– Согласно элементарной теории дисперсии диэлектрическая проницаемость вещества:
\[
\varepsilon=1+\sum \frac{n_{k} e^{2} / m \varepsilon_{0}}{\omega_{0 k}^{2}-\omega^{2}}
\]

где $n_{k}$ – концентрация электронов с собственной частотой $\omega_{0 k}$.
– Связь между показателем преломления и диэлектрической проницаемостью вещества:
\[
n=\sqrt{\varepsilon} \text {. }
\]
– Фазовая $v$ и групповая и скорости:
\[
v=\omega / k, \quad u=d \omega / d k .
\]
– Формула Рэлея:
\[
u=v-\lambda d v / d \lambda .
\]

– Закон ослабления узкого пучка электромагнитного излучения:
\[
I=I_{0} \exp (-\mu d),
\]

где $\mu=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}^{\prime} ; \mu, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}^{\prime}$ – линейные показатели ослабления, поглощения и рассеяния.
4.228. Электромагнитная волна с частотой $\omega$ распространяется в разреженной плазме. Концентрация свободных электронов в плазме равна $n_{0}$. Пренебрегая взаимодействием волны с ионами плазмы, найти зависимость:
a) диэлектрической проницаемости плазмы от частоты;
б) фазовой скорости от длины волны $\lambda$ в плазме.
4.229. Найти концентрацию свободных электронов ионосферы, если для радиоволн с частотой $v=100$ МГц ее показатель преломления $n=0,90$.
4.230. Имея в виду, что для достаточно жестких рентгеновских лучей электроны вещества можно считать свободными, определить, на сколько отличается от единицы показатель преломления графита для рентгеновских лучей с длиной волны в вакууме $\lambda=\mathbf{5 0}$ пм.
4.231. Электрон, на который действует квазиупругая сила $k x$ и \”сила трения\” $\boldsymbol{\gamma} \dot{x}$, находится в поле электромагнитного излучения. Электрическая составляющая поля меняется во времени по закону $E=E_{0} \cos \omega t$. Пренебрегая действием магнитной составляющей поля, найти:
a) уравнение движения электрона;
б) среднюю мощность, поглощаемую электроном; частоту, при которой она будет максимальна; выражение для максимальной средней мощности.
4.232. В ряде случаев диэлектрическая проницаемость вещества оказывается величиной комплексной или отрицательной и показатель преломления – соответственно комплексным $\left(n^{\prime}=n+\mathrm{i} x\right)$. Написать для этих случаев уравнение плоской волны и выяснить физический смысл таких показателей преломления.
4.233. При зондировании разреженной плазмы радиоволнами различных частот обнаружено, что радиоволны с частотами $v<v_{0}=400$ МГц не проходят через плазму. Найти концентрацию свободных электронов в этой плазме.
4.234. Исходя из определения групповой скорости $u=d \omega / d k$, получить формулу Рэлея (4.5 г). Показать также, что значение $u$. вблизи $\lambda=\lambda^{\prime}$ равно отрезку $v^{\prime}$, отсекаемому касательной к кривой $v(\lambda)$ в точке $\lambda^{\prime}$ (рис. 4.40).
Найти зависимость между групповой $и$ и фазовой $v$ скоростями для следующих законов дисперсии:
а) $v \sim 1 / \sqrt{\lambda}$;
б) $\cup \sim k$;
в) $v \sim 1 / v^{2}$, где $\lambda, k$ и $v$ – длина волны, волновое число и частота.
4.236. В некоторой среде связь между групповой и фазовой скоростями электромагнитной волны имеет вид $u v=c^{2}$,
Рис. 4.40
где $c$ – скорость света в вакууме. Найти зависимость диэлектричєской проницаемости этой среды от частоты волны $\varepsilon(\omega)$.
4.237. Показатель преломления сероуглерода для света с длинами воли 509,534 и 589 нм равен соответственно 1,647 , 1,640 и 1,630 . Вычислить фазовую и групповую скорости света воллизи $\lambda=534 \mathrm{kM}$.
4.238. Ллоский световой импульс распространяется в среде, где фазовая скорость линейно зависит от длины волны как $v=a+b \lambda, a$ и $b$-. некоторые положительные постоянние. Показать, что в такой среде форма ироизвопьного светового импульса будет восстанавливаться через промежуток времени $\tau=1 / b$.
