– Уравнение гармонических колебаний и его решение:
\[
\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=0, \quad x=a \cos \left(\omega_{0} t+\alpha\right)
\]
где $\omega_{0}$ – собственная частота колебаний.
– уравнение затухающих колебаний и его решенис:
\[
\ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=0, \quad x=a_{0} \mathrm{e}^{-\beta t} \cos (\omega t+\alpha),
\]
где $\beta$ – коэффициен’т затухания, $\omega$ – частота затухающих колебаний:
\[
\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}
\]
– Логарифмический декремент затухания $\lambda$ и добротность $Q$ :
\[
\lambda=\beta T, \quad Q=\pi \lambda,
\]
где $T=2 \pi / \omega$ – период затухающих колебаний.
– Уравнение вынужденных колебаний и его установившесся решение:
\[
\ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=f_{0} \cos \omega t, \quad x=a \cos (\omega t-\varphi) .
\]
где
\[
a=\frac{f_{0}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega^{2}}}, \quad \operatorname{tg} \varphi=\frac{2 \beta \omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} .
\]
– Максимум амплитуды смещения достигается при
\[
\omega_{\text {pes }}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2 \beta^{2}} .
\]
3.1. Точка совершает колебания вдоль оси $x$ по закону $x=A \cos (\omega t-\pi / 4)$. Построить примерные графики:
a) смещения $x$, проекции скорости $v_{x}$ и проекции ускорения $a_{x}$ как функция времени $t$;
б) проекций скорости $v_{x}(x)$ и ускорения $a_{x}(x)$.
3.2. Некоторая точка движется вдоль оси $x$ по закону $x=A \sin ^{2}(\omega t-\pi / 4)$. Найти:
a) амплитуду и период колебаний; изобразить график $x(t)$;
б) проекцию скорости $v_{x}$ как функцию координаты $x$; изобразить график $v_{x}(x)$.
3.3. Точка совершает гармонические колебания по закону $x=A \cos \omega t+B \sin \omega t$, где $A, B$ и $\omega$ – постоянные. Найти амплитуду $a$ этих колебаний.
3.4. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси $x$ около положения равновесия $x=0$. Частота колебаний $\omega=4,00 \mathrm{c}^{-1}$. В некоторый момент координата частицы $x_{0}=25,0 \mathrm{~cm}$ и ее скорость $v_{x 0}=100 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. Найти координату $x$ и скорость $v_{x}$ частицы через $t=2,40$ с после этого момента.
3.5. Найти круговую частоту и амплитуду гармонических колебаний частицы, если на расстояниях $x_{1}$ и $x_{2}$ от положения равновесия ее скорость равна $v_{1}$ и $v_{2}$.
3.6. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом $T=0,60 \mathrm{c}$ и амплитудой $a=10,0 \mathrm{~cm}$. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь $a / 2$ :
a) из крайнего положения;
б) из положения равновесия.
3.7. Найти графически амплитуду $A$ колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний:
а) $x_{1}=3,0 \cos (\omega t+\pi / 3), \quad x_{2}=8,0 \sin (\omega t+\pi / 6)$;
б) $x_{1}=3,0 \cos \omega t, x_{2}=5,0 \cos (\omega t+\pi / 4), x_{3}=6,0 \sin \omega t$.
3.8. Точка участвует одновременно в двух колебаниях одного направления: $x_{1}=a \cos \omega t$ и $x_{2}=a \cos 2 \omega t$. Найти максимальную скорость точки.
3.9. При сложении двух гармонических колебаний одного направления результирующее колебание точки имеет вид $x=a \cos (2,1 t) \cdot \cos (50,0 t)$, где $t$ – в секундах. Найти круговые частоты складываемых колебаний и период биений.
3.10. \”Зайчик\” колеблется гармонически с некоторой неизменной частотой относительно шкалы, которая в свою очередь совершает гармонические колебания по отношению к стенке. Оба колебания происходят вдоль одного и того же направления. При частотах колебаний шкалы $v_{1}=20$ Гц и $v_{2}=22$ Гц частота биений зайчика относительно стенки оказывается одинаковой. При какой частоте $v^{\prime}$ колебаний шкалы частота биений зайчика станет вдвое больше?
3.11. Точка движется в плоскости $x y$ по закону $x=A \sin \omega t, y=B \cos \omega t$, где $A, B, \omega-$ постоянные. Найти:
a) уравнение траектории точки $y(x)$ и направление ее движения по этой траектории;
б) ускорение а точки в зависимости от ее радиуса-вектора г относительно начала координат.
