Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике I. Однако постепенно наши планы расширились в основном вследствие активного использования численных экспериментов и методов компьютерной визуализации в сочетании с аналитическими вычислениями. В конце концов у нас сформировался совершенно новый взгляд на одну из самых классических областей механики, допускающий обобщение на всю динамику. В предисловии мы провозглашаем манифест компьютерной динамики, развитие и применение которой к динамическим проблемам теории волчков читатель найдет на протяжении всей книги. Компьютерные исследования в динамике, или просто компьютерную динамику, мы выделяем в отдельную область науки, которая устанавливает общие закономерности движения реальных физических систем при помощи ряда численных методов и алгоритмов. Каждый из этих методов обладает своими особенностями (устойчивость и пр.) и обладает внутренними параметрами (типа шага и точности). Поэтому результаты такого исследования, конечно, имеют лишь косвенное отношение к реальности. Однако аналогичные заключения можно сделать и относительно обычных аналитических (или сугубо математической) методов, требующих на каждом шаге строгих доказательств. При этом многие физически очевидные факты могут привести к неразрешимым математическим проблемам (которых особенно много в нелинейной динамике и математической теории хаоса). Мы здесь отметим только проблемы с доказательством эргодичности, вычислением энтропии, оценками малого параметра и применимостью КАМ-теории и пр. Решение этих проблем, тем не менее, нисколько не продвинет наше понимание замечательных законо- мерностей, которые мы наблюдаем, следя за развитием хаоса в конкретных системах. В этой книге естественно завершена классическая ветвь динамики твердого тела, связанная с поиском возможных интегрируемых случаев. Вероятно, что другие случаи и интегралы, которые могут быть найдены в будущем, уже никогда не вызовут того внимания, как уже найденные и приведенные здесь. Классики пытались их использовать для понимания движения и делали это с переменным успехом. В динамике твердого тела увлечение геометрическими интерпретациями движения, восходящими к Пуансо, временами сменялось аналитическими исследованиями, большинство из которых, к сожалению, совершенно не было востребовано ни физиками, ни инженерами и вскоре становилось доступным лишь специалистам. Мы, возможно, в книге несколько пренебрегли доказательствами и точными формулировками. Мы использовали одновременно как достижения топологии, анализа и компьютерные эксперименты для получения достаточно полного представления о движении. Сложно сказать, достигли ли мы поставленной цели, но несомненно, что даже самые классические случаи (типа Лагранжа, Ковалевской и Горячева-Чаплыгина) приобрели в таком подходе второе рождение, вышли за рамки сухих вычислений и стали вполне осязаемыми. Возможно, что такой и должна быть основная цель механики – предъявить некоторый алгоритм, по которому можно разобраться со всем многообразием движений и наглядно представить себе каждое конкретное движение и его особенности. В этой книге мы пытаемся возродить традиции математической литературы времен Эйлера, который сам, по выражению Якоби [183], «хотя и рассматривает всегда только частные случаи, но подбирает их так удачно, что позже найденный общий метод по большой части прибавляет к его результатам очень мало или ничего». Таким образом, если считать установленными законы природы, приводящие к некоторой системе дифференциальных уравнений, то для ее анализа компьютерный и аналитический методы являются дополняющими друг друга. Здесь мы подчеркиваем отличие нашей точки зрения от широко распространенной и состоящей в том, что «настоящая наука» является аналитической, а компьютер способен дать только иллюстрации аналитическим методам и толчок для формулировок новых теорем. Это, конечно, также правильно, но лишь является побочным продуктом компьютерных исследований, которые имеют свою внутреннюю логику и систему описания физических феноменов. Систематическое развитие компьютерных иссле- дований, открывающее новые области компьютерной (или «виртуальной») динамики – дело ближайшего будущего. В качестве исторического ракурса, или, скорее, курьеза, иллюстрирующего излишнюю веру в силу логического метода, заметим, что Лейбниц и Декарт в своих работах, прежде чем развивать собственно математические методы, «доказывали» существование движения и даже бога. II. Кроме идеи компьютерной динамики в книге мы старались отразить самые современные методы пуассоновой динамики и геометрии, теории групп и алгебр Ли, лишь намеченные в нашей предыдущей книге «Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике», которая, как нам кажется, имела определенный успех. В развитии этих методов динамика твердого тела играет особую роль. В некотором смысле она представляет собой полигон для испытания новых средств математики и в настоящее время трудно оценить ее значение, особенно для развития многих разделов топологии и нелинейных пуассоновых структур, неголономной геометрии, теории симметрий и тензорных инвариантов. III. При проверке почти всех современных и классических случаев интегрируемости использовалась система аналитических вычислений MAPLE. При этом некоторые уже известные ранее результаты оказались не совсем корректными, а другие были значительно упрощены. За рамками книги оказались вопросы устойчивости частных движений и большинство прикладных и технических вопросов, достаточно полное изложение которых требует отдельной монографии. Тем не менее даже физик и инженер может извлечь из книги понимание общего формализма записи основных динамических уравнений, а также основных аспектов регулярного и хаотического поведения в динамике твердого тела. По этим вопросам книга может рассматриваться как справочник, в котором, тем не менее, мы стараемся пояснить вывод основных результатов, а иногда приводим полные доказательства.
|
1 |
Оглавление
|