– Уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси $z$ :
\[
I \beta_{z}=N_{z},
\]

где $N_{z}$ – алгебраическая сумма моментов внешних сил относительно оси $z$.
– Теорема Штейнера:
\[
I=l_{c}+m a^{2} .
\]
– Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:
\[
\boldsymbol{K}=I \omega^{2} / 2 .
\]

– Работа внешних сил при повороте твердого тела вокруг неподвижной оси:
\[
A=\int N_{z} d \varphi .
\]
– Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении:
\[
K=I_{C} \omega^{2} / 2+m v_{C}^{2} / 2 .
\]
– Связь между угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}^{\prime}$ прецессии гироскопа, его моментом импульса $\mathbf{M}$, равным $I \boldsymbol{\omega}$, и моментом $\mathbf{N}$ внешних сил:
\[
\left[\omega^{\prime} \mathbf{M}\right]=\mathbf{N} .
\]
1.272. Тонкий однородный стержень $A B$ массы $m=1,0 \mathrm{k \Gamma}$ движется поступательно с ускорением $a=2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$ под действием сил $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$ (рис. 1.49). Расстояние $\boldsymbol{b}=20 \mathrm{~cm}$, сила $\boldsymbol{F}_{2}=5,0 \mathrm{H}$. Найти длину стержня.
1.273. Однородный шар массы $m=$ $=4,0 \mathrm{kr}$ движется поступательно по поверхности стола под действием постоянной силы $\mathbf{F}$, как показано на рис. 1.50. Угол $\alpha=45^{\circ}$, коэффициент трения $k=\mathbf{0 , 2 0}$. Найти $\boldsymbol{F}$ и ускорение цара.
Рис. 1.49
Рис. 1.50
1.274. К точке с радиусом-вектором $r_{1}=a \mathbf{i}$ приложена сила $\mathbf{F}_{1}=\boldsymbol{A} \mathbf{j}$, а к точке с $\mathbf{r}_{2}=\boldsymbol{b} \mathbf{j}-$ сила $\mathbf{F}_{2}=\boldsymbol{B} \mathbf{i}$. Здесь $\mathbf{i}$ и – орты осей $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}, \boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ – постоянные. Найти плечо равнодействуюцей силы относительно начала координат.
1.275. Однородный кубик массы $\boldsymbol{m}=2,5 \mathrm{kr}$, длина ребра которого $l=100 \mathrm{mм}$, перемещают вправо, действуя силой $\boldsymbol{F}=11 \mathrm{H}$ (рис. 1.51). Коэффициент трения $k=0,15$. Найти:

a) плечо $\boldsymbol{b}$ равнодействуюцей сил нормального давления относительно центра кубика;
б) при каком значении $F$ кубик будет скользить не опрокидываясь.
1.276. В начальном положении середина горизонтального однородного стержня массы $\boldsymbol{m}$ и длины $l$ находит-
Рис. 1.51
ся над упором $A$ (рис. 1.52). Левый конец стержня начали медленно тянуть за нить. Какую работу надо совершить, чтобы стержень выскочил изпод упора $\boldsymbol{B}$, если расстояние между упорами $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ Рис. 1.52 равно $a$ и коэффициент трения между стержнем и упорами $k$ ?
1.277. Имеется тонкий однородный стержень массы $m$ и длины l. Найти его момент инерции относительно оси, проходящей через:
a) его конец и перпендикулярной самому стержню;
б) его центр и составляющей угол $\boldsymbol{\alpha}$ со стержнем.
1.278. Найти момент инерции тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси, проходящей через одну из всршин пластинки перпендикулярно ее плоскости, если стороны пластинки равны $a$ и $b$, а ее масса $\boldsymbol{m}$.
1.279. Тонкая однородная пластинка массы $\boldsymbol{m}=0,60 \mathrm{kr}$ имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника. Найти ее момент инерции относительно оси, совпадающей с одним из катетов, длина которого $a=200 \mathrm{mм}$.
1.280. Вычислить момент инерции:
a) медного однородного диска относительно его оси, если толщина диска $b=2,0 \mathrm{mм}$ и радиус $R=100 \mathrm{mм}$;
б) однородного сплошного конуса относительно его оси, если масса конуса $m$ и радиус основания $R$.
1.281. Найти момент инерции тонкого проволочного кольца радиуса $a$ и массь $m$ относительно оси, совпадающей с его диаметром.
1.282. Показать, что для тонкой пластинки произвольной формы имеется следующая связь между моментами инерции: $I_{1}+I_{2}=I_{3}$, где $1,2,3$ – три взаимно перпендикулярные оси, проходяцие через одну точку, причем оси 1 и 2 лежат в плоскости пластинки.

