Как развитие аналогии, указанной в предыдущем параграфе, рассмотрим движение материальных точек, взаимодействующих по закону ньютоновского притяжения (точнее, его аналогу) на пространствах постоянной кривизны, в качестве которых мы выберем компактные двумерную и трехмерную сферы $S^{2}$ и $S^{3}$ (кстати, А. Эйнштейн предлагал использовать $S^{3}$ как статическую модель реального мира). Хотя почти все изложенные результаты справедливы и для (некомпактного) пространства Лобачевского, мы не приводим их здесь подробно, ориентируясь лишь на приложения к динамике шарового волчка. В силу отсутствия группы преобразований Галилея такая небесная механика обладает некоторыми отличиями от плоской. Например, задача двух тел здесь не тождественна задаче о центральном поле. Более того, первая задача оказывается неинтегрируемой в отличие от второй. Тем не менее часть интегрируемых задач небесной механики плоского пространства (задача Кеплера, двух центров) обобщается и для искривленного пространства, а значит порождает интегрируемые шаровые волчки.

1. Задача Кеплера

Рассмотрим задачу о движении частицы в поле ньютоновского центра, помещенного в один из полюсов $\theta=0$ трехмерной сферы $q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+$ $+q_{3}^{2}=1$. Напомним, что аналог ньютоновского потенциала для сферы $S^{3}$ имеет вид (здесь $\boldsymbol{q}=\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)$ обозначает трехмерный вектор):
\[
V=-\alpha \operatorname{ctg} \theta=-\alpha \frac{q_{0}}{|\boldsymbol{q}|}, \quad \boldsymbol{q}^{2}=q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2},
\]

где $\alpha$ – гравитационная постоянная, а $\theta$ – один из углов сферической системы координат в $\mathbb{R}^{4}$, оставшиеся обозначим $\varphi, \psi$. Он получается как

решение уравнения Лапласа-Бельтрами для $S^{3}$
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin ^{2} \theta \frac{\partial V}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta \sin \varphi} & \frac{\partial}{\partial \varphi}\left(\sin \varphi \frac{\partial V}{\partial \varphi}\right)+ \\
& +\frac{1}{\sin ^{2} \theta \sin ^{2} \varphi}\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial \psi^{2}}\right)=0
\end{aligned}
\]

инвариантное относительно группы $S O(3)$ и имеющее особенность в полюсе $\theta=0$. При этом особенность возникает также в противоположном полюсе – в одном она притягивающая, а в другом – отталкивающая.

Как показано в предыдущем параграфе, уравнения движения частицы можно представить как динамику шарового волчка в кватернионных переменных ( $\left.\boldsymbol{M}, q_{0}, q_{1}, q_{2}, q_{3}\right) \equiv\left(\boldsymbol{M}, \lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)$, коммутирующих согласно (4.22) §1 и гамильтонаном
\[
H=\frac{1}{2} \boldsymbol{M}^{2}-\alpha \frac{q_{0}}{|\boldsymbol{q}|} .
\]

Известно, что в плоском случае алгебра интегралов задачи Кеплера является избыточной и кроме естественных интегралов углового момента $\boldsymbol{L}=\left(L_{1}, L_{2}, L_{3}\right)$ содержит векторный интеграл Лапласа-Рунге-Ленца $\boldsymbol{A}[229,31]$. Как показано В.А.Фоком [169] и П. Баргманом, эти два векторных интеграла $\boldsymbol{L}$ и $\boldsymbol{A}$ образуют алгебру $O(4)$ для отрицательных и алгебру $O(3,1)$ – для положительных значений энергии.

Аналогичный факт справедлив и для искривленного пространства т. е. существует аналог вектора Лапласа-Рунге-Ленца, который, однако, образует с компонентами момента $\boldsymbol{L}$, задаваемого соотношениями (10.9), не обычную алгебру Ли, а некоторую квадратичную алгебру, названную в [68] алгеброй Якоби.

