1. Твердое тело с неподвижной точкой

Уравнения Эйлера-Пуассона, описывающие движение твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном поле тяжести, имеют вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
\mathbf{I} \dot{\omega}+\omega \times \mathbf{I} \omega=\mu r \times \gamma, \\
\dot{\gamma}=\gamma \times \omega,
\end{array}\right.
\]

где $\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right), \boldsymbol{r}=\left(r_{1}, r_{2}, r_{3}\right)$ $\gamma=\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right)$ – компоненты вектора угловой скорости, радиус-вектора центра масс и единичного орта вертикали в системе главных осей, жестко связанных с твердым телом и проходящих через точку закрепления, $\mathbf{I}=\operatorname{diag}\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}\right)$ – тензор инерции относительно точки закрепления в тех же осях, $\mu=m g-$ вес тела (рис. 12).

При помощи вектора кинетического момента $M=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}$ в проекциях на те же оси уравнения (1.1) могут (2) Рис. 12. Твердое тело с неподвижной быть представлены в гамильтоновой точкой в поле тяжести. форме
\[
\dot{M}_{i}=\left\{M_{i}, H\right\}, \quad \dot{\gamma}_{i}=\left\{\gamma_{i}, H\right\}, \quad i=1,2,3,
\]

со скобкой Пуассона, соответствующей алгебре $e(3)$
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \quad\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=0,
\]

и гамильтонианом – полной энергией тела
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})-\mu(\boldsymbol{r}, \gamma),
\]

где $\mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1}$.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнения движения в форме (1.1) были известны еще Эйлеру (1758 г), он также установил простейший случай интегрируемости, при котором твердое тело движется по инерции ( $r=0$ ). Интегрируемость осесимметричного волчка с центром тяжести на оси симметрии была установлена Лагранжем и несколько позже Пуассоном, а имя последнего стало фигурировать в названии общих уравнений (1.1).

Скобка Ли-Пуассона (1.3) является вырожденной, она обладает двумя функциями Казимира, коммутирующими в структуре (1.3) с любой функцией от $\boldsymbol{M}, \gamma$,
\[
F_{1}=(M, \gamma), \quad F_{2}=\gamma^{2} .
\]

В векторном виде уравнения (1.2) могут быть записаны в виде
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}+\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \gamma}, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}} .
\end{array}\right.
\]

Форма уравнений (1.2), (1.6) получается из уравнений Пуанкаре-Четаева, записанных на группе $S O(3)$ (см. §2, гл. 1).

Функции $F_{1}$ и $F_{2}$ являются интегралами уравнений (1.6) с любым гамильтонианом $H$. Для уравнений Эйлера-Пуассона они имеют естественное физическое и геометрическое происхождение. Интеграл $F_{1}$ представляет собой проекцию кинетического момента на неподвижную вертикальную ось и называется в динамике твердого тела интегралом площадей, он связан с симметрией относительно вращений вокруг неподвижной вертикальной оси. Происхождение интеграла $F_{2}=$ const чисто геометрическое – это квадрат модуля единичного орта вертикали. Для действительных движений значение константы этого интеграла равно единице $F_{2}=\gamma^{2}=1$.

При ограничении скобки (1.3) на совместный уровень интегралов $F_{1}$ и $F_{2}$ она становится невырожденной и по теореме Дарбу ( $\$ 1$ гл. 1) в некоторых симплектических координатах может быть представлена в обычной канонической форме. Для различных целей можно использовать как канонические переменные Эйлера $\left(\theta, \varphi, \psi, p_{\theta}, p_{\varphi}, p_{\psi}\right)$, так и переменные Андуайе-

Депри $(L, G, H, l, g, h)$. В обоих случаях на симплектическом листе, определяемом $p_{\psi}=$ const (соответственно, $H=$ const), получается каноническая система с двумя степенями свободы.

