– Уравнения плоской и сферической гармонических волн:
\[
\xi=a \cos (\omega t-k x), \quad \xi=\left(a_{0} / r\right) \cos (\omega t-k r) .
\]

Для однородной поглощающей среды в эти формулы входят множители $e^{-\gamma x}$ и e $^{-\gamma r}$ соответственно, где $\gamma$ – коэффициент затухания волны.
– Одномерные волновые уравнения:
\[
\frac{\partial \xi}{\partial x}=\mp \frac{1}{v} \frac{\partial \xi}{\partial t}, \quad \frac{\partial^{2} \xi}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \xi}{\partial t^{2}},
\]

где знаки \”-\” и \”+\” соответственно для волн, распространяющихся в положительном или отрицательном направлениях оси $\boldsymbol{x}$.
– Фазовые скорости продольных волн в стержне ( $v_{1}$ ) и поперечных волн в струне $\left(v_{\perp}\right)$ :
\[
v_{\| 1}=\sqrt{E / \rho}, \quad v_{\perp}=\sqrt{F / \rho_{1}}, .
\]

где $\boldsymbol{E}$ – модуль Юнга, $\boldsymbol{\rho}$ – плотность стержня, $\boldsymbol{F}$ – сила натяжения струны, $\rho_{1}$ – ее линейная плотность.
– Объемная плотность энергии упругой волны:
\[
w=p \dot{\xi}^{2},
\]
– Плотность потока энергии (вектор Умова) для бегущей волны:
\[
\mathbf{j}=\boldsymbol{w} \mathbf{v} \text {. }
\]

В общем случае для продольных волн в стержне:

\[
\mathbf{j}=-\sigma \mathbf{u},
\]

где напряжение $\sigma=\boldsymbol{E} \varepsilon$ (закон Гука), $\varepsilon$ – относительная деформация ( $\partial \xi / \partial x$ ), и – скорость частиц среды ( $\left.u_{x}=\partial \xi / \partial t\right)$.
– Уравнение стоячей гармонической волны:
\[
\xi=a \cos (k x) \cos (\omega t) .
\]
– Акустическии́ эффект , Лонлера:
\[
v^{\prime}=v \frac{v-u_{x}^{\prime}}{v-u_{x}},
\]

