– Лоренцево сокращение длины и замедление хода движущихся часов:
\[
l=l_{0} \sqrt{1-(v / c)^{2}}, \quad \Delta t=\frac{\Delta t_{0}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}},
\]

где $b_{0}$ – собственная длина, $\Delta t_{0}$ – собственное время движущихся часов.
– Преобразования Лоренца:
\[
x^{\prime}=\frac{x-V t}{\sqrt{1-(V / c)^{2}}}, \quad y^{\prime}=y, \quad t^{\prime}=\frac{t-x V / c^{2}}{\sqrt{1-(V / c)^{2}}} .
\]
– Интервал $s_{12}$ – инвариантная величина:
\[
s_{12}^{2}=c^{2} t_{12}^{2}-l_{12}^{2}=\mathrm{inv},
\]

где $\boldsymbol{t}_{12}$ – промежуток времени между событиями $l$ и $2, l_{12}$ – расстояние между точками, где произошли эти события.
– Преобразование скорости:
\[
v_{x}^{\prime}=\frac{v_{x}-V}{1-v_{x} V / c^{2}}, \quad
u_{y}^{\prime}=\frac{v_{y} \sqrt{1-(V / c)^{2}}}{1-v_{x} V / c^{2}} .
\]

– Релятивистский импульс:
\[
\mathbf{p}=m_{r} \mathbf{v}=\frac{m \mathbf{v}}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}},
\]

где $m_{r}=\frac{m}{\sqrt{1-(v / c)^{2}}}$ – релятивистская масса, $m$ – масса (покоя).
– Релятивистское уравнение динамики частицы:
\[
d \mathbf{p} / d t=\mathbf{F},
\]

где $\mathbf{p}$ – релятивистский импульс частицы.
– Полная и кинетическая энергии релятивистской частицы:
\[
E=m_{r} c^{2}=m c^{2}+K, \quad K=\left(m_{r}-m\right) c^{2} .
\]
– Связь между энергией и импульсом релятивистской частицы:
\[
E^{2}-p^{2} c^{2}=m^{2} c^{4}, \quad p^{2} c^{2}=K\left(K+2 m c^{2}\right) .
\]
– При рассмотрении столкновения частиц полезно использовать инвариантную величину:
\[
E^{2}-p^{2} c^{2}=m^{2} c^{4},
\]

где $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{p}$ – полная энергия и импульс системы до столкновения, $\boldsymbol{m}$ – масса образовавшейся частицы (или системы).
1.396. Стержень движется в продольном направлении с постоянной скоростью v относительно инерциальной $К$-системы отсчета. При каком значении $v$ длина стержня в этой системе отсчета будет на $\eta=\mathbf{0 , 5 0 \%}$ меныше его собственной длины?
1.397. Имеется прямоугольный треугольник, у которого катет $a=5,00$ м и угол между этим катетом и гипотенузой $\alpha=30^{\circ}$. Найти в системе отсчета $\boldsymbol{K}^{\prime}$, движущейся относительно этого треугольника со скоростью $v=0,866$ с вдоль катета $a$ :
a) соответствующее значение угла $\alpha^{\prime}$;
б) длину $l^{\prime}$ гипотенузы и ее отношение к собственной длине.
1.398. Найти собственную длину стержня, если в $К$-системе отсчета его скорость $v=c / 2$, длина $l=1,00$ м и угол между ним и направлением движения $\boldsymbol{v}=4^{\circ}$.
1.399. Стержень движется равномерно в продольном направлении мимо двух меток $A$ и $B$, расположенных на расстоянии $\Delta x$ друг от друга. Сначала в момент $t_{1}$ напротив метки $A$ оказался передний конец стержня. Затем напротив метки $B$ в моменты $\boldsymbol{t}_{2}$ и $\boldsymbol{t}_{3}$ оказались соответственно передний и задний концы стержня. Найти его собственную длину.

