1. Лагранжев формализм и уравнения Пуанкаре на группе $E(3)$

Пусть твердое тело движется в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{3}$, при этом его конфигурационное пространство совпадает с группой $E(3)$. В матричной форме элементы группы можно представить в виде

где $\mathbf{Q} \in S O(3)$ – матрица направляющих косинусов (3.3), а $\boldsymbol{x}$ – радиус-вектор некоторой фиксированной в теле точки $C$ в проекциях на неподвижные оси (см. рис. 7).

Запишем уравнения движения для проекций угловой скорости $\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right)$ и абсолютной скорости центра масс $\boldsymbol{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)$ на оси, связанные с телом. По аналогии с (4.3) выпишем следующие очевидные геометрические соотношения
\[
\dot{\mathrm{Q}}=\widetilde{\omega} \mathrm{Q}, \quad v=\mathrm{Q} \dot{x} .
\]

Найдем теперь соответствующие базисные левоинвариантные поля на группе $E(3)$. Для этого запишем производную по времени в силу уравнений (5.1)
\[
\begin{array}{c}
\frac{d f}{d t}=\operatorname{Tr}\left(\dot{\mathbf{Q}}^{T} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{Q}}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}, \dot{\boldsymbol{x}}\right)=\operatorname{Tr}\left((\widetilde{\boldsymbol{\omega}} \mathbf{Q})^{T} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{Q}}\right)+\left(\mathbf{Q} \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}, \boldsymbol{v}\right), \\
\frac{\partial f}{\partial \mathbf{Q}}=\left\|\frac{\partial f}{\partial Q_{i j}}\right\| ; \quad \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}=\left(\frac{\partial f}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f}{\partial x_{2}}, \frac{\partial f}{\partial x_{3}}\right) .
\end{array}
\]

Группируя слагаемые при $\omega_{i}, v_{i}$, находим
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{\omega} & =\omega_{k} \boldsymbol{\xi}_{k}, & \boldsymbol{\xi}_{k} & =-\sum_{i j} \varepsilon_{k i j}\left(\alpha_{i} \frac{\partial}{\partial \alpha_{j}}+\beta_{i} \frac{\partial}{\partial \beta_{j}}+\gamma_{i} \frac{\partial}{\partial \gamma_{j}}\right), \\
\boldsymbol{v} & =v_{i} \boldsymbol{\zeta}_{i}, & \boldsymbol{\zeta}_{i} & =\alpha_{i} \frac{\partial}{\partial x_{1}}+\beta_{i} \frac{\partial}{\partial x_{2}}+\gamma_{i} \frac{\partial}{\partial x_{3}} .
\end{aligned}
\]

Коммутаторы базисных полей $\boldsymbol{\xi}_{i}, \zeta_{j}$ имеют вид
\[
\left[\boldsymbol{\xi}_{i}, \boldsymbol{\xi}_{j}\right]=\varepsilon_{i j k} \boldsymbol{\xi}_{k}, \quad\left[\boldsymbol{\xi}_{i}, \boldsymbol{\zeta}_{j}\right]=\varepsilon_{i j k} \boldsymbol{\zeta}_{k}, \quad\left[\boldsymbol{\zeta}_{i}, \boldsymbol{\zeta}_{j}\right]=0 .
\]

С учетом (5.2) и (5.3) запишем уравнения движения Пуанкаре (2.4) для динамики свободного твердого тела
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}\right)=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{\omega}+\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}} \times \boldsymbol{v}+\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\alpha}} \times \boldsymbol{\alpha}+\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\beta}} \times \boldsymbol{\beta}+\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\gamma}} \times \boldsymbol{\gamma}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}}\right)=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}} \times \boldsymbol{\omega}+\frac{\partial L}{\partial x_{1}} \boldsymbol{\alpha}+\frac{\partial L}{\partial x_{2}} \boldsymbol{\beta}+\frac{\partial L}{\partial x_{3}} \boldsymbol{\gamma} \\
\dot{\boldsymbol{\alpha}}=\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{\omega}, \quad \dot{\boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{\beta} \times \boldsymbol{\omega}, \quad \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega}, \\
\dot{x}_{1}=\left(\boldsymbol{\alpha}, \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}}\right), \quad \dot{x}_{2}=\left(\boldsymbol{\beta}, \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}}\right), \quad \dot{x}_{3}=\left(\gamma, \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}}\right) .
\end{array}
\]

2. Кинетическая энергия твердого тела в $\mathbb{R}^{3}$

Представим радиус-вектор каждой точки твердого тела в неподвижной системе координат в виде $\boldsymbol{q}=\mathbf{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}$, где $\boldsymbol{y}$ – постоянный в теле радиусвектор данной точки. Дифференцируя по времени $\dot{\boldsymbol{q}}=\dot{\boldsymbol{Q}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}+\dot{\boldsymbol{x}}$ и интегрируя по $y$ получим кинетическую энергию как в векторном, так в матричном виде
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2}(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{I} \boldsymbol{\omega})+m(\boldsymbol{v}, \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega})+\frac{1}{2} m \boldsymbol{v}^{2}= \\
& =-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}(\widetilde{\boldsymbol{\omega}} \mathbf{J} \widetilde{\boldsymbol{\omega}})+m(\boldsymbol{v}, \widetilde{\boldsymbol{\omega}} \boldsymbol{r})+\frac{1}{2} m \boldsymbol{v}^{2},
\end{aligned}
\]

где $m=\int_{\tau} \rho(\boldsymbol{y}) d^{3} \boldsymbol{y}-$ полная масса тела и $\boldsymbol{r}=\frac{1}{m} \int \boldsymbol{y} \rho(\boldsymbol{y}) d^{3} y-$ радиусвектор центра масс в связанной с телом системе осей, $\rho(\boldsymbol{y})$ – массовая плотность тела, а I, J определены соотношениями (4.11), (4.12).

