\]
– Соотношение неопределенностей:
\[
\Delta x \cdot \Delta p_{x} \geqslant t .
\]
– Временно́ и стационарное уравнения Шрёдингера:
\[
\text { in } \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m}
abla^{2} \Psi+U \Psi, \quad
abla^{2} \Psi+\frac{2 m}{\hbar^{2}}(E-U) \Psi=0,
\]

где $\boldsymbol{\Psi}$ – полная волновая функция, – ее координатная часть, $
abla^{2}$ оператор Лапласа, $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{U}$ – полная и потенциальная энергии частицы. В сферических координатах
\[

abla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \varphi^{2}}
\]
– Среднее значение величины $q$, зависящей от координат:
\[
\langle q\rangle=\int q|\psi|^{2} d V,
\]

где – нормированная волновая функция, $d V$ – элемент объема.
– Коэффициент прозрачности потенциального барьера́ $U(x)$ :
\[
D \approx \exp \left(-\frac{2}{h} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{2 m(U-E)} d x\right),
\]

где $x_{1}$ и $x_{2}$ – координаты точек, между которыми $\boldsymbol{U}>\boldsymbol{E}$.

5.86. Вычислить дебройлевские длины волн электрона, протона и атома урана с кинетической энергией 100 эВ.
5.87. Частица движется слева в одномерном потенциальном поле, показанном на рис. 5.2. Левее барьера, высота которого $\boldsymbol{U}=15$ эВ, кинетическая энергия частицы $\boldsymbol{K}=\mathbf{2 0}$ эВ. Как и во сколько раз изменится дебройлевская длина волны частицы при Рис. 5.2 переходе через барьер?
5.88. Найти дебройлевскую длину волны протонов, если при попадании в поперечное магнитное поле с индукцией $B=1,00$ кГс радиус кривизны их траектории $\rho=23$ мм.
5.89. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от $\lambda_{1}=100$ пм до $\lambda_{2}=50$ пм?
5.90. Какую работу необходимо совершить, чтобы дебройлевская длина электрона, имевшего импульс $p=20$ кэВ/c ( $c$ скорость света), стала равной $\lambda=100$ пм?
5.91. Нейтрон с кинетической энергией $K=25$ эВ налетает на покоящийся дейтрон (ядро тяжелого водорода). Найти дебройлевские длины волн обеих частиц в системе их центра масс.
5.92. Две одинаковые нерелятивистские частицы движутся перпендикулярно друг другу с дебройлевскими длинами волн $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$. Найти дебройлевскую длину волны каждой частицы в системе их центра масс.
5.93. Получить выражение для дебройлевской длины волны $\lambda$ релятивистской частицы массы $m$ с кинетической энергией $\boldsymbol{K}$. При каких значениях $\boldsymbol{K}$ погрешность в определении $\lambda$ по нерелятивистской формуле не превышает $1 \%$ для электрона, протона?
5.94. При каком значении кинетической энергии дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длине волны?
5.95. Найти дебройлевскую длину волны релятивистских электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра $\lambda_{\mathrm{x}}=10,0$ пм.
5.96. Параллельный поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины $b=1,0$ мкм. Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние $l=50 \mathrm{~cm}$, ширина центрального дифракционного максимума $\Delta x=0,36$ мм.
5.97. Параллельный поток электронов, ускоренных разностью потенциалов $U=25 \mathrm{~B}$, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми $\boldsymbol{d}=\mathbf{5 0}$ мкм. Определить расстояние между соседними максимумами дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии $l=100$ см от щелей.
5.98. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает под углом скольжения $\hat{\theta}=30^{\circ}$ на грань монокристалла алюминия. Расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, параллельными этой грани монокристалла, $\boldsymbol{d}=\mathbf{0 , 2 0}$ нм. При ускоряющем напряжении $U_{0}$ наблюдали максимум зеркального отражения. Найти $U_{0}$, если следующий максимум зеркального отражения возникал при увеличении ускоряющего напряжения в $\eta=2,25$ раза.
5.99. Узкий пучок моноэнергетических электронов падает нормально на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол $\hat{\boldsymbol{t}}=\mathbf{5 5}^{\circ}$ с нормалью к поверхности, наблюдается максимум отражения четвертого порядка при энергии электронов $K=180$ эВ. Вычислить соответствующее межплоскостное расстояние.
