1. Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой

Приведем наиболее важные формы уравнений динамики твердого тела в различных системах переменных. По отношению к ним справедливы те же замечания, что и в предыдущем разделе. Их использование определяется целью исследования и зависит от конкретной постановки задачи.

Уравнения Эйлера-Пуанкаре на группе $S O(3)$. Рассмотрим движение твердого тела, одна из точек которого остается неподвижной в пространстве (в некоторой инерциальной системе отсчета). Конфигурационное пространство в этом случае – группа $S O(3)$. Воспользуемся ее пред-

ставлением ортогональными матрицами направляющих косинусов (3.3) (см. $\S 3$, п. 2)
\[
\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{lll}
\alpha_{1} & \beta_{1} & \gamma_{1} \\
\alpha_{2} & \beta_{2} & \gamma_{2} \\
\alpha_{3} & \beta_{3} & \gamma_{3}
\end{array}\right) \in S O(3)
\]

где, как и выше, $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ – орты неподвижного пространства в проекциях на оси, связанные с телом.

Угловая скорость твердого тела $\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}\right)$ в проекциях на те же оси находится из уравнений Пуассона
\[
\dot{\alpha}=\alpha \times \omega, \quad \dot{\beta}=\beta \times \omega, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \omega,
\]

которые указывают на постоянство векторов $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ в абсолютном пространстве. Переписывая (4.2) в матричной форме, получим
\[
\dot{\mathbf{Q}}=\widetilde{\omega} \mathbf{Q}, \quad \widetilde{\omega}=\mathbf{Q}^{\mathrm{T}}=-\dot{\mathbf{Q}} \mathbf{Q}^{\mathrm{T}},
\]

где
\[
\widetilde{\boldsymbol{\omega}}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -\omega_{3} & \omega_{2} \\
\omega_{3} & 0 & -\omega_{1} \\
-\omega_{2} & \omega_{1} & 0
\end{array}\right) .
\]

С групповой точки зрения проекции угловой скорости в теле $\omega_{i}$ соответствуют компонентам скорости точки на группе $S O(3)$ в базисе левоинвариантных векторных полей. Аналогично проекции угловой скорости в пространстве $\Omega_{i}$ соответствуют компоненты скорости в базисе правоинвариантных векторных полей
\[
\boldsymbol{\omega}=\sum_{k} \omega_{k} \boldsymbol{\xi}_{k}, \quad \boldsymbol{\xi}_{k}=-\sum_{i j} \varepsilon_{k i j}\left(\alpha_{i} \frac{\partial}{\partial \alpha_{j}}+\beta_{i} \frac{\partial}{\partial \beta_{j}}+\gamma_{i} \frac{\partial}{\partial \gamma_{j}}\right) .
\]

Для нахождения полей $\xi_{k}$ запишем производную по времени с учетом (4.3)
\[
\frac{d f}{d t}=\operatorname{Tr}\left(\dot{\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{Q}}\right)=\operatorname{Tr}\left((\widetilde{\boldsymbol{\omega}} \mathbf{Q})^{\mathrm{T}} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{Q}}\right), \quad \frac{\partial f}{\partial \mathbf{Q}}=\left\|\frac{\partial f}{\partial Q_{i j}}\right\|,
\]

группируя слагаемые при $\omega_{i}$, получаем векторные поля $\boldsymbol{\xi}_{i}$ (4.4).

Коммутационные соотношения д.тя векторных полей $\xi_{k}$ имеют вид
\[
\left[\boldsymbol{\xi}_{i}, \boldsymbol{\xi}_{j}\right]=\varepsilon_{i j k} \boldsymbol{\xi}_{k},
\]

где $\varepsilon_{i, j, k}$ – символы Леви-Чивита.
Подставляя (4.4) и (4.6) в уравнения Эйлера-Пуанкаре (2.4), получим уравнения движения в форме
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}\right)=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{\omega}+\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\alpha}} \times \boldsymbol{\alpha}+\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\beta}} \times \boldsymbol{\beta}+\frac{\partial L}{\partial \gamma} \times \gamma,
\]

которые совместно с (4.2) составляют полную систему уравнений движения твердого тела с неподвижной точкой. Система (4.2), (4.7) была получена Ж. Лагранжем во втором томе его знаменитой «Аналитической механики» [110].