1.400. С какой скоростью двигались в $K$-системе отсчета часы, если за время $t=5,0$ с (в $K$-системе) они отстали от часов этой системы на $\Delta t=0,10$ с?
1.401. Стержень пролетает с постоянной скоростью мимо метки, неподвижной в $K$-системе отсчета. Время пролета $\Delta t=20$ нс в $K$-системе. В системе же отсчета, связанной со стержнем, метка движется вдоль него в течение $\Delta t^{\prime}=25$ нс. Найти собственную длину стержня.
1.402. Собственнос время жизни некоторой нестабильной частицы $\Delta t_{0}=10$ нс. Какой путь пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни $\Delta t=20 \mathrm{нс}$ ?
1.403. В $К$-системе отсчета мюон, днижущийся со скоростью $v=0,990 \mathrm{c}$, пролетел от места свосго рождения до точки распада расстояние $l=3,0 \mathrm{~km}$. Определить:
a) собственное время жизни этого мюона;
б) расстояние, которое пролетел мюон в $К$-систсме отсчета с \”его точки зрения\”.
1.404. Две частицы, двиавшисся в лабораторной системе отсчета по одной прямой с одинаковой скоростью $v=3 c / 4$, попали в ненодвижную мишень с промежутком времени $\Delta t=\mathbf{5 0}$ нс. Найти собственное расстояиис между частицами до попадания в мишень.
1.405. Стержень движется вдоль линейки с некоторой ностоянной скоростью. Если зафиксировать ноложение обонх концов данного стержня одновременно в системе отсчета, связанной с линейкой, то разность отсчетов по линейки $\Delta x_{1}=4,0$ м. Если же положение обоих концов зафиксировать одновременно в системе отсчета, связанной со стержнем, то разность отсчетов по этой же линейке $\Delta x_{2}=9,0$ м. Найти собственную длину стержня и его скорость относительно лиџейки.
1.406. Два стержня одинаковой соб̈ственной длины $l_{0}$ движутся навстречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени между моментами совпадения левых и правых концов стержней оказался равным $\Delta t$. Какова скорость одного стержня относительно другого?
1.407. Две нестабильные частицы движутся в $К$-системе отсчета по некоторой прямой в одном направлении со скоростью $
u=0,990$ c. Расстояние между ними в этой системе отсчета $l=120 \mathrm{~m}$. В некоторый момент обе частицы распались одновременно в системе отсчета, связанной с ними. Какой промежуток времени между моментами распада обеих частиц наблюдали в $K$-системе? Какая частица распалась позже в К-системе?
1.408. Стержень $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$, ориентированный вдоль оси $\boldsymbol{x}$-системы отсчета, движется с постоянной скоростью $\boldsymbol{\varepsilon}$ в положительном направлении оси $x$. Передним концом стержня является точка $\boldsymbol{A}$, задним – точка $\boldsymbol{B}$. Найти:
a) собственную длину стержня, если в момент $\boldsymbol{t}_{A}$ координата точки $A$ равна $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{A}}$, а в момент $\boldsymbol{t}_{B}$ координата точки $B$ равна $\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{B}}$;
б) через какой промежуток времени надо зафиксировать координаты начала и конца стержня в $K$-системе, чтобы разность координат оказалась равной собственной длине стержня.
1.409. Стержень $A^{\prime} B^{\prime}$ движется с постоянной скоростью $v$ относительно стержня $\boldsymbol{A B}$ (рис. 1.85). Оба стержня имеют одинаковую собственную длину $l_{0}$ и на конРис. 1.85 цах каждого из них установлены синхронизированные между собой часы: $A$ с $B$ и $A^{\prime}$ с $B^{\prime}$. Пусть момент, когда часы $B^{\prime}$ поравнялись с часами $A$, взят за начало отсчета времени в системах отсчета, связанных с каждым из стержней. Определить:
a) показания часов $\boldsymbol{B}$ и $\boldsymbol{B}^{\prime}$ в момент, когда они окажутся напротив друг друга;
б) то же для часов $A$ и $A^{\prime}$.
1.410. Имеются две группы синхронизированных часов $K$ и $\boldsymbol{K}^{\prime}$, движущихся одна относительно другой со скоростью $v$, как показано на рис. 186. Возьмем за начало отсчета времени момент, когда часы $A^{\prime}$ окажутся напротив часов $A$. Изобразить примерное расположение стрелок всех часов в этот момент с \”точки зрения\” $K$-часов; $K$ ‘-часов.
Рис. 1.86

