1. Движение твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости

Если уравнения Эйлера-Пуассона хорошо известны и их вывод из принципов динамики содержится в большинстве учебников, то обсуждение физического происхождения уравнений Кирхгофа и Пуанкаре-Жуковского можно найти только в оригинальных работах классиков и трактате Ламба [111]. Мы вкратце приведем здесь этот вывод в современных обозначениях и с использованием формализма уравнений Пуанкаре-Четаева.

Уравнения Кирхгофа. Рассмотрим задачу о движении твердого тела в безграничном объеме идеальной несжимаемой жидкости. Для этого предположим, что тело, движущееся в жидкости, ограниченно односвязной поверхностью, а движение происходит по инерции, т. е. только под действием сил гидродинамического давления со стороны жидкости. При этом не допускается наличие свободных границ у массы жидкости, и предполагается, что на бесконечности жидкость покоится, независимо от движения в ней

твердого тела. Еще одно условие состоит в том, что течение жидкости обладает однозначным потенциалом скоростей, т. е. является безвихревым. Это условие является корректным в том смысле, что если в начальный момент времени движение является безвихревым, то оно останется таковым и в последующие моменты времени. Справедливость этого утверждения является следствием хорошо известной в гидродинамике теоремы Лагранжа [111].

Как будет далее показано, если все вышеприведенные условия выполняются, то уравнения движения твердого тела, представляющие собой систему шести обыкновенных дифференциальных уравнений, отделяются от дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение жидкости.

Рассмотрим твердое тело $\tau$ с поверхностью $\Sigma$ и объемом $V$, движущееся в обычном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{3}=\left\{x_{1}, x_{2} x_{3}\right\}$, заполненном идеальной однородной несжимаемой жидкостью с плотностью $\rho$. Если течение жидкости является потенциальным с потенциалом $\varphi$, то скорость $v$ определяется в виде:
\[
\boldsymbol{v}=\frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol{x}}, \quad \boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} .
\]

Кроме того, $v \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$. Предполагается, что поверхность, ограничивающая тело, является гладким многообразием.
Вычислим кинетическую энергию движущейся жидкости.
\[
T_{\circledast}=\frac{1}{2} \int_{\mathbb{R}^{3} \backslash \tau} \rho v^{2} d^{3} x,
\]

где $d^{3} x$ – элемент объема. С помощью формулы Гаусса-Остроградского преобразуем объемный интеграл (2.2) в поверхностный. Для этого определим векторное поле $\boldsymbol{u}$ по формуле
\[
\boldsymbol{u}=\varphi \frac{\partial \varphi}{\partial x}=\varphi \boldsymbol{v}
\]

где потенциал скорости $\varphi$ удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta \varphi=0$, которое получается из условия несжимаемости $\operatorname{div} v=0$.
Вычислим дивергенцию этого векторного поля
\[
\operatorname{div} \boldsymbol{u}=\operatorname{div}\left(\varphi \frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol{x}}\right)=\varphi \Delta \varphi+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol{x}}\right)^{2}=v^{2}
\]

Формулу (2.4) применим к области жидкости, ограниченной с одной стороны поверхностью $\Sigma$, с другой – сферой $\Sigma^{\prime}$ достаточно большого радиуса $R$. Кинетическая энергия этого объема жидкости
\[
T=\frac{1}{2} \int_{V} \operatorname{div} \boldsymbol{u} d^{3} x=\frac{1}{2} \int_{\Sigma+\Sigma^{\prime}}(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{n}) d \sigma=\frac{1}{2} \int_{\Sigma+\Sigma^{\prime}} \varphi\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol{x}}, \boldsymbol{n}\right) d \sigma .
\]

Как можно показать из гидродинамических соображений, при условии $v \rightarrow 0$ на бесконечности потенциал $\varphi$ имеет порядок $o\left(\frac{1}{R}\right)$, а значит $\frac{\partial \varphi}{\partial x}=o\left(\frac{1}{R^{2}}\right)$. Поэтому интеграл (2.5) по поверхности $\Sigma^{\prime}$ при $R \rightarrow \infty$ будет стремиться к нулю.

Для вычисления интеграла (2.5) по поверхности $\Sigma$ свяжем с телом $\tau$ декартову систему координат $O x_{1} x_{2} x_{3}$ с началом $O$ в некоторой точке внутри тела. Обозначим через $\boldsymbol{v}=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right)$ и $\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right)$ проекции на оси выбранной системы координат скорости точки $O$ и угловой скорости тела соответственно (рис. 77).
Следуя Кирхгофу [85], будем искать потенциал $\varphi$ в виде
\[
\varphi(t, \boldsymbol{x})=\sum_{i=1}^{3} v_{i} \varphi_{i}+\sum_{i=1}^{3} \omega_{i} \chi_{i}
\]

где функции $v_{i}, \omega_{i}$ предполагаются известРис. 77 ными функциями времени, определяемые движением твердого тела, а функции $\varphi_{i}, \chi_{i}$ являются гармоническими функциями $\Delta \varphi_{i}=\Delta \chi_{i}=0$. По построению $\Delta \varphi=0$.

Для произвольной точки $A$ поверхности $\Sigma$ тела $\tau$ справедлива формула Эйлера распределения скоростей в твердом теле
\[
\boldsymbol{v}_{A}=\boldsymbol{v}_{0}+\boldsymbol{\omega} \times \overline{O A} .
\]

Граничные условия для потенциала (2.6) имеют вид
\[
\left(\boldsymbol{v}_{A}, \boldsymbol{n}\right)=\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol{x}}, \boldsymbol{n}\right)
\]

где $\boldsymbol{n}=\left(n_{1}, n_{2}, n_{3}\right)$ – орт нормали. Они выражают условие непротекания – нормальная компонента относительной скорости жидкости вблизи те-

ла равна нулю. Можно получить следующие уравнения для функций $\varphi_{i}, \chi_{i}$
\[
\left(\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial \boldsymbol{x}}, \boldsymbol{n}\right)=n_{i}, \quad\left(\frac{\partial \chi_{i}}{\partial \boldsymbol{x}}, \boldsymbol{n}\right)=\sum_{i, k} \varepsilon_{i j k} x_{j} n_{k}, \quad i, j, k=1,2,3 .
\]

Задача об отыскании гармонической функции, удовлетворяющей на границе условиям типа (2.9), является задачей Неймана. Эта задача является разрешимой, а решение единственно и не зависит от $v_{i}, \omega_{i}$.