3.12. Найти уравнение траектории $y(x)$ точки, если она движется по закону:
а) $x=a \sin \omega t, y=a \sin 2 \omega t$;
б) $x=a \sin \omega t, y=a \cos 2 \omega t$.
Изобразить примерные графики этих траекторий.
3.13. Частица массы $m$ находится в одномерном силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты $x$ как $U(x)=U_{0}(1-\cos a x), U_{0}$ и $a$ – постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения равновесия.
3.14. Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но потенциальная энергия имеет вид $U(x)=a / x^{2}-b / x$, где $a$ и $b-$ положительные постоянные.
3.15. Найти период малых поперечных колебаний шариха массы $m=40 \mathrm{r}$, укрепленного на середине натянутой струны длины $l=1,0$ м. Силу натяжения струны считать постоянной и равной $F=10$ Н. Массой струны и силами тяжести пренебречь.
3.16. Определить период малых колебаний шарика, подвешенного на нерастяжимой иити длины $l=20 \mathrm{~cm}$, если он находится в идеальной жидкости, плотность которой в $\eta=3,0$ раза меньше плотности шарика.
3.17. Два математических маятника, каждый длины $l=50$ см и массы $m=45$ г, соединены пружинкой жесткостью $x=0,66 \mathrm{H} /$ м (рис. 3.1). При равновесии маятники занимают вертикальное положение. Найти период малых колебаний этих маятников, если их колебания происходят в вертикальной плоскости в противоположные стороны (в противофазе).
Рис. 3.1
3.18. Шарик подвесили на нити длины $l$ к точке $O$ стенки, составляющей небольшой угол $\alpha$ с вертикалью (рис. 3.2). Затем нить с шариком отклонили на небольшой угол $\beta>\alpha$ и отпустили. Считая удар шарика о стенку упругим, найти период колебаний такого маятника.
3.19. Неподвижное тело, подвешенное на пружинке, увеличивает ее длину на $\Delta l=40$ мм. Найти период малых вертикальных колебаний тела.
Рис. 3.2
3.20. Идеальная жидкость объема $V=16 \mathrm{~cm}^{3}$ налита в изогнутую трубку (рис. 3.3) с площадью сечения канала $S=0,50 \mathrm{~cm}^{2}$. Найти период малых колебаний жидкости.
3.21. То же, что и в предыдущей задаче, но одно колено трубки (см.рис. 3.3) составляет угол $\hat{v}=30^{\circ}$ с вертикалью.
3.22. Вычислить период малых колебаний ареометра (рис. 3.4), которому сообщили неболыной толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра $m=50 \mathrm{r}$, радиус его трубки $r=3,2 \mathrm{mм}$, плотность жидкости $p=1,00 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$. Сонротивление жидкости пренебрежимо мало.
Рис.3.3
Рис. 3.4
3.23. Как и во сколько раз изменится частота вертикальных колебаний шарика, висяцего на двух одинаковых пружинках, если их последовательное соединение заменить параллельным?
3.24. Концы недеформированной пружины жесткости $x=13 \mathrm{H} /$ м закреплены. В точке, отстоящей от одного из концов пружины на $\eta=1 / 3$ ее длины, укрепили небольшое тело массы $\boldsymbol{m}=25$ г. Найти период малых продольных колебаний данного тела. Силы тяжести нет.
3.25. Определить период малых продольных колебаний тела массы $m$ в системе (рис. 3.5), если жесткости пружинок равны $x_{1}$ и $x_{2}$, а трение пренебрежимо мало. В положении равновесия можно считать, что пружинки не деформированы.
Рис. 35
3.26. Найти период малых вертикальных колебаний тела массы $m$ в системе, показанной на рис. 3.6. Жесткости пружинок $x_{1}$ и $x_{2}$.
3.27. Однородный стержень положили на два быстро вращающихся блока, как показано на рис. 3.7. Расстояние между осями блоков $l=20 \mathrm{~cm}$, коэффициент трения между стержнем и блоками $k=0,18$. Показать, что стержень будет совершать гармонические колебания. Найти их период.
Рис. 3.6
Рис. 3.7
3.28. Имеется поток частиц массы $m$, которые движутся с одинаковой скоростью $v$ и параллельно некоторой оси $O O^{\prime}$. За плоскостью $P$, перпендикулярной оси $O O^{\prime}$, частицы попадают в область, где на них действует сила, направленная к оси $O O^{\prime}$ и пропорциональная расстоянию до этой оси: $F_{r}=-x r$, где $x$ – известная постоянная. Найти наименьшее расстояние $l$ от плоскости $P$ до точки на оси $O O^{\prime}$, которую будут пересекать все частицы.