1.411. $K^{\prime}$-система отсчета движется в положительном направлении оси $x$-системы со скоростью $V$ относительно последней. Пусть в момент совпадения начал координат $O$ и $O^{\prime}$ показания часов обеих систем в этих точках равны нулю. Найти в $К$-системе скорость $\dot{x}$ перемещения точки, в которой показания часов обеих систем отсчета будут все время одинаковы. Убедиться, что $\dot{x}<V$.
1.412. В двух точках $K$-системы произошли события, разделенные промежутком времени $\Delta t$. Показать, что если эти события причинно связаны в $K$-системе (например, выстрел и попадание в мишень), то они причинно связаны и в любой другой инерциальной $K^{\prime}$-системе отсчета).
1.413. На диаграмме
Рис. 1.87 пространство – время (рис. 1.87) показаны три события $A, B$ и $C$, которые произошли на оси $x$ некоторой инерциальной системы отсчета. Найти:
a) промежуток времени между событиями $A$ и $B$ в той системе отсчета, где оба события произошли в одной точке;
б) расстояние между точками, где произонли события $A$ и $C$, в той системе отсчета, где они одновременны.
1.414. В плоскости $x y$-системы отсчета движется частица, проекции скорости которой равны $v_{x}$ и $v_{y}$. Найти скорость $v^{\prime}$ этой частицы в $K^{\prime}$-системе, которая перемещается со скоростью $V$ относительно $K$-системы в положительном направлении ее оси $x$.
1.415. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями $v_{1}=0,50 c$ и $v_{2}=0,75 c$ по отношению к лабораторной системе отсчета. Найти:
a) скорость, с которой уменьшается расстояние между частицами в лабораторной системе отсчета;
б) относительную скорость частицы.
1.416. Два стержня одинаковой собственной длины $l_{0}$ движутся в продольном направлении навстречу друг другу параллельно общей оси с одной и той же скоростью » относительно лабораторной системы отсчета. Чему равна длина каждого стержня в системе отсчета, связанной с другим стержнем?
1.417. Две релятивистские частицы движутся под прямым углом друг к другу в лабораторной системе отсчета, причем одна со скоростью $v_{1}$, а другая со скоростью $v_{2}$. Найти их относительную скорость.
1.418. Некоторая нестабильная частица движется со скоростью $v^{\prime}$ в $K^{\prime}$-системе отсчета вдоль ее оси $y^{\prime}$. $K^{\prime}$-система в свою очередь перемещается относительно $K$-системы со скоростью $V$ в положительном направлении ее оси $x$. Оси $x^{\prime}$ и $\boldsymbol{x}$ обеих систем отсчета совпадают, оси $y^{\prime}$ и $y$ параллельны друг другу. Найти путь, который частица пролетит в $K$-системе, если ее собственное время жизни равно $\Delta t_{0}$.
1.419. Частица движется в $K$-системе со скоростью $v$ под углом б к оси $\boldsymbol{x}$. Найти соответствующий угол в $K^{\prime}$-системе, перемещающейся со скоростью $V$ относительно $K$-системы в положительном направлении ее оси $x$, если оси $x$ и $x^{\prime}$ обеих систем совпадают.
1.420. Стержень $A B$ ориентирован параллельно оси $x^{\prime} K^{\prime}$-системы отсчета и движется в этой системе со скоростью $v^{\prime}$ вдоль ее оси $y^{\prime}$. $K^{\prime}$ ‘система в свою очередь движется со скоростью $V$ относительно $К$-системы, как показано на рис. 1.88. Найти угол өे между стержнем и осью Рис. 1.88 $x$ в $K$-системе.
1.421. $K^{\prime}$-система перемещается с постоянной скоростью V относительно $K$-системы. Найти ускорение $a^{\prime}$ частицы в $K^{\prime}$-системе, если в $K$-системе она движется со скоростью $v$ и ускорением $\boldsymbol{a}$ по прямой:
a) в направлении вектора $\mathbf{V}$;
б) перпендикулярно вектору $V$.
1.422. Стартовавшая с Земли воображаемая космическая ракета движется с ускорением $a^{\prime}=10 \mathrm{~g}$, одинаковым в каждой инерциальной системе, мгновенно сопутствующей ракете. Разгон продолжался по земному времени $\tau=1,0$ год. Найти, на сколько процентов отличается скорость ракеты от скорости света в конце разгона. Каков путь, пройденный ракетой к этому моменту?

