– Напряженность электрического поля у поверхности проводника в вакууме:
\[
E_{n}=\sigma / \varepsilon_{0} .
\]
– Поток поляризованности $\mathbf{P}$ через замкнутую поверхность:
\[
\oint \mathbf{P} d \mathbf{S}=-\boldsymbol{q}^{\prime},
\]

где $q^{\prime}$ – алгебраическая сумма связанных зарядов внутри этой поверхности.
– Вектор D (электрическое смещение) и теорема Гаусса для него:
\[
\mathbf{D}=\varepsilon_{0} \mathbf{B}+\mathbf{P}, \quad \oint \mathbf{D} d \mathbf{S}=\boldsymbol{q},
\]

где $q$ – алгебраическая сумма сторонних зарядов внутри замкнутой поверхности.
– Условия на границе раздела двух диэлектриков:
\[
P_{2 n}-P_{1 n}=-\sigma^{\prime}, \quad D_{2 n}-D_{1 n}=\sigma, \quad E_{2 \tau}=E_{1 \tau},
\]

где $\sigma^{\prime}$ и $\sigma$ – поверхностные плотности связанных и сторонних зарядов, а орт нормали п направлен из среды $I$ в среду 2.
– Для изотропных диэлектриков:
\[
P=x \varepsilon_{0} E, \quad D=\varepsilon \varepsilon_{0} E, \quad \varepsilon=1+x .
\]
– В случае изотропного однородного диэлектрика, заполняющего все пространство между эквипотенциальными поверхностями:
\[
\mathrm{B}=\mathbf{E}_{0} / \varepsilon
\]

2.59. Небольшой шарик висит над горизонтальной проводящей плоскостью на изолирующей упругой нити жесткости $x$. После того, как шарик зарядили, он опустился на $x$ см, и его расстояние от проводящей плоскости стало равным $l$. Найти заряд шарика.
2.60. Электрон вылетел по нормали с плоской поверхности проводника в вакуум, где создано однородное ускоряющее электрическое поле с напряженностью $E=100 \mathrm{~B} / \mathrm{m}$. Имея в виду силы электрического изображения, найти, на каком расстоянии $l$ or поверхности проводника скорость электрона минималына.
2.61. Точечный заряд $q=100$ мкКл находится на расстоянии $l=1,5 \mathrm{cм}$ от проводяцей плоскости. Какую работу надо совершить против электрических сил, чтобы медленно удалить этот заряд на очень больное расстояние от плоскости?
2.62. Два точечных заряда, $q$ и $-q$, расположены на расстоянии $l$ друг от друга и на одинаковом расстоянии $l / 2$ от проводяцей плоскости с одной стороны от нее. Найти модуль электрической силы, действующей на каждый заряд.
2.63. Три разноименных точечных заряда расположены в вершинах квадрата с диагональю $l=50 \mathrm{~cm}$, как показано на рис. 2.8 , ге точка $O$ – центр квадрата, $A O B$ – прямой утол, образованный двумя проводящими полуплоскостями. Найти силу, цействующую на заряд $-q$, если Рис. 2.8 $q=11$ мкКл.
2.64. Точечный заряд $q=2,00$ мкКл находится между двумя проводяцими взаимно перпендикулярными полупноскостями. Расстояние от заряда до каждой полуплоскости $l=5,0$ см. Найти модуль силы, действующей на заряд.
2.65. Точечный диполь с электрическим моментом $\mathbf{p}$ находится на расстоянии $l$ от проводящей плоскости. Найти силу, действующую на диполь, если вектор $\mathbf{p}$ перпендикулярен плоскости.
2.66. Точечный заряд $q$ находится на расстоянии $l$ от проводящей плоскости. Определить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости, как функцию расстояния $r$ от основания перпендикуляра, опущенного из заряда на плоскость.
2.67. Прямая бесконечно длинная нить имеет заряд $\lambda$ на единицу длины и расположена параллельно проводящей плоскости на расстоянии $l$ от нее. Найти:

a) модуль силы, действующей на единицу длины нити;
б) распределение поверхностной плотности заряда $\sigma(x)$ на плоскости (здесь $x$ – расстояние от прямой на плоскости, где $\sigma$ максимально).
2.68. Очень длинная нить расположена перпендикулярно проводящей плоскости и не доходит до нее на расстояние $i$. Нить заряжена равномерно с линейной плотностью $\lambda$. Пусть точка $O$ – след нити на плоскости. Найти поверхностную плотность заряда на плоскости:
a) в точке $O$;
б) в зависимости от расстояния $r$ до точки $O$
2.69. Тонкое проволочное кольцо радиуса $R=7,5 \mathrm{~cm}$ имеет заряд $q=5,2$ мкКл. Кольцо расположено параллельно проводящей плоскости на расстоянии $l=6,0 \mathrm{~cm}$ от нее. Найти поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично относительно кольца.
2.70. Найти потенциал незаряженной проводящей сферы, вне которой на расстоянии $l=30 \mathrm{~cm}$ от ее центра находится точечиый заряд $q=0,50$ мкКл.
2.71. Заряд $q=2,5$ нКл распределен неравномерио по тонкому кольцу радиуса $R=7,5 \mathrm{~cm}$. На расстоянии $l=100$ мм от центра кольца на его оси расположен центр проводяцей пезаряженной сферы. Найти ее потенциал.
2.72. Точечный заряд $q=3,4$ нКл находится на расстоянии $r=2,5$ см от центра $O$ незаряженного сферического слоя проводника, радиусы которого $R_{1}=5,0 \mathrm{~cm}$ и $R_{2}=8,0 \mathrm{~cm}$. Найти потенциал в точке $O$.
2.73. Система состоит из двух концентрических проводяцих сфер. На внутренней сфере радиуса $а$ находится положительный заряд $q_{1}$. Какой заряд $q_{2}$ следует поместить на внешнюю сферу радиуса $b$, чтобы потенциал внутренней сферы стал $\varphi=0$ ? Как будет зависеть при этом $\varphi$ от расстояния $r$ до центра системи? Изобразить примерный график $\varphi(r)$.
2.74. Четыре большие металлические пластины расположены на малом расстоянии $d$ друг от друга (рис. 2.9). Внешние пластины соединены проводником, а на внутренние пластины подана разность потенциа-

Рис. 2.9 лов $\Delta \varphi$. Найти:
a) напряженность электрического поля между пластинами;
б) суммарный заряд на единицу площади каждой пластины.

2.75. Между пластинами накоротко замкнутого плоского конденсатора находится металлическая пластина с зарядом $q$ (рис. 2.10). Пластину переместиРис. 2.10 ли на расстояние $l$. Какой заряд $\Delta q$ прошел при этом по закорачивающему проводнику? Расстояние между пластинами конденсатора $d$.
2.76. Две проводящие плоскости 1 и 2 расположены на расстоянии $l$ друг от друга. Между ними на расстоянии $x$ от плоскости 1 находится точечный заряд $q$. Найти заряды, наведенные на каждой из плоскостей.
2.77. Найти электрическую силу, которую испытывает заряд, приходящийся на единицу поверхности произвольного проводника, в точке, где $\sigma=46 \mathrm{mkK} / \mathrm{m}^{2}$.
2.78. Металлический шарик радиуса $R=1,5$ см имеет заряд $q=10$ мкКл. Найти модуль результирующей силы, которая действует на заряд, расположенный на одной половине шарика.
2.79. Незаряженный проводящий шар радиуса $R$ поместили во внешнее однородное электрическое поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный заряд с поверхностной плотностью $\sigma=\sigma_{0} \cos \vartheta$, где $\sigma_{0}$ – постоянная, t – полярный угол. Найти модуль результирующей электрической силы, которая действует на весь индуцированный заряд одного знака.
2.80. Найти энергию упругого диполя с поляризованностью $\boldsymbol{\beta}\left(\mathbf{p}=\beta \boldsymbol{\varepsilon}_{\mathbf{0}} \mathbf{E}\right)$ во внешнем электрическом поле с напряженностью $E$.
2.81. Неполярная молекула с поляризуемостью $\beta$ находится на большом расстоянии $l$ от полярной молекулы с элетрическим моментом р. Найти модуль силы взаимодействия этих молекул, если вектор р ориентирован вдоль прямой, проходящей через обе молекулы.
2.82. На оси тонкого равномерно заряженного кольца радиуса $\boldsymbol{R}$ находится неполярная молекула. На каком расстоянии $\boldsymbol{x}$ от центра кольца модуль силы $\mathbf{F}$, действуюцей на данную молекулу:
a) равен нулю; б) имеет максимальное значение? Изобразить примерный график зависимости $F_{x}(x)$.
2.83. Точечный сторонний заряд $q$ находится в центре шара из однородного диэлектрика с проницаемостью \&. Найти поляризованность $\mathbf{P}$ как функцию радиуса-вектора $\mathbf{r}$ относительно центра шара, а также связанный заряд $q^{\prime}$ внутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара.