В избыточных угловых моментах $\boldsymbol{\pi}, \boldsymbol{L}(10.9)$ частицы на $S^{3}$ (образующих алгебру $s o(4)$ ) векторный интеграл Лапласа-Рунге-Ленца имеет вид
\[
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{L} \times \boldsymbol{\pi}+\alpha \frac{\boldsymbol{q}}{|\boldsymbol{q}|} .
\]

Он образует с компонентами углового момента $L_{i}$ следующую нелинейную скобку
\[
\left\{L_{i}, L_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{k},\left\{L_{i}, A_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} A_{k},\left\{A_{i}, A_{j}\right\}=-2 \varepsilon_{i j k} L_{k}\left(H+\boldsymbol{L}^{2}\right) .
\]

Система (11.3) является суперинтегрируемой, а интегрируемость некоммутативной. В более естественных д.я динамики твердого тела переменных $M, N$ интегралы $L$ и $\boldsymbol{A}$ имеют вид
\[
\left\{\begin{array}{l}
\boldsymbol{L}=\boldsymbol{N}-\boldsymbol{M}, \\
\boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{N} \times \boldsymbol{M}-\alpha \frac{\boldsymbol{q}}{|\boldsymbol{q}|},
\end{array}\right.
\]

где $M_{i}$ – проекции кинетического момента на оси, связанные с телом, а $N_{i}$ – на оси, связанные с пространством $\left(N_{1}=(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\alpha}), \ldots\right)$. В частности, если рассмотреть инвариантное ( $q_{0}=0$ ) многообразие задачи Кеплера, представляющее двумерную сферу $S^{2}$, то на ней возникает динамическая система на алгебре $e(3)$, обладающая на уровне $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0, \boldsymbol{\gamma}=\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)$ гамильтонианом и интегралами
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2} M^{2}-\alpha \frac{\gamma_{3}}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}}, \\
F_{1}=M_{3}, F_{2}=M_{1} M_{3}+\frac{\alpha \gamma_{1}}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}}, F_{3}=M_{2} M_{3}+\frac{\alpha \gamma_{2}}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}} .
\end{array}
\]

При этом ньютоновский центр распо.эжен в точке $\gamma_{1}=\gamma_{2}=0, \gamma_{3}=1$. Все траектории шарового волчка, соответствующего задаче Кеплера, являются периодическими (как для $S^{2}$, так и для $S^{3}$ ), при этом «изображающая» материальная точка движется в зависимости констант первых интегралов по коническому сечению $[229,240]$. Можно рассмотреть различные возмущения задачи Кеплера – в частности, ограниченную задачу двух тел на $S^{2}$. В [200] показано, что последняя задача является хаотической, траектории не являются эллипсами, и имеется некоторое смещение перигелия, позволяющее нетрадиционным образом (не связанным с эффектами ОТО) интерпретировать результаты астрономических наблюдений. Доказательство отсутствия аналитических интегралов, по предположению авторов, было недавно получено С. Л. Зиглиным.

2. Эйлерова задача двух центров

На двумерной и трехмерной сферах сохраняет свою интегрируемость также классическая задача Эйлера о движении материальной частицы в поле двух неподвижных ньютоновских центров. Рассмотрим для простоты случай двумерной сферы $S^{2}$, разделение переменных для которого приведено в работе В.В.Козлова, А. О. Харина [240]. Тем более, как показано в [31] при помощи редукции по циклической переменной (интегралу момента)

«пространственная» задача на $S^{3}$ может быть сведена к «плоской» (на $S^{2}$ ) при добавлении в полюс, расположенный на перпендикуляре к плоскости двух центров, одного гуковского центра (см. далее).

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Движение частицы в поле одного ньютоновского и одного гуковского центра будет интегрируемым, что является следствием обобщения Лагранжа задачи двух центров, при котором посередине между ними добавляется упругая пружина (оно также справедливо на $S^{2}$ ). При этом интенсивность одного ньютоновского центра необходимо устремить к нулю.

Разделение переменных.
Поместим ньютоновские центры на сфере $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ в точках $(\alpha, \beta, 0),(-\alpha, \beta, 0), \alpha>0, \beta>0, \alpha^{2}+\beta^{2}=1$ и определим криволинейные (сфероконические) координаты как корни квадратного уравнения
\[
f(w)=\frac{x_{1}^{2}}{w-\alpha^{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{w+\beta^{2}}+\frac{x_{3}^{2}}{w}=\frac{\left(w-\xi^{2}\right)\left(w+\eta^{2}\right)}{\left(w-\alpha^{2}\right)\left(w+\beta^{2}\right) w},
\]

где $0<\xi<\alpha^{2}, 0<\eta<\beta^{2}$. С помощью вычетов несложно получить явные выражения для декартовых координат
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=\operatorname{sgn}\left(x_{1}\right) \frac{\sqrt{\left(\alpha^{2}-\xi^{2}\right)\left(\alpha^{2}+\eta^{2}\right)}}{\alpha}, \quad x_{2}=\operatorname{sgn}\left(x_{2}\right) \frac{\sqrt{\left(\beta^{2}+\xi^{2}\right)\left(\beta^{2}-\eta^{2}\right)}}{\beta}, \\
x_{3}=\frac{\xi \eta}{\alpha \beta},
\end{array}
\]