Предположим, что функции $\varphi_{i}, \chi_{i}$ найдены. Тогда из формул (2.5), (2.6), (2.7) получим выражение для кинетической энергии жидкости
\[
T=\frac{1}{2}\left(\mathbf{A}^{\prime} \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega}\right)+\left(\mathbf{B}^{\prime} \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{v}\right)+\frac{1}{2}\left(\mathbf{C}^{\prime} \boldsymbol{v}, \boldsymbol{v}\right),
\]

где $\mathbf{A}^{\prime}, \mathbf{B}^{\prime}, \mathbf{C}^{\prime}-$ квадратные матрицы $3 \times 3$, коэффициенты которых постоянные и определяются геометрией тела. Так как кинетическая энергия твердого тела также является квадратичной формой от переменных $\boldsymbol{v}, \boldsymbol{\omega}$, то суммарная кинетическая энергия твердого тела и жидкости имеет вид
\[
T_{\boldsymbol{w}^{+} \mathrm{T}}=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega})+(\mathbf{B} \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{v})+\frac{1}{2}(\mathbf{C} \boldsymbol{v}, \boldsymbol{v}) .
\]

Таким образом, в принятых предположениях кинетическая энергия всей системы (2.11) определяется только значениями $\omega, v$, причем матрицы А, В, С являются постоянными. Это – следствие идеальности и несжимаемости жидкости.

С физической точки зрения матрицы $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ обобщают понятия «присоединенных масс и моментов инерции», возникающие при элементарных постановках задачи о движении тела в жидкости (например сферы или пластинки $[12,111]$ ). Общее число параметров матриц $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ равняется двадцати одному (так как матрицы А и С можно считать симметрическими). Однако путем несложных рассуждений можно показать, что выбором точки $O$ и ориентации осей $O x_{1} x_{2} x_{3}$ матрицу $\mathbf{A}$ можно привести к диагональному виду, а В к симметрическому. В дальнейшем это приведение будет считаться выполненным, что позволяет уменьшить общее число параметров до пятнадцати. Если тело обладает дополнительно некоторой группой симметрии (дискретной или непрерывной), то в кинетической энергии (2.11) можно исключить дополнительно некоторые параметры. В таблице 5.1 приведены элементы, порождающие группу симметрий, вид матриц $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ в этих случаях, а так же примеры соответствующих тел. Отметим, что во

Таблица 5.1

всех случаях указанную симметрию допускают как геометрия поверхности, так и распределение массы тела.

Для вывода уравнений движения твердого тела необходимо постулировать принцип Гамильтона $\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}} T_{\text {ж+ }} d t=0$ в применении к системе

«тело+жидкость». Экстремали этого действия удовлетворяют уравнениям Эйлера-Пуанкаре на группе $E(3)$ (см. § 1, гл. 1).

Для записи уравнений Эйлера-Пуанкаре на группе $E(3)$ используем в качестве квазискоростей проекции угловой скорости $\omega$ и скорости выделенной точки тела $v$ на оси связанной с телом системы координат. В этом случае согласно гл. $1, \S 4$ уравнения можно представить в векторной форме
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{\omega}}=\frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{\omega}+\frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{v}} \times \boldsymbol{v}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{v}}=\frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{v}} \times \boldsymbol{\omega} .
\end{array}\right.
\]

В таком виде уравнения движения были получены Г. Кирхгофом [85] (см. также [31]), А.Клебш в [201] придал им гамильтонову форму. Действительно, производя преобразование Лежандра, получаем уравнения на алгебре $e(3)$
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{M}=\frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{\omega}}, \quad H=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})-\left.T\right|_{\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{v} \rightarrow \boldsymbol{M}, \boldsymbol{p}}, \quad \boldsymbol{p}=\frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{v}} \\
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}+\boldsymbol{p} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{p}}, \quad \dot{\boldsymbol{p}}=\boldsymbol{p} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}} .
\end{array}
\]

Функция Гамильтона представляет собой кинетическую энергию, выраженную в переменных $M, p$
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+(\mathbf{B} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{p})+\frac{1}{2}(\mathbf{C} \boldsymbol{p}, \boldsymbol{p}),
\]

где для матриц $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$ мы сохраним те же обозначения, что и в (2.11), которые, однако, получаются из последних простым линейным преобразованием. Векторы $M$ и $p$ называются в гидромеханике соответственно импульсивным моментом и импульсивной силой.

Уравнения движения для многосвязного тела. Рассмотрим также движение в жидкости по инерции многосвязного твердого тела $\tau$ (тело с отверстиями). Окружающее тело область $R^{3} \backslash \tau$ также многосвязна, пусть она допускает $n+1$ негомотопных друг другу замкнутых путей (контуров), среди них $n$ контуров, которые обозначим $l_{1}, \ldots, l_{n}$, не могут быть стянуты в точку внутри области $R^{3} \backslash \tau$ (количество замкнутых несвободных контуров $n$ связано с числом отверстий в теле $m$ соотношением $n=C_{m+1}^{2}$ ) (рис. 78).