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Приведем также уравнения движения (4.2), (4.7) в матричной форме, которая допускает простое обобщение на многомерный случай
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \tilde{\boldsymbol{\omega}}}\right)=\left[\tilde{\boldsymbol{\omega}}, \frac{\partial L}{\partial \tilde{\boldsymbol{\omega}}}\right]+\frac{\partial L}{\partial \mathbf{Q}} \mathbf{Q}^{\mathrm{T}}-\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf{Q}}\right)^{\mathrm{T}} \mathbf{Q}, \quad \dot{\mathbf{Q}}=\tilde{\boldsymbol{\omega}} \mathbf{Q},
\]

где $\frac{\partial L}{\partial \widetilde{\boldsymbol{\omega}}}=\left\|\frac{\partial L}{\partial \widetilde{\omega}_{i j}}\right\|, \frac{\partial L}{\partial \mathbf{Q}}=\left\|\frac{\partial L}{\partial Q_{i j}}\right\|$, и $[\cdot, \therefore-$ обычный матричный коммутатор.
Уравнения движения в угловых скоростях и кватернионах. Помимо матричной реализации (4.1) в §3 мы привели также кватернионную параметризацию группы $S O(3)$, для которой векторные поля (4.4) также линейные функции координат. Действительно, можно показать, что на единичной сфере $\lambda_{0}^{2}+\boldsymbol{\lambda}^{2}=1, \boldsymbol{\lambda}=\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)$ компоненты угловой скорости (4.3) и векторные поля (4.4) имеют вид [97, 108]
\[
\begin{array}{c}
\omega_{1}=2\left(\lambda_{0} \dot{\lambda_{1}}-\lambda_{1} \dot{\lambda_{0}}+\lambda_{3} \dot{\lambda_{2}}-\lambda_{2} \dot{\lambda_{3}}\right), \\
\omega_{2}=2\left(\dot{\lambda}_{0} \dot{\lambda_{2}}-\lambda_{2} \dot{\lambda_{0}}+\lambda_{1} \dot{\lambda_{3}}-\lambda_{3} \dot{\lambda_{1}}\right), \\
\omega_{3}=2\left(\lambda_{0} \dot{\lambda_{3}}-\lambda_{3} \dot{\lambda_{0}}+\lambda_{2} \dot{\lambda_{1}}-\lambda_{1} \dot{\lambda_{2}}\right), \\
\xi_{1}=\frac{1}{2}\left(\lambda_{0} \frac{\partial}{\partial \lambda_{1}}-\lambda_{1} \frac{\partial}{\partial \lambda_{0}}+\lambda_{3} \frac{\partial}{\partial \lambda_{2}}-\lambda_{2} \frac{\partial}{\partial \lambda_{3}}\right), \\
\xi_{2}=\frac{1}{2}\left(\lambda_{0} \frac{\partial}{\partial \lambda_{2}}-\lambda_{2} \frac{\partial}{\partial \lambda_{0}}+\lambda_{1} \frac{\partial}{\partial \lambda_{3}}-\lambda_{3} \frac{\partial}{\partial \lambda_{1}}\right), \\
\boldsymbol{\xi}_{3}=\frac{1}{2}\left(\lambda_{0} \frac{\partial}{\partial \lambda_{3}}-\lambda_{3} \frac{\partial}{\partial \lambda_{0}}+\lambda_{2} \frac{\partial}{\partial \lambda_{1}}-\lambda_{1} \frac{\partial}{\partial \lambda_{2}}\right) .
\end{array}
\]

Коммутационные соотношения для полей $\xi_{k}$ имеют также вид (4.6).

