– Добавочное (капиллярное) давление в жидкости под произвольной поверхностью (формула Лапласа):
\[
\Delta p=\alpha\left(\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\right),
\]
где $\alpha$ – поверхностное натяжение жидкости.
– Приращение свободной энергии поверхностного слоя жидкости:
\[
d F=\alpha d S,
\]
где $d S$ – приращение площади поверхностного слоя.
– Тепло, необходимое для образования единицы площади поверхностного слоя жидкости при изотермическом увеличении ее поверхности:
\[
q=-T \frac{d \alpha}{d T} .
\]
6.295. Найти капиллярное давление:
a) в капельках ртути диаметра $d=1,5$ мкм;
б) внутри мыльного пузырька диаметра $d=3,0$ мм, если поверхностное натяжение мыльной воды $\alpha=45 \mathrm{mH} / \mathrm{m}$.
6.296. В дне сосуда со ртутью имеется круглое отверстие диаметра $d=70$ мкм. При какой максимальной толщине слоя ртути она еще не будет вытекать через это отверстие?
6.297. В сосуде с воздухом при давлении $p_{0}$ находится мыльный пузырек диаметра $d$. Давление воздуха изотермически уменьшили в $\boldsymbol{n}$ раз, в результате чего диаметр пузырька увеличился в $\eta$ раз. Найти поверхностное натяжение мыльной воды.
6.298. На плоский каркас натянута мыльная пленка. На ней находится петля из нити. После того как пленку прокололи внутри петли, последняя приняла форму окружности радиуса $R=7,5$ мм. Найти силу натяжения нити, если поверхностное натяжение мыльной воды $\alpha=40 \mathrm{mH} / \mathrm{m}$.
6.299. Два мыльных пузыря с радиусами $\boldsymbol{R}_{1}$ и $\boldsymbol{R}_{2}$, слившись, образовали пузырь радиуса $R$. Атмосферное давление равно $\boldsymbol{p}$. Считая процесс изотермическим, найти поверхностное натяжение мыльной воды $\alpha$.
6.300. На мыльном пузыре радиуса $a$ \”сидит\” пузырь радиуса b. Имея в виду, что $b<a$, найти радиус кривизны пленки, их разделяющей. Каковы углы между пленками в местах их соприкосновения?
6.301. Найти давление в пузырьке воздуха диаметра $d=4,0$ мкм, который находится в воде на глубине $h=5,0$ м. Атмосферное давление $\boldsymbol{p}_{0}$ нормальное.
6.302. На дне пруда выделился пузырек газа диаметра $d=4,0$ мкм. При подъеме этого пузырька к поверхности воды его диаметр увеличился в $n=1,1$ раза. Найти глубину пруда в данном месте. Атмосферное давление нормальное, процесс расширения газа считать изотермическим.
6.303. Найти разность уровней ртути в двух сообщающихся вертикальных капиллярах, диаметры которых $d_{1}=0,50$ мм и $d_{2}=1,00$ мм, если краевой угол $\boldsymbol{t}=138^{\circ}$.
6.304. Вертикальный капилляр с внутренним диаметром 0,50 мм погрузили в воду так, что длина выступающей над поверхностью воды части капилляра $h=25$ мм. Найти радиус кривизны мениска.
6.305. Стеклянный капилляр длины $l=110$ мм с диаметром внутреннего канала $\boldsymbol{d}=20 \mathrm{mkм}$ опустили в вертикальном положении в воду. Верхний конец капилляра запаян. Наружное давление воздуха нормальное. Какая длина $x$ капилляра должна быть погружена в воду, чтобы уровень воды в капилляре совпадал с поверхностью воды вне его?
6.306. Вертикальный капилляр длины $l$ с запаянным верхним концом привели в соприкосновение с поверхностью жидкости, после чего она поднялась в нем на высоту $h$. Плотность жидкости $\rho$, диаметр внутреннего канала капилляра $\boldsymbol{d}$, краевой угол $\boldsymbol{t}$, атмосферное давление $\boldsymbol{p}_{0}$. Найти поверхностное натяжение жидкости.
6.307. Стеклянный стержень диаметром $d_{1}=1,5$ мм вставили симметрично в стеклянный капилляр с диаметром внутреннего канала $d_{2}=2,0$ мм. Затем всю систему установили вертикально и привели в соприкосновение с поверхностью воды. На какую высоту поднимется вода в таком капилляре?
6.308. Две вертикальные пластинки, погруженные частично в смачивающую жидкость, образуют клин с очень малым углом $\delta \varphi$. Ребро клина вертикально. Плотность жидкости $\rho$, ее поверхностное натяжение $\alpha$, краевой угол $\boldsymbol{\theta}$. Найти высоту $h$ поднятия жидкости как функцию расстояния $x$ от ребра клина.
6.309. Из круглого отверстия вытекает вертикальная струя воды так, что в одном из горизонтальных сечений ее диаметр $d=2,0$ мм, а в другом сечении, расположенном ниже на $l=20 \mathrm{mм}$, диаметр струи в $n=1,5$ раза меньше. Найти объем воды, вытекающий из отверстия за одну секунду.
