Приведем также различные постановки задач о движении связки двух (в общем случае – нескольких) твердых тел, частным случаем которых является гиростат, описанный выше.

Связка двух волчков. Рассмотрим систему, состоящую из несущего тела $\tau_{0}$ с неподвижной точкой $O$ и несомого тела $\tau_{1}$, которое закреплено в несущем одной своей точкой $O_{1}$ (см. рис. 67), при этом распределение масс системы, вообще говоря, изменяется при поворотах несомого тела.
Рис. 67.
Обозначим через $\boldsymbol{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$ вектор, соединяющий точки $O$ и $O_{1}$ в проекциях на оси, связанные с несущим телом, а через $\boldsymbol{R}=\left(R_{1}, R_{2}, R_{3}\right)$ –

вектор из точки $O_{1}$ в центр масс несомого тела в проекциях на те же оси (см. рис. 67).
Кинетическая энергия системы может быть представлена в форме
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{U} \boldsymbol{\omega})+\left(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{V} \boldsymbol{\omega}_{1}\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\omega}_{1}, \mathbf{W} \boldsymbol{\omega}_{1}\right), \\
\mathbf{U}=\mathbf{I}_{0}+\mathbf{I}_{a}+\mathbf{I}_{1}+\frac{1}{2}\left(\mathbf{I}_{2}+\mathbf{I}_{2}^{T}\right), \quad \mathbf{V}=\mathbf{I}_{1}+\mathbf{I}_{2}, \quad \mathbf{W}=\mathbf{I}_{1},
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{\omega}$ – угловая скорость тела $\tau_{0}, \omega_{1}$ – угловая скорость несомого тела относительно несущего, $\mathbf{I}_{0}$ – тензор инерции несущего тела относительно точки $O, \mathbf{I}_{1}$ – тензор инерции несомого тела относительно $O_{1}$, $\mathbf{I}_{a}=\left\|\delta_{i j} \boldsymbol{a}^{2}-a_{i} a_{j}\right\|, \mathbf{I}_{2}=\left\|\delta_{i j}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{R})-a_{i} R_{j}\right\|$.
После преобразования Лежандра
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{M}=\frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{\omega}}=\mathbf{U} \boldsymbol{\omega}+\mathbf{V} \boldsymbol{\omega}_{1}, \quad \boldsymbol{M}_{1}=\frac{\partial T}{\partial \omega_{1}}=\mathbf{V} \boldsymbol{\omega}+\mathbf{W} \boldsymbol{\omega}_{1}, \\
H=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})+\left(\boldsymbol{M}_{1}, \boldsymbol{\omega}_{1}\right)-\left.T\right|_{\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega}_{1} \rightarrow \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M}_{1}}
\end{array}
\]

получим гамильтониан в виде однородной квадратичной функции моментов $M, M_{1}$
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+(\boldsymbol{M}, \mathbf{B} \boldsymbol{M})+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{M}_{1}, \mathbf{C} \boldsymbol{M}_{1}\right) .
\]

В отличие от рассматриваемых далее уравнений Пуанкаре-Жуковского, описывающих движение тела с полостью, заполненной вихревой жидкостью (см. гл. 3, §2), матрицы А, В, С зависят от позиционных переменных, которые определяют положение несомого тела относительно несущего, задаваемое элементом группы $S O(3)$. В качестве таких переменных можно выбрать углы Эйлера, либо направляющие косинусы, либо другую систему координат на группе $S O(3)$.

В отсутствие внешнего поля, позиционные переменные несущего тела $\tau_{0}$ не входят в гамильтониан (8.3). Выбирая в качестве переменных, определяющих положение несомого тела, направляющие косинусы $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$, мы можем записать уравнения движения системы (8.3) в гамильтоновой форме со скобкой, определяемой алгеброй $s o(3) \oplus\left(s o(3) \oplus_{s} \mathbb{R}^{9}\right)$, первое слагаемое соответствует моменту $\boldsymbol{M}$, второе – $\boldsymbol{M}_{1}$, а третье – позиционным переменным тела $\tau_{1}$.
В координатной записи скобка Пуассона имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{1 i}, M_{1 j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{1 k}, \\
\left\{M_{i}, \alpha_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \alpha_{k}, \quad\left\{M_{1 i}, \beta_{i}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \beta_{k}, \quad\left\{M_{1 i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k} .
\end{array}
\]

Остальные скобки нулевые. Эта система имеет четыре степени свободы (во внешнем поле – шесть степеней свободы).