Уравнения Пуанкаре (2.4) с учетом (4.8) принимают вид
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}\right) & =\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{\omega}+\frac{1}{2} \lambda_{0} \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\lambda}}-\frac{1}{2} \boldsymbol{\lambda} \frac{\partial L}{\partial \lambda_{0}}+\frac{1}{2} \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\lambda}} \times \boldsymbol{\lambda}, \\
\dot{\lambda_{0}} & =-\frac{1}{2}(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\lambda}), \quad \dot{\boldsymbol{\lambda}}=\frac{1}{2} \lambda_{0} \boldsymbol{\omega}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\lambda} \times \boldsymbol{\omega} .
\end{aligned}
\]

Кинетическая энергия твердого тела с неподвижной точкой в векторной и матричной форме может быть представлена в форме
\[
T=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{I} \boldsymbol{\omega})=-\frac{1}{2} \operatorname{Tr}(\widetilde{\boldsymbol{\omega}} \mathbf{J} \tilde{\boldsymbol{\omega}}) .
\]

Здесь $\mathbf{I}=\left\|I_{i j}\right\|-$ тензор инерции твердого тела относительно неподвижной точки тела, компоненты которого определяются выражением
\[
I_{i j}=\int_{\tau}\left(\boldsymbol{y}^{2} \delta_{i j}-y_{i} y_{j}\right) \rho(\boldsymbol{y}) d^{3} \boldsymbol{y},
\]

где интегрирование ведется по всем точкам $\boldsymbol{y}$ тела $\tau$, а $\rho(\boldsymbol{y})$ – его плотность в точке $\boldsymbol{y}$.

Тензор $\mathbf{J}=\left\|J_{i j}\right\|$ – также называется тензором инерции, но теперь он определяется по формуле
\[
J_{i j}=\int_{\tau} y_{i} y_{j} \rho(\boldsymbol{y}) d^{3} \boldsymbol{y},
\]

этот тензор чаще используется для многомерных обобщений.
Связь между $\mathbf{I}$ и $\mathbf{J}$ дается соотношениями
\[
\mathbf{J}=\frac{1}{2}(\operatorname{Tr} \mathbf{I}) \mathbf{E}-\mathbf{I}, \quad \mathbf{I}=(\operatorname{Tr} \mathbf{J}) \mathbf{E}-\mathbf{J} .
\]

В системе осей, связанных с телом, тензоры I и $\mathbf{J}$ представляют собой постоянные симметричные матрицы (в неподвижном пространстве $\mathbf{I}, \mathbf{J}$ зависят от координат), которые вследствие коммутативности (IJ = JI) одновременно приводятся к диагональному виду. Соответствующая система координат в теле называется главной, а ее оси – главными осями (инерции).

2. Гамильтонова форма уравнений движения для различных систем переменных
Уравнения движения в алгебраической форме. В гамильтоновой форме уравнения (4.2), (4.7) можно представить при помощи преобразования Лежандра
\[
\boldsymbol{M}=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}, \quad H=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\omega})-\left.L\right|_{\boldsymbol{\omega} \rightarrow \boldsymbol{M}} .
\]

Для натуральной системы с кинетической энергией (4.10) и потенциальной энергией $U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \gamma)$ находим
\[
\boldsymbol{M}=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}, \quad H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}),
\]

где $\mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1}, \boldsymbol{M}$ – компоненты кинетического момента в проекциях на подвижные оси, $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ – компоненты направляющих косинусов.