3.29. Небольшой брусок начинает скользить по наклюнной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути $s$ по закону $k=a s$, где $a$ – постоянная. Найти время движения бруска.
3.30. Идеальная жидкость, заполняющая вертикальный участок длины $l$ тонкой $L$-образной трубки, в момент $t=0$ начинает перетекать в длинный горизонтальный участок. Найти зависимость от времени $t$ высоты $h$ уровня жидкости и время $t_{0}$, за которое она вытечет из вертикального участка.
3.31. Представим себе шахту, пронизывающую Землю по ее оси вращения. Считая Землю за однородный шар и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
a) уравнение движения тела, упавшего в шахту;
б) время, которое понадобится этому телу, чтобы достичь противоположного конца шахты;
в) скорость тела в центре Земли.
3.32. Найти период малых колебаний математического маятника длины $l$, если его точка подвеса движется относительно поверхности Земли с постоянным ускорением а так, что угол между векторами а и $\boldsymbol{g}$ равен $\beta$.
3.33. На гладкий горизонтальный стержень $A B$ надета небольшая муфточка массы $m=50$ г, которая соединена с концом $A$ стержня пружинкой жесткости $x=50 \mathrm{H} /$ м. Стержень вращают с постоянной угловой скоростью $\omega=10,0$ рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец $\boldsymbol{A}$. Найти частоту $\omega$ малых колебаний муфточки.
3.34. В установке (на рис.3.8.) муфта $\boldsymbol{M}$ массы $\boldsymbol{m}=0,20$ кг закреплена между двумя одинаковыми пружинками, суммарная жесткость которых $x=20 \mathrm{H} /$ м. Муфта без трения может скользить Рис. 3.8 по горизонтальному стержню $A B$. Установка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega=4,4$ рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Найти период малых колебаний муфты. При каком значении $\omega$ колебаний муфты не будет?
3.35. Доска с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебаний с амплитудой $a=10$ см. Найти коэффициент трения между доской и бруском, если последний начинает скользить по доске, когда ее период колебаний меньше $T=1,0 \mathrm{c}$.
3.36. Найти зависимость от времени угла отклонения математического маятника длины $80 \mathrm{~cm}$, если в начальный момент маятник:
a) отклонили на угол $3,0^{\circ}$ и без толчка отпустили;
б) находился в состоянии равновесия и его нижнему концу сообщили горизонтальную скорость $0,22 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$;
в) отклонили на $3,0^{\circ}$ и его нижнему концу сообщили скорость $0,22 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, направленную к положению равновесия.
3.37. Тело $A$ массы $m_{1}=1,00$ кг и тело $B$ массы $m_{2}=4,10$ кг соединены между собой пружиной (рис. 3.9). Тело $A$ совершает свободные вертикальные гармонические колебания с амплитудой $a=1,6$ см и частотой $\omega=25 \mathrm{c}^{-1}$. Найти наибольшее и наименьшее значения силы давления этой системы на опорную плоскость.
3.38. Доска, на которой лежит тело массы $m$, начинает двигаться вертикально вверх по закону $y=a(1-\cos \omega t)$, где $y-$ смещение из начального положения $\omega=11 \mathrm{c}^{-1}$. Найти:
a) минимальную амплитуду колебания доски, при которой тело начнет отставать от нее;
б) амплитуду колебания доски, при которой тело подскочит на высоту $h=50 \mathrm{~cm}$ относительно началыного положения (в момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$ ).
3.39. К нерастянутой пружине, верхний конец которой закреплен, подвесили и в момент $t=0$ отпустили тело массы $m$. Жесткость пружины $x$. Найти:
a) закон движения тела $y(t)$, где $y$ – его смещение из начального положения;
б) максимальное и минимальное натяжения пружины.
3.40. Брусок массы $m$, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, соединен со стенкой горизонтальной пружиной жесткости $\boldsymbol{x}$ и находится в покое. Начиная с некоторого момента на брусок начали действовать вдоль пружины постоянной силой $F$. Найти пройденный путь и время движения бруска до первой остановки.
