– Значение коэффициента $k$ в нижеследующих формулах:
\[
k=1 / 4 \pi \varepsilon_{0}(\mathrm{CИ}), \quad k=1(\text { СГС). }
\]
– Угол 0 , на который рассеивается заряженная частица кулоновским полем неподвижного ядра, определяется формулой
\[
\operatorname{tg}(0 / 2)=k q_{1} q_{2} / 2 b K,
\]

где $q_{1}$ и $q_{2}$ – заряды частицы и ядра, $\boldsymbol{b}$ – прицельный параметр, $\boldsymbol{X}$ кинетическая энергия налетающей частицы.
– Формула Резерфорда. Относительное число частиц, рассеянных в элементарном телесном угле $d \Omega$ под углом 0 к первоначальному направлению их движения:
\[
\frac{d N}{N}=n\left(k \frac{q_{1} q_{2}}{4 K}\right)^{2} \frac{d \Omega}{\sin ^{4}(0 / 2)},
\]

Рис. 5.1
где $\omega, \mathrm{c}^{-1}$ – частота перехода между энергетическими уровнями с квантовыми числами $n_{1}$ и $\boldsymbol{n}_{2} ; \boldsymbol{R}, \mathrm{c}^{-1}$ – постоянная Ридберга; $\boldsymbol{Z}$ – порядковый номер водородоподобного иона. Рис. 5.1 – схема соответствующих переходов.
где $n$ – число ядер фольги на единицу ее поверхности, $d \Omega \approx \sin \theta d \theta d \varphi$.
– Обобщенная формула Бальмера:
\[
\omega=R Z^{2}\left(1 / n_{1}^{2}-1 / m_{2}^{2}\right), \quad R=k^{2} m e^{4} / 2 \hbar^{3},
\]
\[
\text { Рис. } 5.1
\]

где $\omega, \mathrm{c}^{-1}$ – частота перехода между энергети- ческими уровнями с квантовыми числами $n_{1}$ и $n_{2} ; R, \mathrm{c}^{-1}$ – постоянная Ридберга; $\boldsymbol{Z}$ – порядперехов.
5.38. Вычислить согласно модели Томсона радиус атома водорода и длину волны испускаемого им света, если известно, что энергия ионизации атома $E=13,6$ эВ.
5.39. Альфа-частица с кинетической энергией 0,27 МэВ рассеялась золотой фольгой на угол $60^{\circ}$. Найти соответствующе значение прицельного параметра.
5.40. На какое минимальное расстояние приблизится $\alpha$ частица с кинетической энергией $\boldsymbol{K}=0,40 \mathrm{M}$ эВ (при лобовом соударении):
a) к покоящемуся тяжелому ядру атома свинца;
б) к первоначально покоившемуся легкому свободному ядру ${ }^{7} \mathrm{Li}$ ?
5.41. Альфа-частица с кинетической энергией $K=0,50$ МэВ рассеялась под углом $\hat{0}=90^{\circ}$ на кулоновском поле неподвижного ядра атома ртути. Найти:
a) наименьший радиус кривизны ее траектории;
б) минимальное расстояние, на которое она сблизилась с ядром.
5.42. Протон с кинетической энергией $\boldsymbol{K}$ и прицельным параметром $b$ рассеялся на кулоновском поле неподвижного ядра атома золота. Найти импульс, переданный данному ядру.
5.43. Частица с кинетической энергией $K$ рассеивается на сферической потенциальной яме радиуса $R$ и глубины $U_{0}$, т.е. полем, в котором потенциальная энергия частицы имеет вид $U(r<R)=-U_{0}$ и $U(r>R)=0$, где $r$ – расстояние от центра ямы. Найти связь между прицельным параметром частицы $b$ и углом $\hat{\boldsymbol{0}}$, на который она отклонится от первоначального направления движения.
5.44. Неподвижный шар радиуса $R$ облучают параллельным потоком частиц, радиус которых $r$. Считая столкновение частицы с шаром упругим, найти:
a) угол ө отклонения частицы в зависимости от ее прицельного параметра $b$;
б) относительную долю частиц, которые рассеялись в интервале углов от $\hat{0}$ до $\hat{v}+d \hat{v}$;
в) вероятность того, что частица, столкнувшись с шаром, рассеется в переднюю полусферу ( $\diamond<\pi / 2$ ).
