– Межплоскостное расстояние для простой кубической решетки:
\[
d=a / \sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}},
\]

где $\boldsymbol{a}$ – период решетки, $\boldsymbol{h}, \boldsymbol{k}, \boldsymbol{l}$ – индексы Миллера.
– Число нормальных колебаний одной поляризации в расчете на единицу объема кристалла:
\[
d N_{\omega}=\frac{\omega^{2} d \omega}{2 \pi^{2} v^{3}} .
\]
– Формула Дебая. Молярная колебательная энергия кристалла:
\[
U=9 R \Theta\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{T}{\Theta}\right)^{4} \int_{0}^{\theta / T} \frac{x^{3} d x}{\mathrm{e}^{x}-1}\right],
\]

где $\boldsymbol{\Theta}$ – дебаевская температура, $\boldsymbol{\Theta}=\boldsymbol{h} \omega_{\text {махс }} / k$.
– Молярная колебательная теплоемкость кристалла при $T \ll \theta$ :
\[
C=\frac{12}{5} \pi^{4} R(T / \theta)^{3} .
\]
– Распределение свободных электронов в металле при $T \rightarrow 0$ :
\[
d n=\left(\sqrt{2} m^{3 / 2} / \pi^{2} h^{3}\right) \sqrt{E} d E,
\]

где $\boldsymbol{d n}$ – концентрация электронов с энергиями в интервале $(E, E+d E)$. Энергия $E$ отсчитывается от дна зоны проводимости.
– Уровень Ферми при $T \rightarrow 0$ :
\[
E_{F}=\left(h^{2} / 2 m\right)\left(3 \pi^{2} n\right)^{2 / 3},
\]

где $\boldsymbol{n}$ – концентрация свободных электронов в металле.
– Формула Ричардсона-Дэшмана. Ток насыщения:
\[
j_{\mathrm{mac}}=A T^{2} \mathrm{e}^{e \varphi / k T},
\]

где $е \varphi$ – работа выхода.
– Собственная электропроводимость полупроводников:
\[
\sigma=\sigma_{0} \mathrm{e}^{-\Delta E / 2 k T},
\]