2. Аналогия Кирхгофа для упругой нити

Существует аналогия между уравнениями Эйлера-Пуассона и уравнениями, описывающими равновесие бесконечно тонкого упругого цилиндра – нити, впервые обнаруженная Г. Кирхгофом [85]. Эта аналогия в некотором смысле позволяет пространственно интерпретировать динамику твердого тела, заменяя исследование эволюции системы во времени анализом формы упругой нити, точнее – положения связанного с кривой репера в абсолютном пространстве.
Рис. 13. Аналогия Кирхгофа для упругой нити.
Рассмотрим упругий стержень, к концам которого приложены постоянные сила и момент сил. Пусть $s$ – длина дуги, $d s$ – заданный элемент стержня. Свяжем с каждым поперечным сечением стержня свою систему координат, и векторы силы и момента, спроецированные на эти оси, обозначим $\boldsymbol{P}, \boldsymbol{M}$ (см. рис. 13). Тогда уравнение равновесия, выражающее связь между концевой силой и моментом в каждом сечении, имеет вид
\[
\frac{d \boldsymbol{M}}{d s}=\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{P} \times \boldsymbol{\tau} .
\]

Здесь $\boldsymbol{\omega}$ – вектор «угловой скорости вращения» системы координат, связанной с сечением, т.е. скорость поворота системы координат, связанной с сечением, в зависимости от длины дуги $s$, а $\tau$ – единичный вектор, касательный к оси стержня. Обозначая через $\gamma$ единичный вектор, направленный вдоль оси действия концевой силы $\boldsymbol{P}$, запишем «кинематическое уравнение равновесия», выражающее неизменность силы в «абсолютной»

системе осей
\[
\frac{d \gamma}{d s}=\gamma \times \omega
\]

При малых деформациях [85] справедлив закон Гука, выражающий связь между поворотом элемента стержня и упругими моментами в данном сечении, в виде
\[
\boldsymbol{\omega}=\mathbf{A} M,
\]

где $\mathbf{A}$ – постоянная матрица.
Выбирая в каждом сечении оси таким образом, что одна из них направлена по касательной к оси стержня (ось $O z$ ), а две другие другие вдоль главных моментов инерции сечения (см. рис. 13), получим
\[
\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \quad \boldsymbol{\tau}=(0,0,1) .
\]

Уравнения (1.7), (1.8) могут быть представлены в гамильтоновой форме (1.2) с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\mu(\boldsymbol{\tau}, \gamma),
\]

где $\mu=|\boldsymbol{P}|$ – модуль концевой силы. Система (1.6) с гамильтонианом (1.9) носит название уравнений Эйлера-Кирхгофа. Но если придать переменным другой смысл, то это в точности уравнения Эйлера-Пуассона. В этом суть аналогии Кирхгофа, позволяющей исследовать результаты динамики твердого тела для анализа упругих систем.

Исследование возможных форм упругой нити в случае Ковалевской (см. таблицу 2.1) содержится в работе [219].

3. Интегрируемые случаи

Для интегрируемости по Лиувиллю (см. § 7, гл. 1) системы (1.1), а также системы (1.6), помимо гамильтониана (1.4), который также является первым интегралом системы, необходимо наличие еще одного дополнительного интеграла. На поиски этого интеграла было потрачено много усилий самых крупных математиков, особенно в девятнадцатом столетии. Однако в общей форме он так и не был найден.

Оказывается, что существуют принципиальные динамические эффекты, препятствующие интегрируемости этих уравнений в общем случае. Укажем известные до настоящего времени случаи интегрируемости. В таблице 2.1 случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской являются общими случаями интегрируемости, т. е. дополнительный первый интеграл существует для заданных ограничениях на параметры (матрицы А и вектора $r$ )

Таблица 2.1. Случаи интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона.

при всех начальных условиях. Случай Горячева-Чаплыгина является частным случаем интегрируемости – для существования дополнительного интеграла здесь необходимо потребовать равенство нулю постоянной площадей $F_{1}=0$. Случай Гесса также связан с существованием линейного по $M$ инвариантного соотношения $F=0$, для которого $\dot{F}=\lambda F=0$. В этой главе мы подробно рассмотрим первые четыре случая, проведя их качественное и компьютерное исследование. Анализ случая Гесса мы отложим до главы 4, в которой укажем его симметрийное происхождение, приведем его связь с понижением порядка и рассмотрим различные обобщения.