5.45. Узкий пучок $\alpha$-частиц с кинетической энергией 1,0 МэВ падает нормально на платиновую фольгу толщины 1,0 мкм. Наблюдение рассеянных частиц ведется под углом $60^{\circ} \mathrm{k}$ направлению падающего пучка при помощи счетчика с круглым входным отверстием площади $1,0 \mathrm{~cm}^{2}$, которое расположено на расстоянии $10 \mathrm{~cm}$ от рассеивающего участка где $e$ – заряд электрона, $c$ – скорость света, $k=1 / 4 \pi \varepsilon_{0}$ (СИ) или $k=1$ (СГС). Оценить время, за которое энергия электрона, совершающего колебания, близкие к гармоническим с частотой $\omega=5 \cdot 10^{15} \mathrm{c}^{-1}$, уменьшится в $\eta=10$ раз.
5.54. Воспользовавшись формулой из задачи 5.53, оценить время, в течение которого электрон, движущийся в атоме водорода по круговой орбите радиуса $r=50$ пм, упал бы на ядро. Считать, что в любой момент падения электрон движется равномерно по окружности соответствующего радиуса.
5.55. В спектре атомарного водорода известны длины волн трех линий, принадлежащих одной и той же серии: 97,26, 102,58 и 121,57 нм. Найти длины волн других линий в данном спектре, которые можно предсказать с помощью этих трех линий.
5.56. Показать, что частота $\omega$ фотона, возникающего при переходе электрона между соседними уровнями водородоподобного иона, удовлетворяет неравенству $\omega_{n}>\omega>\omega_{n+1}$, где $\omega_{n}$ и $\omega_{n+1}$ – частоты обращения электрона вокруг ядра на этих уровнях. Убедиться, что при $n \rightarrow \infty$ частота фотона $\omega \rightarrow \omega_{n}$.
5.57. Частица массы $m$ движется по круговой орбите в центрально-симметричном поле, где ее потенциальная энергия зависит от расстояния $r$ до центра поля как $U=x r^{2} / 2, x-$ постоянная. Найти с помощью боровского условия квантования возможные радиусы орбит и значения полной энергии частицы в данном поле.
5.58. Найти для водородоподобного иона радиус $n$-й боровской орбиты и скорость электрона на ней. Вычислить эти величины для первой боровской орбиты атома водорода и иона $\mathrm{He}^{+}$.
5.59. Определить круговую частоту обращения электрона на $n$-й круговой боровской орбите водородоподобного иона. Вычислить эту величину для иона $\mathrm{He}^{+}$при $\boldsymbol{n}=\mathbf{2}$.
5.60. Определить для атома водорода и иона $\mathrm{He}^{+}$: энергию связи электрона в основном состоянии, потенциал ионизации, первый потенциал возбуждения и длину волны головной линии серии Лаймана.
5.61. У некоторого водородоподобного иона первый потенциал возбуждения $\varphi_{1}=40,8$ В. Найти энергию фотона (в эВ), соответствующего головной линии серии Бальмера этих ионов.
5.62. Насколько необходимо увеличить внутреннюю энергию иона $\mathrm{He}^{+}$, находящегося в основном состоянии, чтобы от смог испустить фотон, соответствующий головной линии серии Бальмера?
5.63. Определить длину волны $\lambda$ спектральной линии атомарного водорода, частота которой равна разности частот следующих двух линий серии Бальмера: $\lambda_{1}=486,1 \mathrm{Hм}$ и $\lambda_{2}=410,2$ нм. Какой серии принадлежит эта линия?
5.64. Вычислить для атомарного водорода:
a) длины волн первых трех линий серии Бальмера;
б) минимальную разрешающую способность $\lambda / \delta \lambda$ спектрального прибора, при которой возможно разрешить первые $N=20$ линий серии Бальмера.
5.65. Излучение атомарного водорода падает нормально на дифракционную решетку ширины $l=7,4$ мм. В наблюдаемом спектре под некоторым углом дифракции о оказалась на пределе разрешения (по критерию Рэлея) 50-я линия серии Бальмера. Найти этот угол.
5.66. Какому элементу принадлежит водородоподобный спектр, длины волн линий которого в четыре раза короче, чем у атомарного водорода?
