– Напряженность и потенциал поля точечного заряда $q$ :
\[
\mathbf{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{3}} \mathrm{r}, \quad \varphi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r} .
\]
– Связь между напряженностью поля и потенциалом:
\[
E_{l}=-\partial \varphi / \partial I, \quad \mathbf{E}=-
abla \varphi .
\]
– Теорема Гаусса и циркуляция вектора E:
\[
\oint \mathbf{B} d \mathbf{S}=q / \varepsilon_{0}, \quad \oint \mathbf{B} d \mathbf{r}=0 .
\]
– Потенциал и напряженность поля точечного диполя с электрическим моментом $\boldsymbol{p}$ :
\[
\varphi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{p \mathbf{r}}{r^{3}}, \quad E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{p}{r^{3}} \sqrt{1+3 \cos ^{2} \theta},
\]

где – угол между векторами т и р.
– Энергия $\boldsymbol{W}$ диполя $\mathbf{p}$ во внешнем электрическом поле и момент сил $\mathbf{N}$, действующих на диполь:
\[
W=-\mathbf{p E}, \quad \mathbf{N}=[\mathbf{p} \mathbf{E}] .
\]
– Сила $\mathbf{F}$, действующая на диполь, и ее проекция $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{x}}$ :
\[
\mathbf{F}=p \partial \mathrm{E} / \partial l, \quad F_{x}=\mathbf{p} \cdot
abla E_{x} .
\]

где $\partial \mathbf{B} / \partial \boldsymbol{l}$ – производная вектора $\mathbf{E}$ по направлению диполя.
2.1. Найти отношение электрической и гравитационной сил взаимодействия между двумя электронами; двумя протонами. При каком значении удельного заряда $q / m$ частицы эти силы будут равными?
2.2. Два одинаковых неболыших металлических шарика $c$ зарядами $q_{1}$ и $q_{2}$ находясь на расстоянии $l=200$ м друг от друга, притягиваются с силой $F_{0}=36 \mathrm{mH}$. После того, как шарики привели в соприкосновение и опять развели на то же расстояние $l$, они стали отталкиваться с силой $F=64 \mathrm{MH}$. Найти $q_{1}$ и $q_{2}$.
2.3. Два положительных заряда $q_{1}$ и $q_{2}$ находятся в точках с радиусами-векторами $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$. Найти отрицательный заряд $q_{3}$ и радиус-вектор $\mathbf{r}_{3}$ точки, в которую его надо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из этих трех зарядов, была равна нулю.
2.4. Три неболыших одинаково заряженных шарика массы $m=9,0$ г подвешены к одной точке на шелковых нитях длины $l=250$ м. Найти заряд каждого шарика, если углы между разошедшимися нитями равны $2 \alpha=60^{\circ}$.
2.5. Два нео́ольших одинаково заряженных шарика массы $m=5,0$ г подвешены к одной точке на шелковых нитях, образующих между собой малый угол 8 , и находятся на одном уровне. Найти скорость утечки заряда $d q / d t$ с каждого шарика в момент, когда $\hat{\theta}=5,0^{\circ}$, если скорость сближения шариков постоянна и равна $v=0,55 \mathrm{~mm} / \mathrm{c}$.
2.6. Три небольних шарика, каждый массы $m=6,0$ г и с зарядом $q=1,0$ мкКл, соединены шелковыми нитями, образуя равносторонний треугольник со стороной $l=200$ мм. Одну нить пережгли. Найти ускорение среднего шарика сразу после этого. Сил тяжести нет.
2.7. Тонкое проволочное кольцо радиуса $R=100$ мм имеет электрический заряд $q=50$ мкКл. Каково будет приращение силы, растягивающей проволоку, если в центре кольца поместить точечный заряд $q_{0}=7,0$ мкКл?
2.8. Положительный точечный заряд 50 мкКл находится на плоскости $x y$ в точке с радиусом-вектором $\mathbf{r}_{0}=2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}$, где $\mathbf{i}$ и j – орты осей $x$ и $y$. Найти напряженность электрического поля и ее модуль в точке с радиусом-вектором $\mathbf{r}=8 \mathbf{i}-5 \mathbf{j}$. Здесь $r_{0}$ и $r$ даны в метрах.
2.9. В вершинах квадрата с диагональю $2 l=100$ мм находятся одинаковые по модулю ( $q=2,5$ мкКл) точечные заряды, знаки которых при обходе квадрата расположены в порядке,++ , -, -. Найти напряженность $E$ электрического поля в точке, отстоящей на расстояние $x=50 \mathrm{~mm}$ от центра квадрата и расположенной симметрично относительно его вершин.
2.10. Тонкий стержень $A B$ длины $l=100$ см имеет заряд $q=37$ нКл, распределенный так, что его линейная плотность пропорциональна квадрату расстояния от конца $A$. Найти напряженность электрического поля в точке $A$.