Существует еще несколько более частных решений, представляющих, как правило, некоторые периодические и асимптотические движения. Ниже мы рассмотрим наиболее интересные из них, имеющие прозрачный механический смысл. Кроме этих решений за более чем двухсотлетнюю историю

поисков дополнительного интеграла в уравнениях Эйлера-Пуассона мы имеем массу сомнительных, неправильных, формальных и запутанных исследований, разбору которых была посвящена книга донецких авторов [61]. Но указав ряд ошибочных утверждений в более ранних работах, донецкая школа добавила ряд своих решений, запись которых может занимать несколько печатных страниц и понять смысл которых невозможно. Такого сорта результаты и возникшие на их пути методы (типа инвариантных соотношений, годографов и пр.) не имеют отношения к современному пониманию проблемы исследования уравнений Эйлера-Пуассона, связанному в большей степени качественным и компьютерным анализом с изучением неинтегрируемой ситуации.

Здесь уместно процитировать К. Магнуса [119]: «Около 1900 г. поиски новых интегрируемых случаев столь привлекательных нелинейных уравнений движения тяжелого гироскопа превратились чуть ли не в своего рода спорт для математиков. При этом исследователи зачастую уходили далеко от собственнно физической проблемы и посвящали свои обширные исследования и таким случаям, которые неосуществимы либо физически вследствие нарушения связывающих $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ неравенств, – либо геометрически – ввиду невыполнения условия ( $\gamma^{2}=1$ ). Мы не имеем возможности останавливаться здесь на этих работах.»

Основные результаты по неинтегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона принадлежат В. В. Козлову, С. Л. Зиглину, С. В. Болотину. Они обсуждаются в книгах $[92,97]$ и связаны с расщеплением асимптотических поверхностей, ветвлением решений на комплексной плоскости времени, рождением большого числа невырожденных периодических решений. Вершиной этого направления являлась бы теорема, что общие случаи существования дополнительного вещественно-аналитического интеграла исчерпываются случаями Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, а для частных интегралов к ним надо добавить случай Горячева-Чаплыгина. К сожалению, в полном объеме эта гипотеза до сих пор не доказана, несмотря на отдельные и довольно существенные продвижения [97].

Алгебраическая интегрируемость уравнений Эйлера-Пуассона исследовалась еще Гюссоном (1906 г.) [230] (см. также [9]), который показал, что у задачи не может быть других алгебраических интегралов, исключая случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской.

Наиболее полные компьютерные исследования стохастичности в уравнениях Эйлера-Пуассона имеются в [28]. При этом трансверсальное пересечение возмущенных сепаратрис может служить «компьютерным доказательством» несуществования дополнительного вещественно-аналитическо-

го интеграла. В работе [35] был обнаружен бесконечный каскад удвоений периода возмущенных перманентных вращений задачи Эйлера-Пуансо, указывающий на возможность перехода к хаосу по сценарию Фейгенбаума.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для интегрируемости системы (1.1) по теории последнего множителя (теория Эйлера-Якоби см. §7 гл. 1) также не хватает еще одного дополнительного первого интеграла. Действите.ьно, исследуемая система (1.1) обладает тремя первыми интегралами и стандартной инвариантной мерой $\rho=$ const. Заметим, однако, что естественные обобщения уравнений (1.1) (см. § 4 гл. 3) уже не могут быть проинтегрированы этим методом. Для таких систем интегрируемость устанавливают с помощью гамильтонового формализма и теоремы Лиувилля (§ 7 гл. 1).

4. Абсолютное движение

Уравнения (1.6) описывают динамику приведеннной системы, в которой игнорируется прецессия твердого тела вокруг вертикали. Для определения абсолютного движения необходимо выполнить дополнительную квадратуру
\[
\dot{\psi}=\frac{\omega_{1} \gamma_{1}+\omega_{2} \gamma_{2}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}
\]

или проинтсгрировать соотвстствующис уравнсния Пуассона для направляющих косинусов
\[
\dot{\alpha}=\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{\omega}, \quad \dot{\boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{\beta} \times \boldsymbol{\omega} .
\]

Для численных исследований оба этих способа не являются оптимальными. В первом случае проблемы возникают из-за особенности вблизи полюсов $\gamma_{3}= \pm 1$, во втором – вследствие потери ортонормированности векторов $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$, вызванной диссипацией численных методов. При получении почти всех компьютерных иллюстраций, приведенных в книге, мы пользовались приведенной в §4 гл. 1 кватернионной формой записи уравнений движения. Эта система описывает абсолютную динамику твердого тела, лишена особенностей и не является избыточной, что делает ее незаменимой для численных исследований. В § 4 гл. 3 рассмотрены ее приложения к исследованию динамики в суперпозиции потенциальных полей.