Используя эту связь, найти момент инерции тонкого круглого однородного диска радиуса $R$ и массы $m$ относительно оси, совпадающей с одним из его диаметров.
1.283. Момент инерции тела относительно взаимно параллельных осей 1 и 2 равен $I_{1}=1,00 \mathrm{r} \cdot \mathrm{m}^{2}$ и $I_{2}=3,0 \mathrm{r} \cdot \mathrm{m}^{2}$. Оси 1 и 2 расположены на расстояниях $x_{1}=100 \mathrm{M}$ и $x_{2}=300 \mathrm{mM}$ от центра масс $C$ тела. Найти момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через точку $C$ и параллельной осям 1 и 2.
Рис. 1.53
1.284. Однородный диск радиуса $R$ имеет круглый вырез (рис. 1.53). Масса оставшейся (заштрихованной) части диска равна $\boldsymbol{m}$. Найти момент инерции такого диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей:
a) через точку $O$;
б) через его центр масс.
1.285. Исходя из формулы для момента инерции однородного шара найти момент инерции тонкого сферического слоя массы $\boldsymbol{m}$ и радиуса $R$ относительно оси, проходяцей через его центр.
1.286. На ступенчатый блок (рис. 1.54) намотаны в противоположных направлениях две нити. На конец одной нити действуют постоянной силой $\mathbf{F}$, а к концу другой нити прикреплен груз массы $m$. Известны радиусы $R_{1}$ и $R_{2}$ блока и его момент инерции $I$ относительно оси вращения. Трения нет. Найти угловое ускорение блока.
1.287. На однородный сплошной цилиндр массы $M$ и радиуса $R$ плотно
Рис. 1.55
Рис. 1.54
Рис. 1.55 намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы $\boldsymbol{m}$ (рис. 1.55). В момент $\boldsymbol{t}=0$ система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени:
a) модуля угловой скорости цилиндра;
б) кинетической энергии всей системы.
1.288. Концы тонких нитей, плотно намотанных на ось радиуса $r$ диска Максвелла, прикреплены к горизонтальной штанге. Когда диск раскручивается, штангу поднимают так, что диск остается неизменно на одной и той же высоте. Масса диска с осью $\boldsymbol{m}$, их момент инерции относительно их оси симметрии I. Найти ускорение штанги.
1.289. Горизонтальный тонкий однородный стержень $A B$ массы $m$ и длины $l$ может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец $\boldsymbol{A}$. В некоторый момент на конец $\boldsymbol{B}$ начала действовать постоянная сила $\boldsymbol{F}$, которая все время перпендикулярна первоначальному положению покоившегося стержня и направлена в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость стержня как функцию его угла поворота $\varphi$ из начального положения.
1.290. Горизонтально расположенный тонкий однородный стержень массы $m$ подвешен за концы на двух вертикальных нитях. Найти силу натяжения одной из нитей сразу после пережигания другой нити.
1.291. Тонкий однородный стержень массы $m=0,50 \mathrm{kr}$ и длины $l=100 \mathrm{cм}$ может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через сам стержень. Момент инерции стержня относительно оси вращения $I=0,115 \mathrm{kr} \cdot \mathrm{m}^{2}$. Стержень установили в горизонтальном положении и отпустили. После этого он пришел в движение и остановился в вертикальном положении. Найти модуль тормозящего момента сил в оси, считая его постоянным.
1.292. В установке (рис. 1.56) известны масса $\boldsymbol{m}$ однородного сплошного цилиндра, его радиус $R$ и массы тел $\boldsymbol{m}_{1}$ и $\boldsymbol{m}_{2}$. Скольжения нити и трения в оси цилиндра нет. Найти угловое ускорение цилиндра и отношение сил натяжения $F_{1} / F_{2}$ вертикальных участков нити в процессе движения. Убедиться, что $F_{1}=F_{2}$ при $\boldsymbol{m} \rightarrow \mathbf{0}$.
1.293. В установке (рис. 1.57) известны массы тел $\boldsymbol{m}_{1}$ и $\boldsymbol{m}_{2}$, коэффициент трения $k$ между телом $\boldsymbol{m}_{1}$ и горизонтальной повер-