5.100. Узкий пучок электронов с кинетической энергией $\boldsymbol{K}=10$ кэВ проходит через поликристаллическую алюминиевую фолыу, образуя на экране систему дифракционных колец. Вычислить межплоскостное расстояние, соответствующее отражению третьего порядка от некоторой системы кристаллических плоскостей, если ему отвечает дифракционное кольцо диаметра $D=3,20$ см. Расстояние между экраном и фольгой $l=10,0$ см.
5.101. Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов $U$, падает на поверхность металла, внутренний потенциал которого $U_{i}=15$ В. Найти:
a) показатель преломления металла для электронов, ускоренных разностью потенциалов $U=150 \mathrm{~B}$;
б) отношение $U / U_{i}$, при котором показатель преломления отличается от единицы не более чем на $\eta=1,0 \%$.
5.102. Частица массы $m$ находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы $l$. Найти возможные значения энергии частицы, имея в виду что реализуются лишь такие состояния ее движения, для которых в пределах данной ямы укладывается целое число дебройлевских полуволн.
5.103. Интерпретировать квантовые условия Бора на основе волновых представлений: показать, что электрон в атоме водорода может двигаться только по тем круговым орбитам, на которых укладывается целое число дебройлевских волн.
5.104. Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорость электрона, протона и шарика массы 1 мг, если координаты частиц и центра шарика установлены с неопределенностью 1 мкм.
5.105. Оценить с помощью соотношения неопределенностей неопределенность скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома $l=0,10$ нм. Сравнить полученную величину со скоростью электрона на первой боровской орбите данного атома.
5.106. Показать, что для частицы, неопределенность местоположения которой $\Delta x=\lambda / 2 \pi$, где $\lambda$ – ее дебройлевская длина волны, неопределенность скорости равна по порядку величины самой скорости частицы.
5.107. Свободный электрон в момент $t=0$ локализован в области $\Delta x_{0}=0,10$ нм (порядок размера атома). Оценить ширину области локализации этого электрона спустя $t=1 \mathrm{c}$.
5.108. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером $l=0,20$ нм.
5.109. Электрон с кинетической энергией $K \approx 4$ эВ локализован в области размером $l \approx 1$ мкм. Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости.
5.110. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы $l$. Оценить с помощью соотношения неопределенностей силу давления электрона на стенки этой ямы при минимально возможной его энергии.
5.111. След пучка электронов на экране электронно-лучевой трубки имеет диаметр $d \approx 0,5$ мм. Расстояние от электронной пушки до экрана $l \approx 20 \mathrm{~cm}$, ускоряющее напряжение $U=10 \mathrm{\kappa B}$. Оценить с помощью соотношения (5.3 б) неопределенность координаты электрона на экране.
5.112. Частица массы $m$ движется в одномерном потенциальном поле $U=x x^{2} / 2$ (гармонический осциллятора). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле.
5.113. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее эффективное расстояние его от ядра.
5.114. Параллельный пучок атомов водорода со скоростью $v=600 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ падает нормально на узкую щель, за которой на расстоянии $l=1,0 \mathrm{~m}$ расположен экран. Оценить с помощью соотношения неопределенностей ширину $b$ щели, при которой ширина изображения ее на экране будет минимальной.
5.115. Функция распределения вероятностей значений некоторой величины $\boldsymbol{x}$ имеет вид $f=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ при $0 \leqslant x \leqslant a$. Вне этого интервала $f=0$. Здесь $A$ и $\boldsymbol{a}$ – постоянные. Считая, что $a$ задано, найти:
a) значение функции $f$ при $x=a$;
б) средние значения $x$ и $x^{2}$.
5.116. Распределение вероятностей некоторой величины $x$ описывается функцией $f(x) \propto \sqrt{x}$ в интервале $(0, a)$. Вне этого интервала $f=0$. Найти:
a) наиболее вероятное и среднее значения $x$;
б) вероятность нахождения $x$ в интервале $(0, a / 2)$.
5.117. Распределение вероятностей значений некоторой величины $x$ описывается функцией $f=A x(a-x)$ при $0<x<a$. Вне этого интервала $f=0$. Здесь $A$ и $a$ – постоянные. Считая, что $a$ задано, найти:
a) наиболее вероятное значение $x$ и соответствующее ему значение функции $f$;
б) средние значения $x$ и $x^{2}$.