где $\Delta E$ – ширина запрещенной зоны.
6.247. Найти постоянную $a$ пространственно-центрированной кубической решетки молибдена, зная его плотность.
6.248. Зная плотность меди, вычислить постоянную $a$ ее гранецентрированной кубической решетки.
6.249. Определить плотность кристалла $\mathrm{NaCl}$, постоянная кристаллической решетки которого $a=0,563$ нм.
6.250. Зная постоянную $a$, определить межплоскостные расстояния $d_{100}, d_{110}$ и $d_{111}$ для кубической решетки:
a) простой; б) объемноцентрированной; в) гранецентрированной.
6.251. Показать, что межплоскостное расстояние $d$ для системы плоскостей ( $h k l$ ) в простой кубической решетке с постоянной $a$ определяется как $d=a / \sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}$.
6.252. Постоянная кубической гранецентрированной решетки меди равна 0,361 нм. Написать миллеровские индексы системы плоскостей, плотность расположения атомов в которых максимальна. Вычислить эту плотность (атом $/ \mathrm{cm}^{2}$ ).
6.253. Вычислить для кубической решетки углы между прямой [123] и осями [100], [010] и [001].
6.254. Определить число собственных поперечных колебаний струны длины $l$ в интервале частот ( $\omega, \omega+d \omega$ ), если скорость распространения колебаний равна $v$. Считать, что колебания происходят в одной плоскости.
6.255. Имеется прямоугольная мембрана площадью $S$. Найти число собственных колебаний, перпендикулярных ее плоскости, в интервале частот ( $\omega, \omega+d \omega$ ), если скорость распространения колебаний равна $v$.
6.256. Найти число собственных поперечных колебаний прямоугольного параллелепипеда объемом $V$ в интервале частот $(\omega, \omega+d \omega)$, если скорость распространения колебаний равна $v$. 6.257. Считая, что скорости распространения продольных и поперечных колебаний одинаковы и равны $v$, определить дебаевскую температуру:
a) для одномерного кристалла – цепочки из одинаковых атомов, содержащей $n_{0}$ атомов на единицу длины;
б) для двумерного кристалла – плоской квадратной решетки из одинаковых атомов, содержащей $n_{0}$ атомов на единицу площади;
в) для простой кубической решетки из одинаковых атомов, содержащей $n_{0}$ атомов на единицу объема.
6.258. Вычислить дебаевскую температуру для железа, у которого скорости распространения продольных и поперечных колебаний равны соответственно 5,85 и 3,23 км/с.
6.259. Оценить скорость распространения акустических колебаний в алюминии, дебаевская температура которого $\theta=396 \mathrm{~K}$.
6.260. Получить выражение, определяющее зависимость молярной теплоемкости одномерного кристалла – цепочки одинаковых атомов – от температуры $T$, если дебаевская температура цепочки равна ө. Упростить полученное выражение для случая $T \gg \theta$.
6.261. Для цепочки одинаковых атомов частота колебаний $\omega$ зависит от волнового числа $k$ как $\omega=\omega_{\text {махс }} \sin (k a / 2)$, где $\omega_{\text {махс }}$ – максимальная частота колебаний, $k=2 \pi / \lambda$ – волновое число, соответствующее частоте $\omega, a$ – расстояние между соседними атомами. Воспользовавшись этим дисперсионным соотношением, найти зависимость от $\omega$ числа продольных колебаний, приходящихся на единичный интервал частот, т.е. $d N / d \omega$, если длина цепочки равна $l$. Зная $d N / d \omega$, найти полное число $N$ возможных продольных колебаний цепочки. 6.262. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм меди с дебаевской температурой $\Theta=330 \mathrm{~K}$. 6.263. На рис. 6.6 показан график зависимости теплоемкости кристалла от температуры (по Дебаю). Здесь $C_{\mathrm{zл}}$ – классичес-
Рис. 6.6
кая теплоемкость, $\Theta$ – дебаевская температура. Найти с помощью этого графика:
a) дебаевскую температуру для серебра, если при $T=65 \mathrm{~K}$ его молярная теплоемкость равна 15 Дж/(моль$\cdot$К);
б) молярную теплоемкость алюминия при $T=80 \mathrm{~K}$, если при $T=250 \mathrm{~K}$ она равна 22,4 Дж/(моль-К);
в) максимальную частоту колебаний для меди, у которой при $T=125 \mathrm{~K}$ теплоемкость отличается от классического значения на $25 \%$.
6.264. Показать, что молярная теплоемкость кристалла при температуре $\boldsymbol{T} \boldsymbol{\Theta}$, где $\boldsymbol{\theta}$ – дебаевская температура, определяется формулой (6.7г).
6.265. Найти максимальную частоту $\omega_{\text {макс }}$ собственных колебаний в кристалле железа, если при температуре $T=20 \mathrm{~K}$ его удельная теплоемкость $c=2,7$ мДж/( $r \cdot K)$.
6.266. Можно ли считать температуры 20 и 30 К низкими для кристалла, теплоемкость которого при этих температурах равна 0,226 и 0,760 Дж/(моль$\cdot$К)?
6.267. При нагревании кристалла меди массы $m=25 \mathrm{r}$ от $T_{1}=10 \mathrm{~K}$ до $T_{2}=20 \mathrm{~K}$ ему было сообщено количество теплоты $Q=0,80$ Дж. Найти дебаевскую температуру $\Theta$ для меди, если $\Theta \gg T_{1}$ и $T_{2}$.
6.268. Вычислить среднее значение энергии нулевых колебаний, приходящейся на один осциллятор кристалла в модели Дебая, если дебаевская температура кристалла равна $\boldsymbol{\theta}$.
6.269. Оценить энергию нулевых колебаний моля алюминия, если межатомное расстояние $a \approx 0,3$ нм и скорость распространения акустических колебаний $v \approx 4 \mathrm{~mm} / \mathrm{c}$.
6.270. Изобразить спектр распределения энергии колебаний кристалла по частотам (без учета нулевых колебаний).

