– Закон Гука:
\[
\varepsilon=\sigma / E,
\]
где $\varepsilon$ – относительное удлинение, $\boldsymbol{\sigma}$ – напряжение, $\boldsymbol{E}$ – модуль Юнга.
– Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением) $\varepsilon^{\prime}$ и относительным продольным растяжением (сжатием) $\varepsilon$ :
\[
\varepsilon^{\prime}=-\mu \varepsilon,
\]
где $\mu$ – коэффициент Пуассона.
– Связь между относительным сдвигом $\gamma$ и тангенциальным напряжением $\tau$ :
где $G$ – модуль сдвига.
\[
\gamma=\tau / G,
\]
– Коэффициент сжимаемости (модуль всестороннего сжатия):
\[
\beta=-\frac{1}{V} \frac{\partial V}{\partial p}
\]
– Объемная плотность энергии упругой деформации:
\[
u=E \varepsilon^{2} / 2, \quad u=G \gamma^{2} / 2 .
\]
1.347. Какое давление необходимо приложить к торцам стального цилиндра, чтобы длина его не изменилась при повышении температуры на $100^{\circ} \mathrm{C}$ ?
1.348. Какое давление изнутри (при отсутствии наружного давления) могут выдержать:
a) стеклянная трубка; б) стеклянная сферическая колба, у которых радиус $r=25$ мм и толщина стенок $\Delta r=1,0$ мм ?
1.349. Горизонтально расположенный медный стержень длины $l=1,0$ м вращают вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. При какой частоте вращения он может разорваться?
1.350. Кольцо радиуса $r=25 \mathrm{~cm}$, сделанное из свинцовой проволоки, вращают вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости кольца. При какой частоте вращения данное кольцо может разорваться?
1.351. Стальная проволока диаметра $d=1,0$ мм натянута в горизонтальном положении между двумя зажимами, находяцимися на расстоянии $l=2,0 \mathrm{~m}$ друг от друга. К середине проволоки – точке $O$ – подвесили груз массы $m=0,25 \mathrm{kr}$. На сколько сантиметров опустится точка $O$ ?
1.352. Однородный упругий брусок движется по гладкой горизонтальной плоскости под действием постоянной силы $F_{0}$, равномерно распределенной по торцу. Площадь торца $S$, модуль Юнга материала $E$. Найти относительное сжатие бруска в направлении действия данной силы.
1.353. Тонкий однородный медный стержень длины $l$ и массы $m$ равномерно вращается с угловой скоростью $\omega$ в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Найти силу натяжения в стержне в зависимости от расстояния $r$ до оси вращения, а также удлинение стержня.
1.354. Сплошной медный цилиндр длины $l=65$ см поставили на горизонтальную поверхность и сверху приложили вертикальную сжимающую силу $F=1000 \mathrm{H}$, которая равномерно распределена по его торцу. На сколько кубических миллиметров изменился объем цилиндра?
1.355. Медный стержень длины $l$ подвесили за один конец к потолку. Найти:
a) удлинение стержня под действием собственного веса;
б) относительное прирацение его объема $\Delta V / V$.
1.356. Брусок из материала с модулем Юнга $E$ и коэффициентом Пуассона $\mu$ подвергли всестороннему сжатию давлением p. Найти:
a) относительное уменышение его объема;
б) связь между коэффициентом сжимаемости $\beta$ и упругими постоянными $E$ и $\mu$.
$3-840$
Показать, что коэффициент Пуассона $\mu$ не может превышать $1 / 2$.
1.357. Установить связь между крутящим моментом $N$ и углом закручивания $\varphi$ для:
a) трубы, у которой толщина стенок $\Delta r$ значительно меньше радиуса трубы;
б) сплошного стержня круглого сечения.
Их длина $l$, радиус $\boldsymbol{r}$ и модуль сдвига $G$ известны.
1.358. Вычислить момент сил $N$, которые вызывают закручивание стальной трубы длины $l=3,0 \mathrm{~m}$ на угол $\varphi=2,0^{\circ}$ вокруг ее оси, если внутренний и внешний диаметры трубы равны $d_{1}=30 \mathrm{Mм}$ и $d_{2}=50 \mathrm{mм}$.
1.359. Найти наибольшую мощность, которую можно передать с помощью стального вала, вращающегося вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega=120$ рад/с, если его длина $l=200 \mathrm{~cm}$, радиус $r=1,50 \mathrm{~cm}$ и допустимый угол закручивания $\varphi=2,5^{\circ}$.
1.360. Однордное кольцо массы $m$, имеющее внешний радиус $r_{2}$, плотно насажено на вал радиуса $r_{1}$. Вал вращают с постоянным угловым ускорением $\beta$ вокруг его оси. Найти момент упругих сил деформации сдвига в кольце в зависимости от расстояния $r$ до оси вращения.
1.361. Найти энергию упругой деформации стального стержня массы $m=3,1 \mathrm{kr}$, который растянут так, что его относительное удлинение $\varepsilon=1,0 \cdot 10^{-3}$.
1.362. Стальной цилиндрический стержень длины $l$ и радиуса $r$ подвесили одним концом к потолку.
a) Найти энергию $U$ упругой деформации стержня.
б) Выразить $U$ через относительное удлинение стержня $\Delta l / l$.
1.363. Какую работу необходимо совершить, чтобы стальную полосу длины $l=2,0 \mathrm{~m}$, ширины $h=6,0 \mathrm{cм}$ и толщины $\delta=2,0$ мм согнуть в круглый обруч? Процесс происходит в пределах упругой деформации.
1.364. Найти энергию упругой деформации стального стержня, у которого один конец закреплен, а другой закручен на угол $\varphi=6,0^{\circ}$. Длина стержня $l=1,0 \mathrm{M}$, его радиус $r=10 \mathrm{mм}$. 1.365. Найти распределение плотности энергии упругой деформации в стальном стержне в зависимости от расстояния $r$ до его оси. Длина стержня $l$, угол закручивания $\varphi$.
1.366. Определить плотность энергии упругой деформации в пресной воде на глубине $h=1000 \mathrm{~m}$.
