1. Разделяющие преобразования в интегрируемых задачах динамики твердого тела

В этом параграфе собраны основные приемы явного решения интегрируемых случаев динамики твердого тела. При этом мы ограничиваемся указанием разделяющих преобразований (которые, вообще говоря, связаны не только с конфигурационным, но и со всем фазовым пространством), а не приводим всю процедуру интегрирования, связанную в динамике твердого тела с обращениями абелевых интегралов и манипуляциями с тэта-функциями различных видов.

Ценность разделяющихся переменных заключается в том, что с их помощью становится возможным упростить решение некоторых задач. Одна из них связана с топологическим анализом, имея разделяющиеся переменные, исследование бифуркаций поверхностей уровня первых интегралов можно свести к анализу кратных корней некоторого характеристического полинома. Вторая – построение набора переменных типа действие-угол, необходимых для применения теории возмущений и различных процедур квантования (в частности, квазиклассического).

К сожалению, для многих интегрируемых задач динамики твердого тела, обладающие необходимым набором первых интегралов, разделяющие преобразования не найдены. Однако это не препятствует, например, для проведения топологического анализа, где можно получить бифуркационные множества непосредственно с помощью исследования критических уровней первых интегралов. Возможно, для того, чтобы «разделить» такие системы, необходимо по иному сформулировать цель исследования.

В то же время известные разделяющиеся преобразования, которые мы постараемся здесь привести в наиболее естественном виде, составляют «золотой фонд» динамики и подчеркивают своеобразие динамических задач, связанных с динамикой волчка. Отметим, что в гл. 2 и 3 некоторые явные

решения – для случаев Эйлера, Лагранжа, Клебша – уже были приведены, и мы не будем на них останавливаться. Подчеркнем, что в последнем случае явное решение известно на нулевой постоянной площадей $(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$, где система эквивалентна задаче Неймана, интегрируемой при помощи разделяющих сфероконических координат на сфере Пуассона (см. § 7 гл. 1). Для задачи Жуковского-Вольтерра мы по сравнению с двумя уже указанными в § 7 гл. 2 приводим еще одно, более геометрическое решение, позволяющее понять характер затруднений, связанных с явными выражениями и через эллиптические функции.

Некоторые результаты, связанные с интегрированием классических систем (типа Ковалевской, Горячева-Чаплыгина, Чаплыгина) на пучках скобок Пуассона, были получены авторами в [34, 197]. Отметим, что метод разделения переменных случая Горячева-Чаплыгина, приведенный в предыдущем параграфе, позволил также явно указать его обобщение, например, на алгебру $s o(4)$, получить которое какими-либо особыми приемами не удавалось. Такой подход близок к первоначальной идее Якоби, который советовал «идти обратным путем» и, найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена [183].

Система Жуковского-Вольтерра.
Рассмотрим явное решение для случая Жуковского-Вольтерра, основываясь на методе, предложенном А. Вангерином в 1889 г. [281] и развитым в [57]. По сравнению с оригинальным аналитическим решением В. Вольтерра, которое обсуждается в § 7 гл. 2 этот метод является более наглядным и геометрическим.

В дальнейшем при интегрировании случая Жуковского-Вольтерра мы пользуемся уравнениями движения в форме
\[
\dot{M}=\boldsymbol{M} \times \mathbf{A} \boldsymbol{M}+\boldsymbol{M} \times \boldsymbol{K},
\]

которое обладает интегралами (энергия и величины момента) вида
\[
\begin{array}{c}
(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{M}, 2 \boldsymbol{K})=2 h=\mathrm{const}, \\
\boldsymbol{M}^{2}=f=\mathrm{const},
\end{array}
\]

где $\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \boldsymbol{K}=\left(k_{1}, k_{2}, k_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}$.
Воспользуемся следующим геометрическим наблюдением.
Линия пересечения двух квадрик общего положения вида
\[
\left(\mathbf{A}_{i} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M}\right)+\left(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{K}_{i}\right)=c_{i}, \quad i=1,2
\]

(где $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{K}_{i} \in \mathbb{R}^{3}, c_{i}=$ const, $\mathbf{A}_{i}$ – матрицы $3 \times 3$ ), лежит на некотором конусе в $\mathbb{R}^{3}$.

Действительно, сделаем замену $\widetilde{M}=M-\boldsymbol{\xi}$ и сложим уравнения (8.3) с постоянными коэффициентами $\lambda, \mu$. Полагая, что вектор $\boldsymbol{\xi}$ и отношение $\frac{\lambda}{\mu}$ удовлетворяют системе четырех уравнений
\[
\begin{array}{c}
\left(\lambda \mathbf{A}_{1}+\mu \mathbf{A}_{2}\right) \boldsymbol{\xi}=-\frac{1}{2}\left(\lambda \boldsymbol{K}_{1}+\mu \boldsymbol{K}_{2}\right), \\
\left(\left(\lambda \mathbf{A}_{1}+\mu \mathbf{A}_{2}\right) \boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\xi}\right)+\left(\boldsymbol{\xi}, \lambda \boldsymbol{K}_{1}+\mu \boldsymbol{K}_{2}\right)=\lambda c_{1}+\mu c_{2},
\end{array}
\]

находим уравнение конуса в виде
\[
\left(\left(\lambda \mathbf{A}_{1}+\mu \mathbf{A}_{2}\right) \widetilde{M}, \widetilde{M}\right)=0 .
\]

Применим это наблюдение к интегралам (8.2). Используя (8.4), находим в данном случае вектор $\boldsymbol{\xi}$ в виде
\[
\boldsymbol{\xi}=-(\mathbf{A}+x \mathbf{E})^{-1} \boldsymbol{K}, \quad \lambda=1, \mu=x,
\]

где $\mathbf{E}$ – единичная матрица. Из (8.4) получим уравнение четвертой степени для определения $x$
\[
-\left((\mathbf{A}+x \mathbf{E})^{-1} \boldsymbol{K}, \boldsymbol{K}\right)=2 h+x f .
\]