Для уравнений Эйлера-Пуассона (1.6), которые, при задании постоянной площадей, определяют динамику точки на сфере Пуассона в обобщенно-потенциальном поле ${ }^{1}$ (см. § 1 гл. 4), известны несколько семейств периодических и асимптотических решений. Почти все эти решения, многие из

которых восходят к классикам, приведены далее. Остановимся подробнее на типичных ситуациях, с точки зрения абсолютного движения.

Неподвижные точки на сфере Пуассона, определяющие решения Штауде и относительные равновесия, соответствуют равномерным вращениям тела вокруг вертикали.

Периодические решения на сфере Пуассона в абсолютном пространстве, вообще говоря, не являются периодическими. Для такой периодичности необходимо (и достаточно) соизмеримость периода $T$ приведенного движения с величиной
\[
\tau=\int_{t}^{t+T} \frac{\omega_{1} \gamma_{2}+\omega_{2} \gamma_{2}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}} d t
\]

вычисленной из (1.10) вдоль периодического движения $\boldsymbol{\omega}(t), \gamma(t)$. В общем случае $\tau$ и $T$ не являются соизмеримыми и абсолютное движение является квазипериодическим и двухчастотным, т.е. движение в абсолютном пространстве может выглядеть достаточно сложно.

Квазипериодичсекие (двухчастотные) трасктории приведенной системы определяют в общем случае трехчастотные квазипериодические движения в абсолютном пространстве, которые могут иметь довольно запутанный вид. Тем не менее, эти движения являются регулярными в отличие от хаотических движений, которые порождаются хаотическими траекториями приведенной системы, неупорядоченное поведение тела в этом случае требует вероятностного описания.

Регулярные прецессии. Еще один класс периодических решений, восходящий к классическим исследованиям динамики волчка Лагранжа, не связан непосредственно с динамикой приведенной системы. Это – регулярные прецессии, которые в общем случае, как заметил Гриоли (§ 6 гл. 2), возможны вокруг невертикальной оси. Для таких движений периодичность движения требуется для некоторой определенной оси в теле, которая должна вращаться вокруг оси, неподвижной в пространстве. Абсолютное движение при этом, вообще говоря, может оказаться непериодическим, т. к. собственное вращение вокруг оси в теле не обязательно соизмеримо с движением этой оси в пространстве. Это наблюдается, например, для регулярных прецессий в случае Лагранжа.

В некоторых случаях (например, в случае Гесса §6 гл. 2) одна из осей тела может совершать в абсолютном пространстве достаточно про-

стое движение (по закону сферического маятника), тем не менее, динамика приведенной системы и общего абсолютного движения может быть очень сложной (остальные фазовые переменные в случае Гесса меняются асимптотическим образом).

Далее мы приводим несколько наиболее интересных приведенных и абсолютных движений, полученных при помощи компьютерного моделирования.

Абсолютное движение, интегрируемые и неинтегрируемые ситуации. Остановимся здесь на общих принципах экспериментального (как натурного, так и компьютерного) изучения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Чтобы как-то понять движение твердого тела, обычно следят за движением некоторых характерных точек тела или, более общо, за некоторыми переменными, которые имеют наиболее простые и естественные закономерности эволюции во времени. Если некоторая переменная $x$ изменяется при движении по закону $x\left(t, x_{0}\right)$, то для нее можно построить спектр частот $\omega$, которые определяется из преобразования Фурье
\[
\widehat{x}(\omega)=\lim _{T \rightarrow \infty} \int_{-T}^{T} x\left(t, x_{0}\right) e^{i \omega t} d t .
\]

Для интегрируемых систем, а также для движений неинтегрируемых систем, лежащих на инвариантных торах (а не в стохастическом слое) переменная $x$ является (по теореме Лиувилля-Арнольда) некоторой квазипериодической функцией. В общем случае с $n$ рационально независимыми частотами ( $n$ – число степеней свободы). Для хаотических движений спектр является сплошным, в самом же движении могут наблюдаться регулярные отрезки и сильно выраженные хаотические пульсации.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Частоты $\omega_{1}, \ldots, \omega_{k}$ называются независимыми, если равенство $n_{1} \omega_{1}+\ldots+n_{k} \omega_{k}=0$, где $n_{i} \in \mathbb{Z}$, выполняется только при $n_{1}^{2}+\ldots+n_{k}^{2}=0$.

