– Закон всемирного тяготения:
\[
F=\gamma \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}
\]
– Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит (Кенлер):
\[
T^{2} \sim a^{3} .
\]
– Потенциал гравитационного поля точечной массы:
\[
\varphi=-\gamma m / r .
\]
– Первая и вторая космические скорости:
\[
v_{1}=\sqrt{g R}, \quad v_{2}=v_{1} \sqrt{2} .
\]
1.237. Некоторая планета массы $M$ движется по окружности вокруг Солнца со скоростью $v=34,9 \mathrm{xm} / \mathrm{c}$ (относительно гелиоцентрической системы отсчета). Найти период обращения этой планеты вокруг Солнца.

1.238. Период обращения Юпитера вокрут Солнца в 12 раз больше соответствующего периода для Земли. Считая орбиты планет круговыми, найти:
a) во сколько раз расстояние от Юпитера до Солнца превышает расстояние от Земли до Солнца;
б) скорость, и ускорение Юпитера в гелиоцентрической системе отсчета.
1.239. Планета массы $M$ движется вокруг Солнца по эллипсу так, что минимальное расстояние между ней и Солнцем равно $r_{1}$, а максимальное $r_{2}$. Найти с помоцью (1.4б) период обращения ее вокруг Солнца.
1.240. Два спутника движутся вокруг Земли по касающимся траекториям. Один спутник движется по окружности радиуса $r$, другой – по эллипсу с периодом обращения, в $\eta$ раз большим, чем у первого спутника. Найти с помощью (1.4б) максимальное расстояние между вторым снутником и центром Земии.
1.241. Небопише тело начинает падать на Солнце с расстояния, равного радиусу земной орбиты. Найти с помоцью (1.46) продолжительность падения.
1.242. Спутник Јуны, двигавшийся по круговой орбите радиуса $r$, после кратковременного торможения стал двигаться по эллиптической орбите, касающейся поверхности Луны, Найти с помоцью (1.46) время падения спутника на Луну.
1.243. Представим себе, что мы создали модель Солнечной системы, в $\eta$ раз меныную натуральной величины, но из материалов той же самой средней плотности, что у Солщца и планет. Как изменятся при этом периоды обращения моделей планет по своим орбитам?
1.244. Двойная звезда – это система из двух звезд, движущихся вокруг ее центра масс. Известны расстояние $l$ между компонентами двойной звезды и период $T$ ее вращения. Считая, что $l$ не меняется, найти массу системы.
1.245. Планета массы $m$ движется по эллипсу вокруг Солнца так, что наименынее и наибольнее расстояния ее от Солнца равны соответственно $r_{1}$ и $r_{2}$. Найти момент импульса $M$ этой планеты относительно центра Солнца.
1.246. Доказать с помоцью законов сохранения, что полная механическая энергия $E$ планеты массы $m$, движущейся вокруг Солнца по эллипсу, зависит только от его большой полуоси $a$. Найти зависимость $E(a)$.
1.247. Планета $A$ днижется по эллиптической орбите вокруг Солнца. В момент, когда она находилась на расстоянии $r_{0}$ от Солнца, ее скорость равнялась $v_{0}$ и угол между радиусомвектором $\mathbf{r}_{0}$ и вектором скорости $\mathbf{v}_{0}$ составлял $\boldsymbol{\alpha}$. Найти наибольшее и наименьшее расстояния, на которые удаляется от Солнца эта планета при своем движении.
1.248. Космическое тело $A$ движется к Солнцу $C$, имея вдали от него скорость $v_{0}$ и прицельный параметр $l$-.. плечо вектора $\mathbf{v}_{0}$ относительно центра Солнца (рис. 1.48). Найти наименьнее расстояние, на которое это тело прибллизится к Солнцу.
1.249. Частица массы $m$ нахо-
Рис. 1.48 дится вне однородного шара массы $M$ на расстоянии $r$ от его центра. Найти:
a) потенциальную энергию гравитационною взаимодействия частицы и шара;
б) силу, с которой шар действует на частицу.
1.250. Доказать, что сила тяготения, действуюцая на частицу A внутри однородного сферического сюо вещества, равна нулю. 1.251. Имеется однородный шар массы $M$ и радиуса $R$. Найти напряженность $\mathbf{G}$ и потенциал $\varphi$ гравитационного поля этого щара как функции расстояния $r$ от его центра (при $r<R$ и $r>R$ ). Изобрразить примерные графики зависимостей $G(r)$ и $\varphi(r)$.
1.252. Внутри однороднюго шара плотности $\rho$ имеется сферическая полость, центр которой находится на расстоянии 1 от центра шара. Найти напряженность $\mathbf{G}$ поля тяготсния внутри полости.
1.253. Однородный шар имсет массу $M$ и радиус $R$. Найти давление $p$ внутри шара, обусловленное іравитационным сжатием, как функцию расстояния $r$ от его центра. Оценить $p$ в центрс Земли, считая, что Земля является однородным шаром.
1.254. Найти собственную потенциальную энергию гравитационного взаимодействия вещества, образующего:
a) тонкий однородный сферический слой массы $\boldsymbol{m}$ и радиуса $R$;
б) однородный шар массы $m$ и радиуса $R$ (воспользоваться ответом к задаче 1.251).
1.255. Вычислить отношение следующих ускорений: ускорения $a_{1}$, вызываемого силой тяготения на поверхности Земли;