3.41. Частица массы $m$ движется под действием силы $\mathbf{F}=-\alpha m \mathbf{r}$, где $\alpha$ – положительная постоянная, $\mathbf{r}$ – радиувектор частицы относительно начала координат. Найти траекторию ее движения, если в начальный момент $\mathbf{r}=r_{0} \mathbf{i}$ и скорость $\mathbf{v}=v_{0} \mathbf{j}$, где $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ – орты осей $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$.
3.42. Брусок массы $m$ находится на гладкой горизонтальной поверхности. К нему прикреплена легкая пружина жесткости $x$. Свободный конец пружины начали перемецать в горизонтальном направлении вдоль пружины с некоторой постоянной скоростью. Через сколько времени надо остановить этот конец пружины, чтобы после остановки брусок не колебался?
3.43. Тело массы $m$ висит на пружине, прикрепленной к потолку кабины лифта. Жесткость пружины $x$. В момент $t=0$ кабина начала подниматься с ускорением $a$. Найти закон движения груза $y(t)$ относительно кабины лифта, если $y(0)=0$ и $\dot{y}(0)=0$. Рассмотреть два случая:
a) $a=$ const ; б) $a=\alpha t$, где $\alpha$ – постоянная.
3.44. Тело массы $m=0,50$ кг висит на резиновом шнурс с коэффициентом упругости $x=50 \mathrm{H} / \mathrm{m}$. Найти максимальное расстояние, на которое можно оттянуть вниз тело, чтобы его колебания еще были бы гармоническими. Какова при этом энергия колебаний тела?
Рис. 3.10
3.45. Тело массы $m$ упало с высоты $h$ на чашку пружинных весов (рис. 3.10). Массы чашки и пружины пренсбрежимо малы, жесткость последней $x$. Прилипнув к чашке, тело начинает совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. Найти амплитуду колебаний и их энергию.
3.46. В условиях предыдущей задачи масса чашки равна $M$. Найти амплитуду колебаний в этом случае.
3.47. На нити висят два одинаковых шарика (один под другим), соединенные между собой пружиной. Масса каждого шарика $m$, растяжение пружинки равно ее длине $l$ в недеформированном состоянии. Нить пережгли. Найти скорость центра масс этой системы в момент, когда длина пружинки первый раз станет равной $l$.
3.48. Частица массы $m$ движется в плоскости $x y$ под действием силы, зависящей от скорости по закону $\mathbf{F}=a(\dot{\boldsymbol{y}} \mathbf{i}-\dot{x} \mathbf{j})$, где $\boldsymbol{a}$ – положительная постоянная, $\mathbf{i}$ и $\mathbf{j}$ – орты осей $\boldsymbol{x}$ и $y$. В начальный момент $t=0$ частица находилась в точке $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}=0$ и имела скорость $\mathrm{v}_{0}$ в направлении орта $\mathbf{j}$. Найти закон движения частицы $x(t), y(t)$, а также уравнение ее траектории.
3.49. Однородный стержень длины $l$ совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стрежню и проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний. Трения нет.
3.50. Математический маятник длины $l_{0}=40 \mathrm{~cm}$ и тонкий однородный стержень длины $l=60 \mathrm{~cm}$ совершают синхронно малые колебания вокруг горизонтальной оси. Найти расстояние от центра стержня до этой оси.
3.51. Найти круговую частоту малых колебаний тонкого однородного стержня массы $m$ и длины $l$ вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку $O$ (рис. 3.11). Жесткость пружины $x$. В положении равновесия стержень вертикалсн.
3.52. Однородный стержень массы $m$ совершает малые колебаний вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку $O$ (рис. 3.12). Правый конец стрежня подвешен на пружине жесткости x. Найти период колебаний стержня, если в положении равновесия он горизонтален.
Рис. 3.11
Рис. 3.12
3.53. Однородный стержень массы $m=1,5$ кг, висящий на двух одинаковых нитях длины $l=90 \mathrm{~cm}$ (рис. 3.13), повернули на малый угол вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину $C$. При этом нити отклонились на угол $\alpha=5,0^{\circ}$. Затем стержень отпустили. Найти:
а) период колебаний;
б) энергию колебаний стержня.
3.54. Горизонтальный однородный диск массы $m$ и радиуса $R$ укреплен на конце тонкого стержня $A O$ (рис. 3.14). При повороте диска на угол $\varphi$ вокруг оси $A O$ на него действует момент упругих сил $N_{z}=-k \varphi$, где $k$ – постоянная. Найти амплитуду малых крутильных колебаний и их энергию, если в начальный момент диск отклонили на угол $\varphi_{0}$ и сообщили ему угловую скорость $\dot{\varphi}_{0}$.