где $\operatorname{sgn}(x)$ обозначает знак переменной $x$. Функция Гамильтона в переменных $\xi, \eta$ принадлежит к лиувиллевому типу, а система в них разделяется
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M})-\mu_{1} \operatorname{ctg} \theta_{1}-\mu_{2} \operatorname{ctg} \theta_{2}= \\
=\frac{1}{2}\left(\frac{\left(\alpha^{2}-\xi^{2}\right)\left(\beta^{2}+\xi^{2}\right)}{\xi^{2}+\eta^{2}} p_{\xi}^{2}+\frac{\left(\alpha^{2}+\eta^{2}\right)\left(\beta^{2}-\eta^{2}\right)}{\xi^{2}+\eta^{2}} p_{\eta}^{2}\right)+ \\
+\frac{\operatorname{sgn}\left(x_{2}\right)\left(\mu_{1}+\mu_{2}\right) \sqrt{\left(\alpha^{2}-\xi^{2}\right)\left(\beta^{2}+\xi^{2}\right)}}{\xi^{2}+\eta^{2}}+ \\
+\frac{\operatorname{sgn}\left(x_{1}\right)\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right) \sqrt{\left(\alpha^{2}+\eta^{2}\right)\left(\beta^{2}-\eta^{2}\right)}}{\xi^{2}+\eta^{2}}
\end{array}
\]

где $\theta_{i}$ – угол между радиус-вектором частицы и радиус вектором $i$-го центра.

Несложно также видеть, что добавление к (11.10) трех взаимоортогональных гуковских центров, т. е. потенциала $V(\boldsymbol{x})=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} \frac{\alpha_{i}}{x_{i}^{2}}$, выражение которого в переменных $\xi, \eta$ получается с помощью формул
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{x_{1}^{2}}=\frac{1}{\xi^{2}+\eta^{2}}\left(\frac{\xi^{2}}{\xi^{2}-\alpha^{2}}-\frac{\eta^{2}}{\eta^{2}+\alpha^{2}}\right), \quad \frac{1}{x_{2}^{2}}=\frac{\alpha^{2} \beta^{2}}{\xi^{2}+\eta^{2}}\left(\frac{1}{\xi^{2}}+\frac{1}{\eta^{2}}\right), \\
\frac{1}{x_{3}^{2}}=\frac{1}{\xi^{2}+\eta^{2}}\left(\frac{\xi^{2}}{\beta^{2}+\xi^{2}}+\frac{\eta^{2}}{\beta^{2}-\eta^{2}}\right)
\end{array}
\]

не влияет на разделение системы (11.10). Это обобщение задачи двух центров также указано в [240]. В случае одного гуковского центра, помещенного посередине между двумя ньютоновскими, получается обобщение Лагранжа задачи двух центров, который в плоском случае показал, что такое добавление упругой пружины не влияет на разделение переменных. Это обобщение обсуждается уже у К. Якоби в его «Лекциях по динамике».

Если в плоском случае возможно получить явное решение задачи двух центров с помощью эллиптических функций, то для задачи в искривленном пространстве такое решение непосредственно получить не удается. Качественное исследование задачи двух центров в плоском случае имеется в трактате Шарлье [182], в пространственном – в [1], для искривленного пространства соответствующие исследования проведены в [118].

Первые интегралы.
Явные алгебраические выражения для первых интегралов задачи двух центров можно получить, используя разделение (11.10), (11.11).

Для простоты приведем выражение гамильтониана и дополнительного интеграла для двумерной сферы (на уровне $(\boldsymbol{M}, \gamma)=0$ )
\[
\begin{aligned}
H= & \frac{1}{2} \boldsymbol{M}^{2}-\frac{\mu_{1}\left(\beta \gamma_{3}+\alpha \gamma_{2}\right)}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\beta^{2} \gamma_{2}^{2}+\alpha^{2} \gamma_{3}^{2}}-2 \alpha \beta \gamma_{2} \gamma_{3}}- \\
& -\frac{\mu_{2}\left(\beta \gamma_{3}-\alpha \gamma_{3}\right)}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\beta^{2} \gamma_{2}^{2}+\alpha^{2} \gamma_{3}^{2}+2 \alpha \beta \gamma_{2} \gamma_{3}}}, \\
F= & \alpha^{2} M_{2}^{2}-\beta^{2} M_{3}^{2}+2 \alpha \beta\left(V_{1}-V_{2}\right),
\end{aligned}
\]