2.11. Тонкое полукольцо радиуса $R=20$ см заряжено равномерно зарядом $q=0,70$ нКл. Найти модуль напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца.
2.12. Кольцо радиуса $R$ из тонкой проволоки имеет заряд $q$. Найти модуль напряженности электрического поля на оси кольца как функцию расстояния $l$ до его центра. Исследовать $E(l)$ при $l \gg R$. Определить максимальное значение напряженности и соответствующее расстояние $l$. Изобразить примерный график функции $E(l)$.
2.13. Полубесконечный круглый цилиндр радиуса $R$ заряжен равномерно по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд $\lambda$. Найти напряженность электрического поля в центре основания цилиндра.
2.14. Найти напряженность электрического поля в центре основания полусферы, заряженной равномерно с поверхностной
2.15. Плоскость с круглым отверстием радиуса $R$ равномерно заряжена с поверхностной плотностью $\sigma$. Найти напряженность $E$ электрического поля на оси отверстия как функцию расстояния $l$ до его центра.
2.16. Система состоит из тонкого заряженного проволочного кольца радиуса $R$ и очень длинной равномерно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из ее концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд $q$. На единицу длины нити приходится заряд $\lambda$. Найти силу взаимодействия кольца и нити.
2.17. Тонкое непроводящее кольцо радиуса $R$ заряжено с линейной плотностью $\lambda=\lambda_{0} \cos \varphi$, где $\lambda_{0}-$ постоянная, $\varphi$ азимутальный угол. Найти модуль напряженности электрического поля:
a) в центре кольца;
б) на оси кольца в зависимости от расстояния $x$ до его центра. Исследовать полученное выражение при $x \gg R$.
2.18. Находящийся в вакууме тонкий прямой стержень длины $2 a$ заряжен равномерно зарядом $q$. Найти модуль напряженности электрического поля как функцию расстояния $r$ от центра стержня до точки прямой,
a) перпендикулярной стержню и проходящей через его центр;
б) совпадающий с осью стержня, если $r>a$.

Исследовать полученные выражения при $r \gg a$.