Рис. 68. Тело с ротатором.
Тело с ротатором представляет собой систему, состоящую из несущего тела $\tau_{0}$ с неподвижной точкой $O$, и несомого тела – poтатора, которое свободно вращается вокруг оси, фиксированной в несущем теле. Угол поворота несомого тела вокруг своей оси вращения обозначим через $\beta$.
Рассмотрим частный случай такой системы, когда ось ротатора проходит через точку закрепления (см. рис. 68), более общая постановка имеется в [81]. Кинетическую энергию можно представить в форме
\[
T=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{I}_{0} \boldsymbol{\omega}\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\omega}+\dot{\beta} \boldsymbol{n}, \mathbf{I}_{1}(\boldsymbol{\omega}+\dot{\beta} \boldsymbol{n})\right),
\]

где $\boldsymbol{\omega}$ – угловая скорость несущего тела, $\boldsymbol{n}$ – единичный вектор, направленный вдоль оси ротатора, $\mathbf{I}_{0}$ – тензор инерции несущего тела, а $\mathbf{I}_{1}$ тензор инерции ротатора. Если ротатор неуравновешен, то $\mathbf{I}_{1}$ зависит от угла поворота $\beta$.

Выберем систему координат, связанную с несущим телом таким образом, что ось $O x_{3}$ направлена вдоль оси ротатора $\boldsymbol{n}$. Пусть единичный вектор $\boldsymbol{\alpha}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, 0\right)$ определяет направление проекции центра масс ротатора на плоскость $x_{1} x_{2}$ (рис. 68). Определим моменты и гамильтониан при помощи преобразования Лежандра
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{M}=\frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{\omega}}=\left(\mathbf{I}_{0}+\mathbf{I}_{1}\right) \boldsymbol{\omega}+\mathbf{I}_{1} \dot{\beta} \boldsymbol{n}, \quad L=\frac{\partial T}{\partial \dot{\beta}}=\left(\boldsymbol{n}, \mathbf{I}_{1}(\boldsymbol{\omega}+\dot{\beta} \boldsymbol{n})\right), \\
H=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{M}-L \boldsymbol{m}, \mathbf{J}^{-1}(\boldsymbol{M}-L \boldsymbol{m})\right)+\frac{L^{2}}{2\left(\boldsymbol{n}, \mathbf{I}_{1} \boldsymbol{n}\right)}, \\
\boldsymbol{m}=\frac{\mathbf{I}_{1} \boldsymbol{n}}{\left(\mathbf{I}_{1} \boldsymbol{n}, \boldsymbol{n}\right)}, \quad \mathbf{J}=\mathbf{I}_{0}+\mathbf{I}_{1}-\left(\boldsymbol{n}, \mathbf{I}_{1} \boldsymbol{n}\right) \boldsymbol{m} \otimes \boldsymbol{m} .
\end{array}
\]

Условия коммутации между компонентами $M, L, \alpha$ имеют естественный вид
\[
\begin{array}{c}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{L, \alpha_{1}\right\}=\alpha_{2}, \quad\left\{L, \alpha_{2}\right\}=-\alpha_{1}, \\
\left\{M_{i}, L\right\}=\left\{M_{i}, \alpha_{1}\right\}=\left\{M_{i}, \alpha_{2}\right\}=\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Скобка (8.6) соответствует прямой сумме алгебр $s o(2) \oplus e(2)$ и обладает двумя функциями Казимира
\[
F_{1}=M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}: \quad F_{2}=\alpha_{1}^{2}+\alpha_{2}^{2}=1 .
\]

Таким образом, мы имеем систему с двумя степенями свободы. В общем случае она является неинтегрируемой.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. В гамильтоновой форме эту систему записывают чаще в других переменных. Вместо позиционных переменных вектора $\boldsymbol{\alpha}$ положение ротатора в несущем теле характеризуют углом $\beta$. Обозначая $p_{\beta}=L$, запишем скобку Пуассона для этих образующих:
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{\beta, p_{\beta}\right\}=1, \quad\left\{M_{i}, \beta\right\}=\left\{M_{i}, p_{\beta}\right\}=0,
\]

это соответствует прямой сумме $s o(3) \oplus C_{2}$, где $C_{2}$ – постоянная скобка канонических переменных $\beta, p_{\beta}$. Пуассонова структура (8.7) обладает одной функцией Казимира $F=\boldsymbol{M}^{2}$.