где функции $V_{1}, V_{2}$ получаются из выражений для одной из («почти сохраняющихся») компонент интегралов Лапласа-Рунге-Ленца каждого

из центров
\[
\begin{aligned}
A_{2}^{(1)} & =\left(\beta M_{3}+\alpha M_{2}\right)\left(\beta M_{2}-\alpha M_{3}\right)+V_{1}, \\
A_{2}^{(2)} & =\left(\beta M_{3}-\alpha M_{2}\right)\left(\beta M_{2}+\alpha M_{3}\right)+V_{2}, \\
V_{1} & =\frac{\mu_{1}\left(\beta \gamma_{2}-\alpha \gamma_{3}\right)}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\beta^{2} \gamma_{2}^{2}+\alpha^{2} \gamma_{3}^{2}-2 \alpha \beta \gamma_{2} \gamma_{3}}}, \\
V_{2} & =\frac{\mu_{2}\left(\beta \gamma_{2}+\alpha \gamma_{3}\right)}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\beta^{2} \gamma_{2}^{2}+\alpha^{2} \gamma_{3}^{2}+2 \alpha \beta \gamma_{2} \gamma_{3}}} .
\end{aligned}
\]

Отметим, что выражение для интеграла (11.12), приведенное в [209], неправильно. Неправильный вид дополнительного интеграла указан также для плоской задачи двух центров в книге [141]. Этот интеграл в канонических переменных $(p, q)$ имеет вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)-\frac{c_{1}}{r_{1}}-\frac{c_{2}}{r_{2}}, \\
r_{1}=\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}, \quad r_{2}=\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}, \quad c=\mathrm{const}, \\
F=\frac{1}{2}\left(\left(p_{1} q_{2}-p_{2} q_{1}\right)^{2}-c^{2} p_{2}^{2}\right)+c\left(\frac{c_{1}\left(q_{1}-c\right)}{r_{1}}-\frac{c_{2}\left(q_{1}+c\right)}{r_{2}}\right) .
\end{array}
\]

Нам неизвестно, где интеграл (11.12) был указан ранее, несмотря на более, чем двухсотлетнюю историю задачи.

Добавление гуковских центров.
Приведем явный вид интеграла типа (11.12) при добавлении в систему трех взаимноортогональных гуковских центров. Эта общая форма интеграла охватывает как аналог обобщения Лагранжа (см. [31]), так и пространственную (на $S^{3}$ ) задачу, при редукции которой по циклическому интегралу $L_{3}=C=$ const в приведенный потенциал добавляется «ортогональный» гуковский центр
\[
U_{*}=-c_{1} \operatorname{ctg} \theta_{1}-c_{2} \operatorname{ctg} \theta_{2}+\frac{C}{2 \gamma_{1}^{2}},
\]

где $C$ – постоянная циклического интеграла.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. «Объяснение» появ.ения сингулярности в (11.15) имеется в § 1 гл. 4. Она возникает при редукции по линейному интегралу $L_{3}=N_{3}-M_{3}$.

Гамильтониан и интеграл в общем случае могут быть записаны в виде
\[
\begin{aligned}
H= & \frac{1}{2} \boldsymbol{M}^{2}-\mu_{1} \frac{\beta \gamma_{3}+\alpha \gamma_{2}}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\beta^{2} \gamma_{2}^{2}+a^{2} \gamma_{3}^{2}-2 \alpha \beta \gamma_{2} \gamma 3}}- \\
& -\mu_{2} \frac{\beta \gamma_{3}-\alpha \gamma_{2}}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\beta^{2} \gamma_{2}^{2}+\alpha^{2} \gamma_{3}^{2}+2 \alpha \beta \gamma_{2} \gamma_{3}}}+\frac{1}{2} c_{1} \frac{\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{1}^{2}}+ \\
& +\frac{1}{2} c_{2} \frac{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{3}^{2}}{\gamma_{2}^{2}}+\frac{1}{2} c_{3} \frac{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}{\gamma_{3}^{2}}+C\left(\alpha^{2} \gamma_{2}^{2}-\beta^{2} \gamma_{3}^{2}\right), \\
F= & \alpha^{2} M_{2}^{2}-\beta^{2} M_{3}^{2}+2 \alpha \beta\left(V_{1}-V_{2}\right)-\frac{c_{1}}{\gamma_{1}^{2}}\left(\beta^{2} \gamma_{2}^{2}-\alpha^{2} \gamma_{3}^{2}\right)- \\
& -\frac{c_{2}}{\gamma_{2}^{2}} \beta^{2} \gamma_{1}^{2}+\frac{c_{3}}{\gamma_{3}^{2}} \alpha^{2} \gamma_{1}^{2}+2 C \alpha^{2} \beta^{2} \gamma_{1}^{2},
\end{aligned}
\]