Поскольку уравнение (8.6) имеет полюсы на вещественной оси, оно допускает некоторое вещественное решение $x_{0}$, для которого найдем также соответствующий вектор $\boldsymbol{\xi}\left(x_{0}\right)$. Запишем уравнение (8.5) в виде
\[
\frac{\widetilde{M}_{1}^{2}}{b_{1}^{2}}+\frac{\widetilde{M}_{2}^{2}}{b_{2}^{2}}=\widetilde{M}_{3}^{2}, \quad \widetilde{M}=\boldsymbol{M}-\boldsymbol{\xi}\left(x_{0}\right),
\]

где
\[
b_{1}^{2}=\frac{x_{0}+a_{3}}{x_{0}+a_{1}}, \quad b_{2}^{2}=\frac{x_{0}+a_{3}}{x_{0}+a_{2}} .
\]

Воспользуемся однородностью (8.7) и выразим $\widetilde{M}_{1}, \widetilde{M}_{2}$ следующим образом
\[
\widetilde{M}_{1}=b_{1} \widetilde{M}_{3} \sin \varphi, \quad \widetilde{M}_{2}=b_{2} \widetilde{M}_{3} \cos \varphi .
\]

Подставив найденные соотношения в интеграл энергии (8.2), получим квадратное уравнение для $M_{3}$ :
\[
a(\varphi) \widetilde{M}_{3}^{2}+b(\varphi) \widetilde{M}_{3}+c=0,
\]

где коэффициенты $a(\varphi), b(\varphi)$ имеют вид
\[
\begin{aligned}
a(\varphi) & =\frac{1}{2}\left(a_{1} b_{1}^{2} \sin ^{2} \varphi+a_{2} b_{2}^{2} \cos ^{2} \varphi+a_{3}\right), \\
b(\varphi) & =x_{0}\left(\frac{k_{1} b_{1}}{x_{0}+a_{1}} \sin \varphi+\frac{k_{2} b_{2}}{x_{0}+a_{2}} \cos \varphi+\frac{k_{3}}{x_{0}+a_{3}}\right), \\
c & =-h+\left(\boldsymbol{K},\left(\mathbf{A}+x_{0} \mathbf{E}\right)^{-1} \boldsymbol{K}\right)+ \\
& +\frac{1}{2}\left(\left(\mathbf{A}+x_{0} \mathbf{E}\right)^{-1} \boldsymbol{K}, \mathbf{A}\left(\mathbf{A}+x_{0} \mathbf{E}\right)^{-1} \boldsymbol{K}\right) .
\end{aligned}
\]

Для того чтобы получить уравнение, описывающее эволюцию угла $\varphi$, воспользуемся системой (8.1), из которой, учитывая (8.7), находим уравнение для $\widetilde{M}_{3}$
\[
\dot{\widetilde{M}}_{3}=\left(a_{2}-a_{1}\right) \widetilde{M}_{1} \widetilde{M}_{2}+\frac{b_{2}^{2}}{b_{1}^{2}} \widetilde{M}_{1} k_{2}-\frac{b_{1}^{2}}{b_{2}^{2}} \widetilde{M}_{2} k_{1} .
\]

Используя (8.7), (8.8), (8.9) и производя прямые вычисления, находим уравнение для $\varphi$
\[
\dot{\varphi}^{2}=\frac{\left(x_{0}+a_{1}\right)\left(x_{0}+a_{2}\right)}{x_{0}^{2}}\left(b(\varphi)^{2}-4 a(\varphi) c\right)=P_{2}(\cos \varphi, \sin \varphi),
\]

где $a(\varphi), b(\varphi), c$ определены согласно (8.10), а $P_{2}(x, y)$ – полином второй степени от двух переменных. Квадратура уравнения (8.11) выполняется при помощи эллиптических функций. Можно показать [57], что подходящим выбором знаков и корня $x_{0}$ проекции угловой скорости в этом случае могут быть найдены как вещественные функции времени. В заключении еще раз отметим неявный характер решения (происходящий хотя бы из-за того, что приходится решать для $x$ уравнение (8.6)) четвертой степени, не позволяющий сделать никаких динамических выводов, кроме того, преобразования к эллиптическим функциям (8.11) в этом случае не связаны с пуассоновой структурой задачи.

Случай Ковалевской является исторически первым случаем, в котором разделение переменных не может быть получено методом Гамильтона-Якоби, т. е. разделяющие переменные не находятся на конфигурационном пространстве. В этом случае, однако, имеется нетривиальное преобразование фазовых переменных, включающее как обобщенные координаты, так и импульсы, приводящие к уравнениям Абеля – Якоби и к разделяющимся переменным на плоскости. Возникающая при этом интегрируемая система,

описывающая движение материальной точки на евклидовой плоскости под действием некоторого потенциала приводит к известной аналогии Колосова (см. ниже).
Остановимся на общем случае Ковалевской с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)+\gamma_{1},
\]

определенном на пучке скобок
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k},\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k},\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=-x \varepsilon_{i j k} M_{k} .
\]

Его явное интегрирование было рассмотрено нами в [34, 197]. Сведение к уравнениям Абеля-Якоби при $x
eq 0$ использует рассуждения Г.К.Суслова, предложившего свой метод интегрирования случая Ковалевской [163].
Скобка (8.13) имеет две квадратичные функции Казимира
\[
\begin{array}{l}
l=(\boldsymbol{M}, \gamma), \\
c=x(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+(\gamma, \gamma) .
\end{array}
\]

При этом дополнительный интеграл (обобщенный интеграл Ковалевской, указанный в [104], см. также § 7) имеет вид
\[
\begin{array}{c}
k^{2}=k_{1}^{2}+k_{2}^{2}, \\
k_{1}=M_{1}^{2}-M_{2}^{2}-2 \gamma_{1}+w, \quad k_{2}=2 M_{1} M_{2}-2 \gamma_{2} .
\end{array}
\]

Определим новые переменные
\[
\begin{array}{cc}
z_{1}=M_{1}+i M_{2}, & z_{2}=M_{1}-i M_{2}, \\
\zeta_{1}=k_{1}+i k_{2}, & \zeta_{2}=k_{1}-i k_{2}, \\
\zeta_{1} \zeta_{2}=k^{2} . &
\end{array}
\]