6.310. Капля массы $m$ находится на поверхности стола. Высота капли $h$, плотность жидкости $\rho$, поверхностное натяжение $\sigma$, радиус границы соприкосновения капли с поверхностью стола равен $a$. Считая, что имеется полное несмачивание, найти радиус кривизны поверхности капли в верхней точке.
6.311. Капля воды равномерно падает в воздухе. Найти разность между радиусом кривизны поверхности капли в ее верхней точке и радиусом кривизны в нижней точке, расстояние между которыми $h=2,3$ мм.
6.312. Алюминиевый диск радиуса $R=5,6$ мм и толщиной $h=1,5$ мм смазан парафином и плавает в воде так, что его верхняя сторона находится на уровне поверхности воды (рис. 6.8). Считая смачивание полным, найти поверхностное натяжение воды.
Рис. 6.8
6.313. Между двумя горизонтальными стеклянными пластинками находится капля ртути в форме лепешки радиуса $\boldsymbol{R}$ и толщины $h$. Считая, что $h \ll R$, найти массу $\boldsymbol{m}$ груза, который надо положить на верхнюю пластинку, чтобы расстояние между пластинками уменьшилось в $\boldsymbol{n}$ раз. Краевой утол $\boldsymbol{\theta}$. Вычислить $m$, если $R=2,0 \mathrm{~cm}, h=0,38 \mathrm{мm}, n=2,0$ и $\hat{t}=135^{\circ}$.
6.314. Найти силу притяжения двух параллельных стеклянных пластинок, отстоящих друг от друга на расстояние $h=0,10$ мм, после того как между ними ввели каплю воды массы $\boldsymbol{m}=\mathbf{7 0}$ мг. Смачивание считать полным.
6.315. Два стеклянных диска радиуса $R=5,0$ см смочили водой и сложили вместе так, что толщина слоя воды между дисками $h=1,9$ мкм. Считая смачивание полным, найти силу, которую нужно приложить перпендикулярно плоскости дисков, чтобы оторвать их друг от друга.
6.316. Две вертикальные параллельные друг другу стеклянные пластины частично погружены в воду. Расстояние между пластинами $d=0,10 \mathrm{mM}$, их ширина $l=12 \mathrm{~cm}$. Считая, что вода между пластинами не доходит до их верхних краев и что смачивание полное, найти силу, с которой они притягиваются друг к другу.
6.317. Найти высоту $h$ поднятия жидкости у вертикальной плоской стенки. Жидкость смачиваемая, краевой угол $\boldsymbol{v}$, поверхностное натяжение $\alpha$, плотность $\rho$. Иметь в виду, что кривизна поверхности $1 / R=d \varphi / d s$ (по определению).
6.318. Найти толщину $h$ несмачивающей жидкости, образующей лужицу на горизонтальной поверхности. Известны поверхностное натяжение жидкости $\alpha$, ее плотность $\rho$ и краевой угол ๖. Диаметр лужицы значительно больше ее толщины.
6.319. Найти время исчезновения мыльного пузыря радиуса $R$, соединенного с атмосферой капилляром, который имеет длину $l$ и радиус канала $r$. Поверхностное натяжение $\alpha$, вязкость газа $\eta$.
6.320. Вертикальный капилляр привели в соприкосновение с поверхностью воды. Какое количество тепла выделится при поднятии воды по капилляру? Смачивание считать полным, поверхностное натяжение равно $\alpha$.
6.321. Найти свободную энергию поверхностного слоя:
a) капли ртути диаметра $d=1,4 \mathrm{~mm}$;
б) мыльного пузыря диаметра $d=6,0 \mathrm{mм}$, если поверхностное натяжение мыльной воды $\alpha=45 \mathrm{mH} / \mathrm{m}$.
6.322. Зная поверхностное натяжение $\alpha$, найти:
a) приращение свободной энергии поверхностного слоя при изотермическом слиянии двух одинаковых капель ртути, каждая диаметром $d=1,5 \mathrm{mм}$;
б) работу, которую нужно совершить, чтобы изотермически выдуть мыльный пузырь радиуса $R$ при давлении окружающего воздуха $p_{0}$.
6.323. Внутри мыльного пузыря радиуса $r$ находится идеальный газ. Наружное давление $p_{0}$, поверхностное натяжение мыльной воды $\alpha$. Найти разность между молярной теплоемкостью газа при нагреве его внутри пузыря и молярной теплоемкостью этого газа при постоянном давлении.
6.324. Рассмотрев цикл Карно для пленки жидкости, показать, что при изотермическом процессе теплота, необходимая для образования единицы площади поверхностного слоя, $q=-T \cdot d \alpha / d T$, где $d \alpha / d T$ – производная поверхностного натяжения по температуре.
6.325. Площадь мыльной пленки изотермически увеличили на $\Delta \boldsymbol{\sigma}$ при температуре $T$. Зная поверхностное натяжение мыльной воды $\alpha$ и температурный коэффициент $d \alpha / d T$, найти приращение:
a) энтропии поверхностного слоя пленки;
б) внутренней энергии поверхностного слоя.
