– Нуклид – атом с определенным ядром (например, нуклиды ${ }^{14} \mathrm{C}$ и ${ }^{23} \mathrm{Mg}$ ). Нуклиды с одинаковым порядковым номером $\boldsymbol{Z}$ и разными массовыми числами $A$ называют изотопами (например, ${ }^{58} \mathrm{Co}$ и ${ }^{59} \mathrm{Co}$ ).
– Радиус ядра с массовым числом $A$ :
\[
R=1,3 \sqrt[3]{A}, \phi м .
\]
– Энергия связи ядра:
\[
E_{\mathrm{cz}}=Z m_{\mathrm{H}}+(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{Z}) m_{n}-\boldsymbol{M},
\]
где $m_{\mathrm{H}}, m_{n}$ и $M$ – массы нуклида водорода ${ }^{1} \mathrm{H}$, нейтрона и нуклида, соответствующего данному ядру.
Для расчетов удобнее пользоваться формулой
\[
E_{\mathrm{cI}}=Z \Delta_{\mathrm{H}}+(A-Z) \Delta_{n}-\Delta,
\]
где $\Delta_{\mathbf{H}}, \Delta_{n}$ и $\Delta$ – избытки массы соответствующего нуклида ( $\Delta=M-A$, где $M$ – масса нуклида в а.е.м.).
– Основной закон радиоактивного распада:
\[
N=N_{0} \exp (-\lambda t) .
\]
– Связь между постоянной распада $\lambda$, средним временем жизни $\tau$ и периодом полураспада $T$ :
\[
\lambda=1 / \tau, \quad \tau=T / \ln 2 .
\]
– Активность:
\[
A=|d N / d t|=\lambda N .
\]
– Удельная активность – это активность единицы массы вещества.
5.237. Оценить с помощью формулы (5.5 a) плотность ядра, а также число нуклонов в единице объема ядра.
5.238. Найти энергию связи ядра, которое имеет одинаковое число протонов и нейтронов, а радиус, в полтора раза меньший радиуса ядра ${ }^{27} \mathrm{Al}$.
5.239. Найти с помощью табличных значений масс нуклидов:
a) среднюю энергию связи на один нуклон в ядре ${ }^{16} \mathrm{O}$;
б) энергию связи нейтрона и $\alpha$-частицы в ядре ${ }^{11} \mathrm{~B}$;
в) энергию, необходимую для разделения ядра ${ }^{16} \mathrm{O}$ на четыре одинаковые частицы.
5.240. Определить разность энергий связи нейтрона и протона в ядре ${ }^{11}$ В. Объяснить причину их различия.
5.241. Вычислить энергию, необходимую для разделения ядра ${ }^{20} \mathrm{Ne}$ на две $\alpha$-частицы и ядро ${ }^{12} \mathrm{C}$, если энергии связи на один нуклон в ядрах ${ }^{20} \mathrm{Ne},{ }^{4} \mathrm{He}$ и ${ }^{12} \mathrm{C}$ равны $8,03,7,07$ и 7,68 МэВ.
5.242. Вычислить массу в а.е.м.:
a) нуклида ${ }^{8} \mathrm{Li}$, энергия связи ядра которого $41,3 \mathrm{M}$ эВ;
б) ядра ${ }^{11} \mathrm{C}$ с энергией связи на один нуклон 6,04 МэВ.
5.243. Зная постоянную распада $\lambda$ ядра, определить:
a) вероятность, что оно распадается за время от 0 до $t$;
б) его среднее время жизни $\tau$.
5.244. Какая доля радиоактивных ядер кобальта, период полураспада которых 71,3 сут, распадется за месяц?
5.245. Сколько $\beta$-частиц испускает за один час 1,0 мкг ${ }^{24} \mathrm{Na}$, период полураспада которого 15 ч?
5.246. При изучении $\beta$-распада ${ }^{23} \mathrm{Mg}$ в момент $t=0$ был включен счетчик. К моменту $t_{1}=2,0$ с он зарегистрировал $N_{1}$ $\boldsymbol{\beta}$-частиц, а к моменту $t_{2}=3 t_{1}$ в 2,66 раза больше. Найти среднее время жизни данных ядер.
5.247. Активность некоторого радиоизотопа уменьшается в 2,5 раза за 7,0 сут. Найти его период полураспада.
5.248. В начальный момент активность некоторого радиоизотопа составляла $1,20 \cdot 10^{6}$ Бк. Какова будет его активность по истечении половины периода полураспада?