Рис. 78

Как и выше, полагаем, что течение жидкости потенциально $-\boldsymbol{v}=\frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol{x}}$. Однако, вследствие неодносвязности области, потенциал скоростей $\varphi$ определяется уравнением Лапласа и граничными условиями $\frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol{n}}$ неоднозначно. Как известно, для однозначного решения уравнения Лапласа в этом случае необходимо помимо граничных условий задать также циркуляции $\varkappa_{i}$ по контурам $l_{i}, i=1, \ldots, n$. (Как следует из теоремы Грина, циркуляции вдоль гомотопных контуров совпадают.)
Следуя Г. Ламбу [111], представим потенциал в форме
\[
\varphi(t, \boldsymbol{x})=\sum_{i=1}^{3} v_{i}(t) \varphi(\boldsymbol{x})+\sum_{i=1}^{3} \omega_{i}(t) \chi_{i}(\boldsymbol{x})+\varphi_{0},
\]

где $v_{i}, \omega_{i}, \quad i=1,2,3$ – поступательная и угловая скорость твердого тела соответственно, $\varphi_{i}, \chi_{i}$ – однозначные во всей области $R^{3} \backslash \tau$ функции, определяемые уравнением Лапласа и граничными условиями (2.9). Потенциал $\varphi_{0}$ задает циркуляционное течение в области и определяется уравнением $\Delta \varphi_{0}=0$ с нулевыми граничными условиями $\frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol{n}}=0$ и циркуляциями $\varkappa_{i}$ вдоль контуров $l_{i}, i=1, \ldots, n$. Так как $\varphi_{0}$ линейно зависит от циркуляций, представим его в форме
\[
\varphi_{0}(\boldsymbol{x})=\sum_{i=1}^{n} \varkappa_{i} \psi_{i}(\boldsymbol{x})
\]

где каждый потенциал $\psi_{i}$ имеет единичную циркуляцию вдоль контура $l_{i}$ и нулевую вдоль остальных $l_{j}, j
eq i$. Таким образом, $\psi_{i}, i=1, \ldots, n$ целиком определяются геометрией тела и не зависят от скоростей $v, \omega$ и циркуляций $\varkappa_{i}$.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Потенциалы $\psi_{i}$, и следовательно $\varphi_{0}$, являются неоднозначными функциями в области $R^{3} \backslash \tau$.

Таким образом, при вычислении кинетической энергии жидкости и сил давления, действующих на тело, необходимо учитывать также циркуляционное течение, не зависящее от времени. Как показано в [111], в этом случае $T$ отличается от (2.10) лишь постоянным слагаемым, представляющим собой однородную квадратичную форму циркуляций $\varkappa_{1}, \ldots, \varkappa_{n}$. В то же время к обобщенному импульсу $\frac{\partial T_{\text {ж+т }}}{\partial \boldsymbol{v}}$ и моменту импульса $\frac{\partial T_{\text {ж+т }}}{\partial \boldsymbol{\omega}}$ добавляются линейные по $\varkappa_{i}$ слагаемые вида
\[
\rho \sum_{i=1}^{n} \int_{\Sigma} \varkappa_{i} \psi_{i} \frac{\partial \varphi_{\mu}}{\partial n} d \sigma, \quad \rho \sum_{i=1}^{n} \int_{\Sigma} \varkappa_{i} \psi_{i} \frac{\partial \chi_{\mu}}{\partial n} d \sigma, \quad \mu=1,2,3,
\]

где интегрирование ведется по поверхности тела, а $\rho$ – плотность жидкости. Следовательно, наличие циркуляционных течений эквивалентно добавлению постоянных гироскопических сил, действующих на тело. Для уравнений (2.13) в переменных $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{p}$ в гамильтониане появляются линейные слагаемые
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})+(\mathbf{B} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{p})+\frac{1}{2}(\mathbf{C} \boldsymbol{p}, \boldsymbol{p})+(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{p}),
\]

где $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ – постоянные векторы, линейно выражающиеся через циркуляции $\varkappa_{i}$.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Уравнения движения для динамики твердого тела в жидкости в потенциальном поле записываются на алгебре $e(3) \oplus_{s} \mathbb{R}^{12}$ и приведены в гл. $1, \S 4$ (5.8). В этом случае к функции Гамильтона (2.18) необходимо добавить потенциальную энергию $U=U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{x})$, где $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}-$ направляющие косинусы, $\boldsymbol{x}$ – радиус-вектор центра масс. Существует два наиболее важных случая динамики твердого тела в жидкости в потенциальных полях, указанных С. А. Чаплыгиным $[175,177]$, для которых уравнения движения так же могут быть записаны на алгебре $e(3)$. (При этом отделяется система уравнений для вектора кинетического момента $\boldsymbol{M}$ и орта вертикали $\gamma$ ).

1. Падение тела в жидкости в поле пяжести с нулевым начальным толчком. В этом случае получается неавтоноиная система (6.22) гл. 1.
2. Движение в поле тяжести, уравновешенной силой Архимеда. При этом получается автономная система с потеншиальной энергией квадратичной и линейной по $\gamma(6.23)$ гл. 1.
В обоих случаях тело должно быть так же ограничено поверхностью, обладающей тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии.

2. Уравнения Пуанкаре-Жуковского

Выше были рассмотрены уравнения движения твердого тела в жидкости, теперь перейдем к рассмотрению другого класса задач, связанных с движением твердого тела, содержащего полости, заполненные идеальной несжимаемой жидкостью, вокруг неподвижной точки. При этом наиболее интересен случай, когда жидкость совершает движение, обладающее однородной завихренностью $[125,129,256]$. В этом случае также отделяется шестимерная система уравнений, описывающих изменение кинетического момента $M$ тела и завихренности жидкости $\xi$. Случай потенциального течения жидкости в односвязной полости приводит лишь к изменению моментов инерции твердого тела и определяет инвариантное многообразие $\xi=0$. Для потенциального течения в многосвязной полости получаются уравнения движения твердого тело с гиростатом, этот случай подробно изучался Н. Е. Жуковским [78]. Тело с гиростатом называется эквивалентным по Жуковскому. Можно показать, что однородное вихревое движение жидкости возможно лишь в эллипсоидальной полости [129].

Выберем подвижную систему координат $-O e_{1}, e_{2}, e_{3}$ с началом в неподвижной точке $O$ и осями, жестко связанными с оболочкой (см. рис. 79). Вектор $\boldsymbol{x}_{c}=\left(x_{c 1}, x_{c 2}, x_{c 3}\right)$ задает координаты центра полости в системе $O e_{1}, e_{2}, e_{3}$.
Рис. 79
Уравнение границы полости запишется в виде
\[
F=\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{c}, \mathbf{B}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{c}\right)\right)=1,
\]

где В – симметричная матрица, собственные значения которой совпадают с обратными квадратами главных полуосей полости $\lambda_{i}=\frac{1}{b_{i}^{2}}, i=1,2,3$.