Рис. 1.56 хностью, а также масса блока $m$, который можно считать однородным диском. Скольжения нити по блоку нет. В момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$ тело $\boldsymbol{m}_{2}$ начинает опускаться. Пренебрегая трением в оси блока, найти:
a) ускорение тела $m_{2}$;

(2.). 1.57
Рис. 1.57
б) работу силы трения, действующей на тело $m_{1}$, за первые $t$ секунд после начала движения. 1.294. Однородный стержень массы $m$ пағает с пренебрежимо малой начальной скоростью из вертикального положения, гюворачиваясь вокруг ненодвижной оси $O$, проходяней через его нижний конец. Найти горизонтальную и вертикальную составляющие силы, с которой ось $O$ действует на стержень в горизонтальном положении. Трения нет.
1.295. Однородный сплошной цилиндр
Рис. 1.58
Рис. 1.59 радиуса $R$ раскрутили вокрут его оси до угловой скорости $\omega_{0}$ и затем поместили в угол (рис. 1.58). Коэффипиент трения между цилиндром и стенками равен $k$. Сколько времени цилиндр будет врацаться в этом положении?
1.296. В системе (рис. 1.59) однородному диску сообщили угновую скорость вокруг горизонтальной оси $O$, а затем осторожно опустили на него конец $A$ стержня $A B$ так, что он образовал угоп $\mathbf{v}=45^{\circ}$ с вертикалью. Трение имеется только между диском и стержнем, коэффициент трения $k=0,13$. Пусть $n_{1}$ и $n_{2}$– числа оборотов диска до остановки при его вращении по часовой стрелки и иротив при одинаковой начальной скорости. Найти отнонение $n_{2} / n_{1}$.
1.297. Однородный диск радиуса $R$ раскрутили до угловой скорости $\omega$ и осторожно положили на горизонталыную поверхность. Сколько времени диск будет вращаться на новерхности, если коэффициент трения равен $k$ ?
1.298. Тонкий стержень $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ массы $m=$ $=50 \mathrm{r}$ лежит на горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $k=0,12$. Стержень может вращаться вокруг гладкой вертикальной оси, проходяцей через его конец $A$. По концу $\boldsymbol{B}$ произвели кратковременный удар в горизонтальном направлении перпендикулярно стержню.

Импульс силь удара $J=0,50 \mathrm{H} \cdot$. Сколько нремени стержень будет вращтрся?
1.249. Маховик с начальной угловой скоростью $\omega_{0}$ начинает тормозиться силами. момент которых относительно его оси пропорционален квацратному корню из его улявой скорости. Найли цредню угловую скорость маховика за все врел:я торможения. цилинде в огин: рнд намотан тонкий инур аннны \& занисимост он дины $x$ свениваюпейся чнсти

Pис. 1.60 $i_{0}=100$ км врандетя свободно вокруг ненодьнжной вертикальнои оси $O O^{\prime}$. проходяцей герез сго конең $A$. Точка $A$ находится носередине оси о’, Личча которой $l=55 \mathrm{~cm}$. При каком ;нанении угловой корости стержия горизонтыльная составля-

Рис. 1.6! тальная составляюцая силы, действуюцей на верхний консц оси?
1.303. Середина однородного гержня масси $m$ и длины $l$ жетко соцдиниа с вертикалинй осю $O O^{\prime}$ так, что угол между стержием и осью равен о (рис, 1.62). Концы оси $O O^{\prime}$ укреплены в поднинниках. Система вращения без трения с уюловой скоростью $\omega$. Найти:
a) модуль момента импульса стержня относительно точки $C$ и момент импульса относительно оси врацения;
б) модуль момента внешних сил, действующих на ось $O O^{\prime}$ при врацении.

