I.
Мы начали писать эту книгу два года назад, задавшись целью собрать в ней все известные интегрируемые случаи в динамике твердого тела. Нам казалось, что такой проект мы осуществим достаточно быстро и книга должна была выйти в 2000 г. – в год 150 -летия со дня рождения С. В. Ковалевской. Мы также хотели дать исчерпывающую информацию относительно открытого ею случая и метода.

Однако постепенно наши планы расширились в основном вследствие активного использования численных экспериментов и методов компьютерной визуализации в сочетании с аналитическими вычислениями. В конце концов у нас сформировался совершенно новый взгляд на одну из самых классических областей механики, допускающий обобщение на всю динамику.

В предисловии мы провозглашаем манифест компьютерной динамики, развитие и применение которой к динамическим проблемам теории волчков читатель найдет на протяжении всей книги. Компьютерные исследования в динамике, или просто компьютерную динамику, мы выделяем в отдельную область науки, которая устанавливает общие закономерности движения реальных физических систем при помощи ряда численных методов и алгоритмов. Каждый из этих методов обладает своими особенностями (устойчивость и пр.) и обладает внутренними параметрами (типа шага и точности). Поэтому результаты такого исследования, конечно, имеют лишь косвенное отношение к реальности. Однако аналогичные заключения можно сделать и относительно обычных аналитических (или сугубо математической) методов, требующих на каждом шаге строгих доказательств. При этом многие физически очевидные факты могут привести к неразрешимым математическим проблемам (которых особенно много в нелинейной динамике и математической теории хаоса). Мы здесь отметим только проблемы с доказательством эргодичности, вычислением энтропии, оценками малого параметра и применимостью КАМ-теории и пр. Решение этих проблем, тем не менее, нисколько не продвинет наше понимание замечательных законо-

мерностей, которые мы наблюдаем, следя за развитием хаоса в конкретных системах.

В этой книге естественно завершена классическая ветвь динамики твердого тела, связанная с поиском возможных интегрируемых случаев. Вероятно, что другие случаи и интегралы, которые могут быть найдены в будущем, уже никогда не вызовут того внимания, как уже найденные и приведенные здесь. Классики пытались их использовать для понимания движения и делали это с переменным успехом. В динамике твердого тела увлечение геометрическими интерпретациями движения, восходящими к Пуансо, временами сменялось аналитическими исследованиями, большинство из которых, к сожалению, совершенно не было востребовано ни физиками, ни инженерами и вскоре становилось доступным лишь специалистам.

Мы, возможно, в книге несколько пренебрегли доказательствами и точными формулировками. Мы использовали одновременно как достижения топологии, анализа и компьютерные эксперименты для получения достаточно полного представления о движении. Сложно сказать, достигли ли мы поставленной цели, но несомненно, что даже самые классические случаи (типа Лагранжа, Ковалевской и Горячева-Чаплыгина) приобрели в таком подходе второе рождение, вышли за рамки сухих вычислений и стали вполне осязаемыми. Возможно, что такой и должна быть основная цель механики – предъявить некоторый алгоритм, по которому можно разобраться со всем многообразием движений и наглядно представить себе каждое конкретное движение и его особенности.

В этой книге мы пытаемся возродить традиции математической литературы времен Эйлера, который сам, по выражению Якоби [183], «хотя и рассматривает всегда только частные случаи, но подбирает их так удачно, что позже найденный общий метод по большой части прибавляет к его результатам очень мало или ничего».

Таким образом, если считать установленными законы природы, приводящие к некоторой системе дифференциальных уравнений, то для ее анализа компьютерный и аналитический методы являются дополняющими друг друга. Здесь мы подчеркиваем отличие нашей точки зрения от широко распространенной и состоящей в том, что «настоящая наука» является аналитической, а компьютер способен дать только иллюстрации аналитическим методам и толчок для формулировок новых теорем. Это, конечно, также правильно, но лишь является побочным продуктом компьютерных исследований, которые имеют свою внутреннюю логику и систему описания физических феноменов. Систематическое развитие компьютерных иссле-

дований, открывающее новые области компьютерной (или «виртуальной») динамики – дело ближайшего будущего.

В качестве исторического ракурса, или, скорее, курьеза, иллюстрирующего излишнюю веру в силу логического метода, заметим, что Лейбниц и Декарт в своих работах, прежде чем развивать собственно математические методы, «доказывали» существование движения и даже бога.

II.

Кроме идеи компьютерной динамики в книге мы старались отразить самые современные методы пуассоновой динамики и геометрии, теории групп и алгебр Ли, лишь намеченные в нашей предыдущей книге «Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике», которая, как нам кажется, имела определенный успех. В развитии этих методов динамика твердого тела играет особую роль. В некотором смысле она представляет собой полигон для испытания новых средств математики и в настоящее время трудно оценить ее значение, особенно для развития многих разделов топологии и нелинейных пуассоновых структур, неголономной геометрии, теории симметрий и тензорных инвариантов.
Можно даже утверждать, что подобно тому, как понимание глубоких идей А. Пуанкаре о неинтегрируемости динамических систем стало возможным благодаря анализу задачи трех тел, результаты и методы Софуса Ли вошли в общую математическую культуру вследствие их приложения к динамике волчков, дающих примеры механической реализации наиболее естественных групп и алгебр Ли. Кроме того, в отличие от небесной механики и теории колебаний динамика твердого тела, с одной стороны, содержит ряд нетривиальных интегрируемых случаев, а с другой стороны, в силу компактности конфигурационного пространства наиболее предпочтительна для анализа хаотических движений.

III.

При проверке почти всех современных и классических случаев интегрируемости использовалась система аналитических вычислений MAPLE. При этом некоторые уже известные ранее результаты оказались не совсем корректными, а другие были значительно упрощены.
Компьютерная визуализация движения и численное интегрирование были проведены нами на программном комплексе «Компьютерная динами-
ка», созданном в научно-издательском центре «Регулярная и хаотическая динамика».

За рамками книги оказались вопросы устойчивости частных движений и большинство прикладных и технических вопросов, достаточно полное изложение которых требует отдельной монографии. Тем не менее даже физик и инженер может извлечь из книги понимание общего формализма записи основных динамических уравнений, а также основных аспектов регулярного и хаотического поведения в динамике твердого тела. По этим вопросам книга может рассматриваться как справочник, в котором, тем не менее, мы стараемся пояснить вывод основных результатов, а иногда приводим полные доказательства.
Мы не стали включать в книгу разделы, связанные с неголономными системами, а также многомерными обобщениями динамики твердого тела. Они достаточно обширны, и мы постараемся изложить их отдельно.
Собранные нами в начале книги краткие исторические очерки о творцах динамики твердого тела позволяют проследить эволюцию идей этой области и, возможно, исправить некоторые исторические неточности.