Рис. 3.13
Рис. 3.14
3.55. Однородный стержень массы $m$ и длины $l$ совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти среднюю за период колебания кинетическую энергию стержня, если в начальный момент его отклонили от вертикали на угол $\hat{0}_{0}$ и сообщили ему угловую скорость $\dot{0}_{0}$.
3.56. Физический маятник установили так, что его центр тяжести оказался над точкой подвеса. Из этого положения маятник начал двигаться к положению устойчивого равновесия, которое он прошел с угловой скоростью $\omega$. Найти период малых колебаний этого маятника.
3.57. Физический маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси $O$ с частотой $\omega_{1}=15,0 \mathrm{c}^{-1}$. Если в положении равновесия к нему прикрепить под осью $O$ на расстоянии $l=20 \mathrm{~cm}$ от нее небольшое тело массы $m=50 \mathrm{r}$, то частота колебаний становится $\omega_{2}=10,0 \mathrm{c}^{-1}$. Найти момент инерции первоначального маятника относительно оси $O$.
3.58. Два физических маятника совершают малые колебания вокруг одной горизонтальной оси с частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$. Их моменты инерции относительно данной оси равны соответственно $I_{1}$ и $I_{2}$. Маятники привели в состояние устойчивого равновесия и скрепили друг с другом. Какова будет частота малых колебаний составного маятника?
3.59. Однородный стержень длины $l$ совершает малые колебаний вокруг горизонтальной оси $O O^{\prime}$, перпендикулярной стержню и проходящей через одну из его точек. Найти расстояние между центром стержня и осью $O O^{\prime}$, при котором период колебаний будет наименьшим.
3.60. Физический маятник совершает малые колебаний вокруг горизонтальном оси 1. Затем его перевернули и нашли такую ось 2 , малые колебания вокруг которой происходят с той же частотой, что и в первом случае. Показать, что расстояние $l$ между осями 1 и 2 равно приведенной длине маятника.
3.61. Показать, что при переносе точки подвеса $O$ физического маятника в центр качаний $O^{\prime}$ точка $O$ становится центром качаний, т.е. период малых колебаний маятника не изменится.
3.62. Тонкое кольцо радиуса $R$ совершает малые колебания около точки $O$ (рис. 3.15). Найти их период, если колебания происходят:
a) в плоскости рисунка;
б) в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка.
3.63. Тонкая однородная пластинка в форме равностороннего треугольника с высотой $h$ совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из его сторон. Найти приведенную длину и период колебаний данного маятника.
Рис. 3.15
Рис. 3.16
Рис. 3.17
3.64. Легкий тонкостенный сферический сосуд радиуса $R$ целиком заполнен водой. Сосуд укреплен на легком жестком стержне (рис. 3.16). Расстояние между точкой подвеса $O$ и центром сосуда равно $l$. Во сколько раз изменится период малых колебаний такого маятника после того, как вода замерзнет? Вязкостью воды пренебречь.
3.65. Гладкий горизонтальный диск вращают вокруг вертикальной оси $O$ (рис. 3.17) с постоянной угловой скоростью $\omega$. На нем находится тонкий однородный стержень $A B$ длины $l$, который совершает малые колебания вокруг вертикальной оси $A$, укрепленной на диске на расстоянии $a$ от оси $O$. Найти частоту $\omega_{0}$ этих колебаний.
Рис. 3.18
Рис. 3.19
3.66. Найти частоту малых колебаний системы, показанной на рис. 3.18. Известны радиус блока $R$, его момент инерции $I$ относительно оси вращения, масса тела $m$ и жесткость пружины $x$. Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нет. 3.67. Однородный цилиндрический блок массы $M$ и радиуса $R$ может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси $O$ (рис. 3.19). На блок плотно намотана нить, к свешивающемуся концу которой прикреплен груз $A$. Этот груз уравновешивает точечное тело массы $m$, укрепленное на ободе блока, при определенном значении угла $\alpha$. Найти частоту малых колебаний системы.
Рис. 3.20
3.68. Сплошной однородный цилиндр радиуса $r$ катается без скольжения по внутренней стороне цилиндрической поверхности радиуса $R$, совершая малые колебания. Найти их период.
3.69. Сплошной однородный цилиндр массы $m$ совершает малые колебания под действием двух пружин, суммарная жесткость которых равна $x$ (рис. 3.20). Найти период этих колебаний в отсутствие скольжения.