1.304. Гладкий однородный стержень $A B$ массы $M$ и длины $l$ свободно вращается с угловой скоростью $\omega_{0}$ в горизонтальной плоскости вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его конец $\boldsymbol{A}$. Из точки $A$ начинает скользить по стержню небольшая муфта массы $m$. Найти скорость $v^{\prime}$ муфты относительно стержня в тот момент, когда она достигнет его конца $\boldsymbol{B}$.
1.305. Однородная тонкая квадратная

Рис. 1.62 пластинка со стороной $l$ и массы $M$ может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, совпадающей с одной из ее сторон. В центр пластинки по нормали к ней упруго ударяется шарик массы $m$ со скоростью v. Найти:
a) скорость шарика $\mathbf{v}^{\prime}$ сразу после удара;
б) горизонтальную составляющую результирующей силы, с которой ось действует на пластинку после удара.
1.306. Вертикально расположенный однородный стержень массы $M$ и длины $l$ может вращаться вокруг своего верхнего конца. В нижний конец стержня попала, застряв, горизонтально летевшая пуля массы $m$, в результате чего стержень отклонился на угол $\alpha$. Считая $m \ll M$, найти:
a) скорость летевшей пули;
б) приращение импульса системы \”пуля – стержень\” за время удара; какова причина изменения этого импульса;
в) на какое расстояние $x$ от верхнего конца стержня должна попасть пуля, чтобы импульс системы не изменился в процессе удара.
1.307. Горизонтально расположенный однородный диск массы $M$ и радиуса $R$ свободно врацается вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Диск имеет радиальную направляющую, вдоль которой может скользить без трения небольше тело массы $m$. К телу привязана нить, пропущенная через полую ось диска вниз. Первоначально тело находилось на краю диска и вся система вращалась с угловой скоростью $\omega_{0}$. Затем к нижнему концу нити приложили силу $F$, с помощью которой тело медленно подтянули к оси вращения. Найти:
a) угловую скорость системы в конечном состоянии:
б) работу, которую совершила сила $\boldsymbol{F}$.

1.308. Человек массы $m_{1}$ стоит на краю горизонтального однородного диска массы $m_{2}$ и радиуса $R$, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. В некоторый момент человек начал двигаться по краю диска, совершил перемещение на угол $\varphi^{\prime}$ относительно диска и остановился. Пренебрегая размерами человека, найти угол, на который повернулся диск к моменту остановки человека.
1.309. Два горизонтальных диска свободно вращаются вокруг вертикальной оси, проходяцей через их центры. Моменты инерции дисков относительно этой оси $I_{1}$ и $I_{2}$, угловые скорости $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. После падения верхнего диска на нижний оба диска из-за трения между ними начали через некоторое время вращаться как единое целое. Найти:
a) установившуюся угловую скорость вращения дисков;
б) работу, которую совершили при этом силы трения.
1.310. Двум одинакового радиуса дискам сообщили одну и ту же угловую скорость $\omega_{0}$ (рис. 1.63), а затем их привели в соприкосновение, и система через некоторое время пришла в новое установившееся состояние движения. Оси дисков неподвижны, трения в осях нет. Моменты инерции дисков относиРис. 1.63 тельно их осей вращения равны $I_{1}$ и $I_{2}$. Найти:
a) приращение момента импульса системы;
б) убыль ее механической энергии.
1.311. Диск радиуса $a$ может свободно вращаться вокруг своей оси, относительно которой его момент инерции равен $I_{0}$. В момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$ диск начали облучать по нормали к его поверхности равномерным потоком частиц $-N$ частиц в единицу времени. Каждая частица имеет массу $\boldsymbol{m}$ и собственный момент импульса $\overline{\mathbf{M}}$, направление которого совпадает с направлением движения частиц. Считая, что все частицы застревают в диске, найти его угловую скорость как функцию времени $\omega(t)$, если $\omega(0)=0$. Изобразить примерный график зависимости $\omega(t)$.
1.312. Однородный диск радиуса $R$ и массы $m$ лежит на гладкой горизонтальной поверхности. На боковую поверхность диска плотно намотана нить, к свободному концу $\boldsymbol{K}$ которой приложили постоянную горизонтальную силу $\mathbf{F}$. После начала движения диска точка $\boldsymbol{K}$ переместилась на расстояние $\boldsymbol{l}$. Найти угловую скорость диска к этому моменту.
Рис. 1.64
1.313. Двухступенчатый блок радиусов $R_{1}$ и $R_{2}$ положили на гладкую горизонтальную поверхность. На ступени блока плотно намотаны нити, к концам которых приложили посаоянные, взаимно перпендикулярные силы $\mathbf{F}_{1}$ и $\mathbf{F}_{2}$ (рис. 1.64, вид сверху). Сконько оборо тов совернит блок за время, в течение которого его ось $C$ переместится на расстояние $l$ ? Масса данного блока $m$, его момент инерции относительно оси $C$ равен $I$.
1.314. Однородный диск радиуса $R=5,0 \mathrm{~cm}$, вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega=60 \mathrm{paz} / \mathrm{c}$, падает в вертикальном ноложении на горизонталыую нероховатую поверхность и отскакивает под углом $\boldsymbol{v}=30^{\circ} \mathrm{K}$ вертикали, уже не врацаясь. Найти скорость диска сразу после отскакивания.
1.315. Однородный шар скатывается без скольжения пю наклонной плоскости, составляюцей угол $\alpha$ с горизонтом. Найти ускорение центра шара и значение коэффициента трения, при котором скольжения не будет.
1.316. Однородный пар массы $m=5,0 \mathrm{kr}$ скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha=30^{\circ}$ с горизонтом. Найти кинетическую эиерию шара через $t=1,6$ с после начала движения.
1.317. Однородный стержень длины $l=110$ см расположен под углом $\alpha=60^{\circ}$ к гладкой горизонтальной поверхности, на которую ои опирается своим нижним концом. Стержеиь без толчка отпустили. Найти скорость верхнего конца стержня непосредственно перед падением его на поверхность.
1.318. Катушка, момент инерции которой относительно ее оси равен $I$, скатывается без скольжения по наклонной плоскости. Пройдя от начала движения путь $s$, она приобрела угловую скорость $\omega$. Найти силу трения покоя, считая ее одинаковой на всем пути.
1.319. Шарик $A$ скатывается без скольжения с горки высоты $H=50 \mathrm{cм}$, имеющей трамнлин высоты $h=15 \mathrm{cм}$ (рис. 1.65). С какой скоростыю шарик упадет на горизонтальную поверхность?