5.249. Найти постоянную распада и среднее время жизни радиоактивного ${ }^{55} \mathrm{Co}$, если его активность уменышается на $4,0 \%$ за 60 мин.
5.250. Препарат ${ }^{238} \mathrm{U}$ массы 1,0 г излучает $1,24 \cdot 10^{4}$ альфачастиц в секунду. Найти его период полураспада.
5.251. Определить возраст древних деревянных предметов, если удельная активность изотопа ${ }^{14} \mathrm{C}$ у них составляет $\eta=0,60$ удельной активности этого же изотопа в только что срубленных деревьях. Период полураспада ${ }^{14} \mathrm{C}$ равен 5570 лет.
5.252. В урановой руде отношение числа ядер ${ }^{238} \mathrm{U}$ к числу ядер ${ }^{206} \mathrm{~Pb}$ составляет $\eta=2,8$, Оценить возраст руды, считая, что весь свинец ${ }^{206} \mathrm{~Pb}$ является конечным продуктом распада уранового ряда. Период полураспада ${ }^{238} \mathrm{U}$ равен $4,5 \cdot 10^{9}$ лет.
5.253. Вычислить удельные активности ${ }^{24} \mathrm{Na}$ и ${ }^{235} \mathrm{U}$, периоды полураспада которых равны 15 ч и $7,1 \cdot 10^{8}$ лет.
5.254. В кровь человека ввели неболышое количество раствора, содержащего ${ }^{24} \mathrm{Na}$ с активностью $A=2,0 \cdot 10^{3}$ Бк. Активность $1 \mathrm{~cm}^{2}$ крови через $t=5,0$ ч оказалась $A^{\prime}=0,267 \mathrm{Бк} / \mathrm{cm}^{3}$. Период полураспада данного радиоизотопа $T=15$ ч. Найти объем крови человека.
5.255. Удельная активность препарата, состоящего из активного кобальта ${ }^{58} \mathrm{Co}$ и неактивного ${ }^{59} \mathrm{Co}$, составляет $2,2 \cdot 10^{12} \mathrm{Бк/r}$. Период полураспада ${ }^{58} \mathrm{Co}$ равен 71,3 сут. Найти отношение массы активного кобальта в этом препарате к массе препарата.
5.256. Радиоизотоп ${ }^{32} \mathrm{P}$, период полураспада которого $T=$ $=14,3$ сут, образуется в ядерном реакторе со скоростью $q=2,7 \cdot 10^{9}$ ядер $/$. Через сколько времени после начала образования этого радиоизотопа его активность станет $A=1,0 \cdot 10^{9}$ Бк?
5.257. Ядра $A_{1}$ с постоянной распада $\lambda_{1}$ превращаются в ядра $A_{2}$ с постоянной распада $\lambda_{2}$. Считая, что в момент $t=0$ препгарат содержал только ядра $A_{1}$, в количестве $N_{10}$, найти:
a) закон накопления ядер $A_{2}$ со временем;
б) момент $\boldsymbol{t}_{m}$, в который количество ядер $A_{2}$ достигнет максимума.
5.258. Решить предыдущую задачу, если $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda$.
5.259. а) Какие ядра образуются из $\alpha$-активного ${ }^{226} \mathrm{Ra}$ в результате пяти $\alpha$-распадов и четырех $\beta^{-}$-распадов?
б) Сколько $\alpha$ – и $\beta^{-}$-распадов испытывает ${ }^{238} \mathrm{U}$, превращаясь в конечном счете в стабильный ${ }^{206} \mathrm{~Pb}$ ?
5.260. Покоившееся ядро ${ }^{200} \mathrm{Po}$ испустило $\alpha$-частицу с кинетической энергией $\boldsymbol{K}_{\alpha}=\mathbf{5 , 7 7}$ МэВ. Найти скорость отдачи дочернего ядра. Какую долю полной энергии, освобождаемой в этом процессе, составляет энергия отдачи дочернего ядра?
5.261. Определить количество тепла, которое выделяет 1,00 мг препарата ${ }^{210}$ Ро за период, равный среднему времени жизни этих ядер, если испускаемые $\alpha$-частицы имеют кинетическую энергию 5,3 МэВ и почти все дочерние ядра образуются непосредственно в основном состоянии.