Важной особенностью эллипсоидальной полости, является то, что в ней существует частное решение уравнений Эйлера идеальной жидкости, для которого скорости $\boldsymbol{v}(t, \boldsymbol{x})$, удовлетворяющие уравнениям гидродинамики и граничным условиям, линейны по координатам. Именно поэтому однородное в начальный момент вихревое течение, остается однородным во все моменты времени (А. Пуанкаре, П. Л. Дирихле). Укажем это решение в явном виде.

Для этого представим поле скоростей жидкости в полости в виде
\[
\boldsymbol{v}(t, \boldsymbol{x})=\boldsymbol{\omega}(t) \times \boldsymbol{x}+\mathbf{D}(t)\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{c}\right),
\]

где $\boldsymbol{\omega}(t)$ – угловая скорость оболочки, а $\mathbf{D}(t)$ – некоторая матрица размера $3 \times 3$. Завихренность в этом случае одинакова для любой точки полости и равна
\[
\boldsymbol{\Omega}(t)=\frac{1}{2} \operatorname{rot} \boldsymbol{v}(t, \boldsymbol{x})=\boldsymbol{\omega}(t)+\boldsymbol{d}^{a}(t),
\]

здесь $\boldsymbol{d}^{a}$ – вектор с компонентами $\frac{1}{2}\left(d_{32}-d_{23}, d_{13}-d_{31}, d_{21}-d_{12}\right)$, соответствующий антисимметричной части $\mathbf{D}(t)$.
Граничные условия непротекания имеют вид
\[
\left(\boldsymbol{v}\left(t, \boldsymbol{r}_{A}\right), \boldsymbol{n}\right)=\left(\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_{A}, \boldsymbol{n}\right),
\]

где $\boldsymbol{r}_{A}$ – радиус-вектор некоторой точки $A$ на границе области, а $\boldsymbol{n}$ нормаль в точке $A$.

Выберем нормальный вектор в виде $\boldsymbol{n}=
abla F=\mathbf{B}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{c}\right)$. Из уравнения (2.22), приравнивая коэффициенты при $\left(x_{i}-x_{c i}\right)\left(x_{j}-x_{c j}\right)$, находим
\[
\mathbf{B D}+(\mathbf{B D})^{T}=0 .
\]

То есть BD – некоторая кососимметричная матрица. Следуя [129, 256], положим $\mathbf{B D}=\mathbf{B}^{1 / 2} \boldsymbol{\Xi} \mathbf{B}^{1 / 2}$, то есть
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{x}+\mathbf{B}^{-1 / 2} \boldsymbol{\Xi} \mathbf{B}^{1 / 2}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{c}\right),
\]

где $\boldsymbol{\Xi}=\left\|\xi_{i j}\right\|[125]$ – произвольная кососимметричная матрица, зависящая от времени.

Обозначим вектор с компонентами $\boldsymbol{\xi}_{k}=\varepsilon_{i j k} \xi_{i j}$, соответствующий этой матрице той же буквой $\xi$ и аналогично для $\Omega: \Omega_{i j}=-\varepsilon_{i j k} \Omega_{k}$. Тогда в матричной форме
\[
\boldsymbol{\Omega}(t)=\boldsymbol{\omega}+\frac{1}{2}\left(\mathbf{B}^{-1 / 2} \boldsymbol{\Xi}(t) \mathbf{B}^{1 / 2}-\mathbf{B}^{1 / 2} \boldsymbol{\Xi}(t) \mathbf{B}^{-1 / 2}\right) .
\]

Для пояснения геометрического смысла вектора $\boldsymbol{\xi}$ выполним замену переменных [256]
\[
\boldsymbol{x}^{\prime}=\mathbf{B}^{1 / 2}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{c}\right),
\]

при этом новые скорости в системе координат, связанной с оболочкой, определяются соотношением
\[
\boldsymbol{v}^{\prime}=\mathbf{B}^{1 / 2} \boldsymbol{v} .
\]

Поскольку в новых переменных уравнение полости является сферой с центром в начале координат, вихревому течению соответствует обычное вращение этой сферы с угловой скоростью $\xi$
\[
\boldsymbol{v}^{\prime}=\boldsymbol{\xi} \times \boldsymbol{x}^{\prime} .
\]

Выполняя обратную замену, в первоначальных переменных получим поле скоростей в полости
\[
\boldsymbol{v}(t, \boldsymbol{x})=\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{x}+\mathbf{B}^{-1 / 2} \boldsymbol{\Xi}(t) \mathbf{B}^{1 / 2}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{c}\right) .
\]

Таким образом, $\boldsymbol{\xi}$ – угловая скорость некоторой воображаемой сферы с центром в точке $C$. Более того, любому повороту этой воображаемой сферы соответствует некоторое перемещение жидкости в полости. Фактически соотношения (2.26) устанавливают аналогию этой системы с системой связанных волчков. Эта аналогия допускает простое обобщение на случай $n$ полостей [21].

Конфигурационным пространством рассматриваемой нами задачи является группа $S O(3) \times S O(3) \approx S O(4)$, где первое слагаемое соответствует вращениям оболочки относительно неподвижных в пространстве осей, а второе – вращениям воображаемой сферы относительно оболочки. Представим уравнения движения в форме уравнений Пуанкаре на этой группе Ли. Обозначим соответствующие инвариантные векторные поля на двух экземплярах $S O(3)$ в виде $\boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2}, \boldsymbol{w}_{3}$ и $\boldsymbol{\zeta}_{1}, \boldsymbol{\zeta}_{2}, \boldsymbol{\zeta}_{3}$. Тогда
\[
\boldsymbol{\omega}=\omega_{1} \boldsymbol{w}_{1}+\omega_{2} \boldsymbol{w}_{2}+\omega_{3} \boldsymbol{w}_{3}, \quad \boldsymbol{\xi}=\xi_{1} \boldsymbol{\zeta}_{1}+\xi_{2} \boldsymbol{\zeta}_{2}+\xi_{3} \boldsymbol{\zeta}_{3} .
\]