2.19. Длинная прямая равномерно заряженная нить имеет заряд $\lambda$ на единицу длины. Найти модуль и направление электрического поля в точке, которая отстоит от нити на расстояние $y$ и находится на перпендикуляре к нити, проходящем через один из ее концов.
2.20. Равномерно заряженная нить, на единицу длины которой приходится заряд $\lambda$, имеет конфигурации, показанные на рис. 2.1. Радиус закругления $R$ значительно меньше длины нити. Воспользовавшись результатом решения предыдущей задачи, найти модуль напряженности
Рис. 2.1 электрического поля в точке $O$ для конфигураций $a$ и 6.
2.21. Сфера радиуса $r$ заряжена с поверхностной плотностью сферы относительно ее центра. Найти напряженность электрического поля в центре сферы.
2.22. Поверхностная плотность заряда на сфере радиуса $R$ зависит от полярного угла $\theta$ как $\sigma=\sigma_{0} \cos \hat{\theta}$, где $\sigma_{0}$ – положительная постоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига относительно друг друга двух равномерно заряженных шаров радиуса $R$, заряды которых одинаковы по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти напряженность электрического поля внутри данной сферы.
2.23. Найти напряженность электрического поля в центре шара радиуса $R$, объемная плотность заряда которого $\rho=\mathbf{a r}$, где а – постоянный вектор, т – радиус-вектор относительно центра шара.
2.24. Пространство между двумя плоскостями, отстоящими друг от друга на расстояние $2 a$, заполнено зарядом, объемная плотность которого зависит только от координаты $x$ оси, перпендикулярной этим плоскостям, как $\rho=\alpha x$, где $\alpha-$ постоянная. Начало координат $(x=0)$ находится посередине между этими плоскостями. Найти зависимости от $\boldsymbol{x}$ напряженности электрического поля, точнее $E_{x}(x)$ и $E(x)$. Изобразить их примерные графики.
2.25. Две длинные параллельные нити равномерно заряжены, каждая с линейной плотностью $\lambda=0,50 \mathrm{mkK \pi} / \mathrm{m}$. Расстояние
между нитями $l=45 \mathrm{~cm}$. Найти максимальное значение напряженности электрического поля в плоскости симметрии этой системы.
2.26. Две скрещивающиеся взаимно перпендикулярные нити бесконечной длины заряжены равномерно с линейной плотностью $\lambda$. Найти силу их взаимодействия.
2.27. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена равномерно по длине с поверхностной плотностью $\sigma=\sigma_{0} \cos \varphi$, где $\varphi$ – полярный угол цилиндрической системы координат, ось $z$ которой совпадает с осью данной поверхности. Найти модуль и направление напряженности электрического поля на оси $z$.
2.28. Грани полого куба заряжены равномерно с поверхностной плотностью $\sigma$. Найти силу, которая действует на каждую грань со стороны:
a) точечного заряда $q$, если его поместить в центр куба;
б) остальных граней, если ребро куба равно $l$.
2.29. Имеется аксиально-симметричное электрическое поле, напряженность которого зависит от расстояния $r$ до его оси как $\mathbf{E}=a \mathbf{r} / r^{2}$, где $a$ – постоянная. Найти заряд внутри сферы радиуса $R$ с центром на оси этого поля.
2.30. Напряженность электрического поля $\mathbf{E}=a r \mathbf{r}$, где $a$ постоянная, $r$ – расстояние от центра поля. Найти плотность зарядов $\rho(r)$, создающих это поле.
2.31. Шар радиуса $R$ имеет положительный заряд, объемная плотность которого зависит только от расстояния $r$ до его центра как $\rho=\rho_{0}(1-r / R)$, где $\rho_{0}$ – постоянная. Пренебрегая влиянием вещества шара, найти:
a) модуль напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию $r$;
б) максимальное значение модуля напряженности $E_{\text {макс }}$ и соответствующе ему значение $r_{m}$.
2.32. Система состоит из шара радиуса $R$, заряженного сферически-симметрично, и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью $\rho=\alpha / r$, где $\alpha$ – постоянная, $r$ – расстояние от центра шара. Пренебрегая влиянием вещества, найти заряд шара, при котором модуль напряженности электрического поля вне шара не зависит от $r$. Чему равна эта напряженность?
2.33. Внутри шара, заряженного равномерно с объемной плотностью $\rho$, имеется сферическая полость. Центр полости смещен относительно центра шара на расстояние а. Пренебрегая влиянием вещества шара, найти напряженность $E$ поля внутри полости.
Рис. 2.2
2.34. Найти напряженность $E$ электрического поля в области пересечения двух наров, равномерно заполненных разноименными по знаку зарядами с объемной плотностью $\rho$ и – $\rho$, если расстояние между центрами ниров равно а (рис. 2.2).
2.35. Три одинаковых шарика, расположенные в вершинах равностороннего треугольника со стороной $a$, соединены друг с другом нитями. Заряд и масса каждого шарика равны $q$ и $\boldsymbol{m}$. Одну из нитей пережгли. Найти максимальную скорость среднего шарика. Сил тяжести нет.
2.36. Имеются два тонких проволочных кольца радиуса $R$ каждое, оси которых совпадают. Заряды колец равны $q$ и $-q$. Найти разность потенциалов между центрами колец, отстояцими друг от друга на расстояние $l$, если $R=30 \mathrm{~cm}, l=52 \mathrm{~cm}$ и $q=0,40$ мкКл.
2.37. Бесконечно длинная прямая нить заряжена равномерно нотенциалов точек $l$ и 2 , если точка 2 находится дальше от нити, чем точка 1 , в $\eta=2,0$ раза.
2.38. Тонкое кольцо радиуса $R=25 \mathrm{~cm}$ имеет заряд $q=$ $=5,0$ мкКл, неравномерно распределенный по кольцу. Найти работу электрических сил при перемещении точечного заряда $q^{\prime}=10$ мкКл из центра кольца по произвольному пути в точку, находящуюся на оси кольца на расстоянии $l=50$ см от его центра.
2.39. Круглая тонкая пластинка радиуса $R$ равномерно заряжена с поверхностной плотностью $\sigma$. Найти потенциал и модуль напряженности электрического поля на оси пластинки как функцию расстояния $l$ от ее центра. Рассмотреть также случаи $l \rightarrow 0$ и $l \gg R$.
2.40. Коническая поверхность с основанием радиуса $R$ равномерно заряжена с поверхностной плотностью $\sigma$. Найти потенциал в вершине конуса.
2.41. Найти потенциал на краю тонкого диска радиуса $R=20 \mathrm{~cm}$, по которому равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью $\sigma=0,25 \mathrm{mkKл/ \textrm {m } ^ { 2 }}$.