5.262. Альфа-распад ядер ${ }^{210} \mathrm{Po}$ (из основного состояния) сопровождается испусканием двух групп $\alpha$-частиц с кинетическими энергиями 5,30 и 4,50 МэВ. В результате дочерние ядра оказываются соответственно в основном и возбужденном состояниях. Найти энергию $\gamma$-квантов, испускаемых возбужденными ядрами.
5.263. Средний побег $\alpha$-частицы в воздухе при нормальных условиях определяется формулой $R=0,98 \cdot 10^{-27} v_{0}^{3} \mathrm{cм}$, где $v_{0}(\mathrm{cм} / \mathrm{c})$ – начальная скорость $\alpha$-частицы. Вычислить для $\alpha$ частицы с начальной кинетической энергией 7,0 МэВ:
a) ее средний пробег;
б) среднее число пар ионов, которые образует данная $\alpha$ частица на всем пути $R$, а также на первой половине его, считая, что энергия образования одной пары ионов равна 34 эВ.
5.264. Найти энергию $Q$, выделяющуюся при $\beta^{-}$и $\beta^{+}-$ распадах и при $\boldsymbol{K}$-захвате, если известны массы материнского атома $\boldsymbol{M}_{\boldsymbol{\mu}}$, дочернего атома $\boldsymbol{M}_{\mathrm{n}}$ и электрона $\boldsymbol{m}$.
5.265. Найти с помощъю таб̆личных значений масс нуклидов максимальную кинетическую энергию $\beta$-частиц, испускаемых ядрами ${ }^{10} \mathrm{Be}$, и соответствующую кинетическую энергию дочерних ядер, образующихся непосредственно в основном состоянии.
5.266. Оценить количество тепла, выделенного за сутки в калориметре $\beta^{-}$-активным препаратом ${ }^{24} \mathrm{Na}$ массы $m=1,0$ мг. Считать, что все $\beta$-частицы в среднем имеют кинетическую энергию, равную $1 / 3$ максимально возможной при данном распаде. Период полураспада ${ }^{24} \mathrm{Na}$ равен $T=15$ ч.
5.267. Вычислить с помощью табличных значений масс нуклидов кинетические энергии позитрона и нейтрино, испускаемых ядром ${ }^{11} \mathrm{C}$ в случае, когда дочернее ядро не испытывает отдачи.
5.268. Найти кинетическую энергию ядра отдачи при позитронном распаде ядра ${ }^{13} \mathrm{~N}$, если энергия позитрона макси мальна.
5.269. Определить с помощью табличных значений масс нуклидов скорость ядра, возникающего в результате $\boldsymbol{K}$-захвата в нуклиде ${ }^{7} \mathrm{Be}$, если дочернее ядро оказывается непосредственно в основном состоянии.
5.270. Возбужденные ядра ${ }^{109} \mathrm{Ag}$, переходя в основное состояние, испускают или $\gamma$-кванты с энергией 87 кэВ, или конверсионные $\boldsymbol{K}$-электроны (их энергия связи 26 кэВ). Определитв. скорость этих электронов.
5.271. Свободное покоившееся ядро ${ }^{191} \mathrm{Ir}$ с энергией возбуждения $E=129$ кэВ перешло в основное состояние, испустив $\gamma$-квант. Вычислить относительное изменение энергии $\gamma$-кванта, возникающее в результате отдачи ядра.
5.272. С какой скоростью должны сближаться источник и поглотитель, состоящие из свободных ядер ${ }^{191} \mathrm{Ir}$, чтобы наблюдалось максимальное поглоцение $\gamma$-квантов с энергией, равной $\varepsilon=129$ кэВ?
5.273. Источник $\gamma$-квантов расположен на $h=20$ м выше поглотителя. С какой скоростью необходимо перемещать вверх источник, чтобы в месте расположения погютителя скомпенсировать гравитационное изменение энергии $\gamma$-квантов, обусловленное полем тяготения Земли?
5.274. На какую минимальную высоту необходимо поднять источник $\gamma$-квантов, содержащий возбужденные ядра ${ }^{67} \mathrm{Zn}$, чтобы при регистрации на поверхности Земли гравитационное смещение линии Мёссбауэра превзошло ширину этой линии? Известно, что регистрируемые $\gamma$-кванты имеют энергию $\varepsilon=93$ кэВ и возникают при переходе ядер ${ }^{67} \mathrm{Zn}$ в основное состояние, а среднее время жизни возбужденного состояния $\tau=14$ мкс.