Исходя из общих формул (2.13), а также (4.6), получим, что скобка Пуассона определяется алгеброй $s o(3) \oplus_{s}\left(\mathbb{R}^{3} \oplus \mathbb{R}^{3} \oplus \mathbb{R}^{3}\right)$, являющейся полупрямой суммой алгебры вращений и трех алгебр трансляций
\[
\begin{array}{rlrl}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\} & =-\varepsilon_{i j k} M_{k}, & \left\{M_{i}, \alpha_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \alpha_{k}, \\
\left\{M_{i} \beta_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \beta_{k}, & & \left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \\
\left\{\alpha_{i}, \alpha_{j}\right\}=\left\{\beta_{i}, \beta_{j}\right\}=\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=\left\{\alpha_{i}, \beta_{j}\right\}=\left\{\alpha_{i}, \gamma_{j}\right\}=\left\{\beta_{i}, \gamma_{j}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Гамильтоновы уравнения движения в явной форме имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}+\boldsymbol{\alpha} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\alpha}}+\boldsymbol{\beta} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\beta}}+\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial H}{\partial \gamma}, \\
\dot{\boldsymbol{\alpha}}=\boldsymbol{\alpha} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}, \quad \dot{\boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{\beta} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}, \quad \dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}, \\
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \mathbf{A} \boldsymbol{M})+U(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}) .
\end{array}
\]

В виде (4.17) могут быть также представлены уравнения движения твердого тела в обобщенно-потенциальном, например, магнитном поле, в этом случае гамильтониан $H$ содержит члены, линейные относительно $M$ (см. далее).

Скобка Пуассона (4.16) является вырожденной и обладает шестью функциями Казимира
\[
\begin{array}{lll}
f_{1}=(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha}), & f_{2}=(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\beta}), & f_{3}=(\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma}), \\
f_{4}=(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}), & f_{5}=(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma}), & f_{6}=(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}) .
\end{array}
\]

Размерность неособого симплектического листа, гомеоморфного (ко)касательному расслоению трехмерной сферы $T^{*} S^{3}$, равна шести. Вследствие выполнения соотношений ортонормированности, симплектический лист определяется условиями: $f_{1}=f_{2}=f_{3}=1, f_{4}=f_{5}=f_{6}=0$. Так как симплектический лист является шестимерным, а система (4.17) имеет три степени свободы.

В неподвижной системе координат положение и скорость твердого тела можно характеризовать проекциями ортов, связанных с телом, на неподвижные оси, которые выражаются через строки матрицы $\mathbf{Q}$ и проекциями вектора кинетического момента на те же оси
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{e}_{1}=\left(\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}\right), \quad \boldsymbol{e}_{2}=\left(\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}\right), \quad \boldsymbol{e}_{3}=\left(\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}\right), \\
N_{1}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}), N_{2}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\beta}), N_{2}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma}) .
\end{array}
\]

Несложно показать, что переменные $N, \boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}$ также образуют структуру Ли-Пуассона, отличающуюся лишь знаком от (4.16)
\[
\begin{array}{l}
\left\{N_{i}, N_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} N_{k}, \\
\left\{N_{i}, e_{1 j}\right\}=\varepsilon_{i j k} e_{1 k}, \quad\left\{N_{i}, e_{2 j}\right\}=\varepsilon_{i j k} e_{2 k}, \quad\left\{N_{i}, e_{3 k}\right\}=\varepsilon_{i j k} e_{3 k}, \\
\left\{e_{k i}, e_{l j}\right\}=0 . \\
\end{array}
\]

Так, например, сферический маятник в потенциальном может быть просто записан при помощи переменных $N, e_{3}$, где $e_{3}$ – единичный вектор, направленный из центра закрепления к грузу, $\boldsymbol{N}=m l^{2} \boldsymbol{\omega}$, и $\boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{e}_{3} \times \dot{e}_{3}-$ угловая скорость, $l$ – длина маятника. Кроме того, справедливо соотношение $\left(\boldsymbol{N}, \boldsymbol{e}_{3}\right)=0$ – нулевая орбита $e(3)$.
Гамильтониан можно записать следующим образом
\[
H=\frac{1}{2 m l^{2}} N^{2}+U\left(e_{3}\right) .
\]

Таким образом, сферический маятник можно представить в виде сферического волчка на нулевой орбите алгебры $e(3)$.

Эти образующие удобно также использовать для описания редукции в случае существования интеграла Лагранжа $F=M_{3}=$ const (см. §§ 1,2 гл. 4).