Воспользуемся уравнениями движения для $z_{1}, z_{2}$
\[
i \dot{z}_{1}=M_{3} z_{1}-\gamma_{3}, \quad-i \dot{z}_{2}=M_{3} z_{2}-\gamma_{3},
\]

соотношениями (8.15) и выразим $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, M_{3}$ по формулам
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{1}=\frac{1}{4}\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-\frac{1}{4}\left(\zeta_{1}+\zeta_{2}\right)+\frac{x}{2}, \\
\gamma_{2}=-\frac{i}{4}\left(z_{1}^{2}-z_{2}^{2}\right)+\frac{i}{4}\left(\zeta_{1}-\zeta_{2}\right) \\
\gamma_{3}=i \frac{\dot{z}_{1} z_{2}+\dot{z}_{2} z_{1}}{z_{1}-z_{2}}, \quad M_{3}=i \frac{\dot{z}_{1}+\dot{z}_{2}}{z_{1}-z_{2}} .
\end{array}
\]

Подставим теперь найденные выражения в интегралы (8.14) и гамильтониан (8.12). Разрешая полученные уравнения относительно $z_{1}, z_{2}$, находим
\[
\begin{array}{c}
\dot{z}_{1}^{2}=R_{1}-\frac{\zeta_{1}}{4}\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}, \quad \dot{z}_{2}^{2}=R_{2}-\frac{\zeta_{2}}{4}\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}, \\
\dot{z}_{1} \dot{z}_{2}=-R-\frac{1}{4}(2 h-x)\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
R=R\left(z_{1}, z_{2}\right)=\frac{1}{4} z_{1}^{2} z_{2}^{2}-\frac{h}{2}\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)+l\left(z_{1}+z_{2}\right)+\frac{k^{2}}{4}-c+x h-\frac{x^{2}}{4}, \\
R_{1}=R\left(z_{1}, z_{1}\right), \quad R_{2}=R\left(z_{2}, z_{2}\right),
\end{array}
\]

здесь $h-$ константа интеграла энергии (8.12).
Осталось исключить из полученных уравнений $\zeta_{1}, \zeta_{2}$, для чего воспользуемся интегралом Ковалевской (8.15)
\[
\left(R_{1}-\dot{z}_{1}^{2}\right)\left(R_{2}-\dot{z}_{2}^{2}\right)=\frac{\zeta_{1} \zeta_{2}}{16}\left(z_{1}-z_{2}\right)^{4}=\frac{k^{2}}{16}\left(z_{1}-z_{2}\right)^{4} .
\]

Перегруппируем слагаемые в полученном выражении и представим его в форме
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\dot{z}_{1}}{\sqrt{R_{1}}}+\frac{\dot{z}_{2}}{\sqrt{R_{2}}}\right)^{2}=\left(\frac{\dot{z}_{1} \dot{z}_{2}}{\sqrt{R_{1} R_{2}}}+1\right)^{2}-\frac{k^{2}\left(z_{1}-z_{2}\right)^{4}}{16 R_{1} R_{2}}=f_{1}, \\
\left(\frac{\dot{z}_{1}}{\sqrt{R_{1}}}-\frac{\dot{z}_{2}}{\sqrt{R_{2}}}\right)^{2}=\left(\frac{\dot{z}_{1} \dot{z}_{2}}{\sqrt{R_{1} R_{2}}}-1\right)^{2}-\frac{k^{2}\left(z_{1}-z_{2}\right)^{4}}{16 R_{1} R_{2}}=f_{2},
\end{array}
\]

где функции $f_{1}, f_{2}$ могут быть выражены через $z_{1}, z_{2}$, если произведение $\dot{z}_{1} \dot{z}_{2}$ подставляется из уравнений (8.17).

Последним шагом является введение переменных Ковалевской по формулам
\[
s_{1}=\frac{R-\sqrt{R_{1} R_{2}}}{2\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}, \quad s_{2}=\frac{R+\sqrt{R_{1} R_{2}}}{2\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}} .
\]

Выразим из этих соотношений $R=\left(s_{1}+s_{2}\right)\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}, \sqrt{R_{1} R_{2}}=$ $=\left(s_{2}-s_{1}\right)\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}$ и подставим в правые части (8.19). В результате находим
\[
\begin{array}{c}
f_{1}=\frac{f\left(s_{1}\right)}{\left(s_{1}-s_{2}\right)^{2}}, \quad f_{2}=\frac{f\left(s_{2}\right)}{\left(s_{1}-s_{2}\right)^{2}}, \\
f(s)=\left(2 s+\frac{1}{4}(2 h-x)+\frac{1}{4} k\right)\left(2 s+\frac{1}{4}(2 h-x)-\frac{1}{4} k\right) .
\end{array}
\]

Для левых частей (8.19) получаются соотношения, задающие переход к некоторым криволинейным координатам
\[
\frac{d z_{1}}{\sqrt{R_{1}}}+\frac{d z_{2}}{\sqrt{R_{2}}}=\frac{d s_{1}}{\sqrt{\varphi\left(s_{1}\right)}}, \quad \frac{d z_{1}}{\sqrt{R_{1}}}-\frac{d z_{2}}{\sqrt{R_{2}}}=\frac{d s_{2}}{\sqrt{\varphi\left(s_{2}\right)}},
\]

где $\varphi(s)$ – полином третьей степени,
\[
\varphi(s)=4 s^{3}+2 h s^{2}+\left(\frac{1}{16}(2 h-x)^{2}-\frac{k^{2}}{16}+\frac{c}{4}\right) s+\frac{l^{2}}{16} .
\]

Подставляя (8.22) в уравнения (8.19) и учитывая (8.21), находим уравнения движения в переменных $s_{1}, s_{2}$
\[
\dot{s}_{1}=\frac{\sqrt{f\left(s_{1}\right) \varphi\left(s_{1}\right)}}{s_{1}-s_{2}}, \quad \dot{s}_{2}=\frac{\sqrt{f\left(s_{2}\right) \varphi\left(s_{2}\right)}}{s_{2}-s_{1}} .
\]