Рассмотрим два известных интегрируемых случая системы (8.5) с циклическим интегралом, найденных Е.А.Ивиным в [81] и являющихся различными механическими реализациями уже известной нам системы Жуковского – Вольтерра.
1. Если $\mathbf{I}_{1}$ не зависит от $\boldsymbol{\alpha}$ (уравновешенный ротатор), то $\beta$ – циклическая переменная, а $L$ – циклический интеграл.

В этом случае гамильтониан (8.5) определяет на алгебре $s o(3)=$ $=\left\{\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)\right\}$ систему Жуковского-Вольтерра с вектором гиростатического момента $k=L \boldsymbol{m}$.

2. Пусть несущее тело динамически симметричное с осью симметрии, совпадающей с осью ротатора $-\mathbf{I}_{0}=\operatorname{diag}\left(I_{1}, I_{1}, I_{3}\right)$. В этом случае циклический интеграл имеет вид
\[
F=M_{3}-L,
\]

он соответствует циклической переменной $\beta-\varphi$, где $\varphi-$ угол собственного вращения (угол прецессии $\psi$ также циклический).
Рассмотрим систему переменных, коммутирующих с интегралом (8.8),
\[
K_{1}=M_{1} \alpha_{1}+M_{2} \alpha_{2}, \quad K_{2}=-M_{1} \alpha_{2}+M_{2} \alpha_{1}, \quad K_{3}=M_{3} .
\]

Они образуют алгебру $s o(3)$ :
\[
\left\{K_{i}, K_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} K_{k} .
\]

Переменные (8.9) имеют прозрачный механический смысл – это проекции кинетического момента оболочки на оси, жестко связанные с ротатором. Записывая гамильтониан (8.5) в новых переменных (8.9), получим
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{K}-F \boldsymbol{e}_{3},\left(\widetilde{\mathbf{I}}_{1}^{0}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{K}-F \boldsymbol{e}_{3}\right)\right)+\frac{1}{2 I_{3}} F^{2}, \quad \boldsymbol{e}_{3}=(0,0,1), \\
\widetilde{\mathbf{I}}_{1}^{0}=\left(\begin{array}{ccc}
x_{1}+I_{1} & 0 & z_{1} \\
0 & x_{2}+I_{1} & z_{2} \\
z_{1} & z_{2} & x_{3}
\end{array}\right),
\end{array}
\]

где $x_{i}, z_{i}$ – компоненты тензора инерции ротатора относительно точки $O$ в выбранной системе координат ротатора. Таким образом, снова приходим к задаче Жуковского-Вольтерра, которая определяется гамильтонианом (8.11).

Комментарий. В работе Е.А.Ивина [81] и его диссертаџии указанные в этом разделе интегрируемые случаи приведены в малодоступной и громоздкой форме. Это связано с отсутствием приемлемой алгебраизаџии уравнений движения ротатора, которая получена нами при помощи общего формализма пуассоновых структур [31]. Такая алгебраизаџия позволяет заметить связь с залачей Жуковского-Вольтерра, которая фактически явно не была указана. Отметим также, что динамика связки твердых тел до сих пор является малоизученной.

Уравнения Лиувилля описывают движение свободного твердого тела, динамические параметры которого являются заданными функциями времени. Они были получены Ж. Лиувиллем в работе [244] и более подробно разобраны также в трактате Ф. Тиссерана [275], где также указаны их возможные физические приложения к проблеме движения небесных тел, параметры которых меняются периодическим образом (вследствие таяния ледников, приливных факторов и пр.). Уравнения движения такой системы имеют вид (7.2), где $k(t)$ являются известными функциями времени, то есть они являются частным случаем уравнений гиростата, ротор которого неуравновешен, но совершает в теле заданное движение (то есть не добавляются степени свободы, связанные с ротатором).

В гамильтоновой форме они представляют собой уравнения на алгебре $s o(3)$
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}
\]

с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A}(t) \boldsymbol{M})-(\boldsymbol{k}(t), \boldsymbol{M}),
\]

где матрица $\mathbf{A}(t)$ и вектор $\boldsymbol{k}(t)$ являются известными функциями времени. Для периодических функций условия интегрируемости изучались в [26], где показано, что при малых возмущениях случая Эйлера единственно возможным интегрируемым случаем (с точностью до замены времени) является задача Жуковского-Вольтерра. В [29] установлены аналитические условия возникновения адиабатического хаоса и изучена диффузия адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису при медленном и периодическом изменении функций $\mathbf{A}(t)$ и $\boldsymbol{k}(t)$.