2.84. Точечный сторонний заряд $q$ находится в центре диэлектрического шара радиуса $a$ с проницаемостью $\varepsilon_{1}$. Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon_{2}$. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе раздела этих диэлектриков.
2.85. Показать, что на границе однородного диэлектрика с проводником поверхностная плотность связанных зарядов $\sigma^{\prime}=-\sigma(\varepsilon-1) / \varepsilon$, где $\varepsilon-$ диэлектрическая проницаемость, $\sigma$ поверхностная плотность зарядов на проводнике.
2.86. Проводник произвольной формы, имеющий заряд $q=2,5 \mathrm{mkKл}$, окружен слоем однородного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon=5,0$. Найти суммарные поверхностные связанные заряды на внутренней и наружной поверхностях диэлектрика.
2.87. В некоторой точке $A$ внутри однородного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon=2,5$ плотность стороннего заряда $\rho=$ $=50 \mathrm{mKл} / \mathrm{M}^{3}$. Найти в этой точке плотность связанных зарядов. 2.88. Однородный диэлектрик имеет вид сферического слоя радиусов $a$ и $b$, причем $a<b$. Изобразить примерные графики модуля напряженности электрического поля $E$ и потенциала $\varphi$ как функций расстояния $r$ от центра системы, если диэлектрик имеет положительный сторонний заряд, распределенный равномерно:
a) по внутренней поверхности слоя; б) по объему слоя.
2.89. Вблизи точки $A$ (рис. 2.11) границы раздела стекло – вакуум напряженность электрического поля в вакууме $E_{0}=10,0 \mathrm{~B} / \mathrm{m}$, причем угол между вектором $\mathbf{E}_{0}$ и нормалью $\mathbf{n}$ к границе раздела $\alpha_{0}=30^{\circ}$. Найти напряженность $E$ поля в стекле вблизи точки $A$, угол $\alpha$ между векторами $\mathbf{E}$ и $\mathbf{n}$, а также поверхностную плотность связанных зарядов в точке $A$.
Рис. 2.11
2.90. Диэлектрик с проницаемостью $\varepsilon$ граничит с вакуумом. На его поверхности имеются сторонние заряды с плотностью $\sigma$. у поверхности диэлектрика в вакууме напряженность электрического поля равна $E$, причем вектор $\mathbf{E}$ составляет такой угол ৩ с нормалью к поверхности раздела, что линии вектора $\mathbf{E}$ не терпят излома при переходе границы раздела. Найти угол о. Каков должен быть знак $\sigma$ ?
2.91. У плоской поверхности однородного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$ напряженность электрического поля в вакууме равна $E_{0}$, причем вектор $\mathbf{E}_{0}$ составляет угол $\mathbf{c}$ нормалью к поверхности диэлектрика (рис. 2.12). Считая поле внутри и вне диэлектрика однородным, найти:
a) поток вектора $\mathbf{E}$ через Рис. 2.12 сферу радиуса $R$ с центром на поверхности диэлектрика;
б) циркуляцию вектора D по контуру $\Gamma$ длины $l$ (см. рис. 2.12), плоскость которого перпендикулярна поверхности диэлектрика и параллельна вектору $\mathbf{E}_{0}$.
2.92. Бесконечно большая пластина из однородного диэлектрика с проницаемостью в заряжена равномерно сторонним зарядом с объемной плотностью $\rho$. Толщина пластины $2 d$. Найти:
a) модуль напряженности электрического поля и потенциал как функции расстояния $l$ от середины пластины (потенциал в середине пластины $\varphi=0$ ); взяв ось $x$ перпендикулярно пластине, изобразить примерные графики зависимостей проекции $E_{x}(x)$ и потенциала $\varphi(x)$;
б) поверхностную и объемную плотности связанного заряда.
2.93. Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью $\rho>0$ по шару радиуса $\boldsymbol{R}$ из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$. Найти:
a) модуль напіряженности электрического поля как функцию расстояния $r$ от центра шара; изобразить примерные графики зависимостей $E(r)$ и $\varphi(r)$;
б) объемную и поверхностную плотности связанных зарядов.
2.94. Круглый диэлектрический диск радиуса $R$ и толщины d поляризован статически так, что поляризованность, равна $\mathbf{P}$, всюду одинакова и вектор $\mathbf{P}$ лежит в плоскости диска. Найти напряженность $\mathbf{E}$ электрического поля в центре диска, если $d \ll R$.
2.95. При некоторых условиях поляризованность безграничной незаряженной пластины из диэлектрика имеет вид $\mathbf{P}=$ $=\mathbf{P}_{0}\left(1-x^{2} / d^{2}\right)$, где $\mathbf{P}_{0}-$ вектор, перпендикулярный пластине, $\boldsymbol{x}$ расстояние от середины пластины, $d$ – ее полутолщина. Найти напряженность электрического поля внутри пластины и разность потенциалов между ее поверхностями.