Полином $\varphi(s)$ можно определить стандартными методами, использующими приведение эллиптических интегралов к стандартному виду. Приведем здесь рассуждения, сходные с проведенными Сусловым [163].
Переменные Ковалевской являются решениями квадратного уравнения
\[
Q\left(z_{1}, z_{2}, s\right)=\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2} s^{2}-k s+G=0,
\]

где
\[
\begin{aligned}
G=\frac{R^{2}-R_{1} R_{2}}{4\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}= & -\frac{l}{8} z_{1} z_{2}\left(z_{1}+z_{2}\right)+ \\
& +\frac{1}{64}\left((2 h-x)^{2}-k^{2}+4 c\right)\left(z_{1}+z_{2}\right)^{2}-\frac{l h}{4}\left(z_{1}+z_{2}\right)+\frac{l^{2}}{4} .
\end{aligned}
\]

Вычислим квадраты производных $\left(\frac{\partial Q}{\partial s}\right)^{2},\left(\frac{\partial Q}{\partial z_{1}}\right)^{2},\left(\frac{\partial Q}{\partial z_{2}}\right)^{2}$ и исключим из них с помощью уравнения (8.24) $s, z_{1}, z_{2}$ соответственно. Прямым вычислением можно проверить, что
\[
\left(\frac{\partial Q}{\partial s}\right)^{2}=R_{1} R_{2}, \quad\left(\frac{\partial Q}{\partial z_{1}}\right)^{2}=\varphi(s) R_{2}, \quad\left(\frac{\partial Q}{\partial z_{2}}\right)^{2}=\varphi(s) R_{1} .
\]

Составим теперь полный дифференциал функции $Q$
\[
d Q=\frac{\partial Q}{\partial z_{1}} d z_{1}+\frac{\partial Q}{\partial z_{2}} d z_{2}+\frac{\partial Q}{\partial s} d s=0 .
\]

Разделив его на произведение $\sqrt{\varphi(s) R_{1} R_{2}}$ и учитывая возможность извлечения корня с разными знаками, получим соотношение (8.22).

Преобразование Хайне-Хорозова для системы Ковалевской.
Рассмотрим другой метод интегрирования системы Ковалевской, использующий нелинейное (и очень неочевидное) комплексное преобразование фазового пространства, которое переводит систему Ковалевской в систему Неймана [225]. Рассмотрим сначала случай $x=0$ (соответствующий алгебре $e(3))$.
Следуя [225], выберем для системы Ковалевской гамильтониан в форме
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)+2 \gamma_{1}
\]

при этом интеграл Ковалевской можно привести к виду
\[
k^{2}=\left(\frac{M_{1}^{2}-M_{2}^{2}}{4}-\mu \gamma_{1}\right)^{2}+\left(\frac{M_{1} M_{2}}{2}-\mu \gamma_{2}\right)^{2} .
\]

Определим новые (комплекснозначные) переменные
\[
\begin{aligned}
q_{1} & =\frac{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+4}{4 M_{2}}, & L_{1} & =\frac{4 M_{1} \gamma_{3}-M_{3}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}-4\right)}{4 M_{2}}, \\
q_{2} & =-i \frac{M_{1}}{M_{2}}, & L_{2} & =-i \frac{2 \gamma_{3}}{M_{2}}, \\
q_{3} & =i \frac{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}-4}{4 M_{2}}, & L_{3} & =i \frac{4 M_{1} \gamma_{3}-M_{3}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+4\right)}{4 M_{2}} .
\end{aligned}
\]

Уравнения движения на фиксированном уровне первых интегралов для переменных $\boldsymbol{L}, \boldsymbol{q}$ можно представить в форме
\[
\dot{\boldsymbol{L}}=\boldsymbol{q} \times \mathbf{Q} \boldsymbol{q}, \quad \dot{\boldsymbol{q}}=\boldsymbol{q} \times \boldsymbol{L}
\]

где
\[
\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}
c_{1}=1 & -i c_{1} & i\left(c_{2}+1\right) \\
-i c_{1} & -h & c_{1} \\
i\left(c_{2}+1\right) & c_{1} & 1-c_{2}
\end{array}\right),
\]

причем постоянные $c_{1}, c_{2}$ выражаются через функции Казимира и интеграл (8.26) по формулам
\[
c_{1}=(M, \gamma), \quad c_{2}=\gamma^{2}-k^{2},
\]

а $h$ – константа энергии (8.25).

Интегралы (8.25) и (8.26) преобразуются в квадратичные интегралы системы Неймана (ср. § 1 гл. 3)
\[
\begin{array}{c}
(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{q})=1, \quad(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{q})=0, \\
(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{L})+(\mathbf{Q} \boldsymbol{q}, \boldsymbol{q})=-h, \quad-(\mathbf{Q} \boldsymbol{L}, \boldsymbol{L})+\operatorname{det} \mathbf{Q}\left(\mathbf{Q}^{-1} \boldsymbol{q}, \boldsymbol{q}\right)=-4 k^{2} .
\end{array}
\]

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В работе [188] приводится рациональное преобразование, связывающее системы Ковалевской и Хенона-Хейлеса с системой Шоттки-Манакова на $s o(4)$, обобщающее указанный результат.

Преобразование (8.27) для $е(3)$ было установлено Хайне и Морозовым с использованием лорановских разложений общего решения по степеням комплексного времени. Применяя ту же процедуру, Бехливанидис и ван Мёрбеке показали, что цепочка Тоды и волчок Горячева-Чаплыгина могут быть получены как частные случаи более общей интегрируемой системы [190].

Система Ковалевской на пучке скобок (8.13) также сводится с системе Неймана с помощью преобразования (8.27). Этот результат указан нами в $[34,197]$.