Вследствие того, что угловые скорости проектируются на одни и те же оси, связанные с оболочкой – $e_{1}, e_{2}, e_{3}$, которые для воображаемой сферы играют роль неподвижных осей (аналогичных неподвижным осям в пространстве для тела), векторные поля $\boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2}, \boldsymbol{w}_{3}$ – левоинвариантные, а $\boldsymbol{\zeta}_{1}, \boldsymbol{\zeta}_{2}, \boldsymbol{\zeta}_{3}$ – правоинвариантные. Поэтому их коммутаторы отличаются знаком (!)
\[
\left[\boldsymbol{w}_{i}, \boldsymbol{w}_{j}\right]=\varepsilon_{i j k} \boldsymbol{w}_{k}, \quad\left[\boldsymbol{\zeta}_{i}, \boldsymbol{\zeta}_{j}\right]=-\varepsilon_{i j k} \boldsymbol{\zeta}_{k} .
\]

Запишем уравнения Пуанкаре, определяющие эволюцию угловых скоростей в форме
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \omega_{i}}+\varepsilon_{i j k} \omega_{j} \frac{\partial L}{\partial \omega_{k}}=\boldsymbol{w}_{i}(L) \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \xi_{i}}-\varepsilon_{i j k} \xi_{j} \frac{\partial L}{\partial \xi_{k}}=\boldsymbol{\zeta}_{i}(L), \quad i, j, k=1,2,3 .
\end{array}
\]

При отсутствии внешних сил функция Лагранжа совпадает с полной кинетической энергией системы, причем она не зависит от конфигурационных переменных на группе. В этом случае уравнения (2.28) запишутся в векторном виде
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{\omega}}+\boldsymbol{\omega} \times \frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{\omega}}=0, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{\xi}}-\boldsymbol{\xi} \times \frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{\xi}}=0 .
\]

Вычислим кинетическую энергию системы. Используя (2.28) и (2.20) с учетом соотношения $\int\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{c}\right) \rho d^{3} x=0$, получим
\[
T=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{I} \boldsymbol{\omega})-\operatorname{Tr}(\tilde{\boldsymbol{\omega}} \mathbf{D} \mathbf{J})-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\left(\mathbf{D}^{2} \mathbf{J}\right),
\]

где I – тензор инерции системы тело+жидкость относительно неподвижной точки $O, \widetilde{\boldsymbol{\omega}}=\left\|\varepsilon_{i j k} \omega_{k}\right\|, \mathbf{J}$ – тензор инерции полости относительно ее геометрического центра
\[
J_{i j}=\rho \int_{\pi}\left(x_{i}-x_{c i}\right)\left(x_{j}-x_{c j}\right) d^{3} x,
\]

где интегрирование распространяется на всю полость $\pi$. В системе координат, оси которой параллельны главным осям эллипсоида полости, имеем $\mathbf{J}=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{5} m b_{1}^{2}, \frac{1}{5} m b_{2}^{2} \frac{1}{5} m b_{3}^{2}\right)$, где $m$ – полная масса жидкости. Кинетическая энергия (2.30) в такой системе имеет вид
\[
\begin{aligned}
T= & \frac{1}{2}\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}+I_{3} \omega_{3}^{2}\right)+ \\
& +\frac{1}{5} m\left(b_{2} b_{3} \omega_{1} \xi_{1}+b_{3} b_{1} \omega_{2} \xi_{2}+b_{1} b_{2} \omega_{3} \xi_{3}\right)+ \\
& \left.+\frac{1}{10} m\left(\left(b_{2}^{2}+b_{3}^{2}\right) \xi_{1}^{2}+\left(b_{3}^{2}+b_{1}^{2}\right) \xi_{2}^{2}+\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right) \xi_{3}^{2}\right)\right) .
\end{aligned}
\]

В гамильтоновой форме уравнения движения (уравнения ПуанкареЧетаева) получаются при помощи преобразования Лежандра
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{M}=\frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{\omega}}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+\mathbf{I}_{1} \boldsymbol{\xi}, \quad \boldsymbol{K}=\frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{\xi}}=\mathbf{I}_{1} \boldsymbol{\omega}+\mathbf{I}_{2} \boldsymbol{\xi} \\
H=(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{K})-T=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{M}, \mathbf{B} \boldsymbol{K})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{K}, \mathbf{C} \boldsymbol{K}) \\
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}, \quad \dot{\boldsymbol{K}}=-\boldsymbol{K} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{K}} .
\end{array}
\]

Пуассонова структура уравнений (2.31) определяется алгеброй $s o(4)$ (в прямом разложении $s o(3) \oplus s o(3)$ )
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{K_{i}, K_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} K_{k} .
\]

ЗАМЕчАниЕ 3. Уравнения, описывающие эволюцию угловой скорости твердого тела $\omega$ и вектора завихренности течения в полости $\boldsymbol{\xi}(2.21)$ можно получить другим способом (этот способ был использован Н. Е. Жуковским). Первая тройка уравнений $(2.28),(2.32)$ получается применением теоремы о сохранении момента количества движения $M$ для системы «тело+жидкость».
В этом случае полный момент согласно (2.27) можно представить в форме
\[
\boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+\rho \int_{\pi} \boldsymbol{x} \times\left(\mathbf{B}^{-1 / 2} \boldsymbol{\Xi} \mathbf{B}^{1 / 2}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{c}\right)\right)=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+\mathbf{I}_{1} \boldsymbol{\xi},
\]

а его эволюция в подвижной системе координат описывается уравнением
\[
\dot{M}+\boldsymbol{\omega} \times M=N
\]

где $\boldsymbol{N}$ – момент внешних сил (в нашем случае $\boldsymbol{N}=0$ ).
Чтобы получить уравнение для $\boldsymbol{\xi}$, воспользуемся уравнением Гельмгольца для завихренности $\Omega[78]$ в подвижной системе координат $O \boldsymbol{e}_{1} \boldsymbol{e}_{2} \boldsymbol{e}_{3}$
\[
\frac{\partial \boldsymbol{\Omega}}{\partial t}+(\boldsymbol{v},
abla) \boldsymbol{\Omega}-(\boldsymbol{\Omega},
abla) \boldsymbol{v}=\operatorname{rot} \boldsymbol{f} .
\]

Таким образом, если объемная сила $f$ зависит линейно от координат, получим для векторов $\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\xi}$, определяющих частное решение (2.20), уравнение
\[
\dot{\boldsymbol{\Omega}}-\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{\Omega}-\mathbf{D} \boldsymbol{\Omega}=\operatorname{rot} \boldsymbol{f}, \quad \mathrm{D}=\mathbf{B}^{-1 / 2} \boldsymbol{\Xi} \mathbf{B}^{1 / 2},
\]

где $\boldsymbol{\Omega}$ задается выражением (2.25).