Рассмотреть два случая: $T=\theta / 2$ и $T=\theta / 4$, где $\theta$ – дебаевская температура.
6.271. Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона (звукового кванта) в меди, дебаевская температура которой равна $330 \mathrm{~K}$.
6.272. Кристалл состоит из $N$ одинаковых атомов. Erо дебаевская температура равна ө. Найти число фононов в интервале частот $(\omega, \omega+d \omega)$ при температуре $T$.
6.273. Оценить фононное давление в меди при температуре $T$, равной ее дебаевской температуре $\Theta=330 \mathrm{~K}$.
6.274. Найти с помощью формулы (6.7д) при $\boldsymbol{T} \rightarrow \mathbf{0}$ :
a) максимальную кинетическую энергию свободных электронов в металле, если их концентрация равна $n$;
б) среднюю кинетическую энергию свободных электронов, если их максимальная кинетическая энергия равна $\boldsymbol{K}_{\text {масс }}$.
6.275. Найти относительное число свободных электронов в металле, энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на $\eta=1,0 \%$, если температура $T=0$.
6.276. Сколько процентов свободных электронов в металле при $\boldsymbol{T}=\mathbf{0}$ имеют кинетическую энергию, превышающую половину максимальной?
6.277. Найти число свободных электронов, приходящихся на один атом натрия при $T=0$, если уровень Ферми $E_{F}=3,07$ эВ. Плотность натрия считать известной.
6.278. До какой температуры надо было бы нагреть классический электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной средней энергии свободных электронов в меди при $T=0$ ? Считать, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон.
6.279. Вычислить интервал (в электронвольтах) между соседними уровнями свободных электронов в металле при $T=0$ вблизи уровня Ферми, если концентрация свободных электронов $n=2,0 \cdot 10^{22} \mathrm{~cm}^{-3}$ и объем метала $V=1,0 \mathrm{~cm}^{3}$.
6.280. Воспользовавшись (6.7д), найти при $T=0$ :
a) распределение свободных электронов по скоростям;
б) отношение средней скорости свободных электронов к их максимальной скорости.
6.281. Оценить минимальную дебройлевскую длину волны свободных электронов в металле при $T=0$, полагая, что металл содержит по одному свободному электрону на атом, а его решетка является простой кубической с периодом $a$.
6.282. Квантовые свойства свободных электронов в металле становятся существенными, когда их дебройлевская длина волны оказывается сравнимой с постоянной решетки. Оценить из этих соображений температуру вырождения $T$ электронного газа в меди.
6.283. Исходя из формулы (6.7д), найти функцию распределения свободных электронов в металле при $T=0$ по дебройлевским длинам волн.
6.284. Вычислить давление электронного газа в металлическом натрии при $T=0$, если концентрация свободных электронов в нем $n=2,5 \cdot 10^{22} \mathrm{~cm}^{-3}$. Воспользоваться уравнением для давления идеального газа.
6.285. Имея в виду, что средняя энергия свободного электрона в металле при температуре $T$ определяется как
\[
\langle E\rangle=(3 / 5) E_{F}\left[1+\left(5 \pi^{2} / 12\right)\left(k T / E_{F}\right)^{2}\right],
\]
найти для серебра, дебаевская температура которого 210 К и энергия Ферми $E_{F}=5,5$ эВ, отношение теплоемкости электронного газа к теплоемкости решетки при $T=300 \mathrm{~K}$.
6.286. Повышение температуры катода в электронной лампе от значения $T=2000 \mathrm{~K}$ на $\Delta T=1,0 \mathrm{~K}$ увеличивает ток насыщения на $\eta=1,4 \%$. Найти работу выхода электрона.
6.287. Найти коэффициент преломления металлического натрия для электронов с кинетической энергией $K=135$ эВ . Считать, что на каждый атом натрия приходится один свободный электрон.
6.288. Найти минимальную энергию образования пары электрон – дырка в беспримесном полупроводнике, проводимость которого возрастает в $\eta=5,0$ раз при увеличении температуры от $T_{1}=300 \mathrm{~K}$ до $T_{2}=400 \mathrm{~K}$.
6.289. При очень низких температурах красная граница фотопроводимости чистого беспримесного германия $\lambda_{\mathbf{x}}=1,7$ мкм . Найти температурный коэффициент сопротивления данного германия при комнатной температуре.
6.290. На рис. 6.7 показан график зависимости логарифма проводимости от обратной температуры ( $T, \mathbf{x K}$ ) для некоторого полупроводника n-типа. Найти с помощью этого графика ширину запрещенной зоны полупроводника и энергию активации донорных уровней.
6.291. Удельное сопротивление некоторого чистого беспримесного полупроводника при комнатной температуре $\rho=$ Рис. 6.7 $=50$ Ом $\cdot$ см. После включения источника света оно стало $\rho_{1}=40$ Ом $\cdot$ см, а через $t=8 \mathrm{Mc}$ после выключения источника света удельное сопротьвление оказалось $\rho_{2}=45$ Ом.см. Найти среднее время жизни электронов проводимости и дырок.
6.292. При измерении эффекта Холла пластинку из полупроводника $p$-типа ширины $h=10$ мм и длины $l=50$ мм поместили в магнитное поле с индукцией $B=5,0$ хГс. К концам пластинки приложили разность потенциалов $U=10$ В. При этом холловская разность потенциалов $\boldsymbol{U}_{\boldsymbol{H}}=\mathbf{5 0} \mathrm{MB}$ и удельное сопротивление $\rho=2,5$ Ом-см. Найти концентрацию дырок и их подвижность. 6.293. При измерении эффекта Холла в магнитном поле с индукцией $B=5,0$ хГс поперечная напряженность электрического поля в чистом беспримесном германии оказалась в $\eta=10$ раз меньше продольной напряженности электрического поля. Найти разность подвижностей электронов проводимости и дырок в данном полупроводнике.
6.294. В некотором полупроводнике, у которого подвижность электронов проводимости в $\eta=2,0$ раза больше подвижности дырок, эффект Холла не наблюдался. Найти отношение концентраций дырок и электронов проводимости в этом полупроводнике.