Действительно, гамильтониан в этом случае остается прежним (8.25), при этом функции Казимира задаются уравнениями (8.14), а аналог интеграла Ковалевской имеет вид:
\[
k^{2}=\left(\frac{M_{1}^{2}-M_{2}^{2}}{4}-\gamma_{1}+x\right)^{2}+\left(\frac{M_{1} M_{2}}{2}-\gamma_{2}\right)^{2} .
\]

Тогда после преобразования переменных (8.27) уравнения движения будут иметь вид, аналогичный (8.28)
\[
\dot{\boldsymbol{L}}=\boldsymbol{q} \times \widetilde{\mathrm{Q}} \boldsymbol{q}, \quad \dot{\boldsymbol{q}}=\boldsymbol{q} \times \boldsymbol{L},
\]

где матрица $\widetilde{\mathbf{Q}}$ отличается от матрицы $\mathbf{Q}$ лишь тем, что константу $c_{2}$ необходимо определить по формуле
\[
c_{2}=x M^{2}+\gamma^{2}-k^{2}+x(x-h),
\]

а $k^{2}$ определено (8.30).
Уравнения движения (8.31) представляют собой систему на $e(3)$ с гамильтонианом и интегралом
\[
\begin{array}{c}
\widetilde{H}=(\boldsymbol{l}, \boldsymbol{l})+(\widetilde{\mathbf{Q}} \boldsymbol{p}, \boldsymbol{p})=4 x-h, \\
F=(\widetilde{\mathbf{Q}} \boldsymbol{L}, \boldsymbol{L})-\operatorname{det} \widetilde{\mathbf{Q}}\left(\widetilde{\mathbf{Q}}^{-1} \boldsymbol{q}, \boldsymbol{q}\right)=4\left(k^{2}-x^{2}\right),
\end{array}
\]

то есть снова задачу Неймана. При этом переменные Ковалевской (8.20) являются сфероконическими координатами на сфере $q^{2}=1$, в которых разделяются переменные в задаче Неймана.

Отметим, что при добавлении гиростатического момента ( $\$ 7$ гл. 5) преобразование (8.27) не позволяет свести систему Ковалевской к задаче Неймана и получить разделение переменных (в сфероконических координатах). Эта задача до сих пор явно не проинтегрирована.

Аналогия Колосова и ее обобщения.
В работе Г.В.Колосова [101] приведено преобразование фазовых переменных и времени, сводящее задачу Ковалевской на $e(3)$ к динамике точки на евклидовой плоскости в некотором потенциальном поле, для которого разделяющими являются эллиптические координатами. Это – известная аналогия Колосова, позволяющая использовать в динамике твердого тела некоторые соображения из небесной механики. Рассмотрим аналогичную процедуру для задачи Ковалевской на пучке (8.13). В этом случае аналог преобразования Колосова приводит к динамике частицы на некоторой осесимметричной поверхности непостоянной кривизны.

Следуя [106], выразим из уравнений движения функцию Гамильтона. Для этого в уравнениях движения (8.23) сделаем замену (здесь мы используем гамильтониан (8.12) и интегралы в форме (8.14) и (8.15))
\[
s_{i} \rightarrow s_{i}-\frac{1}{2}\left(h+\frac{x}{4}\right), \quad i=1,2,
\]

и представим их в форме
\[
\begin{array}{c}
\frac{\left(s_{1}-s_{2}\right)^{2} \dot{s}_{i}^{2}}{f\left(s_{i}\right)}=g\left(s_{i}\right), \quad i=1,2 \\
f(s)=4\left(s-\frac{x}{4}+\frac{1}{2} k\right)\left(s-\frac{x}{4}-\frac{1}{2} k\right), \\
g(s)=4 s^{3}-\left(2 h+\frac{3}{2} x\right) s^{2}+\left(c-k^{2}+\frac{x^{2}}{4}\right) s+\varkappa, \\
\varkappa=\frac{1}{2}\left(k^{2} h+2 l^{2}-c h\right)+\frac{x}{4}\left(h^{2}+k^{2}-c\right)-\left(\frac{x}{4}\right)^{3} .
\end{array}
\]

ЗАМЕЧАНИЕ. Вид замены (8.32) определяется требованием, чтобы константа энергии в полиноме $g(s)$ содержалась лишь при четных степенях переменной $s$.
Вычитая в (8.33) первое уравнение из второго, исключим константу $\varkappa$

и выразим из получившегося уравнения энергию
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{\left(s_{1}-s_{2}\right)^{2}}{2\left(s_{1}^{2}-s_{2}^{2}\right)}\left(\frac{\dot{s}_{1}^{2}}{f\left(s_{1}\right)}-\frac{\dot{s}_{2}^{2}}{f\left(s_{2}\right)}\right)+U\left(s_{1}, s_{2}\right), \\
U\left(s_{1}, s_{2}\right) & =\frac{2\left(s_{1}^{2}+s_{1} s_{2}+s_{2}^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(c-k^{2}+\frac{x^{2}}{4}\right)}{s_{1}+s_{2}} .
\end{aligned}
\]

После замены времени $d \tau=2\left(s_{1}-s_{2}\right) d t$ и перехода к каноническим импульсам $p_{i}=\frac{\partial H}{\partial s_{i}^{\prime}}, s_{i}^{\prime}=\frac{d s_{i}}{d \tau}, i=1,2$, имеем систему с разделяющимися переменными.

Рассмотрим теперь переменные $s_{1}-\frac{x}{4}, s_{2}-\frac{x}{4}$ как эллиптические координаты на плоскости $(u, v)$
\[
\begin{array}{l}
u=\frac{2}{k}\left(s_{1}-\frac{x}{4}\right)\left(s_{2}-\frac{x}{4}\right)+\frac{k}{2}, \\
v= \pm \frac{2}{k} \sqrt{\left(s_{1}^{2}-\frac{k^{2}}{4}\right)\left(\frac{k^{2}}{4}-s_{2}^{2}\right)} .
\end{array}
\]

Записывая в координатах $u, v$ энергию (8.34), получим выражения
\[
\begin{array}{c}
H=T+U, \\
T=\frac{1}{2}\left(1+\frac{x}{2 \rho}\right)\left(u^{\prime 2}+v^{\prime 2}\right), \\
U=\frac{4 \rho^{2}-2 u k+c+3 x \rho+x^{2}}{2 \rho+x}=\frac{2\left(\rho^{2}+\rho_{1}^{2}\right)-k^{2}+c+3 x \rho+x^{2}}{2 \rho+x}, \\
\rho=\sqrt{u^{2}+v^{2}}, \quad \rho_{1}=\sqrt{(u-k)^{2}+v^{2}} .
\end{array}
\]