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Обобщение «проблемы Пуанкаре», состоящую в исследовании колебаний абсолютно твердой оболочки, заключающей в себе ядро из идеальной жидкости, имеется в геофизическом двухтомнике П. Мельхиора [125]. Здесь имеются также различные исторические ссылки и приводится анализ двойного резонанса и эффекта гиростатической твердости, обнаруженных Пуанкаре [256].

3. Движение твердого тела с гиростатом в искривленном пространстве. Стационарные движения
Приведем также вывод уравнений движения свободного твердого тела в искривленном пространстве и тела с гиростатом. В этом случае естественно возникают уравнения на пучке скобок $\mathscr{L}_{x}(2.4)$ (§2 гл. 3). Здесь мы для простоты ограничимся лишь случаем трехмерной сферы $S^{3}$, приводя без вывода уравнения движения в пространстве Лобачевского.

Свободное движение тела в $S^{3}$. Рассмотрим сначала уравнения свободного движения твердого тела на грехмерной сфере $S^{3}$. Заметим, что положение двумерного тела (пластинки) на поверхности обычной двумерной сферы $S^{2}$ может быть охарактеризовано с помощью элемента группы $S O(3)$, который определяет положение тела на сфере и его ориентацию по отношению к неподвижным осям (рис. 80).

Эта наглядная иллюстрация оказывается полезной для понимания взаимосвязи движения свободного твердого тела на $S^{3}$ и вращением четырехмерного твердого тела вокруг неподвижной точки (уравнения Эйлера на $S O(4)$ ).

Трехмерную сферу будем представлять себе как поверхность в $\mathbb{R}^{4}: q_{0}^{2}+\boldsymbol{q}^{2}=1$. Положение и ориентация тела по отношению к координатам $q_{\mu}$ задается элементом группы $S O(4)$, тем самым задача о свободном движении твердого тела в $S^{3}$ сводится к задаче о движении четырехмерного твердого тела с закрепленной точкой в плоском пространРис. 80. Твердое тело на сфере. стве $\mathbb{R}^{4}$.

Уравнения свободного вращения четырехмерного твердого тела запишем в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли $s o(4)$ следующим образом. Введем систему отсчета, жестко связанную с телом. Координаты $x_{\mu}$ в ней связаны с координатами неподвижного пространства $q_{\mu}$ по формулам
\[
q_{\mu}=\sum_{
u=0}^{3} B_{\mu
u} x_{
u}
\]

где $B_{\mu
u}$ компоненты ортогональной матрицы из группы $S O(4)$.
Функция Лагранжа свободного твердого тела $L$ равна сумме кинетических энергий точек, составляющих тело $T$
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{T} m \sum_{\mu
u \sigma} \dot{B}_{\mu
u} \dot{B}_{\mu \sigma} x_{
u} x_{\sigma} .
\]

Она может быть представлена как квадратичная функция квазискоростей $\omega_{\mu
u}$ [21]:
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{\mu
u \sigma} J_{\mu
u} \omega_{\mu \sigma} \omega_{
u \sigma},
\]

где $\omega_{\mu
u}=-\omega_{
u \mu}=\sum_{\sigma} B^{-1} \mu \sigma \dot{B}_{\sigma
u}$ – элемент алгебры $s o(4)$, являющийся «угловой скоростью в теле» и $\|\mathbf{J}\|_{\mu
u}=\left\|\sum_{T} m x_{\mu} x_{
u}\right\|$ – тензор моментов инерции. Записывая уравнения Пуанкаре-Четаева на группе $S O(4)$ (§6 гл. 1), получим следующие коммутационные уравнения
\[
\mathbf{X}=[\mathbf{X}, \boldsymbol{\omega}],
\]

здесь $[\cdot, \cdot]$ – матричный коммутатор, а элементы матрицы кинетического момента $\mathbf{X} \in S O^{*}(4)$ (также – «в теле») определяются формулой:
\[
\mathbf{X}=\left\|\frac{\partial L}{\partial \omega_{
u \mu}}\right\|, \quad \mathbf{X}=\frac{1}{2}(\mathbf{J} \boldsymbol{\omega}+\omega \mathbf{J}) .
\]

Запишем систему уравнений движения с помощью векторов $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{p}$, компоненты которых связаны с компонентами матрицы кинетического момента $\mathbf{X}$ по формулам
\[
\begin{array}{c}
M_{i}=\frac{1}{2} \varepsilon_{i j k} X_{j k}, \quad p_{i}=X_{0 i}, \quad i, j, k=1,2,3 . \\
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}+\boldsymbol{p} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{p}} \\
\dot{\boldsymbol{p}}=\boldsymbol{p} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}+\boldsymbol{M} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{p}}
\end{array}
\]

Уравнения (2.37) являются уравнениями Гамильтона на алгебре $s o(4)$ в стандартном матричном представлении (см. 2). При выборе системы координат, связанной с телом, для которой $\mathbf{J}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)$, функция Гамильтона свободного твердого тела в переменных $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{p}$ получается при помощи преобразований Лежандра $H=\operatorname{Tr}(\mathbf{X} \boldsymbol{\omega})-\left.L\right|_{\boldsymbol{\omega} \rightarrow \boldsymbol{M}, \boldsymbol{p}}$ в форме
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{p}, \mathbf{B} \boldsymbol{p})
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{\lambda_{2}+\lambda_{3}}, \frac{1}{\lambda_{1}+\lambda_{3}}, \frac{1}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}\right), \\
\mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{\lambda_{0}+\lambda_{1}}, \frac{1}{\lambda_{0}+\lambda_{2}}, \frac{1}{\lambda_{0}+\lambda_{3}}\right) .
\end{array}
\]

Эти уравнения были подробнее изучены и проинтегрированы в прошлом веке В. Фрамом и Ф.Шоттки (см. § 2 гл. 3).