3.70. В системе (на рис. 3.21) $N$ – нить, к нижнему концу которой подвешен шарик $A$, к которому в свою очередь подвешен на нити длины $l$ шарик $B$. Верхний конец нити $N$ совернает малые гармонические колебаний так, что нить $N$ остается все время вертикальной. Найти частоту $\omega$ этих колебаний, если массы шариков $A$ и $B$ равны соответственно $M$ и $\boldsymbol{m}$.
3.71. Два кубика, массы которых равны $m_{1}$ и
Pис. 3.21 $m_{2}$, соединили невесомой пружинкой жесткости $x$ и положили на гладкую горизонтальную плоскость. Затем кубики немного сблизили и одновременно отпустили. Найти собственную частоту колебаний системы.
3.72. Два шара с массами $m_{1}=1,0$ кг и $m_{2}=2,0$ кг насажены на гладкий горизонтальный стержень (рис. 3.22). Шары соединены между собой пружинкой с жесткостью $x=24 \mathrm{H} /$. Левому шару сообщили начальную скоРис. 3.22 рость $v_{1}=12 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. Найти:
a) частоту колебаний системы в процессе колебаний.
б) энергию и амплитуду колебаний.
3.73. Найти период малых крутильных колебаний системы, состоящей из двух дисков, насаженных на тонкий стержень с коэффициентом кручения $k$. Моменты инерции дисков относительно оси стержня равны $I_{1}$ и $I_{2}$.
3.74. Модель молекулы $\mathrm{CO}_{2}$ – три шарика, соединенные одинаковыми легкими пружинками и расположенные в положении равновесия вдоль одной прямой. Такая система может совершать продольные колебаний двух типов, как показано стрелками на рис. 3.23. Зная массы атомов, найти отношение частот этих колебаний.
3.75. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $k=0,10$ лежит брусок массы $m=0,50$ кг, соединенный горизонтальной недеформированной пружинкой со стенкой. Жесткость пружинки $x=2,45 \mathrm{H} / \mathrm{cm}$, а ее
Puc. 3.23 масса пренебрежимо мала. Брусок сместили так, что пружинка растянулась на $x_{0}=3,0 \mathrm{~cm}$, и затем отпустили. Найти:
a) период колебаний бруска;
б) число колебаний, которое совершит брусок до остановки.
3.76. Затухающие колебания точки происходят по закону $x=a_{0} \mathrm{e}^{-\beta t} \sin \omega t$. Найти:
a) амплитуду смещения и скорость точки в момент $t=0$;
б) моменты, когда точка достигаст крайних положений.
3.77. Тело совернает крутилыныс колебания по закону $\varphi=\varphi_{0} \mathrm{e}^{-\beta t} \cos \omega t$. Найти:
а) угловую скорость $\dot{\varphi}$ и угловое ускорение $\ddot{\varphi}$ тела в момент $t=0$;
б) моменты, когда угловая скорость максимальна.
3.78. Точка соверцает колебания с частотой $ь$ и коэффициснтом затухания $\beta$ по закону (3.1 б). Найти начальную амплитуду $a_{0}$ и начальную фазу $\alpha$, если в момент $\boldsymbol{t}=0$ смещеиие точки и проекция ее скорости равны:
а) $x_{0}=0 ; \dot{x}_{0}>0 ;$ б) $x_{0}>0, \dot{x}_{0}=0$.
3.79. Осциллятор со временем релаксации $\tau=20$ с в момент $t=0$ имсет наталыное смецение $x_{0}=10 \mathrm{~cm}$. При каком значении начальной скорости $\dot{x}_{0}$ это смещение окажется равным своей амплитуде?
3.80. Точка совершает колебания с частотой $\omega=25 \mathrm{c}^{-1}$. Найти коэффициент затухания $\beta$, если в начальный момент скорость точки равна нулю, а ее смецение из ноложения равновесия в $\eta=1,020$ раза меньше амплитуды.
3.81. Точка совершает колео̄ания с частотой $\omega$ и коэффициентом затухания $\boldsymbol{\beta}$. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени, если в момент $\boldsymbol{t}=0$ :
a) амплитуда ее смещения равна $a_{0}$;
б) смещение $x(0)=0$ и проекция скорости $v_{x}(0)=\dot{x}_{0}$.
3.82. Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания $\lambda_{0}=1,50$. Каким будет значение $\lambda$, если сопротивление среды увеличить в $n=2,00$ раза? Во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны?