2.42. Заряд $q$ распределен равномерно по объему шара радиуса $R$. Пренебрегая влиянием вещества шара, найти потенциал:
a) в центре шара;
б) внутри шара как функцию расстояния $r$ от его центра.
2.43. Найти напряженность электрического поля, потенциал которого имеет вид $\varphi=\mathbf{a r}$, где а – почтоянный вектор, радиус-вектор точки поля.
2.44. Определить напряжениость эиекіриескор поли, потенциал которого завискт от кординат $z, y$ no закону:
a) $\varphi=a\left(x^{2}-y^{2}\right) ;$ б) $\varphi=a x y$,

где $a$ – постоянная, Изобразить примерный вид этих полей : номощью линий вектора $\mathbb{E}$ (в илоскости $x y$ ).
2.45. Потенциал электрическог поля имеет вид $\varphi=$ ст электричского поля в токе $A\{2,1,-3\}$ на направление вектора $\mathbf{a}=\mathbf{i}+3 \mathrm{k}$.
2.46. Показать, что потениил поли дипли с эиектическим где т — радиус-вектор. Найти с помощью этого выражения модуль ндаряженноси электрического поля дипия как функиию $r$ и $ิ$.
2.47. Точечный электрический диполь с моментем $\mathbf{p}$ находится во внеинем однородном электрическом ноле, напряжениость которого равна $\mathbf{E}_{0}$, при’ем $\| \mathbf{E}_{0}$. В этом случае одиа из эквипотенцииних повер-

Рис. 2.3 хностей, охвативаюцих нилоль, квляется сферой. Найти ее радиус.
2.48. Две параляельные тонкие нити равномерно заряжены с линейной плотностью $\lambda$ и $-\lambda$. Расстояние между ьитями l. Найти потенциал и модуль напряженности электрического поля на расстоянии $r \gg l$ под углом i к вектору 1 (рис. 2.4).
2.49. Найти электрический момент $p$ тонкого стержня длины $l$, линейная плот-

Рис. 2.4 ность заряда которого зависит от расстояния $x$ до одного из его концов как $\lambda=a(2 x-l)$, где $a$ полюжительная постоянная.

2.50. Система состоит из заряда $q>0$, равномерно распределенного по полуокружности радиуса $a$, в центре которой находится точечный заряд $-q$ (рис. 2.5). Найти:
a) электрический дипольный момент этой системы;
б) модуль напряженности электрического

Рис. 2.5 поля на оси $x$ системы на расстоянии $r \gg a$ от нее.
Рис. 2.6

Рис. 2.7
2.51. Два коаксиальных кольца радиуса $R$ из тонкой проволоки находятся на малом расстоянии $l$ друг от друга ( $l \ll R$ ) и имеют заряды $q$ и $-q$. Найти потенциал и напряженность электрического поля на оси системы как функции координаты $x$ (рис. 2.6). Изобразить примерные графики этих зависимостей. Исследовать эти функции при $|x| \gg R$.
2.52. Какую работу против сил электрического поля надо совершить, чтобы перенести диполь с электрическим моментом $p$ из положения 1 , где напряженность поля равна $E_{1}$, в положение 2 с напряженностью $E_{2}$ (рис. 2.7)?
2.53. Диполь с электрическим моментом р находится на расстоянии $r$ от длинной прямой нити, заряженной равномерно с линейной плотностью $\lambda$. Найти силу $\mathbf{F}$, действующую на диполь, если вектор $\mathbf{p}$ ориентирован:
a) вдоль нити;
б) по радиусу-вектору $\mathbf{r}$;
в) перпендикулярно нити и радиусу-вектору $\mathbf{r}$.
2.54. Найти силу взаимодействия двух молекул воды, отстоящих друг от друга на $l=10 \mathrm{нм}$, если их электрические моменты расположены вдоль одной и той же прямой. Момент каждой молекулы $p=0,62 \cdot 10^{-29} \mathrm{Kл} \cdot \mathbf{m}$.
2.55. Найти потенциал следующих электрических полей:
a) $\mathbf{E}=a(y \mathbf{i}+x \mathbf{j})$;
б) $\mathbf{E}=2 a x y \mathbf{i}+a\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathbf{j}$;
в) $\mathbf{E}=a y \mathbf{i}+(a x+b z) \mathbf{j}+b y \mathbf{k}$.

Здесь $\boldsymbol{a}$ и $\boldsymbol{b}$ – постоянные, $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ – орты осей $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}$.

2.56. Потенциал поля в некоторой области пространства зависит только от координаты $x$ как $\varphi=-a x^{3}+b$, где $a$ и $b-$ некоторые постоянные. Найти распределение объемного заряда $\rho(x)$.
2.57. Между двумя болышими параллельными пластинами, отстоящими друт от друга на расстояние $d$, находится равномерно распределенный объемный заряд. Разность потенциалов пластин равна $\Delta \varphi$. При каком значении объемной плотности $\rho$ заряда напряженность поля волизи одной из пластин будет равна нулю? Какова будет при этом напряженность поля у другой пластины?
2.58. Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния до его центра как $\varphi=a r^{2}+b$, где $a$ и $b-$ постоянные. Найти распределение объемного заряда $\rho(r)$ внутри шара.