где $u_{x}$ и $u_{x}^{\prime}$ – проекции скоростей источника $S$ и приемника $\boldsymbol{P}$ на ось $\boldsymbol{x}$, положительное направление которой совиадает с направлением распространения звука, то есть от $\boldsymbol{S}$ к $\boldsymbol{P}$.
– Уровень громкости звука (в белах):
\[
L=\lg \left(I / I_{0}\right) .
\]
– Связь между интенсивностью I звуковой волны и амплитудой колебания давления $(\Delta p)_{m}$ :
\[
I=(\Delta p)_{m}^{2} / 2 \rho v .
\]
3.177. За сколько времени звуковые колебания пройдут расстояние $l$ между точками и $l$ и 2 , если температура воздуха между ними меняется линейно от $T_{1}$ до $T_{2}$ ? Скорость звука в воздухе $v=\alpha \sqrt{T}$, где $\alpha$ – постоянная.
3.178. Неподвижный источник испускает через каждые 6 мс короткие звуковые импульсы вида $f(t-3 x)$, где $t$ – в секуидах, $x$ – в километрах. Найти расстояние между соседними импульсами.
3.179. Бегущая волна имеет вид $\xi=a \cos (1560 t-5,2 x)$, где $t$ – в секундах, $\boldsymbol{x}$ – в метрах. Вычислить часготу $v$ колебаний, скорость $v$ их распространения и длину волны $\lambda$.
3.180. Уравнение плоской звуковой волны имеет вид $\xi=60 \cos (1800 t-5,3 x)$, где $\xi-$ в микрометрах, $t$ – в секундах, $x$ – в метрах. Найти:
a) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны.
3.181. Плоская гармоническая волна с частотой $\omega$ распро$\alpha, \beta, \gamma$ с осями $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}$. Найти разность фаз колебаний точек среды с координатами $x_{1}, y_{1}, z_{1}$ и $x_{2}, y_{2}, z_{2}$.
3.182. Найти волновой вектор $k$ и скорость $v$ волни, имеющей вид $\xi=a \cos (\omega t-\alpha x-\beta y-\gamma z)$.
3.183. Плоская волна с частотой $\omega$ распространяется так, что некоторая фаза колебаний перемещается вдоль осей $x, y, z$ со скоростями $v_{1}, v_{2}, v_{3}$. Найти волновой вектор $k$, если орты осей координаты $\mathbf{e}_{\boldsymbol{x}}, \mathbf{e}_{\boldsymbol{y}}, \mathbf{e}_{\boldsymbol{z}}$.
3.184. В среде $K$ распространяется плоская упругая волна $\xi=a \cos (\omega t-k x)$. Найти уравнение этой волны в системс отсчета, движущейся в положительном направлении оси $x$ со скоростью $\boldsymbol{V}$ по отношению к среде $\boldsymbol{K}$.
3.185. Показать, что любая дифференцируемая функция вида $f(t+\alpha x)$, где $\alpha$ – постоянная, является решением волнового уравнения. Каков физический смысл $\alpha$ ?
3.186. В однородной упругой среде распространяется плоская волна $\xi=a \cos (\omega t-k x)$. Изобразить для $t=0$ :
a) графики зависимостей от $x$ величин $\xi, \partial \xi / \partial x$ и $\partial \xi / \partial t$;
б) направление скорости частиц среды в точках, где $\xi=0$, если волна продольная, поперечная;
в) примерный график распределения плотности среды $\rho($ 🙂 для продольной волны.
3.187. Вдоль оси $x$ распространяется бегущая упругая волна $\xi=A \exp \left[-(a t-b x)^{2}\right]$, где $A, a, b-$ постоянные. Изобразить примерный вид зависимостей $\xi(x), \partial \xi / \partial x(x)$ и $\partial \xi / \partial t(x)$ в момент $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$. Найти также расстояние $\boldsymbol{\Delta x}$ между точками волны, в которых относительная деформация и скорости частии среды максимальны.
3.188. С какой скоростью распространястся упругая волна, если в некоторой точке в один и тот же момент относительная деформация $\varepsilon=1,5 \cdot 10^{-2}$ и скорость частиц среды $u=30 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ ?
3.189. Плоская продольная упругая волна распространяется в положительном направлении оси $\boldsymbol{x}$ в стержне с плотностью $\rho=4,0 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$ и модулем Юнга $E=100$ ГПа. Найти проекцию скорости $u_{x}$ частиц стержня в точках, где относительная деформация $\varepsilon=0,010$.
3.190. В однородной среде распространяется плоская упругая волна вида $\xi=a \mathrm{e}^{-\gamma x} \cos (\omega t-k x)$, где $a, \gamma, \omega$ и $k$ – постоянные. Найти разность фаз колебаний в точках, где амплитуды смещения частиц среды отличаются друг от друга на $\eta=1,0 \%$, если $\gamma=0,42 \mathbf{M}^{-1}$ и длина волны $\lambda=\mathbf{5 0} \mathbf{~ с м}$.