Для движения твердого тела $n=3$ в интегрируемых случаях и абсолютное движение, вообще говоря, является трехчастотным. Движение приведенной системы, при наличии линейного интеграла (типа интеграла площадей) является двухчастотным. В этом случае третья частота при переходе к абсолютному движению получается из квадратуры для угла прецессии. Далее мы рассмотрим интегрируемые случаи уравнений ЭйлераПуассона.

Для различных переменных в абсолютном пространстве число частот может уменьшаться по следующим причинам:

a) Алгебра интегралов избыточна, как, например, из задачи ЭйлераПуансо.
Действительно, в случае Эйлера существуют три интеграла типа площадей $N_{1}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}), N_{2}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta}), N_{3}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$, образующих алгебру $s o(3):\left\{N_{i}, N_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} N_{k}$. При этом абсолютное фазовое пространство расслоено на двумерные, а не трехмерные торы. Отметим, что динамика приведенной системы (на сфере Пуассона) также двухчастотная, т. е. потеря частоты происходит при квадратуре для $\psi$.
В задаче Эйлера существуют переменные в фазовом пространстве компоненты $M_{i}$, которые совершают одночастотные, т. е. периодические движения. Эти переменные, однако, практически невозможно измерить.
b) Некоторые координаты характерных точек могут изменяться особенно просто.
Например, в случае волчка Лагранжа угол нутации изменяется периодически. Вместе с тем абсолютное движение является трехчастотным, а динамика приведенной системы (по $\varphi$ или по $\psi$ ) – двухчастотной. Интересно, что на нулевой постоянной площадей $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$, соответствующей сферическому маятнику, абсолютное движение является двухчастотным.
c) Движения соответствуют особым (критическим) торам, определяющим бифуркационные кривые.
Устойчивые и неустойчивые одномерные, а также асимптотические инвариантные поверхности приведенной системы задают в абсолютном пространстве, вообще говоря, двухчастотные движения. Это наглядно иллюстрируется на случаях Ковалевской и Горячева-Чаплыгина. В последнем случае, для особого решения Горячева, для малых энергий происходит еще большее вырождение и движение в абсолютном пространстве становится периодическим (см. 5), тело совершает в пространстве любопытные маятниковые движения. Отметим также, что для волчка Ковалевской в приведенном фазовом пространстве имеется набор из трех переменных $z_{1}, z_{2}, z_{3}$, в пространстве которых совершается периодическое движение по некоторому эллипсу (см. §4). Эти переменные очень неочевидны и образуются как из компонент момента $M$, так и орта $\gamma$.

В заключении остановимся на решениях Гриоли и Гесса. В абсолютном пространстве движение Гриоли является сильно вырожденным, а тра-

ектории всех точек являются периодическими. Для движения волчка Гесса характерно простое поведение центра масс, происходящее по закону сферического маятника, которое является двухчастотным. При малых энергиях и при $(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$ тело совершает периодическое (одночастотное) движение, причем центр масс совершает колебания в одной плоскости, по закону физического маятника, а апекс средней оси движется (периодически) по отрезку локсодромы, уже при $(M, \gamma)
eq 0$ ситуация становится обычной, т. е. тело совершает трехчастотное движение. При больших энергиях движение является двухчастотным, а для приведенной по $\psi$ системы траектория располагается на особом торе, заполненном двоякоасимптотическими движениями (см. подробнее §3 гл. 4).

В заключении отметим, что в общем неинтегрируемом случае тело совершает как сложные хаотические движения, для исследования которых, кроме частотного анализа, видимо, надо использовать более тонкие статистические характеристики (типа корреляционных функций), так и различные периодические и квазипериодические движения, нахождение которых в фазовом пространстве и составляет одну из основных задач современной динамики.