Кватернионное представление уравнений движения. Для практических вычислений избыточность уравнений (4.17) является очень неудобной, так как, например, при численном интегрировании этих уравнений быстро нарушаются соотношения ортонормированности. Этого недостатка лишена кватернионная форма представления уравнений движения, указанная авторами в [30, 31]. Матрица направляющих косинусов в кватернионном представлении имеет вид (3.11), а соответствующие коммутационные

соотношения –
\[
\begin{array}{rlrl}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\} & =-\varepsilon_{i j k} M_{k}, & \left\{M_{i}, \lambda_{0}\right\}=\frac{1}{2} \lambda_{i}, \\
\left\{M_{i}, \lambda_{j}\right\} & =-\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{i j k} \lambda_{k}+\delta_{i j} \lambda_{0}\right), & \left\{\lambda_{\mu}, \lambda_{
u}\right\} & =0 .
\end{array}
\]

Определяющая их алгебра Ли представляет собой полупрямую сумму алгебры вращений $s o(3)$ и алгебры трансляций $\mathbb{R}^{4}: l(7) \approx s o(3) \oplus_{s} \mathbb{R}^{4}$.

Скобка (4.22) является вырожденной. Она обладает единственной функцией Казимира
\[
F(\lambda)=\lambda_{0}^{2}+\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2} .
\]

Неособый симплектический лист также гомеоморфен кокасательному расслоению трехмерной сферы $T^{*} S^{3}$, его размерность равна шести. Уравнения движения могут быть записаны в следующем виде
\[
\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{M}}=\boldsymbol{M} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\lambda} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\lambda}}+\frac{1}{2} \frac{\partial H}{\partial \lambda_{0}} \boldsymbol{\lambda}-\frac{1}{2} \lambda_{0} \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\lambda}}, \\
\dot{\lambda}_{0}=-\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\lambda}, \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}\right), \quad \dot{\boldsymbol{\lambda}}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\lambda} \times \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}}+\frac{1}{2} \lambda_{0} \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{M}},
\end{array}
\]

и для их интегрируемости также не хватает еще двух дополнительных инволютивных интегралов.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для реальных систем, происходящих из динамики твердого тела, гамильтониан $H$ – однозначная функция на группе $S O(3)$, и вследствие двукратного ее накрытия кватернионами (3.11) функция Гамильтона зависит лишь от квадратичных комбинаций $\lambda_{i} \lambda_{j}$. Тем не менее, системы с гамильтонианом, произвольно зависящим от кватернионов, встречаются в других разделах механики: искривленная небесная механика, система Леггетта, квантовая механика спинов (см. гл. 3, 4). Возможно, что форма (4.24) имеет более важный смысл именно в квантовой механике, где имеются эффекты, существенно связанные с дополнительными спиновыми переменными.

Канонические уравнения в углах Эйлера и переменных АндуайеДепри. В углах Эйлера $(\theta, \varphi, \psi)$ и соответствующих им канонических импульсах $p_{\theta}, p_{\varphi}, p_{\psi}$ уравнения движения имеют обычную гамильтонову форму
\[
\dot{\boldsymbol{p}}=-\frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{q}}, \quad \dot{\boldsymbol{q}}=\frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{p}}, \quad \boldsymbol{q}=(\theta, \varphi, \psi), \quad \boldsymbol{p}=\left(p_{\theta}, p_{\varphi}, p_{\psi}\right)
\]

которая получается из лагранжева формализма в переменных $(\theta, \varphi, \psi, \dot{\theta}, \dot{\varphi}, \dot{\psi})$ при помощи обычного преобразования Лежандра
\[
\boldsymbol{p}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol{q}}}, \quad H(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})=\left.(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})\right|_{\dot{\boldsymbol{q}}, \boldsymbol{q} \rightarrow \boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}},
\]