ускорения $a_{2}$, обусловленного центробежной силой инерции на экваторе Земли; ускорения $a_{3}$, сообщаемого телами на Земле Солнцем.
1.256. На какой высоте над полюсом Земли ускорение свободного падения убывает на $\eta=1,0 \%$ ? в $n=2,0$ раза?
1.257. Телу сообщили на полюсе Земли скорость $v_{0}$, направленную вертикально вверх. Зная радиус Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности, найти высоту, на которую поднимается тело.
1.258. Найти период обращения спутника, движущегося вокруг некоторой планеты вблизи ее поверхности, если средняя плотность планеты $\rho=3,3 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$.
1.259. Спутник вывели на круговую орбиту со скоростью $v$ над полюсом Земли. Найти расстояние от спутника до поверхности Земли.
1.260. Спутник Земли массы $m$ движется по круговой орбите, радиус которой вдвое больше радиуса Земли. Какой дополнительный импульс и в каком направлении следует кратковременно сообщить спутнику, чтобы плоскость его орбиты повернулась на угол $\alpha$ без изменения радиуса орбиты?
1.261. Вычислить радиус круговой орбиты стационарного спутника Земли, который остается неподвижным относительно ее поверхности. Какова его скорость в инерциальной системе отсчета, связанной в данный момент с центром Земли?
1.262. Система, которая состоит из двух одинаковых спутников, соединенных тонким тросом длины $l=150 \mathrm{M}$, движется по круговой орбите вокруг Земли. Масса каждого спутника $m=1000 \mathrm{kr}$, масса троса пренебрежимо мала, расстояние от центра Земли до этой системы составляет $\eta=1,2$ радиуса Земли. Найти силу натяжения троса в момент, когда трос направлен по радиусу Земли.
1.263. Найти массу Земли, если спутник, движущийся в ее экваториальной плоскости с запада на восток по круговой орбите радиуса $R=2,00 \cdot 10^{4} \mathrm{~km}$, появляется над некоторым пунктом на экваторе через каждые $\tau=11,6$ ч.
1.264. Спутник движется в экваториальной плоскости Земли с востока на запад по круговой орбите радиуса $R=1,00 \cdot 10^{4} \mathrm{~km}$. Найти относительно поверхности Земли:
a) скорость спутника; б) его ускорение.
1.265. Какую скорость необходимо сообщить телу в горизонтальном направлении вблизи поверхности Земли у ее полюса, чтобы вывести его на эллиптическую орбиту с большой полуосью $a$ ?

1.266. Искусственный спутник Луны движется по круговой орбите, радиус которой в $\eta$ раз больше радиуса Луны. Считая, что небольшая сила сопротивления, испытываемая спутником со стороны космической пыли, зависит от его скорости как $F=\alpha v^{2}$, где $\alpha$ – постоянная, найти время движения спутника до падения на поверхность Луны.
1.267. Вычислить первую и вторую космические скорости для запусков с Луны. Сравнить с соответствующими скоростями для Земли.
1.268. Космический корабль подлетает к Луне по параболической траектории, почти касающейся ее поверхности, В момент максимального сближения с Луной на короткое время был включен тормозной двигатель, и корабль перешел на круговую орбиту. Найти приращение модуля скорости корабля при торможении.
1.269. Космический корабль вывели на круговую орбиту вблизи поверхности Земли. Какую дополнительную скорость в направлении его движения необходимо кратковременно сообщить кораблю, чтобы он смог преодолеть земное тяготение?
1.270. Космический корабль движется вокруг Земли по круговой орбите, радиус которой в $\eta=2,5$ раза больше радиуса Земли. Какую дополнительную скорость надо кратковременно сообщить кораблю в направлении от центра Земли по ее радиусу, чтобы он смог покинуть поле тяготения Земли?
1.271. Найти приближенно третью космическую скорость $v_{3}$ – наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу относительно поверхности Земли, чтобы оно могло покинуть Солнечную систему. Вращением Земли вокруг ее оси пренебречь.