5.67. Сколько спектральных линий будет испускать атомарный водород, который возбуждают на $\boldsymbol{n}$-й энергетический уровень?
5.68. Какие линии содержит спектр поглощения атомарного водорода в диапазоне длин волн от 95,5 до 130,0 нм?
5.69. Найти квантовое число $n$, соответствующее возбужденному состоянию иона $\mathrm{He}^{+}$, если при переходе в основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волн $\lambda_{1}=121,4 \mathrm{нм}$ и $\lambda_{2}=30,35$ нм.
5.70. Вычислить постоянную Ридберга $R$, если известно, что для ионов $\mathrm{He}^{+}$разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана $\Delta \lambda=133,7$ нм.
5.71. У какого водородоподобного иона разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана $\Delta \lambda=59,3$ нм?
5.72. Найти длину волны головной линии той спектральной серии ионов $\mathrm{He}^{+}$, у которой интервал частот между крайними линиями $\Delta \omega=5,18 \cdot 10^{15} \mathrm{c}^{-1}$.
5.73. Найти энергию связи электрона в основном состоянии водородоподобных ионов, в спектре которых длина волны третьей линии серии Бальмера равна 108,5 нм.
5.74. Энергия связи электрона в основном состоянии атома Не равна $E_{0}=24,6$ эВ. Найти энергию, необходимую для удаления обоих электронов из этого атома.
5.75. Найти скорость фотоэлектронов, вырываемых электромагнитным излучением с длиной волны $\lambda=18,0$ нм из ионов $\mathrm{He}^{+}$, которые находятся в основном состоянии и покоятся.
5.76. С какой минимальной кинетической энергией должен двигаться атом водорода, чтобы при неупругом лобовом соударении с другим, покоящимся атомом водорода один из них оказался способным испустить фотон? До соударения оба атома находятся в основном состоянии.
5.77. Покоящийся атом водорода испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Какую скорость приобрел атом?
5.78. В условиях предыдущей задачи найти, на сколько процентов энергия испущенного фотона отличается от энергии соответствующего перехода в атоме водорода.
5.79. Покоящийся ион $\mathrm{He}^{+}$испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Этот фотон вырвал фотоэлектрон из покоящегося атома водорода, который находился в основном состоянии. Найти скорость фотоэлектрона.
5.80. Найти скорость возбужденных атомов водорода, если при наблюдении под углом $\hat{0}=45^{\circ}$ к направлению движения атомов длина волны головной линии серии Лаймана оказалась смещенной на $\Delta \lambda=0,20$ нм.
5.81. Согласно постулату Бора-Зоммерфельда при периодическом движении частицы в потенциальном поле должно выполняться следующее правило квантования: $\quad \oint p d q=2 \pi \hbar n$, где $\boldsymbol{q}$ и $\boldsymbol{p}$ – обобщенные координата и импульс, $\boldsymbol{n}$ – целье числа. Воспользовавшись этим правилом, найти разрешенные значения энергии частицы массы $m$, которая движется:
a) в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины $l$ с бесконечно высокими стенками;
б) по окружности радиуса $r$;
в) в одномерном потенциальном поле $U=\alpha x^{2} / 2$, где $\alpha$ положительная постоянная;
г) по круговой орбите в поле, где потенциальная энергия частицы $U=-\alpha / r$ и $\alpha$ – положительная постоянная.
5.82. Найти с учетом движения ядра атома водорода выражения для энергии связи электрона в основном состоянии и для постоянной Ридберга. На сколько процентов отличаются энергия и постоянная Ридберга, полученные без учета движения ядра, от соответствующих уточненных значений этих величин? D) раз. Найти
a) энергий связи их электронов в основном состоянии; б) длин волн головных линий серии Бальмера.
5.84. Определить для мезоатома водорода (в котором вместо электрона движется мезон, имеющий тот же заряд, но массу в 207 раз большую):
a) расстояние между мезоном и ядром (протоном) в основном состоянии;
б) энергию связи в основном состоянии;
в) длину волны головной линии серии Бальмера.
5.85. Вычислить для позитрония (системы из электрона и позитрона, движущихся вокруг общего центра масс):
a) расстояние между частицами в основном состоянии;
б) энергию связи в основном состоянии;
в) длину волны головной линии серии Бальмера.