3.191. Найти радиус-вектор, характеризующий положение точечного источника сферических волн, если известно, что он находится на прямой между точками с радиусами-векторами $\mathbf{r}_{1}$ и $\mathbf{r}_{2}$, в которых амплитуды колебаний частиц среды равны $a_{1}$ и $a_{2}$. Среда однородная, затухания волн нет.
3.192. Точечный изотропный источник испускает звуковые волны с частотой $v=1,45$ кГц. На расстоянии $r_{0}=5,0$ м от него амплитуда смещения частиц среды $a_{0}=50$ мкм, а в точке $P$ на расстоянии $r=10,0$ м от источника амплитуда смещения в $\eta=3,0$ раза меньше $a_{0}$. Найти:
a) коэффициент затухания волны $\gamma$;
б) амплитуду скорости частиц среды в точке $P$.
3.193. В упругой однородной среде распространяются две плоские волны, одна – вдоль оси $x$, другая – вдоль оси $y$ : $\xi_{1}=a \cos (\omega t-k x), \xi_{2}=a \cos (\omega t-k y)$. Найти характер движения частиц среды в плоскости $x y$, если обе волны:
a) поперечные и направление колебаний одинаково;
б) продольные.
3.194. В точке $O$ однородной среды находится точечный изотропный источник звука мощностью $P=1,7$ Вт. Найти среднюю (по времени) энергию упругих волн в области, ограниченной сферой радиуса $R=5,0$ м с центром в точке $O$, если скорость волн $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ и их затухание пренебрежимо мало.
3.195. Точечный изотропный источник звука находится на перпендикуляре к плоскости кольца, проходящем через его центр $O$. Расстояние между точкой $O$ и источником $l=100 \mathrm{~cm}$, радиус кольца $R=50 \mathrm{~cm}$. Найти средний поток энергии сквозь кольцо, если в точке $O$ интенсивность звука $I_{0}=30 \mathrm{mкBT} / \mathrm{m}^{2}$. Затухания волн нет.
3.196. Изотропный точечный источник, звуковая мощность которого $P=0,10 \mathrm{~B}$, находится в центре круглого полого цилиндра радиуса $R=1,0$ м и высоты $h=2,0$ м. Полагая, что стенки цилиндра полностью поглощают звук, найти средний поток энергии, падающий на боковую поверхность цилиндра. Затухания волн нет.
3.197. Найти звуковую мощность точечного изотропного источника, если на расстоянии $r=7,5$ м от него среднее значение плотности потока энергии $\langle j\rangle=6,3 \mathrm{mBT} / \mathrm{m}^{2}$ и коэффициент затухания волны $\gamma=0,10 \mathrm{~m}^{-1}$.
3.198. На расстоянии $r=10 \mathrm{M}$ от точечного изотропного источника звука среднее значение плотности потока энергии $\langle j\rangle=\mathbf{5 , 0} \mathrm{mBт} / \mathrm{m}^{2}$. Коэффициент затухания волны $\gamma=0,015 \mathrm{~m}^{-1}$. Какая энергия поглощается за $t=5,0$ с в области, ограниченной сферой радиуса $r$, в центре которой находится источник?
3.199. Два точечных синфазных источника звука $A$ и $B$ имеют одинаковую мощность и находятся на расстоянии $2 l$ друг от друга. Нас интересует средняя (по времени) объемная плотность $\langle w\rangle$ звуковой энергии в плоскости, перпендикулярной отрезку $A B$ и проходящей через его середину $O$. На каком расстоянии от точки $O$ величина $\langle w\rangle$ максимальна? Поглощение пренебрежимо мало.
3.200. Воспользовавшись выражением (3.3 е) для вектора Умова, найти среднее по времени значение проекции этого вектора на ось $x$ для следующих продольных волн в стержне с плотностью $\rho$ :
а) $\xi=a \cos (\omega t-k x)$; б) $\xi=a \cos (k x) \cos (\omega t)$.
3.201. То же, что в предыдущей задаче, но для волн:
a) $\xi=a \cos (\omega t-k x)+b \cos (\omega t+k x)$;
б) $\xi=a \cos (\omega t-k x)+b \cos (k x) \cos (\omega t)$.
3.202. В однородной упругой среде установилась плоская стоячая волна $\xi=a \cos (k x) \cos (\omega t)$ Изобразить:
a) графики зависимостей от $\boldsymbol{x}$ величин $\xi$ и $\partial \xi / \partial x$ в моменты $t=0$ и $t=T / 2$, где $T$ – период колебаний;
б) графики распределений плотности среды $\rho(x)$ для продольных колебаний в моменты $t=0$ и $t=T / 2$;
в) график распределения скоростей частиц среды в момент $\boldsymbol{t}=\boldsymbol{T} / \mathbf{4}$; указать направления скоростей в этот момент в пучностях для продольных и поперечных волн.
3.203. В однородном стержне с плотностью $\rho$ установилась продольная стоячая волна $\xi=a \cos (k x) \cos (\omega t)$. Найти выражения для объемной плотности:

a) потенциальной энергии $w_{p}(x, t)$;
б) кинетической энергии $w_{k}(x, t)$.

Изобразить графики распределения объемной плотности полной энергии $w$ в пределах между двумя соседними узлами смещения в моменты $\boldsymbol{t}=\mathbf{0}$ и $\boldsymbol{t}=T / 4$, где $T$ – период колебаний.
3.204. Стальная струна длины $l=110 \mathrm{~cm}$ и диаметра $\boldsymbol{d}=\mathbf{1 , 0}$ мм натянута между полюсами электромагнита. При пропускании по струне переменного тока частоты $v=\mathbf{5 0}$ Гц на ней установилось $\eta=5$ полуволн. Найти силу натяжения струны.
3.205. Стальная струна длины $l=100 \mathrm{~cm}$ и диаметра $d=0,50$ мм дает основной тон частоты $v=256$ Гц. Найти силу ее натяжения.
3.206. На струне длины 120 см образовалась стоячая волна, причем все точки струны с амплитудой смещения 3,5 мм отстоят друг от друга на 15,0 см. Найти максимальную амплитуду смещения. Какому обретону соответствуют эти колебания?
3.207. Найти отношение частот основного тона двух одинаковых струн после того, как одну из них упруго растянули на $\eta_{1}=2,0 \%$, а другую – на $\eta=4,0 \%$.
3.208. Как и во сколько раз изменится частота основного тона натянутой струны, если ее длину уменьшить на $35 \%$, а силу натяжения $\boldsymbol{F}$ увеличить на $70 \%$ ?
3.209. Для определения скорости звука в воздухе использовали трубу с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Найти скорость звука, если расстояние между соседними положениями поршня, при которых наблюдался резонанс на частоте $v=2,00 к \Gamma ц$, равна $l=8,5 \mathrm{~cm}$.
3.210. Найти число возможных собственных колебаний столба воздуха в трубе, частоты которых меньше $v_{0}=1250$ Гц, если:
a) труба закрыта с одного конца;
б) труба открыта с обоих концов.