1.423. Используя данные предыдущей задачи, определить время разгона ракеты $\tau_{0}$ в системе отсчета, связанной с самой ракетой. Иметь в виду, что $\tau_{0}=\int_{0}^{\tau} \sqrt{1-(v / c)^{2}} d t$, где $\tau$ – время разгона в системе Земли.
1.424. Во сколько раз релятивистская масса частицы, скорость которой отличается от скорости света на $\eta=0,010 \%$, превышает ее массу покоя?
1.425. Плотность покоящегося тела равна $\rho_{0}$. Найти скорость системы отсчета относительно данного тела, в которой его плотность будет на $\eta=25 \%$ больше $\rho_{0}$.
1.426. Протон движется с импульсом $p=10,0$ ГэВ/c, где $c$ скорость света. На сколько процентов отличается скорость этого протона от скорости света?
1.427. Найти скорость при которой релятивистский импульс частицы в $\eta=1,4$ раза превышает ее ньютоновский импульс.
1.428. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить скорость частицы с массой $m$ от $0,60 c$ до $0,80 c$ ? Сравнить полученный результат со значением, вычисленным по нерелятивистской формуле.
1.429. При какой скорости кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя?
1.430. При каких значениях отношения кинетической энергии частицы к ее энергии покоя относительная погрешность при расчете ее скорости по нерелятивистской формуле не превышает $\eta=0,010$ ?
1.431. Найти зависимость импульса частицы с массой $m$ от еe кинетической энергии. Вычислить импульс протона с кинетической энергией 500 МэВ.
1.432. Найти скорость частицы, кинетическая энергия которой $K=500 \mathrm{MэB}$ и импульс $p=865 \mathrm{M} B / c$, где $c$ – скорость света.
1.433. Пучок релятивистских частиц с кинетической энергией $\boldsymbol{K}$ падает на поглощающую мишень. Сила тока в пучке равна $I$, заряд и масса каждой частицы равны $е$ и $m$. Найти силу давления пучка на мишень и выделяющуюся в ней мощность.
1.434. Сколько энергии (в расчете на единицу массы) необходимо затратить, чтобы сообщить первоначально покоившемуся космическому кораблю скорость $v=0,980 c$ ?
1.435. Частица массы $m$ в момент $t=0$ начинает двигаться под действием постоянной силы F. Найти скорость частицы и пройденный ею путь в
1.436. Частица массы $m$ движется вдоль оси $x$-системы отсчета по закону $x=\sqrt{d^{2}+c^{2} t^{2}}$, где $d$ – некоторая постоянная, $c$ – скорость света, $t$ – время. Найти силу, действующую на частицу в этой системе отсчета.
1.437. Исходя из уравнения (1.8e), найти:
a) в каких случаях ускорение частицы совпадает по направлению с действующей на нее силой $\mathbf{F}$;
б) коэффициенты пропорциональности между силой $\mathbf{P}$ и ускорением $\mathbf{a}$, когда $\mathbf{F}_{\perp} \mathbf{v}$ и $\mathbf{F} \| \mathbf{v}$, где $\mathbf{v}$ – скорость частицы.
1.438. Релятивистская частица с импульсом $p$ и полной энергией $E$ движется вдоль оси $x$-системы отсчета. Показать, что в $K^{\prime}$-системе, движущейся с постоянной скоростью $V$ относительно $K$-системы в положительном направлении ее оси $x$, импульс и полная энергия данной частицы определяются формулами $(\beta=V / c)$
\[
p_{x}^{\prime}=\left(p_{x}-E V / c^{2}\right) / \sqrt{1-\beta^{2}}, \quad E^{\prime}=\left(E-p_{x} V\right) / \sqrt{1-\beta^{2}} .
\]
1.439. Энергия фотона в $К$-системе отсчета равна $\varepsilon$. Воспользовавшись формулами преобразования, проведенными в предыдущей задаче, найти энергию $\varepsilon^{\prime}$ этого фотона в $K^{\prime}$-системе, перемещающейся со скоростью $V$ относительно $K$-системы в направлении движения фотона. При каком значении $V$ энергия $\varepsilon^{\prime}=\varepsilon / 2$ ?
1.440. Показать, что величина $E^{2}-p^{2} c^{2}$ есть инвариант, т.е. имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета. Каково значение этого инварианта?
1.441. Две частицы, каждая массы $m$, летят навстречу друг другу с одинаковой скоростью $v$. Найти $v$, если масса образовавшейся при столкновении частицы равна $\boldsymbol{M}$.
1.442. Нейтрон с кинетической энергией $K=2 m c^{2}$, где $m-$ его масса, налетает на другой, покоящийся нейтрон. Найти в системе их центра масс:
a) суммарную кинетическую энергию $\tilde{\boldsymbol{K}}$ нейтронов;
б) импульс $\tilde{p}$ каждого нейтрона.
1.443. Релятивистская частица массы $m$ с кинетической энергией $\boldsymbol{K}$ налетает на покояцуюся частицу той же массы. Найти массу и скорость составной частицы, образовавшейся в результате соударения.
1.444. Какова должна быть кинетическая энергия протона, налетающего на другой, покоящийся протон, чтобы их суммарная кинетическая энергия в системе центра масс была такая же, как у двух протонов, движущихся навстречу друг другу с кинетическими энергиями $\boldsymbol{K}=\mathbf{2 5 , 0}$ ГэВ ?
1.445. Неподвижная частица массы $m$ распадается на три частицы масс $m_{1}, m_{2}, m_{3}$. Найти наибольшую полную энергию, которую может иметь, например, частица $m_{1}$.
1.446. Релятивистская ракета выбрасывает струю газа с нерелятивистской скоростью $\mathbf{u}$, постоянной относительно ракеты. Найти зависимость скорости $v$ ракеты от ее массы $m$, если в начальный момент масса ракеты равна $m_{0}$.