Dat.
Рис. 1.65
Puc. 1.66
1320. Однородный цилиндр массы $m=8,0 \mathrm{kr}$ и радиуса $R=1,3$ см (рис. 1.66) в момент $t=0$ начинает онускаться под действием силы тяжести. Найти:
a) угловое ускорение цилиндра;
б) зависимость от времени мгновенной моцности, которую развиваст сила тяжести.
1.321. Нити намотаны на концах однородного сплошною цилиндра массы $\boldsymbol{m}$. Свободные конць нитей прикреплены к потолку кабины лифта. Кабина начала подниматься с ускорением $\mathbf{a}_{0}$. Найти ускорение ци $^{\prime}$ цилинда относительно кабины и силу $\mathbf{F}$, с которой цилиндр действует (\”ерез нити) на потолок. 1.322. На гладкой наклонной пэоскости, составляющей уюл $\alpha=30^{\circ} \quad$ с горизонтом, находится катушка с ниткой, свободный конец которой укреплен (рис. 1.67). Масса данной катушки $\boldsymbol{m}=200 \mathrm{r}$, се момент инерции относительно собственной оси $I=0,45 \mathrm{r} \cdot \mathrm{M}^{2}$, радиус намотанного слоя ниток $r=3,0 \mathrm{~cm}$. Найти ускорение оси катунки.
1.323. Однородный сплонной цилиндр массы $m$ лежит на двух горизоптальных брусьях. На цилиндр намотана нить, за свешиваюцийся конец которой тянут с постоянной, вертикалыно направленной силой $\boldsymbol{F}$ (рис. 1.68). Найти значения силы $F$, при которых цилиндр будет катиться без скольжения, если коэффициент трения равен $k$.
1.324. На горизонтальной шероховатой плоскости лежит катушка ниток массы $m$.
Рис. 1.67
Рис. 1.68

Ее момент инерции относительно собственной оси $I=\gamma m R^{2}$, где $\gamma$ – числовой коэффициент, $R$ – внешний радиус катушки. Радиус намотанного слоя ниток равен $r$. Катушку без скольжения начали тянуть за нить с постоянной силой $\mathbf{P}$,
Рис. 1.69 направленной под углом $\alpha$ к горизонту (рис. 1.69). Найти:
a) проекцию на ось $x$ ускорения оси катушки;
б) работу силы $\mathbf{F}$ за первые $t$ секунд движения.
1.325. Система (рис. 1.70) состоит из двух одинаковых однородных цилиндров, на которые симметрично намотаны две легкие нити. Найти ускорение оси нижнего цилиндра в процессе движения.
1.326. В системе (рис. 1.71) известны масса $m$ груза $A$, масса $\boldsymbol{M}$ ступенчатого блока $\boldsymbol{B}$, момент инерции $I$ последнего относительно его оси и радиусы ступеней блока $R$ и $2 R$. Найти ускорение груза $A$.