Необходимо отметить, что в отличие от свободного движения твердого тела в евклидовом пространстве (задача Эйлера-Пуансо), случай интегрируемости инерционного движения на $S^{3}$ и $L^{3}$, является существенно более сложным как с точки зрения процедуры интегрирования, так и качественного (топологического) анализа движения [140].

С некоторой долей неточности можно сказать, что отличие от плоского пространства заключается в том, что движение тела по сфере $S^{3}$ и его вращение теперь не разделяются, поэтому вращение тела оказывает влияние на движение системы как целого. (Этот эффект для $L^{2}$ был отмечен еще Н. Е. Жуковским [77].) Аналоги перманентных и винтовых движений для уравнений (2.37), (2.38) указаны в [31] (см. также [192]).

ЗАМЕЧАНИЕ 5. Анализ движения двумерной площадки на сфере $S^{2}$ под действием потенциальных сил выполнен в [199], где указан аналог случая Лагранжа, возникающий при динамической симметрии тела.

Движение связки двух тел. Уравновешенный гиростат.
Рассмотрим уравновешенный гиростат в $S^{3}$ – механическую систему, состоящую из двух тел: «несущего» $T_{1}$ и «несомого» $T_{2}$, скрепленных так, что распределение масс системы не меняется со временем. Приведенный ниже анализ во многом повторяет рассуждения § 8 гл. 2, относящиеся к динамике связки двух тел. Но здесь мы приведем их в более инвариантном виде, пригодном вообще для $n$-мерного случая.

Свяжем с каждым из тел свою систему координат. Пусть $\mathbf{B}, \mathbf{Q}$ – матрицы перехода от абсолютной системы координат ( $q$ ) к системе «несущего» тела $(x)$ и от системы «несущего» тела к системе «несомого» $(y)$ соответственно
\[
q_{\mu}=\sum_{
u} B_{\mu
u} x_{
u}, \quad x_{i}=\sum_{
u} Q_{\mu
u} y_{
u} .
\]

Введем следующие обозначения:
$J_{\mu
u}=\sum_{T_{1}+T_{2}} m x_{\mu} x_{
u}-$ компоненты матрицы инерции первого и второго тела в системе координат несущего тела (здесь $\sum_{T_{1}+T_{2}}$ обозначает суммирование по элементам первого и второго тела);
\[
\left(\widetilde{J}_{2}\right)_{\mu
u}=\sum_{T_{2}} m y_{\mu} y_{
u}-\text { матрица инерции несомого тела в связанной }
\]

с ним системе осей;
\[
\left(J_{1}\right)_{\mu
u}=\sum_{T_{1}} m x_{\mu} x_{
u} \text { и }\left(J_{2}\right)_{\mu
u}=\sum_{T_{2}} m x_{\mu} x_{
u}-\text { матрицы инерции несу- }
\]

щего и несомого тела в системе координат, жестко связанной с несущим телом;

$\widetilde{\omega}_{2}=\mathrm{Q}^{-1} \dot{\mathbf{Q}}-$ матрица угловых скоростей несомого тела в связанной с ним системе координат;
$\boldsymbol{\omega}=\mathbf{B}^{-1} \dot{\mathbf{B}}, \boldsymbol{\omega}_{2}=\mathbf{Q} \widetilde{\boldsymbol{\omega}}_{2} \mathrm{Q}^{-1}=\dot{\mathbf{Q}} \mathrm{Q}^{-1}-$ угловые скорости в системе отсчета несущего тела.

Условие постоянства распределения масс (уравновешенность гиростата) $J_{\mu
u}=\sum_{T_{1}+T_{2}} m x_{\mu} x_{
u}=$ const (то есть $\dot{J}_{\mu
u}=0$ ) эквивалентно равенству
\[
\widetilde{\boldsymbol{\omega}}_{2} \widetilde{\mathbf{J}}_{2}=\widetilde{\mathbf{J}}_{2} \widetilde{\boldsymbol{\omega}}_{2} .
\]

Учитывая, что «несомое» тело имеет закрепленную ось в «несущем», запишем решения уравнения (2.40) в виде:
\[
\widetilde{\boldsymbol{\omega}}_{2}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & a \\
0 & 0 & -a & 0
\end{array}\right), \quad \widetilde{\mathbf{J}}_{2}=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_{0} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{1} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda_{2}
\end{array}\right) .
\]

В дальнейшем будем полагать, что $a=a(t)$ – заданная функция времени. Это условие приводит к тому, что не появляется дополнительных степеней свободы, обусловленных несомым телом.

Функция Лагранжа системы равна сумме кинетических энергий обоих тел. С учетом соотношений (2.41) ее можно представить в виде
\[
L=-\frac{1}{2} \operatorname{Tr} \boldsymbol{\omega}^{2}\left(\mathbf{I}_{1}+\mathbf{I}_{2}\right)+\operatorname{Tr}(\boldsymbol{\omega} \mathbf{K}), L=-\frac{1}{2} \operatorname{Tr} \boldsymbol{\omega}^{2}\left(\mathbf{I}_{1}+\mathbf{I}_{2}\right)+\operatorname{Tr}(\boldsymbol{\omega} \mathbf{K}),
\]

где $\boldsymbol{\omega}$ – введенные выше угловые скорости несущего тела, а коэффициенты матрицы кинетического момента несомого тела $\mathbf{K}=\mathbf{J}_{2} \boldsymbol{\omega}_{2}+\boldsymbol{\omega}_{2} \mathbf{J}_{2}$ являются заданными функциями времени. В отличие от плоского пространства $\mathbf{K}$ зависит не только от направления оси вращения, но и от точки скрепления тел.

Уравнения движения имеют вид (2.35), но теперь $\mathbf{X}=\left\|\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}_{\mu
u}}\right\|=$ $=\frac{1}{2}(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{\omega})+\mathbf{K}, \mathbf{I}=\mathbf{I}_{1}+\mathbf{I}_{2}$. При $\mathbf{K}(t)=\mathrm{const},(a(t)=\mathrm{const})$ получается задача об уравновешенном гиростате.