Длина трубы $l=85$ см. Скорость звука $v=340 \mathrm{M} / \mathrm{c}$. Считать, что открытые концы трубы являются пучностями смещения.
3.211. Медный стержень длины $l=55,0 \mathrm{~cm}$ закреплен в середине. Найти число продольных собственных колебаний его в диапазоне частот от 20 до 50 кГц. Каковы из частоты?
3.212. Струна массы $m$ закреплена с обоих концов. В ней возбудили колебания основного тона с круговой частотой $\omega$ и максимальной амплитудой смещения $a_{\text {масс }}$. Найти:
a) максимальную кинетическую энергию струны;
б) среднюю за период кинетическую энергию струны.
3.213. В однородном стержне, площадь сечения которого $S$ и плотность $\rho$, установилась продольная волна $\xi=a \sin (k x) \cdot \cos (\omega t)$. Найти полную механическую энергию, заключенную между сечениями, которые проходят через соседние узлы смещения.
3.214. Локомотив, который движется со скоростью $u=120 \mathrm{~km} / ч$, дает гудок длительностью $\tau_{0}=5,0$ с. Найти длительность гудка для неподвижного наблюдателя, если локомотив: a) приближается; б) удаляется. Скорость звука в воздухе $v=340 \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
3.215. Над шоссе висит источник звуковых сигналов с частотой $v_{0}=2,3$ кГц. От него со скоростью $v=54$ км $/$ ч удаляется мотоциклист. В ту же сторону дует ветер со скоростью $u=5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Считая скорость звука в воздухе $v_{0}=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, найти частоту сигнала, воспринимаемую мотоциклистом.
3.216. Звуковая волна распространяется со скоростью $v$ в положительном направлении оси $x$. В ту же сторону движутся наблюдатели 1 и 2 со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$. Найти отношение частот, которые зафиксируют наблюдатели.
3.217. Источник звука частоты $v_{0}=1000$ Гц движется по нормали к стенке со скоростью $u=17 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. На этой же нормали расположены два неподвижных приемника $\boldsymbol{P}_{1}$ и $\boldsymbol{P}_{2}$, причем последовательность расположения этих приемников и источника $S$ такая: $P_{1}-S-P_{2}$ – стенка. Какой приемник регистрирует биения и какова их частота? Скорость звука $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
3.218. Неподвижный наблюдатель воспринимает звуковые колебания от двух камертонов, один из которых приближается, а другой с той же скоростью удаляется. При этом наблюдатель слышит биения с частотой $v=2,0$ Гц. Найти скорость каждого камертона, если их частота колебаний $v_{0}=680$ Гц и скорость звука $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
3.219. На оси $x$ находятся приемник и источник звука частоты $v_{0}=2000$ Гц. Источник совершает гармонические колебания вдоль этой оси с круговой частотой $\omega$ и амплитудой $a=50$ см. При каком значении $\omega$ ширина частотного интервала, воспринимаемого неподвижным приемником, $\Delta v=200$ Гц? Скорость звука $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
3.220. Источник звука частоты $v_{0}=1700$ Гц и приемник находятся в одной точке. В некоторый момент источник начинает удаляется от приемника с ускорением $a=10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$. Найти частоту колебаний, воспринимаемых неподвижным приемником через $t=10,0$ с после начала движения источника. Скорость звука $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
3.221. Источник звука, собственная частота которого $v_{0}=1,8$ КГц, движется равномерно по прямой, отстоящей от неподвижного наблюдателя на $l=250 \mathrm{~m}$. Скорость источника составляет $\eta=0,80$ скорости звука. Найти:
a) частоту звука, воспринимаемую наблюдателем в момент, когда источник окажется напротив него;
б) расстояние между источником и наблюдателем в момент, когда воспринимаемая наблюдателем частота $v=v_{0}$.
3.222. Неподвижный источник испускает монохроматический звук, к нему приближается стенка со скоростью $u=33 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. Скорость распространения звука в среде $v=330 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Как и на сколько процентов изменяется длина волны звука при отражении от стенки?
3.223. На одной и той же нормали к стенке находятся источник звуковых колебаний частоты $v_{0}=1700$ Гц и приемник. Источник и приемник неподвижны, а стенка удаляется от источника со скоростью $u=6,0 \mathrm{~cm} / \mathrm{c}$. Найти частоту биений, которую будет регистрировать приемник. Скорость звука $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
3.224. Найти коэффициент затухания $\gamma$ звуковой волны, если на расстояниях $r_{1}=10 \mathrm{M}$ и $r_{2}=20 \mathrm{~m}$ от точечного изотропного источника звука значения интенсивности звуковой волны отличаются друг от друга в $\eta=4,5$ раза.
3.225. Плоская звуковая волна распространяется вдоль оси $x$. Коэффициент затухания волны $\gamma=0,0280 \mathrm{M}^{-1}$. В точке $x=0$ уровень громкости $L=60$ дБ. Найти:
a) уровень громкости в точке с координатой $x=50$ м;
б) координату $x$ точки, в которой звук уже не слышен.
3.226. На расстоянии $r_{0}=20,0 \mathrm{~m}$ от точечного изотропного источника звука уровень громкости $L_{0}=30,0$ дБ. Пренебрегая затуханием волны, найти:
a) уровень громкости на $r=10,0$ м от источника;
б) расстояние от источника, на котором звук не слышен.
3.227. Наблюдатель 1 , находящийся на $r_{1}=5,0$ м от звучащего камертона, отметил исчезновение звука на $\tau=19$ с позже, чем наблюдатель 2 , находящийся на $r_{2}=50$ м от камертона. Считая затухание звуковых волн в воздухе пренебрежимо малым и скорость звука $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, найти коэффициент затухания $\beta$ камертона.
3.228. В среде с плотностью $\rho$ распространяется плоская продольная гармоническая волна. Скорость волны равна $v$. Считая изменение плотности среды при прохождении волны $\Delta \rho<<\rho$, показать, что:
a) приращение давление в среде $\Delta p=-\rho v^{2}(\partial \xi / \partial x)$, где $(\partial \xi / \partial x)$ – относительная деформация;
б) интенсивность волны определяется формулой ( 3.3 к).
3.229. На пути плоской звуковой волны в воздухе находится шар радиуса $R=50$ см. Длина волны $\lambda=5,0 \mathrm{~cm}$, частота $v=6,8$ кцц, амплитуда колебаний давления в воздухе $(\Delta p)_{m}=3,5$ Па. Найти средний за период колебаний поток энергии, падающей на поверхность шара.
3.230. Точка $A$ находится на $r=1,5$ м от точечного изотропного источника звука частоты $v=600$ Гц. Мощность источника $\boldsymbol{P}=\mathbf{0 , 8 0} \mathrm{B}$. Пренебрегая затуханием волн и считая скорость звука $v=340 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, найти для точки $\boldsymbol{A}$ :
a) амплитуду колебаний давления $(\Delta p)_{m}$ и ее отношение к давлению воздуха;
б) амплитуду колебаний частиц среды; сравнить ее с длиной волны звука.
3.231. На $r=100$ м от точечного изотропного источника звука частоты 200 Гц уровень громкости $L=50$ дБ. Порог слышимости на этой частоте соответствует интенсивности звука $I_{0}=0,10 \mathrm{нBT} / \mathrm{m}^{2}$. Коэффициент затухания волны $\gamma=5,0 \cdot 10^{-4} \mathrm{M}^{-1}$. Найти звуковую мощность источника.