Если выбрать начало системы координат, связанной с телом, в центре масс, то $r=0$ и кинетическая энергия разделяется на энергию поступательного движения и энергию вращения вокруг центра масс. Это утверждение составляет известную теорему Бернулли.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Для движения твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости (уравнения Кирхгофа) в общем случае кинетическая энергия не может быть разделена на вращательную и поступательную составляющие.

3. Гамильтонова форма уравнений движения твердого тела в $\mathbb{R}^{3}$

Для перехода к гамильтонову формализму (уравнениям Пуанкаре-Четаева) выполним преобразование Лежандра по формулам
\[
\boldsymbol{M}=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}, \quad \boldsymbol{p}=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{v}}, \quad H=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})+(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{v})-\left.L\right|_{\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{v} \rightarrow \boldsymbol{M}, \boldsymbol{p}} .
\]

Здесь $M$ – момент импульса, $\boldsymbol{p}$ – импульс тела в проекциях на оси, связанные с телом.

Скобка Пуассона переменных $M, \boldsymbol{p}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{x}$ может быть найдена по формуле (2.12). Она полностью определяется видом полей (5.2) и их коммутаторами (5.3) и не зависит от конкретного вида функции Лагранжа. Единственным ограничением является условие невырожденности функции Лагранжа по скоростям.
Окончательно находим следующие (ненулевые) скобки Пуассона
\[
\begin{array}{c}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{i}, p_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} p_{k}, \\
\left\{M_{i}, \alpha_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \alpha_{k},\left\{M_{i}, \beta_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \beta_{k}, \quad\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \\
\left\{p_{i}, x_{1}\right\}–\alpha_{i}, \quad\left\{p_{i}, x_{2}\right\}–\beta_{i}, \quad\left\{p_{i}, x_{3}\right\}–\gamma_{i} .
\end{array}
\]

Как было замечено в $§ 2$, п. 3 при такой матричной реализации получается скобка Ли-Пуассона, соответствующая полупрямой сумме $e(3) \oplus_{s} \mathbb{R}^{12}$.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Как следует из соотношений (5.7), при кватернионной параметризации группы вращений пуассонова структура в переменных $\boldsymbol{M}, \lambda_{0}, \boldsymbol{\lambda}, \boldsymbol{p}, \boldsymbol{x}$ будет содержать квадратичные скобки, так как направляющие косинусы квадратично зависят от кватернионов.

В векторной форме гамильтоновы уравнения движения записываются следующим образом
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}+\boldsymbol{p} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{p}}+\boldsymbol{\alpha} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\alpha}}+\boldsymbol{\beta} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\beta}}+\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\gamma}}, \\
\dot{\boldsymbol{p}}=\boldsymbol{p} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}-\frac{\partial H}{\partial x_{1}} \boldsymbol{\alpha}-\frac{\partial H}{\partial x_{2}} \boldsymbol{\beta}-\frac{\partial H}{\partial x_{3}} \boldsymbol{\gamma}, \\
\dot{\boldsymbol{\alpha}}=\boldsymbol{\alpha} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}, \quad \dot{\boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{\beta} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}, \quad \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}} \\
\dot{x}_{1}=\left(\boldsymbol{\alpha}, \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{p}}\right), \quad \dot{x}_{2}=\left(\boldsymbol{\beta}, \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{p}}\right), \quad \dot{x}_{3}=\left(\gamma, \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{p}}\right) .
\end{array}
\]

Движение свободного твердого тела в потенциальном поле в системе центра масс ( $r=0$ в уравнении (5.5)) описывается натуральной механической системой с функцией Гамильтона в виде
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2 m} \boldsymbol{p}^{2}+U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{x}),
\]

где $\mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1}$, и переменные $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{p}$ выражаются через скорости тела по формулам
\[
M=\mathbf{I} \omega, \quad p=m v .
\]

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если потенциальная энергия в (5.9) может быть представлена в форме
\[
U=U_{1}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})+U_{2}(\boldsymbol{x}),
\]

то в уравнениях (5.8) отделяется система уравнений для переменных $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ описывающих вращение тела вокруг центра масс. При этом, если вместо импульса в проекциях на подвижные оси $\boldsymbol{p}=m v$ использовать импульс в неподвижном пространстве $\boldsymbol{P}=m \dot{\boldsymbol{x}}$, отделяется также система, описывающая движение центра масс в каноническом виде
\[
\dot{\boldsymbol{P}}=-\frac{\partial H_{\text {ц., } .}}{\partial \boldsymbol{x}}, \quad \dot{\boldsymbol{x}}=\frac{\partial H_{\text {ц,М. }}}{\partial \boldsymbol{P}}, \quad H_{\text {ц,м. }}=\frac{1}{2 m} \boldsymbol{P}^{2}+U_{2}(\boldsymbol{x}) .
\]

То есть пуассонова структура в переменных $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{P}, \boldsymbol{x}$ не задается скобкой Ли-Пуассона, так как скобка между переменными $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{x}$ каноническая.