Система (8.35) описывает движение точки в потенциальном поле по искривленной поверхности. Ее гауссова кривизна, уже не являющаяся постоянной, может быть вычислена по метрике, определенной кинетической энергией $T$ :
\[
K=-\frac{4 x}{(2 \rho+x)^{3}} .
\]

Как следует из (8.35), кривизна может изменить знак лишь в точках, где потенциальная энергия обращается в бесконечность, поэтому движение происходит лишь в областях с одинаковым знаком кривизны. При $x=0$ мы также имеем $K=0$, что совпадает с классическим результатом Колосова об аналогии с движением частицы в плоском пространстве.

Исторический комментарий. В работе [102] Г. В. Колосов развивает метод Гамильтона – Якоби для интегрирования различных задач динамики твердого тела. Он, в частности, рассматривает случай Горячева – Чаплыгина, Клебша, Бобылева – Стеклова, I-й случай Чаплыгина для уравнений Кирхгофа. Записав уравнения в канонической гамильтоновой форме по аналогии с движением материальной точки, Г.В.Колосов ищет канонические преобразования в фазовом пространстве, разделяющие переменные, тем самым пытаясь обобщить свои результаты относительно случая Ковалевской. В работе [102] указано также частное периодическое решение для случая Клебша, характеризующееся двумя независимыми инвариантными соотношениями вида $F_{1}=a M_{3}+b \gamma_{3}, F_{2}=$ $=\left(\alpha M_{1} \gamma_{1}+\beta M_{2} \gamma_{2}\right) /\left(\varepsilon M_{1}^{2}+\delta \gamma_{2}^{2}\right), a, b, \alpha, \beta, \varepsilon, \delta=$ const. Эти соотношения возникают при ограничении на константы первых интегралов, получающегося из бифуркаџионных условий (т.е.
потери независимости интегралов).

Описанная в этом параграфе технология введения канонических переменных типа действие-угол, использующая уравнения Абеля – Якоби, по существу развивает наблюдения Колосова, пытавшегося придать нетривиальным алгебраическим преобразованиям, предложенных Ковалевской и Чаплыгиным, разумный геометрический смысл с точки зрения канонических преобразований фазового пространства.

Случай Чаплыгина (I).
Рассмотрим явное интегрирование в частном случае Чаплыгина на пучке скобок (8.13) при нулевой постоянной площадей. Примем следующие обозначения функций Казимира
\[
(M, \gamma)=0, \quad x M^{2}+\gamma^{2}=c .
\]

Гамильтониан и дополнительный интеграл в этом случае имеют вид (см. § 2 гл. 3)
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(\alpha_{2} M_{1}^{2}+\alpha_{1} M_{2}^{2}+\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) M_{3}^{2}\right)-\frac{1}{2}\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(\gamma_{1}^{2}-\gamma_{2}^{2}\right)=\frac{h}{2}, \\
F=\left(\alpha_{1} M_{1}^{2}-\alpha_{2} M_{2}^{2}-\left(a_{1}-a_{2}\right) \gamma_{3}^{2}\right)^{2}+4 \alpha_{1} \alpha_{2} M_{1}^{2} M_{2}^{2}=k^{2},
\end{array}
\]

где $\alpha_{1}=1-x a_{1}, \alpha_{2}=1-x a_{2}(k>0)$. Разделение переменных в этой задаче на $e(3)$ было выполнено С.А.Чаплыгиным [175], а на $s o(4)$ О.И. Богоявленским [21] на всем пучке – в работе [34, 197]. Разделяющие переменные $s_{1}$ и $s_{2}$ определяются по формулам [21, 175]
\[
\begin{array}{c}
s_{1}=\frac{u+k}{v}, \quad s_{2}=\frac{u-k}{v}, \\
u=\alpha_{1} M_{1}^{2}+\alpha_{2} M_{2}^{2}, \quad v=\left(a_{2}-a_{1}\right) \gamma_{3}^{2} .
\end{array}
\]

Эволюция $s_{1}$ и $s_{2}$ определяется уравнениями:
\[
\dot{s}_{1}=-\sqrt{\left(1-s_{1}^{2}\right)\left(\delta_{1}-\beta_{1} s_{1}\right)}, \quad \dot{s}_{2}=-\sqrt{\left(1-s_{2}^{2}\right)\left(\delta_{2}-\beta_{2} s_{2}\right)},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\delta_{1,2}=2(h \pm k)-x\left((h \pm k)\left(a_{1}+a_{2}\right)+\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2} c\right), \\
\beta_{1,2}=2\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(c-\frac{1}{2} x\left(h \pm k+c\left(a_{1}+a_{2}\right)\right)\right),
\end{array}
\]
т. е. уравнения движения интегрируются в эллиптических функциях времени.

Система Богоявленского.
Аналогично в эллиптических функциях интегрируется на пучке второй частный случай Богоявленского [21] с гамильтонианом (см. § 2 гл. 3)
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2}\left(a_{1} M_{1}^{2}+a_{2} M_{2}^{2}+a_{3} M_{3}^{2}+\right. \\
\left.\quad+\frac{1}{2 x}\left(\left(a_{2}+a_{3}\right) \gamma_{1}^{2}+\left(a_{1}+a_{3}\right) \gamma_{2}^{2}+\left(a_{1}+a_{2}\right) \gamma_{3}^{2}\right)\right)=\frac{h}{2}
\end{array}
\]

и интегралом
\[
\begin{array}{c}
F=\left(\left(a_{3}-a_{2}\right) \gamma_{1}^{2}+\left(a_{1}-a_{3}\right) \gamma_{2}^{2}+\right. \\
\left.+\left(a_{1}-a_{2}\right) \gamma_{3}^{2}\right)^{2}+4\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{2}\right) \gamma_{1}^{2} \gamma_{2}^{2}=k^{2} .
\end{array}
\]