3.83. К пружине подвесили грузик, и она растянулась на $\Delta x=9,8$ см. С каким периодом будет колебаться грузик в вертикальном направлении? Логарифмический декремент затухания $\lambda=3,1$.
3.84. Найти добротность осциллятора, у которого:
a) амплитуда смещения уменьшается в $\eta=2,0$ раза через каждые $n=110$ периодов колебаний;
б) собственная частота $\omega_{0}=100 \mathrm{c}^{-1}$ и время релаксации $\tau=60 \mathrm{c}$.
3.85. Частицу сместили из ноложения равновесия на расстояние $l=1,0 \mathrm{~cm}$ и предоставили самой себе. Какой путь пройдет, колеблясь, эта частица до полной остановки, если логарифмический декремент затухания $\lambda=0,020$ ?
3.86. Найти добротность математического маятника длины $l=50 \mathrm{~cm}$, если за $\tau=5,2$ мин его полная механическая энергия уменьшилась в $\eta=4,0 \cdot 10^{4}$ раз.
3.87. Однородный диск радиуса $R=13$ см может врацаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через край диска. Найти период малых колебаний этого диска, если логарифмический декремент затухания $\lambda=1,00$.
3.88. Тонкий однородный диск массы $m$ и радиуса $R$, поднсшениый в горизонтальном положении к унругой нити, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент упругих сил со стороны нити $N=\alpha \varphi$, где $\alpha$ – постоянная, $\varphi$ – угол поворота ‘из положения равновесия. Сила сопротивления, действующая на единицу поверхности диска, $F_{1}=\eta v$, где $\eta$ – постоянная, $v$ – скорость данного элемента диска
Рис. 3.24 относительно жидкости. Найти частоту малых колебаний.
3.89. Диск $A$ радиуса $R$, подвешенный на упругой нити между двумя неподвижными плоскостями (рис. 3.24), совершает крутильные колебания вокруг своей оси $O O^{\prime}$. Момент инерции диска относительно этой оси $I$, зазор между диском и каждой из плоскостей $h$, причем $h<<\boldsymbol{R}$. Найти вязкость газа окружающего диск $A$, если период колебаний диска $T$ и логарифмический декремент затухания $\lambda$.
3.90. Шарик массы $m$ может совершать незатухающие гармонические колебания около точки $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ с собственной частотой $\omega_{0}$. В момент $t=0$, когда шарик находился в состоянии равновесия, к нему приложили вынуждающую силу $F_{x}=F_{0} \cos \omega t$, совпадающую по направлению с осью $x$. Найти закон вынужденных колебаний шарика $x(t)$.
3.91. Установить в условиях предыдущей задачи закон движения шарика $x(t)$, если частота вынуждающей силы равна собственной частоте $\omega_{0}$ колебаний шарика.
3.92. Частица массы $m$ может совершать незатухающис гармонические колебания под действием упругой силы с коэффициентом $x$. Когда частица находилась в состоянии равновесия, к ней приложили постоянную силу $F$, которая действовала в течение $\tau$ секунд. Найти амплитуду колебаний частицы после окончания действия этой силы. Изобразить примерный график колебаний $x(t)$. Иеследовать возможные случаи.
3.93. На осциллятор массы $m$ без затухания с собственной частотой $\omega_{0}$ действует вынуждающая сила по закону $F_{0} \cos \omega t$. При каких начальных условиях ( $x_{0}$ и $\dot{x}_{0}$ ) с самого начала будут происходить только вынужденные колебания? Найти законі $x(t)$ в этом случае.
3.94. Оценить, через сколько времени установятся колебания в системе с добротностью $Q=1,0 \cdot 10^{6}$ и собственной частотой $\omega_{0}=5000 \mathrm{c}^{-1}$ при резонансном воздействии на эту систему вынуждающей гармонической силы.
3.95. Найти добротность осциллятора, у которого отношение резонансной частоты $\omega_{\text {рез }}$ к частоте затухающих колебаний $\omega$ равно $\eta=0,97$.
3.96. Найти разность фаз $\varphi$ между смещением и вынуждающей силой при резонансе смещения, если собственная частота $\omega_{0}=50 \mathrm{c}^{-1}$ и коэффициент затухания $\beta=5,2 \mathrm{c}^{-1}$.
