точки равна $v_{0}$. Найти зависимость:
a) скорости точки от времени и пройденного пути $s$;
б) полного ускорения точки от $v$ и $s$.
1.38. Точка движется по дуге окружности радиуса $R$. Ее скорость $v \sim \sqrt{s}$, где $s$ – пройденный путь. Найти угол между векторами скорости и полного ускорения как функцию $s$.
1.39. Частица движется по дуге окружности радиуса $R$ по закону $l=A \sin \omega t$, где $l$ – смещение из начального положения, отсчитываемое вдоль дуги, $A$ и $\omega$ – постоянные. Найти полное ускорение частицы в точках $l=0$ и $l= \pm A$, если $R=100 \mathrm{cм}$, $A=80$ см и $\omega=2,00 \mathrm{c}^{-1}$.
1.40. Частица движется по окружности радиуса $R$. В момент $t=0$ она находилась в точке $O$, и далее скорость ее меняется со временем как $v_{\mathrm{s}}=\alpha t-\beta t^{2}$, где $\alpha$ и $\beta$ – положительные постоянные. Найти модуль полного ускорения частицы в момент, когда она снова окажется в точке $O$.
1.41. Точка движется по плоскости так, что ее тангенциальное ускорение $a_{\tau}=\alpha$, а нормальное ускорение $a_{n}=\beta t^{4}$, где $\alpha$ и $\beta$ – положительные постоянные. В момент $t=0$ точка покоилась. Найти радиус кривизны $R$ траектории точки и ее полное ускорение как функции пройденного пути $s$.
1.42. Частица движется равномерно со скоростью $v$ по плоской траектории $y(x)$. Найти ускорение частицы в точке $x=0$ и радиус кривизны траектории в этой точке, если траектория:
a) парабола $y=\alpha x^{2}$; б) эллипс $(x / \alpha)^{2}+(y / \beta)^{2}=1$, где $\alpha$ и $\beta$ – постоянные.
1.43. Частица $A$ движется по окружности радиуса $R=50$ см так, что ее радиус-вектор $\mathbf{r}$ относительно точки $O$ (рис. 1.5) поворачивается с постоянной угловой скоростью $\omega=$ $=0,40$ рад/c. Найти модуль скорости частицы, а также модуль и направление ее полного ускорения.
Рис. 1.5

1.44. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол $\varphi$ его поворота зависит от времени как $\varphi=\beta t^{2}$, где $\beta=0,20 \mathrm{paz} / \mathrm{c}^{2}$. Найти полное ускорение $a$ точки $A$ на ободе колеса в момент $t=2,5 \mathrm{c}$, если скорость точки $A$ в этот момент $v=0,65 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.45. Снаряд вылетел со скоростью $v=320 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, сделав внутри ствола $n=2,0$ оборота. Длина ствола $l=2,0$ м. Считая движение снаряда в стволе равноускоренным, найти его угловую скорость вращения вокруг оси в момент вылета.
1.46. Магнитная лента с катушки протягивается через звукосниматель с постоянной скоростью $v$. Толщина ленты равна $h$. Найти угловую скорость катушки как функцию времени $t$, если в момент $t=0$ радиус внешнего слоя магнитной ленты равен $R$.
1.47. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону $\varphi=a t-b t^{3}$, где $a=6,0 \mathrm{pan} / \mathrm{c}, b=2,0 \mathrm{paz} / \mathrm{c}^{3}$. Найти средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от $\boldsymbol{t}=0$ до остановки.
1.48. Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угловым ускорением $\beta=\alpha t$, где $\alpha=2,0 \cdot 10^{-2}$ рад/ $\mathrm{c}^{3}$. Через сколько времени после начала вращения вектор полного ускорения произвольной точки тела будет составлять угол $\varphi=60^{\circ}$ с ее вектором скорости?
1.49. Твердое тело вращается, замедляясь, вокруг неподвижной оси с угловым ускорением $\beta \sim \sqrt{\omega}$, где $\omega$ – его угловая скорость. Найти среднюю угловую скорость тела за время, в течение которого оно будет вращаться, если в начальный момент его угловая скорость была равна $\omega_{0}$.
1.50. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая скорость зависит от угла поворота $\varphi$ по закону $\omega=\omega_{0}-a \varphi$, где $\omega_{0}$ и $a$ – положительные постоянные. В момент $t=0$ угол $\varphi=0$. Найти зависимости от времени:
a) угла поворота; б) угловой скорости.
1.51. Твердое тело начинает вращаться вокруг ненодвижной оси с угловым ускорением $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}_{0} \cos \varphi$, где $\boldsymbol{\beta}_{0}-$ ностоянный вектор, $\varphi$ – угол поворота из начального положения. Найти угловую скорость тела в зависимости от угла $\varphi$. Изобразить график этой зависимости.
1.52. Точка $A$ находится на ободе колеса радиуса $R=0,50$ м, которое катится без скольжения по горизонтальной поверхности со скоростью $v=1,00 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Найти:

a) модуль и направление ускорения точки $A$;
б) полный путь $s$, проходимый точкой $A$ между двумя последовательными моментами ее касания поверхности.
1.53. Шар радиуса $R=10,0$ см катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что его центр движется с постоянным ускорением $a=2,50 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}^{2}$. Через $\boldsymbol{t}=\mathbf{2 , 0 0}$ с после начала движения его положение соответствует рис. 1.6. Найти:
a) скорости точек $A$ и $B$;
б) ускорения точек $A$ и $O$.
1.54. Цилиндр катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус циРис. 1.6 линдра равен $r$. Найти радиусы кривизны траекторий точек $A$ и $B$ (рис. 1.6).
1.55. Два твердых тела вращаются вокруг неподвижных взаимно перпендикулярных пересекающихся осей с постоянными угловыми скоростями $\omega_{1}=3,0$ рад/с и $\omega_{2}=4,0$ рап/c. Найти угловую скорость и угловое ускорение одного тела относительно другого.
1.56. Твердое тело вращается с угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}=$ $=a t \mathbf{i}+b t^{2} \mathbf{j}$, где $a=5,0$ рад/c $c^{2}$, $\mathbf{i} \mathbf{j}$ – орты осей $x$ и $y$. Найти угол $\alpha$ между векторами углового ускорения $\boldsymbol{\beta}$ и $\boldsymbol{\omega}$ момент, когда $\beta=10,0 \mathrm{pan/ \textrm {c } ^ { 2 }}$.
1.57. Круглый конус с углом полураствора $\alpha=30^{\circ}$ и радиусом основания $R=$ $=5,0 \mathrm{~cm}$ катится равномерно без скольжения по горизонтальной плоскости, как показано на рис. 1.7. Вершина конуса закреплена шарнирно в точке $O$, которая находится на одном уровне с точкой $C$ центром основания конуса. Скорость точки

Рис. 1.7 $C$ равна $v=10,0$ см/с. Найти модули:
a) угловой скорости конуса; б) углового ускорения конуса.
1.58. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью $\omega_{0}=0,50$ рад/с вокруг горизонтальной оси $A B$. В момент $t=0$ ось $A B$ начали поворачивать вокруг вертикали с постоянным угловым ускорением $\beta_{0}=0,10$ рад/c $\mathrm{c}^{2}$. Найти модули угловой скорости и углового ускорения тела через $t=3,5 \mathrm{c}$.