Постоянные функций Казимира определены формулой (8.36). На $s o(4)$ интегрирование приведено в [21], в общем случае – в [34, 197]. При введении переменных
\[
s_{1}=\frac{u+k}{v}, \quad s_{2}=\frac{u-k}{v},
\]

где $u=\left(a_{3}-a_{2}\right) \gamma_{1}^{2}+\left(a_{3}-a_{1}\right) \gamma_{2}^{2}, v=\left(a_{1}-a_{2}\right) \gamma_{3}^{2}$, уравнения движения принимают вид
\[
\dot{s}_{1}=-\sqrt{\left(1-s_{1}^{2}\right)\left(\delta_{1}-\beta_{1} s_{1}\right) / 2}, \quad \dot{s}_{2}=-\sqrt{\left(1-s_{2}^{2}\right)\left(\delta_{2}-\beta_{2} s_{2}\right) / 2},
\]

причем постоянные $\delta_{i}, \beta_{i}$ выражаются формулами
\[
\begin{array}{l}
\delta_{1,2}=\frac{\left(2 a_{3}-a_{1}-a_{2}\right)}{2}(h \pm k)+a_{1} a_{2} a_{3} c\left(\frac{2}{a_{3}}-\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{2}}\right), \\
\beta_{1,2}=\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{3} c-\frac{1}{2}(h \pm k)\right),
\end{array}
\]

где $h$ – постоянная гамильтониана (8.39). Для переменных $s_{1}, s_{2}$ квадратура получается в эллиптических функциях. Отметим, что уравнения (8.38), (8.40) являются вырожденными уравнениями Абеля-Якоби, то есть каждое из двух уравнений зависит только от одной переменной $s_{1}$ или $s_{2}$, а двумерный абелев тор распадается на одномерные.

2. Переменные «действие» и разделяющие переменные

Разделяющие переменные могут быть использованы для построения бифуркационных диаграмм и топологического анализа [170]. Другим их использованием является получение переменных действие-угол, необходимых для изучения возмущенной задачи, а также целей квантования. Здесь мы приведем один из методов, аналогичный использованному в [106] и применим его к случаям Ковалевской, Горячева-Чаплыгина и Чаплыгина (I) на всем пучке скобок (8.13). По сравнению с обычно цитируемой, но слишком формальной процедурой, предложенной А. П. Веселовым и С.П.Новиковым [54], этот алгоритм является более естественным и использует обычный метод введения переменных действие-угол для систем с разделяющимися переменными по Гамильтону – Якоби.

Он состоит из нескольких пунктов:

1. Нахождение переменных Абеля $s_{1}, s_{2}$, которые коммутируют в первоначальной пуассоновой структуре: $\left\{s_{1}, s_{2}\right\}=0$.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Существование коммутирующего набора переменных Абеля $s_{1}, s_{2}$ может быть также установлено при помощи рассуждений, приведенных в книге [92], связанных с приведением уравнений типа (8.23) к стандартному виду на торе.

2. Используя уравнение энергии в переменных $s_{i}, \dot{s}_{i}$, вводятся канонические импульсы $p_{i}$, удовлетворяющие дополнительному требованию, что система $p_{j}, s_{i}$ является разделяющей.
3. Имея набор разделенных переменных, переменные действие-угол вводятся по известному алгоритму [124].

Случай Ковалевской.
Можно проверить, что переменные Ковалевской (8.20) $s_{1}, s_{2}$ коммутируют. При этом они удовлетворяют уравнениям (8.23)
\[
\dot{s}_{1}=\frac{\sqrt{f\left(s_{1}\right) \varphi\left(s_{1}\right)}}{s_{1}-s_{2}}, \quad \dot{s}_{2}=-\frac{\sqrt{f\left(s_{2}\right) \varphi\left(s_{2}\right)}}{s_{1}-s_{2}},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
f(s)=\left(2 s+\frac{1}{4}(2 h-x)+\frac{1}{4} k\right)\left(2 s+\frac{1}{4}(2 h-x)-\frac{1}{4} k\right), \\
\varphi(s)=4 s^{3}+2 h s^{2}+\left(\frac{1}{16}(2 h-x)^{2}-\frac{k^{2}}{16}+\frac{c}{4}\right) s+\frac{l^{2}}{16}
\end{array}
\]
(переменная $s_{1}$ изменяется от 0 до $\infty$, а $s_{2}$ параметризует окружность).
Выделим в (8.42) интеграл движения $\varkappa=\frac{1}{16}\left((2 h-x)^{2}-k^{2}\right)$ :
\[
\begin{array}{l}
f(s)=4 s^{2}+(2 h-x) s+\varkappa, \\
\varphi(s)=s\left(4 s^{2}+2 h s+\varkappa+\frac{c}{4}\right)+\frac{l^{2}}{16}
\end{array}
\]

и исключим из (8.43) постоянную $\varkappa$. Из получившегося уравнения найдем энергию $h$ как функцию $s_{i}$ и $\dot{s}_{i}$ :
\[
\begin{array}{c}
h=-2\left(s_{1}+s_{2}\right)+\frac{l^{2}}{64 s_{1} s_{2}}+\frac{x}{4}+\frac{\sqrt{a_{1}^{2}+x_{1}^{2}}-\sqrt{a_{2}^{2}+x_{2}^{2}}}{s_{1}-s_{2}}, \\
a_{i}=\frac{16 s_{i}^{2} x+4 s_{i} c+l^{2}}{64 s_{i}}, \quad x_{i}=\frac{\left(s_{1}-s_{2}\right) \dot{s}_{i}}{2 \sqrt{s_{i}}} .
\end{array}
\]

Введем вместо скоростей $\dot{s}_{i}$ обобщенные импульсы $p_{i}$ по формуле
\[
p_{i}=\int \frac{\partial h}{\partial \dot{s}_{i}} \frac{d \dot{s}_{i}}{\dot{s}_{i}}+F\left(s_{i}\right),
\]