здесь $L-$ функция Лагранжа, которая для натуральной системы имеет вид $L=T-U(\theta, \varphi, \psi)$, где лагранжиан определяется формулами (3.1). При этом кинетическая энергия твердого тела не зависит от $\psi$ и имеет вид
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2}(\mathbf{A} \boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})=\frac{1}{2}\left[a_{1}\left(\frac{\sin \varphi}{\sin \theta}\left(p_{\psi}-p_{\varphi} \cos \theta\right)+p_{\theta} \cos \varphi\right)^{2}+\right. \\
\left.+a_{2}\left(\frac{\cos \varphi}{\sin \theta}\left(p_{\psi}-p_{\varphi} \cos \theta\right)-p_{\theta} \sin \varphi\right)^{2}+a_{3} p_{\varphi}^{2}\right] .
\end{array}
\]

Движение твердого тела в потенциальном поле описывается натуральной системой, а гамильтониан имеет вид:
\[
H=T+U(\theta, \varphi, \psi) .
\]

Если потенциальная энергия не зависит от $\psi\left(\frac{\partial U}{\partial \psi}=0\right)$, что соответствует инвариантности силового поля относительно вращений вокруг вертикальной оси, неподвижной в пространстве, то переменная $\psi$ является циклической, а обобщенный импульс $p_{\psi}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})$ – сохраняется. При редукции по Раусу по углу прецессии $\psi$ получается система, описывающая движение точки на сфере $\gamma^{2}=1$, где $\gamma_{1}=\sin \theta \sin \varphi, \gamma_{2}=\sin \theta \cos \varphi$, $\gamma_{3}=\cos \theta$, которая называется сферой Пуассона. При $p_{\psi}
eq 0$ в гамильтониане возникают линейные по скоростям слагаемые (гироскопические члены), неустранимые координатными преобразованиями, соответствующие движению в обобщенно-потенциальном поле. Невозможность устранения связана с глобальным эффектом возникновения «монополя», величина которого вычисляется как интеграл от формы гироскопических сил по сфере Пуассона (см. [133]). На проблему «монополя» впервые обратил внимание П. Дирак в связи с проблемой квантования движения частицы по сфере. При $p_{\psi}=0$ приведенная система снова является натуральной.

При наличии динамической симметрии $a_{1}=a_{2}$, кинетическая энергия (4.26) несколько упрощается и не зависит также от угла $\varphi$
\[
T=\frac{1}{2}\left(a_{1}\left(p_{\theta}^{2}+\frac{\left(p_{\psi}-p_{\varphi} \cos \theta\right)^{2}}{\sin ^{2} \theta}\right)+a_{3} p_{\varphi}^{2}\right) .
\]

Если потенциал $U$ также не зависит от $\varphi$ (т. е. $\frac{\partial U}{\partial \psi}=\frac{\partial U}{\partial \varphi}=0$ ), иначе говоря $U=U(\theta)=U\left(\gamma_{3}\right)$, то имеется еще один циклический интеграл $p_{\varphi}=$ $=M_{3}=c_{2}=$ const – интеграл Лагранжа, соответствующий инвариантности системы относительно вращений вокруг оси динамической симметрии.

Получающаяся при редукции одностепенная система является интегрируемой (см. подробнее $\S 3$ гл. 2). При $p_{\psi}=c_{1}
eq 0$, но $p_{\varphi}=c_{2}=0$ уравнения описывают движение сферического маятника.

В переменных Андуайе-Депри уравнения движения также имеют вид (4.25), где $\boldsymbol{q}=(l, g, h), \boldsymbol{p}=(L, G, H)$. Так как в переменных $L, G, H, l, g, h$ не выделяются чисто позиционные координаты, однозначно задающие положение тела, т.е. в кокасательном расслоении $T S^{3}$ они «перемешивают» переменные базы и слоя, то в общем случае потенциал $U$ зависит от всего набора переменных $U=U(L, G, H, l, g, h)$.
Кинетическая энергия $T$ имеет вид
\[
T=\frac{1}{2}\left[\left(G^{2}-L^{2}\right)\left(a_{1} \sin ^{2} l+a_{2} \cos ^{2} l\right)+a_{3} L^{2}\right] .
\]

Снова несложно получить, что
1) если $\frac{\partial U}{\partial h}=0$, то существует интеграл площадей $H=p_{\psi}=$ $=(\boldsymbol{M}, \gamma)=c=$ const,
2) если при $a_{1}=a_{2}$ и $\frac{\partial U}{\partial l}=0$, то существует интеграл Лагранжа $L=$ $=c_{2}=$ const.