Уравнения движения могут быть записаны также в форме уравнений Гамильтона в векторном виде (2.37). При этом гамильтониан для уравновешенного гиростата можно представить в форме
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}-\mathbf{P}, \mathbf{A}(\boldsymbol{M}-\mathbf{P}))+\frac{1}{2}(\boldsymbol{p}-\mathbf{S}, \mathbf{B}(\boldsymbol{p}-\mathbf{S})),
\]

где компоненты векторов $\mathbf{P}, \mathbf{S}$ выражаются через матрицу гиростатического момента по формулам
\[
P_{i}=\frac{1}{2} \varepsilon_{i j k} K_{j k}, \quad S_{i}=K_{0 i}, \quad i, j, k=1,2,3 .
\]

По-видимому, система (2.37) с гамильтонианом (2.43) при произвольных значениях параметров не является интегрируемой в отличие от плоского пространства. По крайней мере, для нее не существует общего дополнительного квадратичного интеграла и поведение может быть стохастическим при определенном выборе параметров. Интересной задачей является нахождение интегрируемых случаев этой системы (и аналогичных уравнений для $L^{3}$ ) при дополнительных ограничениях на параметры функции Гамильтона (см. также § 2 гл. 3).

Уравнения Кирхгофа на $S^{3}, L^{3}$.
Если в уравнениях (2.37) считать гамильтониан произвольной (положительно определенной) квадратичной формой переменных $\mathbf{L}, \boldsymbol{p}$, то получаются уравнения Кирхгофа, описывающие движение по инерции твердого тела в безграничном объеме безвихревой идеальной жидкости в $S^{3}\left(L^{3}\right)$, аналогичные уравнениям Кирхгофа $\S 1$ гл. 3. Они совпадают с уравнениями Пуанкаре-Жуковского на алгебре sо(4) $(s o(3,1))$, обзор случаев интегрируемости которых содержится в § 2 гл. 3.

Относительно физической значимости этих уравнений приведем высказывание Гаррета Биркгофа из его известной книги [12]:

«Предшествующие формулы имеют очевидные аналоги для движений воображаемых твердых тел в идеальной жидкости в неевклидовых пространствах. Конечно, сомнительно, чтобы эти аналоги классических формул имели даже ограниченное физическое значение. . . Тем не менее, может быть было бы интересно установить некоторые из аналогов этих (классических – aвт.) формул, с тем чтобы проиллюстрировать влияние кривизны пространства (если оно существует) на величину реакции безгранично простирающейся идеальной жидкости на тело при установившемся движении».

Свободное твердое тело в пространстве Лобачевского.
Приведем без подробного вывода уравнения движения свободного тела в пространстве Лобачевского $L^{3}$.

Обозначим координаты в системе, жестко связанной с телом $x^{\sigma}$, а в абсолютной системе $q^{\mu}$. Связь между ними определяется соотношением $q^{\mu}=$ $=B_{\sigma}^{\mu}(t) x^{\sigma}$, где матрица $\mathbf{B}=\left\|B_{\sigma}^{\mu}\right\|$ принадлежит группе $S O(1,3)$. Перейдем к квазискоростям $\boldsymbol{\omega} \in \operatorname{so}(1,3)$ и квазиимпульсам $\mathbf{X} \in S O^{*}(1,3)$,

$\mathbf{X} \approx(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{p})$ по формулам:
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\omega}=\mathbf{B}^{-1} \dot{\mathbf{B}}, \quad\left(\text { в компонентах } \omega_{\tau}^{\sigma}=\left(B^{-1}\right)_{\mu}^{\sigma} \dot{B}_{\tau}^{\mu}\right), \\
\mathbf{X}=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}=\mathbf{g} \mathbf{J} \boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{\omega} \mathbf{g} \mathbf{J}, \\
M^{i}=-\frac{1}{2} \varepsilon^{i j k} g^{j l} X_{l}^{k}, \quad p^{i}=-X_{0}^{i}, \quad i, j, \ldots=1,2,3,
\end{array}
\]

где $\mathbf{g}=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$ – метрический тензор пространства Минковского $\mathbb{M}^{4}$, а $J^{\sigma \tau}=\sum_{m} m x^{\sigma} x^{\tau}-$ тензор моментов инерции в системе, связанной с телом.
Уравнения движения в переменных $\mathbf{L}, \pi$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}+\boldsymbol{p} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{p}}, \\
\dot{\boldsymbol{p}}=\boldsymbol{p} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}-\boldsymbol{M} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{p}}
\end{array}
\]

и представляют собой гамильтонову систему на (ко)алгебре $s o(3,1)$. Функция Гамильтона в переменных $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{p}$ может быть записана в виде
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{p}, \mathbf{B} \boldsymbol{p}), \\
\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(\left(\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)^{-1},\left(\lambda_{3}+\lambda_{1}\right)^{-1},\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)^{-1}\right), \\
\mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(\left(\lambda_{0}-\lambda_{1}\right)^{-1}, \quad\left(\lambda_{0}-\lambda_{2}\right)^{-1}, \quad\left(\lambda_{0}-\lambda_{3}\right)^{-1}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\mathbf{J}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right) .
\]

При этом в силу того, что в пространстве Лобачевского выполнено соотношение $\left(x^{0}\right)^{2}-\left(x^{1}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}-\left(x^{3}\right)^{2}=R^{2}$, справедливо неравенство $\left(x^{0}\right)^{2}>\left(x^{i}\right)^{2}, i=1,2,3$, и поэтому $\lambda_{\mathrm{c}}>\lambda_{i}, i=1,2,3$. Система (5) является интегрируемым случаем Шоттки-Манакова на пучке скобок $\mathscr{L}_{x}$ (см. § 2 гл. 3). Задача о движении двумерной фигуры на плоскости Лобачевского впервые рассматривалась Н. Е. Жуковским [77].

Комментарий. Приведенный вывод уравнений движения четырехмерного тела (и гиростата) без изменений переносится на $n$-мерную ситуаџию. Здесь также необходимо пользоваться угловыми скоростями и кинетическими моментами (которые представляют теперь соответственно элементы алгебр $s o(n)$,

$s o(1, n-1)$ и коалгебр $s o^{*}(n), s o(1, n-1)$ ) в связанной с телом системе координат. Коммутаџионное уравнение вида (2.35) при этом представляет собой аналог интегрируемых уравнений Эйлера для свободного волчка [5, 121].