– Основное уравнение динамики (второй закон Ньютона):
\[
m d \mathbf{v} / d t=\mathbf{F} .
\]
– Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки:
\[
m d v_{\tau} / d t=F_{\tau}, \quad m v^{2} / R=F_{n} .
\]
– Уравнение динамики точки в неинерциальной $K^{\prime}$-системе отсчета, которая вращается с постоянной угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}$ вокруг неподвижной оси:
\[
m \mathbf{a}^{\prime}=\mathbf{F}+m \omega^{2} \mathbf{R}+2 m\left[\mathbf{v}^{\prime} \boldsymbol{\omega}\right],
\]

где $\mathbf{R}$ – радиус-вектор точки относительно оси вращения $K^{\prime}$-системы.
1.59. Частица движется вдоль оси $x$ по закону $x=\alpha t^{2}-\beta t^{3}$, где $\alpha$ и $\beta$ – положительные постоянные. В момент $t=0$ сила, действующая на частицу, равна $F_{0}$. Найти значения $F_{x}$ силы в точках поворота и в момент, когда частица опять окажется в точке $x=0$.
1.60. Найти модуль и направление силы, действующей на частицу массы $m$ при ее движении в плоскости $x y$ по закону $x=A \sin \omega t, \quad y=B \cos \omega t$.
1.61. На гладкой горизонтальной поверхности находятся два бруска масс $m_{1}$ и $m_{2}$, которые соединены нитью. К брускам в момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$ приложили силы, противоположно направленные и зависящие от времени как $F_{1}=\alpha_{1} t$ и $F_{2}=\alpha_{2} t$. Найти, через сколько времени нить порвется, если сила натяжения на разрыв равна $\boldsymbol{F}_{\text {пр }}$.
1.62. Аэростат массы $m=250$ кг начал опускаться с ускорением $a=0,20 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$. Определить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх.
Рис. 1.8
1.63. В установке (рис. 1.8) массы тел равны $m_{0}, m_{1}$ и $m_{2}$, массы блока и нитей пренебрежимо малы и трения в блоке нет. Найти ускорение a, с которым опускается тело $m_{0}$, и силу натяжения нити, связывающей тела $m_{1}$ и $m_{2}$, если коэффициент трения равен $k$.

1.64. На наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом, поместили два бруска 1 и 2 (рис. 1.9). Массы брусков $m_{1}$ и $m_{2}$, коэффициент трения между плоскостью и этими брусками $k_{1}$ и $k_{2}$, причем $k_{1}<k_{2}$. Найти:
a) силу взаимодействия между бруска-
Рис. 1.9
ми при движении;
б) угол $\alpha$, при котором скольжения не будет.
1.65. Небольшое тело пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha=15^{\circ}$ с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела оказалось в $\eta=2,0$ раза меньше времени спуска.
1.66. Шайбу поместили на наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha=10^{\circ}$ с горизонтом. Если шайбе сообщить некоторую начальную скорость вверх по плоскости, то она до остановки проходит путь $s_{1}$; если же сообщить ту же начальную скорость вниз, то путь до остановки равен $s_{2}$. Найти коэффициент трения, зная, что $s_{2} / s_{1}=\eta=4,0$.
1.67. В установке (рис. 1.10) известны угол $\alpha$ и коэффициент трения $k$ между телом $m_{1}$ и наклонной плоскостью. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Вначале оба тела неподвижны. Найти отношение масс $\boldsymbol{m}_{2} / \boldsymbol{m}_{1}$, при котором тело $m_{2}$ начнет:
Рис. 1.10
a) опускаться; б) подниматься.
1.68. Наклонная плоскость (см. рис. 1.10) составляет угол $\alpha=30^{\circ}$ с горизонтом. Отношение масс тел $m_{2} / m_{1}=\eta=2 / 3$. Коэффициент трения между телом $m_{1}$ и плоскостью $k=0,10$. Массы блока и нити пренебрежимо малы. Найти модуль и направление ускорения тела $m_{2}$, если система пришла в движение из состояния покоя.
1.69. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы $m_{1}$ и на ней брусок массы $m_{2}$. К бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем $t$ по закону $F=\alpha t$, где $\alpha$ – постоянная. Найти зависимости от $t$ ускорений доски $a_{1}$ и бруска $a_{2}$, если коэффициент трения между доской и бруском равен $k$. Изобразить примерные графики этих зависимостей.