2.96. Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено воздухом и напряженность электрического поля в зазоре равна $E_{0}$. Затем половину зазора, как показано на рис. 2.13, заполнили однородным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$. Найти модули векторов $\mathbf{E}$ и D в беих частях зазора ( 1 и 2), если при введении диэлектрика:
a) напряжение между обкладками не менялось;
б) заряды на обкладках оставались неизменными.
Рис. 2.13
Рис. 2.14
2.97. Решить предыдущую задачу с тем отличием, что диэлектриком заполнили половину зазора, как показано на рис. 2.14.
2.98. Половина пространства между обкладками сферического конденсатора заполнена (рис. 2.15) однородным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$. Заряд конденсатора $q$. Найти модуль напряженности электрического поля между Рис. 2.15 обкладками как функцию расстояния $r$ от центра конденсатора.
2.99. Внутри шара из однородного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon=5,00$ создано однородное электрическое поле напряженности $E=100 \mathrm{~B} / \mathrm{m}$. Радиус шара $R=3,0$ см. Найти максимальную поверхностную плотность связанных зарядов и полный связанный заряд одного знака.
2.100. Точечный заряд $q$ находится в вакууме на расстоянии $l$ от плоской поверхности однородного диэлектрика, заполняюцего все полупространство. Проницаемость диэлектрика $\varepsilon$. Найти:
a) поверхностную плотность связанных зарядов как функцию расстояния $r$ от точечного заряда $q$;
б) суммарный заряд на поверхности диэлектрика.
2.101. Воспользовавшись условием и решением предыдущей задачи, найти модуль силы, действующей на заряд $q$ со стороны связанных зарядов на поверхности диэлектрика.

2.102. Точечный заряд $q$ находится на плоскости, отделяющей вакуум от безграничного однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$. Найти модули векторов $\mathbf{D}$ и $\mathbf{E}$ и потенциал $\varphi$ как функции расстояния $r$ от заряда $q$.
2.103. Небольшой проводящий шарик, имеющий заряд $q$, находится в однородном изотропном диэлектрике с проницаемостью $\varepsilon$ на расстоянии $l$ от безграничной плоской границы, отделяющей диэлектрик от вакуума. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе диэлектрик – вакуум как функцию расстояния $r$ от шарика. Исследовать полученный результат при $l \rightarrow 0$.
2.104. Полупространство, заполненное однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью $\varepsilon$, ограничено проводящей плоскостью. На расстоянии $l$ от этой плоскости в диэлектрике находится небольшой металлический шарик, имеющий заряд $q$. Найти поверхностную плотность связанных зарядов на границе с проводящей плоскостью как функцию расстояния $r$ от шарика.
2.105. Пластинка толщины $h$ из однородного статически поляризованного диэлектрика находится внутри плоского конденсатора, обкладки которого соединены между собой проводником. Поляризованность диэлектрика равна $\mathbf{P}$ (рис. 2.16). Расстояние между обкладками конденсатора $d$. Рис. 2.16 Найти векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{D}$ внутри и вне пластины.
2.106. Длинный диэлектрический цилиндр круглого сечения поляризован так, что вектор $\mathbf{P}=\boldsymbol{\alpha} \mathbf{r}$, где $\boldsymbol{\alpha}$ – положительная постоянная, $\mathbf{r}$ – расстояние от оси. Найти объемную плотность $\rho^{\prime}$ связанных зарядов как функцию расстояния $r$ от оси.
2.107. Диэлектрический шар поляризован однородно и статически. Его поляризованность равна Р. Имея в виду, что так поляризованный шар можно представить как результат малого сдвига всех положительных зарядов диэлектрика относительно всех отрицательных зарядов:
a) найти напряженность $\mathbf{E}$ поля внутри шара;
б) показать, что поле вне шара является полем диполя и потенциал поля $\varphi=\mathbf{p}_{0} \mathbf{r} / 4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}$, где $\mathbf{p}_{0}$ – электрический момент шара, $\boldsymbol{r}$ – расстояние от его центра.
2.108. В однородное электрическое поле $\mathbf{E}_{0}$ поместили однородный диэлектрический шар. При этих условиях диэлектрик поляризуется однородно. Найти напряженность $\mathbf{E}$ поля внутри шара и поляризованность $\mathbf{P}$ диэлектрика, проницаемость которого $\varepsilon$. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
2.109. Два одинаковых небольших одноименно заряженных шарика подвешены на изолирующих нитях равной длины к одной точке. При заполнении окружающей среды керосином угол расхождения нитей не изменился. Найти плотность материала шариков.
2.110. На расстоянии $r$ от точечного заряда $q$ расположен тонкий диск из диэлектрика с проницаемостью $\varepsilon$. Объем диска $V$, его ось проходит через заряд $q$. Считая, что радиус диска значительно меньше $r$, оценить силу, действующую на диск.