4.239. Пучок естественного света интенсивности $I_{0}$ падает иа систему из двух скрещенных поляризаторов, между которьми находится трубка с оптичєски неактивным раствором в продольном магнитном поле напряженности $\boldsymbol{H}$. Длина трубики $l$, линейный показатель поглощения раствора $x$ и постоянная Верде $V$. Пренебрегая отражениями, найти интенсивность света, ирошедшего через эту систему.
4.240. Плоская монохроматическая сьетовая волна интенсивности $I_{0}$ падает нормально на пластинку толщины $d$ с линейным показателем поглощения $x$. Коэффициент отражения каждой поверхности пластинки равен $\rho$. Найти интенсивность прошедшего света:
a) пренебрегая вторичными отражениями;
б) учитывая многократные отражения.
4.241. Из некоторого вещества изготовили две пластинки: одну толщины $d_{1}=3,8 \mathrm{mM}$, другую толщины $d_{2}=9,0$ мм. Введя поочередно эти пластинки в пучок монохроматического света, обнаружили, что первая пластинка пропускает $\tau_{1}=0,84$ светового потока, а вторая $\tau_{2}=0,70$. Найти линейный показатель поглощения этого вещества. Свет падает нормально. Вторичными отражениями пренебречь.
4.242. Световой пучок проходит через стопу из $N=5$ одинаковых пластинок, каждая толщины $l=5,0$ мм. Коэффициент отражения каждой поверхности $\rho=0,050$. Отношение интенсивности света, прошедшего через эту систему, к интенсивности падающего света $\tau=0,55$. Пренебрегая вторичными отражениями, определить линейный показатель поглощения данного стекла.
4.243. Свет падает нормально на поверхность пластины толщины $l$. Показатель поглощения вещества пластины линейно изменяется вдоль нормали к ее поверхности от $x_{1}$ до $x_{2}$. Коэффициент отражения каждой поверхности пластины $\rho$. Пренебрегая вторичными отражениями, найти коэффициент пропускания пластины.
4.244. Пучок света интенсивности $I_{0}$ падает нормально на прозрачную пластинку толщины $l$. Пучок содержит все длины волн в диапазоне от $\lambda_{1}$ до $\lambda_{2}$ одинаковой спектральной интенсивности. Найти интенсивность прошедшего через пластинку пучка, если в этом диапазоне длин волн показатель поглощения линейно зависит от $\lambda$ в пределах от $x_{1}$ до $x_{2}$ и коэффициент отражения каждой поверхности равен $\rho$. Вторичными отражениями пренебречь.
4.245. Светофильтром является пластинка толщины $d$ с линейным показателем поглощения, зависящим от длины волны $\lambda$ как $x=\alpha\left(1-\lambda / \lambda_{0}\right)^{2}$, где $\alpha$ и $\lambda_{0}$ – постоянные. Найти ширину полосы пропускания $\Delta \lambda$ этого светофильтра, при которой ослабления света на краях полосы в $\eta$ раз больше, чем при $\lambda_{0}$. Коэффициент отражения поверхностей считать одинаковым для всех длин волн. Вторичными отражениями пренебречь.
4.246. Точечный изотропный источник, испускающий световой поток $\Phi$, находится в центре сферического слоя вещества, внутренний радиус которого $a$, наружный $b$. Линейный показатель поглощения вещества $x$, коэффициент отражения поверхностей $\rho$. Пренебрегая вторичными отражениями, найти интенсивность света на выходе из этого слоя.
4.247. Во сколько раз уменьшится интенсивность узкого пучка рентгеновского излучения с длиной волны 20 пм при прохождении свинцовой пластинки толщины $d=1,0$ мм, если массовый показатель ослабления для данной длины волны $\mu / \rho=3,6 \mathrm{~cm}^{2} / \Gamma$ ?
4.248. Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны 62 пм проходит через алюминиевый экран толщины $2,6 \mathrm{~cm}$. Какой толщины свинцовый экран будет ослаблять данный пучок в такой же степени? Массовые показатели ослабления алюминия и свинца для этого излучения равны соответственно 3,48 и $72,0 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{r}$.
4.249. Найти для алюминия толщину слоя половинного ослабления узкого пучка монохроматического рентгеновского излучения, если массовый показатель ослабления $\mu / \rho=0,32 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{r}$.
4.250. Сколько слоев половинного ослабления в пластинке, которая уменьшает интенсивность узкого пучка рентгеновского излучения в $\eta=50$ раз?