Особенностью представления кинетической энергии в форме (4.29) является ее независимость от переменной $g$. Она позволяет сразу проинтегрировать задачу Эйлера – движение свободного волчка, для которого $U \equiv 0$ (см. §1 гл. 2). Соответствующим циклическим интегралом является $G=$ const, представляющий собой величину кинетического момента $G^{2}=M^{2}$. Это обстоятельство делает переменные Андуайе-Депри полезными для геометрической интерпретации и анализа возмущенной ситуации. Фазовый портрет случая Эйлера на цилиндрической развертке сферы представлен на рис. 5. При наложении возмущения, например, поля тяжести, на фазовом портрете появляются хаотические движения вблизи сепаратрис, соединяющих неустойчивые равномерные вращения (рис. 6). Остановимся на методах визуализации фазового потока более подробно.
3. Сечение Пуанкаре и хаотические движения

Для визуализации хаотических движений двухстепенных систем используют отображение Пуанкаре (сечение Пуанкаре, фазовое сечение), сводящее фазовый поток к дискретному двумерному отображению плоскости на себя.

Опишем методику построения этого отображения, конкретизируя ее для динамики твердого тела. Здесь удобно использовать переменные Андуайе-Депри, а также секущую плоскость, впервые введенную в [215],

а также другие секущие плоскости, проясняющие различные стороны движения.

Зафиксируем сначала уровень энергии $\mathscr{H}(L, G, H, l, g)=E=$ const. Если поле осесимметрично, то переменная $h$ является циклической и не входит в гамильтониан, а сопряженную ей переменную $H$, представляющую собой постоянную площадей, можно считать параметром. Таким образом,
Рис. 4
на уровне энергии мы имеем трехмерный фазовый поток. Выберем секущую плоскость $g=g_{0} \bmod 2 \pi, g_{0}=$ = const (в дальнейшем также используем $l=l_{0} \bmod 2 \pi, l_{0}=$ const) и pacсмотрим последовательные пересечения отдельной траектории этой плоскости $\ldots, x_{n-1}, x_{n}, x_{n+1}, \ldots$ в одном и том же направлении, т.е. $\operatorname{sgn} \dot{g}\left(x_{n}\right)=\operatorname{sgn} \dot{g}\left(x_{n+1}\right)$ (рис. 4).
ЗАМЕчАНИЕ 3. Последнее условие обусловлено тем, чтобы периодические орбиты, пересекающие плоскость $g=g_{0}$, вообще говоря, в двух точках, были бы неподвижными точками точечного отображения $x_{n}=x_{0}, n=1, \ldots$ (см. рис. 4).

Отображение Пуанкаре сопоставляет каждой точке $x_{n}$ ее последовательную итерацию $x_{n+1}$, принадлежащую той же фазовой траектории. Это отображение, вообще говоря, определено локально вблизи некоторого периодического решения, т. к. при действии фазового потока точка может сойти с секущей плоскости и более никогда на нее не вернуться. Тем не менее это отображение является очень полезным и иллюстрирует различные эффекты, связанные с возвращающимися траекториями. Оно обычно также называется отображением первого возвращения.