1.70. На горизонтальной плоскости находятся два тела: брусок и электромотор с батарейкой на подставке. На ось электромотора намотана нить, свободный конец которой соединен с бруском. Расстояние между обоими телами равно $l$, коэффициент трения между телами и плоскостью $k$. После включения мотора брусок, масса которого вдвое больше массы другого тела, начал двигаться с постоянным ускорением $a$. Через сколько времени оо́а тела столкнутся?
1.71. Небольшое тело $\boldsymbol{m}$ начинает скользить по наклонной плоскости из точки, расположенной над вертикальным упором $A$ (рис. 1.11). Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью $k=0,140$. При каком значении угла $\alpha$ время соскальзывания будет наименыним?
Рис. 1.11
1.72. Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость $v_{0}$. Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен $k$. При каком значении угла наклона $\alpha$ шайба пройдет вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно равно?
1.73. Брусок массы $m$ тянут за нить так, что он движется с постоянной скоростью по горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $k$ (рис. 1.12). Найти угол $\alpha$, при котором натяжение нити минимально. Чему оно равно?
1.74. Нить перекинута через легкий Рис. 1.12 врацающийся без трения блок. На одном конце нити прикреплен груз массы $M$, а по другой свисающей части нити скользит муфточка массы $m$ с постоянным ускорением $a^{\prime}$ относительно нити. Найти силу трения, с которой нить действует на муфточку.
1.75. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы масс $m_{1}$ и $m_{2}$. Кабина начинает подниматься с ускорением $\mathbf{a}_{0}$. Пренебрегая массой блока, найти:
a) ускорение груза $m_{1}$ относительно кабины;
б) силу, с которой блок действует на потолок кабины,
1.76. В системе, показанной на рис. 1.13 , массы тел равны $m_{0}, m_{1}, m_{2}$, трения нет, массы блоков пренебрежимо малы. Найти ускорение тела $m_{1}$.

Рис. 1.13
Рис. 1.14
Рис. 1.15
1.77. С каким минимальным ускорением следует перемещать в горизонтальном направлении брусок $A$ (рис. 1.14), чтобы тела 1 и 2 не двигались относительно него? Массы тел одинаковы, коэффициент трения между бруском и обоими телами равен $\boldsymbol{k}$. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет.
1.78. Призме 1 , на которой находится брусок 2 массы $\boldsymbol{m}$, сообщили влево горизонтальное ускорение $a$ (рис. 1.15). При каком максимальном значении этого ускорения брусок будет оставаться еще неподвижным относительно призмы, если коэффициент трения между ними $k<\operatorname{ctg} \alpha$ ?
1.79. На горизонтальной поверхности находится призма 1 массы $m_{1}$ с углом $\alpha$ (см. рис. 1.15) и на ней брусок 2 массы $m_{2}$. Пренебрегая трением, найти ускорение призмы.
1.80. На тело массы $m$, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент $t=0$ начала действовать сила, зависяцая от времени как $F=k t$, где $k$ – постоянная. Направление этой силы все время составляет угол $\alpha$ с горизонтом (см. рис. 1.12). Найти:
a) скорость тела в момент отрыва от плоскости;
б) путь, пройденный телом к этому моменту.
1.81. К бруску массы $m$, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, приложили постоянную по модулю силу $\boldsymbol{F}=\boldsymbol{m} g / 3$. В процессе его прямолинейного движения угол $\boldsymbol{\alpha}$ между направлением этой силы и горизонтом меняют по закону $\alpha=k s$, где $k$ – постоянная, $s$ – пройденный бруском путь (из начального положения). Найти скорость бруска как функцию угла $\alpha$.
1.82. Небольшой шарик подвешен к нити, верхний конец которой в момент $t=0$ начали перемещать. В процессе движения нить поворачивается с постоянной угловой скоростью $\omega=0,85 \mathrm{pan} / \mathrm{c}$, а шарик движется по горизонтальной прямой.