Рис. 1.70
Рис. 1.71
Рис. 1.72
1.327. Сплошной однородный цилиндр $A$ массы $m_{1}$ может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, которая укреплена на подставке $\boldsymbol{B}$ массы $m_{2}$ (рис. 1.72). На цилиндр плотно намотача нить; к концу $\boldsymbol{K}$ которой приложили постоянную горизонтальную силу $F$. Трения между подставкой и плоскостью нет. Найти:
a) ускорение точки $\boldsymbol{K}$;
б) кинетическую энергию этой системы через $t$ секунд после начала движения.

1.328. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы $m_{1}$ и на ней однородный шар массы $m_{2}$. К доске приложили постоянную горизонтальную силу $F$. С какими ускорениями будут двигаться доска и центр шара в отсутствие скольжения между ними?
1.329. Сплошному однородному цилиндру массы $m$ и радиуса $R$ сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростью $\omega_{0}$, затем его положили боковой поверхностью на горизонтальную плоскость и предоставили самому себе. Коэффициент трения равен $k$. Найти:
a) время, в течение которого движение цилиндра будет происходить со скольжением;
б) полную работу силы трения скольжения.
1.330. Однородный шар радиуса $r$ скатывается без скольжения с вершинь! сферы радиуса $R$. Найти утловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная скорость шара пренебрежимо мала.
1.331. Сплошной однородный цилиндр радиуса $R$ катится по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, составляющую угол а с горизонтом (под уклон). Найти максимальное значение скорости $v_{0}$ цилиндра, при котором он перейдет на наклонную плоскость еце без скачка. Скольжения нет.
1.332. Однородный шар массы $m=5,0 \mathrm{kR}$ и радиуса $R=5,0 \mathrm{cм}$ катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Вследствие деформации в месте соприкосновения шара и плоскости на шар при движении вправо действует равнодействующая $\mathbf{F}$ сил реакции (рис. 1.73). Найти модуль момента силы относительно центра $O$ шара, если шар, имевший в некоторый момент скорость $v=1,00 \mathrm{M} / \mathrm{c}$,
Рис. 1.73
прошел после этого до остаиовки путь $s=2,5$ м. Момент силы F считать постоянным.
1.333. На гладкой горизонтальной поверхности лежит однородный стержень массы $m=5,0 \mathrm{kr}$ и длины $l=90$ см. По одному из концов стержня в горизонтальном направлении перпендикулярно стержню произвели удар, импульс силы которого $\boldsymbol{J}=3,0 \mathrm{H} \cdot \mathrm{c}$. Найти силу, с которой одна половина стержня будет действовать на другую в процессе движения.

1.334. Используя условие предыдущей задачи, найти:
a) на какое расстояние переместится центр стержня за время его полного оборота;
б) кинетическую энергию стержня после удара.
1.335. На гладкой горизонтальной поверхности лежит однородный стержень массы $m$ и длины $l$. На один из его концов начали действовать постоянной, направленной все время вертикально вверх силой $F=m g$. Найти угловую скорость стержня в зависимости от угла $\varphi$ его поворота.
1.336. Однородный стержень
Рис. 1.74
$A B$ длины $2 l$ установили вертикально в углу, образованном гладкими плоскостями. В некоторый момент стержню сообщили пренебрежимо малую угловую скорость, и он начал падать скользя по плоскостям, как показано на рис. 1.74. Найти:
a) угловую скорость $\omega$ и угловое ускорение $\beta$ стержня как функции угла $\alpha$ – до момента отрыва точки $A$ от плоскости;
б) при каком значении угла $\alpha$ стержень оторвется от вертикальной стенки?
1.337. Однородный стержень длины $l$, укрепленный одним концом в шарнире, отвели на угол ө от вертикали и сообщили его нижнему концу скорость $v_{0}$ перпендикулярно вертикальной плоскости, проходящей через стержень. При каком минимальном значении $v_{0}$ стержень при дальнейшем движении пройдет через горизонтальное положение?
1.338. На гладкой плоскости лежат небольшая шайба и тонкий однородный стержень длины $l$, масса которого в $\eta$ раз больше массы шайбы. ІІйбе сообцили скорость $\mathbf{v}$ в горизонтальном направлении перпендикулярно стержню, после чего она испытала упруго соударение с концом стержня. Найти скорость $v_{c}$ центра стержня после столкновения. При каком значении $\eta$ скорость шайбы после столкновения будет равна нулю? изменит направление на противоположное?
1.339. Однородный стержень, падавший в горизонтальном положении с высоты $h$, упруго ударился одним концом о край массивной плиты. Найти скорость центра стержня сразу после удара.