Имеет смысл рассматривать отображения Пуанкаре и глобально, выделяя на фазовой плоскости области, для которых отображение Пуанкаре определено. Они называются областями возможных движений (ОВД). Обычно они определяются из существования решения для уравнения энергии $\mathscr{H}(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})=E,(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}) \in \mathbb{R}^{4}, q=q_{0}=$ const (в нашем случае $(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})=$ $\left.=(L, G, l, g), q_{0}=g_{0}\right)$. Если уровень энергии является компактным, то справедлива теорема Пуанкаре о возвращении и точка снова пересечет выбранную плоскость, причем бесконечно много раз. Очевидно, что на границе ОВД траектория касается секущей плоскости, т. е. происходит потеря трансверсальности пересечения. Глобальные отображения Пуанкаре еще плохо изучены.
В динамике твердого тела на секущей плоскости мы далее выбираем

координаты $l \bmod 2 \pi, L / G$ из соображений компактности, т. к. $|L / G| \leqslant 1$ (см. $[215,28]$ ). Итерации отображения мы определяем при помощи численного интегрирования уравнений движения в переменных ( $M, \gamma$ ), пересчитывая их при выводе на секущую плоскость в переменные $(L, G, l, g)$ по формулам (3.12), (3.13)
\[
\begin{array}{c}
M_{1}=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \sin l, \quad M_{2}=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \cos l, \quad M_{3}=L, \\
\gamma_{1}=\left(\frac{H}{G} \sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}}+\frac{L}{G} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos g\right) \sin l+\sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \sin g \cos l \\
\gamma_{2}=\left(\frac{H}{G} \sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}}+\frac{L}{G} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos g\right) \cos l-\sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \sin g \sin l, \\
\gamma_{3}=\left(\frac{H}{G}\right)\left(\frac{L}{G}\right)-\sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos g .
\end{array}
\]

Это связано с достижением необходимой точности численного интегрирования и сокращением времени счета. Отметим также, что в последних версиях наших программных средств мы используем также кватернионные уравнения в переменных ( $M, \lambda$ ), которые позволяют достичь даже большей точности, и в то же время определить абсолютное движение твердого тела, необходимое для визуализации траекторий различных точек тела.

Если для интегрируемых систем последовательные итерации отображения ложатся на инвариантные кривые, состоящие из периодических или квазипериодических движений (см. § 7), определенные дополнительным интегралом (рис. 5), то в общей (неинтегрируемой ситуации траектория может хаотическим образом заполнять целые области в фазовом пространстве (на уровне $H=h$, рис. 6).

Отображение Пуанкаре возникло и постоянно используется в теории неинтегрируемости и детерминированного хаоса. Оно также полезно для изучения интегрируемых случаев, так как позволяет наглядно представить взаимное расположение различных частных решений в фазовом пространстве, среди которых имеются особо замечательные и имеющие важное значение (см. гл. 2).

Для случая Эйлера на отображении Пуанкаре получается хорошо известная картина (ср. рис. 5). Кстати говоря, при введении переменных $L, G$, $H, l, g, h$ в [71] А. Депри считал их основным достоинством наглядную интерпретацию решений задачи Эйлера, вполне заменяющую геометрическую интерпретацию Пуансо (§2 гл. 2). Далее мы используем описанную конструкцию для изучения как интегрируемых, так и неинтегрируемых случаев.

Рис. 5. Фазовый портрет задачи Эйлера. Устойчивые неподвижные точки и прямые $|L|=G$ соответствуют устойчивым перманентным вращениям относительно большой и малой осей, неустойчивые точки – вращениям вокруг средней оси инерции, сепаратрисы образуются двоякоасимптотическими траекториями, связывающими неустойчивые перманентные вращения.

Рис. 6. Фазовый портрет (сечение плоскостью $g=\frac{\pi}{2}$ ) для уравнения ЭйлераПуассона при $h=1.5, c=1$ и следующих параметрах тела: $\mathbf{I}=\operatorname{diag}(1.5 ; 1.2)$, $\boldsymbol{r}=(0.5,0,0)$. Видно удвоение периода орбиты, родившейся из перманентных вращений вблизи точек $(\pi, 0)$ и $(2 \pi, 0)$ на рис. 5 , а также расщепление сепаратрис к периодическим решениям, родившихся из перманентных вращений в точках $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ и $\left(\frac{3}{2} \pi, 0\right)$ на рис. 5.