где $F\left(s_{i}\right)$ – произвольная функция от $s_{i}$, добавление $F\left(s_{i}\right)$ не изменяет уравнений движения (поскольку определяет каноническое преобразование).
В результате интегрирования получим
\[
p_{i}=\frac{1}{2 \sqrt{s_{i}}} \ln \frac{x_{i}+\sqrt{x_{i}^{2}+a_{i}^{2}}}{a_{i}} .
\]

Запишем гамильтониан системы Ковалевской (8.44) в переменных $s_{i}, p_{i}$
\[
h=-s_{1}-s_{2}+\frac{l^{2}}{8 s_{1} s_{2}}+\frac{x}{8}+\frac{a_{1} \operatorname{ch}\left(2 p_{1} \sqrt{s_{1}}\right)-a_{2} \cos \left(2 p_{2} \sqrt{-s_{2}}\right)}{s_{1}-s_{2}} .
\]

Переменные $s_{i}$ являются разделяющими для гамильтониана (8.47). Если ввести константу разделения $\varkappa_{1}$, то получим два уравнения, которые

интегрируются независимо друг от друга:
\[
\begin{array}{l}
2 s_{1}^{2}+s_{1}\left(h-\frac{x}{4}\right)+\frac{l^{2}}{64 s_{1}}+\varkappa_{1}=a_{1} \operatorname{ch}\left(2 p_{1} \sqrt{s_{1}}\right), \\
2 s_{2}^{2}+s_{2}\left(h-\frac{x}{4}\right)+\frac{l^{2}}{64 s_{2}}+\varkappa_{1}=a_{2} \cos \left(2 p_{2} \sqrt{-s_{2}}\right) .
\end{array}
\]

Подставляя в (8.48) выражения (8.46), получим уравнения Ковалевской (8.41), константа разделения $\varkappa_{1}$ связана с постоянной $\varkappa$ по формуле $\varkappa=2 \varkappa_{1}-\frac{c}{8}$.
Переменные «действие» теперь находятся по формуле
\[
I_{i}=\frac{1}{2 \pi} \oint p\left(s_{i}\right) d s_{i},
\]

где $p_{i}$ предполагаются выраженными из (8.48), а область интегрирования зависит от параметров и значений интегралов системы.

Случай Горячева-Чаплыгина.
Переменные $q_{1}, q_{2}$ (7.17) уже являются разделяющими. При этом, как легко проверить, они коммутируют между собой на уровне $(M, \gamma)=0$.
Обозначим через $\varkappa$ постоянную разделения, тогда из (7.16) находим
\[
\begin{array}{l}
\frac{p_{1}^{3}}{2}-\lambda p_{1}^{2}+a p_{1} \sin q_{1}-h p_{1}=\varkappa, \\
\frac{p_{2}^{3}}{2}-\lambda p_{2}^{2}+a p_{2} \sin q_{2}-h p_{2}=\varkappa .
\end{array}
\]

Переменные «действие» могут быть получены по формуле
\[
I=-\frac{1}{2 \pi} \oint q_{i}\left(p_{i}\right) d p_{i}
\]

где $q_{i}\left(p_{i}\right)$ выражаются с помощью (8.49).

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Так как
\[
\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}=-\frac{a p_{i} \cos q_{i}}{p_{1}-p_{2}},
\]

то, воспользовавшись (8.49), получаем уравнения Абеля в виде
\[
\dot{p}_{i}=-\frac{\sqrt{\Phi\left(p_{i}\right)}}{2\left(p_{1}-p_{2}\right)}, \quad \Phi(z)=4 a^{2} z^{2}-\left(2 \varkappa-z^{3}+2 \lambda z^{2}+2 h z\right)^{2} .
\]

Случай Чаплыгина (I).
На нулевом уровне интеграла $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$ переменные $s_{1}, s_{2}$ (8.37) коммутируют. Из системы уравнений (8.38) на пучке найдем энергию $E=h+$ const как функцию $s_{1}, s_{2}, \dot{s}_{1}, \dot{s}_{2}$ :
\[
E=\frac{1}{2}\left(\frac{\dot{s}_{1}^{2}}{g\left(s_{1}\right)}+\frac{\dot{s}_{2}^{2}}{g\left(s_{2}\right)}\right)-\frac{2 c}{x}\left(1-x a_{1}\right)\left(1-x a_{2}\right)\left(U\left(s_{1}\right)+U\left(s_{2}\right)\right),
\]

где
\[
\begin{aligned}
g(s) & =\left(1-s^{2}\right)\left(x\left(a_{2}-a_{1}\right) s+2-x\left(a_{1}+a_{2}\right)\right), \\
U(s) & =\left(x\left(a_{2}-a_{1}\right) s+2-x\left(a_{1}+a_{2}\right)\right)^{-1} .
\end{aligned}
\]

Вводя сопряженные импульсы по формуле (8.45)
\[
p_{i}=\frac{\dot{s}_{i}}{\left(1-s_{i}^{2}\right)\left(x\left(a_{1}-a_{2}\right) s_{i}+2-x\left(a_{1}+a_{2}\right)\right)},
\]

получим функцию Гамильтона в разделяющихся переменных
\[
H=\frac{1}{2}\left(g\left(s_{1}\right) p_{1}^{2}+g\left(s_{2}\right) p_{2}^{2}\right)-\frac{2 c}{x}\left(1-x a_{1}\right)\left(1-x a_{2}\right)\left(U\left(s_{1}\right)+U\left(s_{2}\right)\right) .
\]

Используя константу разделения $\varkappa$, можно записать
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} g\left(s_{1}\right) p_{1}^{2}-\frac{2 c}{x}\left(1-x a_{1}\right)\left(1-x a_{2}\right) U\left(s_{1}\right)=\varkappa, \\
\frac{1}{2} g\left(s_{2}\right) p_{2}^{2}-\frac{2 c}{x}\left(1-x a_{1}\right)\left(1-x a_{2}\right) U\left(s_{2}\right)=E-\varkappa
\end{array}
\]

и вычислить переменные «действие»
\[
I_{i}=\frac{1}{2 \pi} \oint p_{i}\left(s_{i}\right) d s_{i} .
\]