5.118. Плотность вероятности распределения частиц по плоскости зависит от расстояния $r$ до точки $O$ как $f(r)=A(1-r / a)$ $\mathrm{M}^{-2}$, если $r \leqslant a$, и $f(r)=0$, если $r \geqslant a$. Здесь $a$ задано, $A-$ некоторая неизвестная постоянная. Найти:
a) наиболее вероятное расстояние $r_{\text {sер }}$ частиц от точки $O$;
б) постоянную $A$;
в) среднее значение расстояния частиц от точки $O$.
5.119. То же, что и в предыдущей задаче, но $f(r)=A\left(1-r^{2} / a^{2}\right)$.
Рис. 5.3
5.120. Частица движется вдоль оси $x$ по закону $x=a \cos \omega t$. Считая вероятность нахождения частицы в интервале $(-a, a)$ равной единице, найти зависимость от $x$ плотности вероятности $d P / d x$, где $d P-$ вероятность нахождения частицы в интервале $(x, x+d x)$.
5.121. Поток электронов падает на экран с двумя щелями 1 и 2 (рис. 5.3). В точке $P$ расположено входное отверстие счетчика, пусть $\boldsymbol{\psi}_{1}$ – амплитуда волны, прошедшей через щель 1 и достигшей точки $P$, а $\boldsymbol{\Psi}_{2}$ – то же, но в случае открытой щели 2. Отношение $\psi_{2} / \Psi_{1}=\eta=3,0$. Если открыта только щель 1 , то счетчик регистрирует $N_{1}=100$ электронов в секунду. Сколько электронов ежесекундно будет регистрировать счетчик, если:
a) открыта только щель 2 ;
б) открыты обе щели и в точке $P$ наблюдается интерференционный максимум;
в) то же, но в точке $P$ – минимум?
5.122. В момент $\boldsymbol{t}=0$ волновая функция некоторой частицы имеет вид $\psi=A \exp \left(-x^{2} / 4 \sigma^{2}+\mathrm{i} k x\right)$. Изобразить примерный вид зависимостей:
a) действительной части $\psi$ от $x$; б) $|\psi|^{2}$ от $\boldsymbol{x}$.
5.123. Найти частное решение временно́го уравнения Шрёдингера для свободно движущейся частицы массы $\boldsymbol{m}$.
5.124. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти ширину ямы, если разность энергии между уровнями с $n_{1}=2$ и $n_{2}=3$ составляет $\Delta E=0,30$ эВ.
5.125. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины $l$ с абсолютно непроницаемыми стенками $(0<x<l)$. Найти вероятность пребывания частицы в области $l / 3<x<2 l / 3$.
5.126. Частица массы $m$ находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
Плотность вероятности местонахождения частицы $P \propto(1-\cos \alpha x)$, где $\alpha$ – заданная постоянная, $x$ – расстояние от одного края ямы. Найти энергию частицы в этом стационарном состоянии.
5.127. Частица массы $m$ находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. При этом максимальное значение плотности вероятности местонахождения частицы в яме равно $\boldsymbol{P}_{m}$. Найти ширину $l$ ямы и энергию $E$ частицы в данном состоянии.
5.128. Частица массы $m$ находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. При этом пространственная производная волновой функции у края ямы $|\partial \psi / \partial x|=a$. Найти энергию $E$ частицы в данном состоянии.
5.129. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы $l$. Найти нормированные волновые функции стационарных состояний частицы, взяв начало отсчета координаты $x$ в середине ямы.
5.130. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы такова, что энергетические уровни расположены весьма плотно. Найти плотность уровней $d N / d E$, т.е. их число на единичный интервал энергии, в зависимости от $E$. Вычислить $d N / d E$ для $E=1,0$ эВ, если $l=1,0$ см.
5.131. Частица массы $m$ находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти:
a) возможные значения энергии частицы, если стороны ямы равны $l_{1}$ и $l_{2}$;
б) значения энергии частицы на первых четырех уровнях, если яма квадратная со стороной $l$.
5.132. Частица находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками $(0<x<a, \quad 0<y<b)$. Определить вероятность нахождения частицы с наименышей энергией в области $0<x<a / 3$.
5.133. Частица массы $m$ находится в трехмерной кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Ребро куба равно $a$. Найти:
a) собственные значения энергии частицы;
б) разность энергий 3-го и 4-го уровней;
в) энергию 6-го уровня и соответствующее ему число состояний (кратность вырождения).