Найти скорость шарика в момент, когда угол между нитью и вертикалью $\hat{0}=45^{\circ}$.
1.83. Тело массы $m$ бросили под углом к горизонту $c$ начальной скоростью $\mathbf{v}_{0}$. Найти приращение импульса $\Delta \mathbf{p}$ тела за первые $t$ секунд движения и модуль приращения импульса тела за все время движения.
1.84. На покояцуюся частицу массы $m$ в момент $t=0$ начала действовать сила, зависящая от времени $t$ по закону $\mathbf{F}=\mathbf{b} \boldsymbol{t}(\tau-\boldsymbol{t}$ ), где $\mathbf{\mathbf { b }}$ – постоянный вектор, $\tau$ – время, в течение которого действует данная сила. Найти:
a) импульс частицы после окончания действия силы;
б) путь, пройденный частицей за время действия силы.
1.85. Частица массы $m$ в момент $t=0$ начинает двигаться под действием силы $\mathbf{F}=\mathbf{F}_{0} \sin \omega t$, где $\mathbf{F}_{0}$ и $\omega$ – постояннье. Найти путь, пройденный частицей, в зависимости от $\boldsymbol{t}$. Изобразить примерный график этой зависимости.
1.86. В момент $\boldsymbol{t}=0$ частица массы $m$ начинает двигаться под действием силы $\mathbf{F}=\mathbf{F}_{0} \cos \omega \boldsymbol{t}$, где $\mathbf{F}_{0}$ и $\omega$ – постоянные.Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом пути?
1.87. В момент $t=0$ частице сообщили начальную скорость $\mathbf{v}_{0}$, и она начала двигаться под действием силы сопротивления среды, пропорциональной ее скорости как $\mathbf{F}=-r \mathbf{v}$. Найти:
a) время движения частицы под действием этой силы;
б) скорость частицы в зависимости от пройденного ею пути, а также полный путь до остановки.
1.88. Пуля, пробив доску толщины $h$, изменила свою скорость от $v_{0}$ до $v$. Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости.
1.89. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути $x$ по закону $k=\gamma x, \gamma-$ постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки, и его максимальную скорость.
1.90. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $k$ лежит тело массы $m$. В момент $t=0$ к нему приложили горизонтальную силу, зависящую от времени как $\mathbf{F}=\mathbf{b} t$, где b – постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за первые $t$ секунд действия этой силы.

1.91. Самолет делает \”мертвую петлю\” радиуса $R=500$ м с постоянной скоростью $v=360 \mathrm{~km} /$. Найти вес летчика массы $m=70$ кг в нижней, верхней и средней точках петли.
1.92. Небольшой шарик массы $m$, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, и затем отгустили. Найти:
a) модуль полного ускорения шарика и силу натяжения нити как функции угла ее отклонения от вертикали;
б) силу натяжения нити в момент, когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна;
в) угол отклонения нити в момент, когда полное ускорение шарика горизонтально.
1.93. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Найти угол отклонения нити в крайнем положении.
1.94. Подвешенный на нити шарик качается в вертикальной плоскости так, что его ускорение в нижнем положении $a=4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$. Найти модуль ускорения шарика в крайнем положении.
1.95. Небольшое тело $A$ начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса $R$. Найти угол между вертикалью радиусом-вектором, характеризующим положение тела $\dot{A}$ относительно центра сферы в момент отрыва от нее, а также скорость тела в этот момент.
1.96. Прибор (рис. 1.16, вид сверху) состоит из гладкого Г-образного стержня, расположенного в горизонтальной плоскости, и муфточки $A$ массы $m$, соединенной пружинкой с точкой $B$. Жесткость пружинки равна $x$. Вся система вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через точку $\boldsymbol{O}$.