1.340. Волчок массы $m=0,50 \mathrm{xr}$, ось которого наклонена под углом $\hat{0}=30^{\circ}$ к вертикали, прецессирует под действием силы тяжести. Момент инерции волчка относительно его оси симметрии $I=2,0 \mathbf{r} \cdot \mathbf{m}^{2}$, угловая скорость врацения вокруг этой оси $\omega=350 \mathrm{pa \pi} / \mathrm{c}$, расстояние от точки опоры до центра масс волчка $l=10 \mathrm{~cm}$. Найти:
a) угловую скорость прецессии волчка;
б) модуль и направление горизонтальной составляющей силы реакции, действующей на волчок в точке опоры.
1.341. На полу кабины лифта, которая начинает подниматься с постоянным ускорением $a=2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$, установлен гироскоп – однородный диск радиуса $R=5,0 \mathrm{~cm}$ на конце стержня длины $l=10 \mathrm{~cm}$ (рис. 1.75). Другой конец стержня укреплен в шарнире o. Гироскоп прецессирует с частотой $n=0.5$ об/с. Пренебрегая трением и Рис. 1.75 массой стержня, найти собственную угловую скорость диска.
1.342. Волчок, масса которого $m=1,0 \mathrm{kr}$ и момент инерции относительно собственной оси $I=4,0 \mathrm{r} \cdot \mathrm{m}^{2}$, вращается с $\omega=320 \mathrm{paд} / \mathrm{c}$. Его точка опоры находится на подставке, которую перемещают в горизонтальном направлении с ускорением $a=3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$. Расстояние между точкой опоры и центром масс волчка $l=10 \mathrm{cм}$. Найти модуль и направление вектора $\omega^{\prime}$ угловой скорости прецессии волчка.
1343. Однородный нар массы $m=5,0 \mathrm{kr}$ и радиуса $R=6,0$ см врацается с $\omega=1250$ рад/с вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр и укрепленной в подшипниках подставки. Расстояние между подшипниками $l=15 \mathrm{cм}$. Подставку поворачивают вокруг вертикальной оси с $\omega^{\prime}=5,0 \mathrm{paz} / \mathrm{c}$. Найти модуль и направление гироскопических сил.
1.344. Диск массы $m=5,0 \mathrm{Kr}$ и радиуса $R=5,0$ см вращается c $\omega=330 \mathrm{pan} / \mathrm{c}$. Расстояние между подиииниками, в которых укреплена ось диска, $l=15 \mathrm{cм}$. Ось вынуждают совершать гармонические колебания вокруг горизонтальной оси с периодом $T=1,0$ с и амплитудой $\varphi_{m}=20^{\circ}$. Найти максимальное знатение гироскопических сил, декйствующих на подшипники со стороны оси диска.

1.345. Корабль движется со, скоростью $v=36$ км/ч по дуге окружности радиуса $R=200$ м. Найти момент гироскопических сил, действуюцих на подшипники со стороны вала с маховиком, которые имеют момент инерции относительно оси вращения $I=3,8 \cdot 10^{3} \mathrm{kr} \cdot \mathrm{m}^{2}$ и делают $n=300$ об/мин. Ось вращения расположена вдоль корабля.
1.346. Локомотив приводится в движение турбиной, ось которой параллельна осям колес. Направление вращения турбины совпадает с направлением вращения колес. Момент инерции ротора турбины относительно собственной оси $I=240 \mathbf{~ k \Gamma} \cdot \mathbf{M}^{2}$. Найти добавочную силу давления на рельсы, обусловленную гироскопическими силами, когда локомотив идет по закруглению радиуса $R=250 \mathrm{~m}$ со скоростью $v=50 \mathrm{~km} /$. Расстояние между рельсами $l=1,5 \mathrm{~m}$. Турбина делает $n=1500$ об/мин.