5.134. Показать с помощью уравнения Шрёдингера, что в точке, где потенциальная энергия частицы $U(x)$ имеет конечный разрыв, волновая функция остается гладкой, т.е. ее первая производная по координате непрерывна.
5.135. Частица массы $m$ находится в одноРис. 5.4 мерном потенциальном поле $U(x)$, вид которого показан на рис. 5.4 , где $U(0)=\infty$. Найти:
a) уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы в области $E<U_{0}$; привести это уравнение к виду
\[
\sin k l= \pm k l \sqrt{\hbar^{2} / 2 m l^{2} U_{0}}, \quad \text { где } \quad k=\sqrt{2 m E} / \hbar .
\]
Показать с помощью графического решения данного уравнения, что возможные значения энергии частицы образуют дискретный спектр;
б) минимальное значение величины $l^{2} U_{0}$, при котором появляется первый энергетический уровень в области $E<U_{0}$. При каком минимальном значении $l^{2} U_{0}$ появляется $n$-й уровень?
5.136. Воспользовавшись решением предыдущей задачи, определить вероятность нахождения частицы с энергией $E=U_{0} / 2$ в области $x>l$, если $l^{2} U_{0}=(3 \pi / 4)^{2} \hbar^{2} / m$.
5.137. Частица массы $m$ находится в одномерной потенциальной яме (рис. 5.5) в основном состоянии. Найти энергию основного состояния, если на краях ямы $\psi$-функция вдвое меньше, чем в середине ямы.
5.138. Найти возможные значения энергии частицы массы $m$, находящейся в сферически-симметричной потенциальной яме $U(r)=0$ при $r<r_{0}$ и $U\left(r_{0}\right)=\infty$, для случая, когда движение частицы описывается волновой функцией $\psi(r)$, зависящей только от

Рис. 5.5 радиуса $\boldsymbol{r}$.

Ука з а н и. При решении уравнения Шрёдингера воспользоваться подстановкой $\psi(r)=\chi(r) / r$.
5.139. Имея в виду условия предыдущей задачи, найти:
a) нормированные собственные функции частицы в состояниях, где $\psi(r)$ зависит только от $r$;
б) для основного состояния частицы наиболее вероятное значение $r_{\text {вор }}$, а также вероятность нахождения частицы в области $r<r_{\text {sep }}$.
5.140. Частица массы $m$ находится в сферически-симметричной потенциальной яме $U(r)=0$ при $r<r_{0}$ и $U(r)=U_{0}$ при $r>r_{0}$.
a) Найти с помощью подстановки $\psi(r)=\chi(r) / r$ уравнение, определяющее собственные значения энергии $E$ частицы при $E<U_{0}$, когда движение описывается волновой функцией $\Psi(r)$, зависящей только от $r$. Привести это уравнение к виду
\[
\sin k r_{0}= \pm k r_{0} \sqrt{\hbar^{2} / 2 m r_{0}^{2} U_{0}}, \quad \text { где } \quad k=\sqrt{2 m E} / \hbar .
\]
б) Определить значение величины $r_{0}^{2} U_{0}$, при котором появляется первый уровень.
5.141. Волновая функция частицы массы $m$ для основного состояния в одномерном потенциальном поле $U(x)=k x^{2} / 2$ имеет вид $\psi(x)=A \exp \left(-\alpha x^{2}\right)$, где $A$ и $\alpha$ – некоторые постоянные. Найти с помощью уравнения Шрёдингера постоянную $\alpha$ и энергию $E$ частицы в этом состоянии.
5.142. Частица массы $m$ находится в одномерном потенциальном поле $U(x)$ в стационарном состоянии $\psi(x)=A \exp \left(-\alpha x^{2}\right)$, где $A$ и $\alpha$ – постоянные ( $\alpha>0$ ). Найти энергию $E$ частицы и вид $U(x)$, если $U(0)=0$.
5.143. Электрон атома водорода находится в состоянии, описываемом волновой функцией $\Psi(r)=A \exp \left(-r / r_{1}\right)$, где $A$ и $r_{1}$ – некоторые постоянные. Найти значения:
a) нормировочного коэффициента $A$;
б) энергии $E$ электрона и $r_{1}$ (с помощью уравнения Шрёдингера).