3.97. Шарик массы $m$, подвешенный к пружинке, удлиняет ее на $\Delta l$. Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по гармоническому закону с амплитудой $\boldsymbol{F}_{0}$, шарик совершает вынужденные колебания. Логарифмический декремент затухания $\lambda$. Пренебрегая массой пружинки, найти частоту $\omega$ вынуждающей силы, при которой амплитуда $a$ смещения шарика максимальна. Каково значение этой амплитуды?
3.98. Найти выражение для вынуждающей силы, под действием которой осциллятор массы $m$ с коэффициентом затухания $\beta$ испытывает колебания по закону $x=a \sin \left(\omega_{0} t-\varphi\right)$, где $\omega_{0}$ – собственная частота осциллятора.
3.99. Осциллятор массы $m$ движется по закону $x=a \sin \omega t$ под действием вынуждающей силы $F_{x}=F_{0} \cos \omega t$. Найти коэффициент затухания $\beta$ осциллятора.
3.100. Найти максимальное значение амплитуды смещения осциллятора, совершающего установившиеся колебания под действием вынуждающей гармонической силы с амплитудой $F_{0}=2,50 \mathrm{H}$, если частота затухающих колебаний данного осциллятора $\omega=100 \mathrm{c}^{-1}$ и коэффициент сопротивления (коэффициент пропорциональности между силой сопротивления и скоростью) $r=0,50 \mathrm{\kappa r} / \mathrm{c}$.
3.101. Амплитуды смещений вынужденных гармонических колебаний при частотах $\omega_{1}=400 \mathrm{c}^{-1}$ и $\omega_{2}=600 \mathrm{c}^{-1}$ равны между собой. Найти частоту $\omega$, при которой амплитуда смещения максимальна.
3.102. При частотах вынуждающей гармонической силы $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ амплитуда скорости частицы равна половине максимального значения. Найти:
a) частоту, соответствующую резонансу скорости;
б) козффициент затухания $\beta$ и частоту $\omega$ затухающих колебаний.
3.103. Некоторая резонансная кривая соответствует осциллятору с логарифмическим декрементом затухания $\lambda=1,60$. Найти для этой кривой отношение максимальной амплитуды смещения к амплитуде смещения при очень малой частоте.
3.104. Тело массы $m$, подвешенное на пружинке, совершает вынужденные колебания с амплитудой $a$ и частотой $\omega$. Собственная частота равна $\omega_{0}$. Найти среднюю за период механическую энергию колебаний данного осциллятора.
3.105. Найти среднюю мощность вынуждающей гармонической силы, если коэффициент затухания осциллятора равен $\boldsymbol{\beta}$, а полная энергия его установившихся колебаний не зависит от времени (когда это возможно?) и равна $E$.
3.106. Под действием внешней вертикальной силы $F_{x}=F_{0} \cos \omega t$ тело, подвешенное на пружинке, совершает установившиеся вынужденные колебания по закону $x=a \cos (\omega t-\varphi)$. Найти работу силы $F$ за период колебания.
3.107. Под действием момента сил $N_{z}=N_{m} \cos \omega t$ тело совершает вынужденные крутильные колебания по закону $\varphi=\varphi_{m} \cos (\omega t-\alpha)$. Найти работу сил трения, действующих на тело, за период колебания.
3.108. Шарик массы $m=50$ г подвешен на пружинке жесткости $x=20,0 \mathrm{H} / \mathrm{m}$. Под действием вынуждающей вертикальной гармонической силы с частотой $\omega=25,0 \mathrm{c}^{-1}$ шарик совершает установившиеся колебания. При этом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на $\varphi=3 \pi / 4$. Найти добротность осциллятора.
Рис. 3.25
3.109. Шарик массы $m$, подвешенный на невесомой пружинке, может совершать вертикальные колебания с коэффициентом затухания $\boldsymbol{\beta}$. Собственная частота колебаний $\omega_{0}$. Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по закону $F_{x}=F_{0} \cos \omega t$, шарик совершает установившиеся гармонические колебания. Найти:
a) среднюю за период колебания мощность $\langle P\rangle$ силы $F$;
б) частоту $\omega$ вынуждающей силы, при которой $\langle P\rangle$ максимальна; чему равна $\langle P\rangle_{\text {макс }}$ ?
3.110. Средняя мощность $\langle P\rangle$ вынуждающей силы в случае установившихся колебаний зависит от их частоты $\omega$, как показано на рис. 3.25. Здесь предполагается, что амплитуда вынуждающей силы постоянна, не зависит от частоты $\omega$. Найти собственную частоту $\omega_{0}$ осциллятора, его коэффициент затухания $\boldsymbol{\beta}$ и добротность $Q$.