Рис. 1.16 Найти относительное удлинение пружинки. Как зависит результат от направления вращения?
1.97. Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке радиуса $R$. Коэффициент трения зависит только от расстояния $r$ до центра $O$ площадки как $k=k_{0}(1-r / R)$, где $k_{0}-$ постоянная. Найти радиус окружности с центром в точке $O$, по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость?

1.98. Автомашина движется с ностоянным тангенциальным ускорением $a_{\tau}=0,62 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$ по горизонтальной поверхности, описывая дугу радиуса $R=40 \mathrm{~m}$. Коэффициент трения между колесами машины и поверхностью $k=0,20$. Какой путь пройдет машина без скольжения, если в начальный момент ее скорость равна нулю?
1.99. Автомашина движется равномерно по горизонтальному пути, имеющему форму синусоиды $y=b \sin (x / \alpha)$, где $b$ и $\alpha-$ некоторые постояниые. Коэффициснт трения между колесами и дорогой равен $k$. При какой скорости движение автомашины будет происходить без скольжения?
1.100. Цепочка массы $m$, образующая окружность радиуса $\boldsymbol{R}$, надета на гладкий круговой конус с углом полураствора $\boldsymbol{0}$. Найти силу натяжения цепочки, если она вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, совпадающей с осыю симметрии конуса.
1.101. Небольное тело $A$ скользит по гладкой горизонтальной поверхности вдоль вертикальной стенки, имеющей вид, как на рис. 1.17 (вид сверху). Закругленная часть траектории тела представляст собой дугу с углом $\alpha=60^{\circ}$. Найти скорость тела в точке 2 , если в точке $l
u_{0}=6,5 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ и коэффициент Рис. 1.17 трения между телом и вертикальной стенкой $k=0,25$.
1.102. Через закрепленный блок перекинута иить, к концам которой прикреплени грузы массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Между нитью и блоком имеется трение такое, что нить начинает скользить по блоку, когда $m_{2} / m_{1}=\eta_{0}$. Найти:
a) коэффициент трения;
б) ускорение грузов, ссли $m_{2} / m_{1}=\eta>\eta_{0}$.
1.103. Частица массы $m$ движется по внутренней гладкой поверхности вертикального цилиндра радиуса $R$. Найти силу давления частицы на стенку цилиндра, если в начальный момент ее скорость равна $v_{0}$ и составляет угол $\alpha$ с горизонтом.
1.104. Частица массы $m$ движется в плоскости $P$ под действием постоянной по модулю силы $\mathbf{F}$, которая поворачивается в этой плоскости с постоянной угловой скоростью $\omega$. В момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$ частица покоилась. Найти:
a) модуль ее скорости в зависимости от времени:

б) путь, проходимый частицей между двумя последовательными остановками, и среднюю скорость на этом пути.
1.105. Небольшую шайбу $A$ положили на наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом (рис. 1.18), и сообщили начальную скорость $v_{0}$. Найти зависимость скорости шайбы от угла $\varphi$, если коэффициент трения $k=\operatorname{tg} \alpha$ и в начальный момент $\varphi_{0}=\pi / 2$.
1.106. Цепочку длины $l$ по-
Рис. 1.18 местили на гладкую сферическую поверхность радиуса $R$ так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. С каким ускорением $a$ начнет двигаться каждый элемент цепочки, если ее верхний конец освободить? Длина цепочки $l<\pi R / 2$.
1.107. Неболышое тело поместили на вершину гладкого шара радиуса $R$. Затем шару сообщили в горизонтальном направлении постоянное ускорение $\mathbf{a}_{0}$, и тело начало скользить вниз. Найти скорость тела относительно шара в момент отрыва. Сравнить с решением задачи 1.95 .
1.108. Муфточка $A$ может свободно скользить вдоль гладкого стержня, изогнутого в форме полукольца радиуса $R$ (рис. 1.19). Систему привели во вращение с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси $O O^{\prime}$. Найти угол $\diamond$, соответствующий устойчивому положению муфточки.
1.109. Винтовку навели на вертикальную черту мишени, находящейся точно в северном направлении, и выстрелили. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на сколько сантиметров и в какую сторону пуля, попав в мишень, откінится от черты. Выстрел произведен в горизонтальном направлении на широте $\varphi=60^{\circ}$, скорость пули $v=900 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, расстояние до мишени $s=1,0 \mathrm{~km}$.
Рис. 1.19
1.110. Человек массы $m=60 \mathrm{kr}$ идет равномерно по периферии горизонтальной круглой платформы радиуса $R=3,0 \mathrm{~m}$, которую врацают с угловой скоростью $\omega=1,00 \mathrm{paz} / \mathrm{c}$ вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Найти горизонтальную составляющую силы, действующей на человека со стороны платформы, если результирующая сил инерции, приложенных к нему в системе отсчета \”платформа\”, равна нулю.
1.111. Поезд массы $m=2000$ т движется на северной широте $\varphi=60^{\circ}$. Определить:
a) модуль и направление силы бокового давления поезда на рельсы, если он движется вдоль меридиана со скоростью $v=54 \mathrm{kM} / \mathbf{4}$
б) в каком направлении и с какой скоростью должен был бы двигаться поезд, чтобы результирующая сил инерции, действующих на поезд в системе отсчета \”Земля\”, была равна нулю.
1.112. Гладкий горизонтальный диск вращают с угловой скоростью $\omega=5,0 \mathrm{pan/c}$ вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. В центре диска поместили небольшую шайбу массой $m=60 \mathrm{r}$ и сообщили ей толчком горизонтальную скорость $v_{0}=2,6 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Найти модуль силы Кориолиса, действующей на шайбу в системе отсчета \”диск\” через $\boldsymbol{t}=\mathbf{0 , 5 0}$ с после начала ее движения.
1.113. Горизонтальный диск вращают с угловой скоростью $\omega=6,0 \mathrm{paп} / \mathrm{c}$ вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. По одному из диаметров диска движется небольшое тело массы $m=0,50 \mathrm{xr}$ с постоянной относительно диска скоростью $v^{\prime}=50 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. Найти силу, с которой диск действует на это тело в момент, когда оно находится на расстоянии $r=30$ см от оси вращения.
1.114. Горизонтально расположенный гладкий стержень $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ вращают с угловой скоростью $\omega=2,00$ рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец $A$. По стержню свободно скользит муфточка массы $m=0,50$ кг, движущаяся из точки $A$ с начальной скоростью $
u_{0}=1,00 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Найти действующую на муфточку силу Кориолиса (в системе отсчета, связанной со стержнем) в момент, когда муфточка оказалась на $r=50$ см от оси вращения.
1.115. Горизонтальный диск радиуса $R$ вращают с угловой скоростью $\omega$ вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его край. По периферии диска равномерно относительно него движется частица массы $m$. В момент, когда она оказывается на максимальном расстоянии от оси вращения, результирующая сил инерции $F_{\text {вн }}$, действующих на частицу в системе отсчета \”диск\”, обращается в нуль. Найти:
a) ускорение $a^{\prime}$ частицы относительно диска;
б) зависимость $F_{\text {нн }}$ от расстояния до оси вращения.

1.116. На экваторе с высоты $h=500$ м на поверхность Земли падает тело (без начальной скорости относительно Земли). На какое расстояние и в какую сторону отклонится от вертикали тело при падении?