5.144. Определить энергию электрона атома водорода в состоянии, для которого волновая функция имеет вид $\psi(r)=A(1+a r) \mathrm{e}^{-\alpha r}$, где $A, a$ и $\alpha$ – некоторые постоянные.
5.145. В основном состоянии атома водорода волновая функция электрона $\psi(r)=A \exp \left(-r / r_{1}\right)$, где $A$ – постоянная, $r_{1}$ – первый боровский радиус. Найти:
a) наиболее вероятное расстояние $r_{\text {вор }}$ между электроном и ядром;
б) вероятность нахождения электрона в области $r<r_{\text {вор }}$.
5.146. Найти для электрона атома водорода в основном состоянии $\Psi(r)=A \exp \left(-r / r_{1}\right)$ отношение среднего расстояния от ядра $\langle r\rangle$ к наиболее вероятному $r_{\text {вор }}$.
5.147. Электрон в атоме водорода находится в основном состоянии $\psi(r)=A \mathrm{e}^{-\alpha r}$, где $A$ и $\alpha$ – постоянные. Определить вероятность нахождения этого электрона вне классических границ поля.
5.148. Состояние $1 s$-электрона атома водорода описывается волновой функцией $\psi(r)=A \exp \left(-r / r_{1}\right)$, где $\boldsymbol{A}$ – нормировочный коэффициент, где $r_{1}$ – первый боровский радиус. Найти для этого состояния средние значения:
a) модуля кулоновской силы, действующей на электрон;
б) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром.
5.149. Электрон атома водорода в $2 p$-состоянии описывается волновой функцией, радиальная часть которой $R(r) \sim r$ е $\exp \left(-r / 2 r_{1}\right)$, где $r_{1}$ – первый боровский радиус. Найти в этом состоянии:
a) наиболее вероятное расстояние $r_{\text {вер }}$ электрона от ядра;
б) среднее расстояние $\langle\boldsymbol{r}\rangle$ между электроном и ядром.
5.150. Частица находится в сферически-симметричном потенциальном поле в стационарном состоянии, для которого $\psi(r)=(2 \pi a)^{-1 / 2} r^{-1} \mathrm{e}^{-r / a}$, где $a$ – постоянная, $r$ – расстояние от центра поля. Найти среднее значение $\langle r\rangle$.
5.151. Частица массы $m$ находится в одномерном потенциальном поле $U(x)=x x^{2}$, где $x$ – положительная постоянная. Найти среднее значение $\langle U\rangle$ частицы в состоянии $\Psi=$ $=A \exp \left(-\alpha x^{2}\right)$, где $A$ и $\alpha$ – неизвестные постоянные.
5.152. Частица в момент $t=0$ находится в состоянии $\psi=A \exp \left(-x^{2} / a^{2}+i k x\right)$, где $A$ и $\alpha$ – постоянные. Найти:
a) $\langle\boldsymbol{x}\rangle$; б) $\left\langle p_{\boldsymbol{x}}\right\rangle$ – среднее значение проекции импульса.
5.153. Найти средний электростатический потенциал, создаваемый электроном в центре атома водорода, если электрон находится в основном состоянии $\psi(r)=\lambda \exp \left(-r / r_{1}\right)$, где $\boldsymbol{A}$ – постоянная, $r_{1}$ – первый боровский радиус.
5.154. Частицы с массой $m$ и энергией $E$ движутся слева на потенциальный барьер (рис. 5.6). Найти:
a) коэффициент отражения $R$ этого барьера при $E>U_{0}$;
б) эффективную глубину проникновения частиц в область $x>0$ при $E<U_{0}$, т.е. расстояние от границы барьера до точки, где плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в е раз.
Рис. 5.6
Рис. 5.7
5.155. Воспользовавшись формулой (5.3 e), найти для электрона с энергией $E$ вероятность $D$ прохождения сквозь потенциальный барьер, ширина которого $l$ и высота $U_{0}$ (рис. 5.7).
5.156. То же, что и в предыдущей задаче, но барьер имеет вид, показанный на рис. 5.8.
Рис. 5.8
Рис. 5.9
5.157. Найти с помощью формулы (5.3 е) вероятность прохождения частицы с массой $\boldsymbol{m}$ и энергией $\boldsymbol{E}$ сквозь потенциальный барьер (рис. 5.9), где $U(x)=U_{0}\left(1-x^{2} / l^{2}\right)$.