где $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ – интенсивности гуковских центров, $V_{1}, V_{2}$ определены соотношениями (11.13), постоянная $C$ появляется перед слагаемыми, включающими некоторое силовое поле типа задачи Неймана (но теперь уже не произвольное). Еще раз отметим, что все интегралы являются частными они существуют при условии $(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{\gamma})=0$.

3. Движение заряженной частицы в поле магнитного монополя и кулоновского центра на трехмерной сфере
В заключении рассмотрим одну задачу о движении заряженной частицы в поле магнитного полюса (монополя) и кулоновского центра, которая изучалась в 19-ом веке Биркеляндом в связи с проблемой северных сияний – разумеется, в евклидовом варианте. Пуанкаре рассмотрел задачу о монополе в $\mathbb{R}^{3}$, указал соответствующий векторный потенциал, и то, что траектории частицы являются геодезическими на конусе. Аппель добавил в предыдущую постановку кулоновский центр и показал, что на развертке конуса частица описывает конические сечения [2]. Обобщим эти наблюдения на $S^{3}$, напомнив предварительно евклидов случай. Заметим также, что хотя в этой задаче также сохраняется аналогия с движением шарового волчка, все уравнения и результаты удобно представлять в обычных сферических координатах.

Штермер рассмотрел движение заряженной частицы в поле магнитного диполя, как более реалистичной модели магнитного поля Земли. Полученные им уравнения оказались неинтегрируемыми, однако, пытаясь решать их

численно, Штермер предложил свой метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, носящий его имя. В случае искривленного пространства задача Штермера также не является интегрируемой.

Плоское пространство.
Функция Лагранжа, описывающая движение заряженной частицы в $\mathbb{R}^{3}$ под действием монополя и кулоновского центра, имеет вид
\[
L=\frac{1}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\psi}\right)-\gamma \cos \theta \dot{\psi}+\frac{\alpha}{r},
\]

где $r, \theta, \psi$ – сферические координаты в $\mathbb{R}^{3}, e$ – заряд частицы, $\gamma$ – интенсивность монополя, $\alpha$ – заряд кулоновского центра. Для частицы сохраняется вектор обобщенного момента
\[
M=r \times \dot{r}-\gamma \frac{r}{|r|},
\]

а частица движется по конусу $\left(M, \frac{r}{|r|}\right)=$ const. Выберем систему координат, для которой ось $O z$ направлена вдоль $M$, при этом
\[
\theta=\theta_{0}=\text { const }, \quad \dot{\theta}=0 .
\]

Функция Лагранжа приобретает вид
\[
L=\frac{1}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta_{0} \dot{\psi}^{2}\right)-\gamma \cos \theta_{0} \dot{\psi}+\frac{\alpha}{r} .
\]

Переменная $\psi$ – циклическая, ей соответствует интеграл $\frac{\partial L}{\partial \psi}=p_{\psi}=|\boldsymbol{M}|$. С помощью интеграла энергии траектория может быть найдена при помощи квадратуры
\[
\begin{array}{c}
\frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 E+\frac{2 \alpha q}{r}-\frac{c^{2}}{r^{2}}}}=c \sin \theta_{0} d \psi, \\
c=\frac{\left(p_{\psi}+\gamma \cos \theta_{0}\right)}{\sin \theta_{0}},
\end{array}
\]

где $E$ – величина энергии.
Определив новую угловую переменную
\[
\varphi=\sin \theta_{0} \psi
\]

получим уравнение траектории в виде
\[
r=\frac{p}{1+e \cos \left(\varphi-\varphi_{0}\right)}, \quad p, e, \varphi_{0}=\text { const. }
\]

Если считать $\varphi$ и $r$ полярными координатами на плоскости, то уравнение (11.23) задает коническое сечение (эллипс, гиперболу, параболу), причем параметры эллипса $p, e$ зависят лишь от параметров задачи и постоянных интегралов $E, c$.

Геометрический смысл замены (11.22) заключается в том, что выполняется развертка конуса на плоскость. Таким образом, траектория частицы может быть получена следующим образом. Зафиксировав постоянные $E, c$, мы получим на плоскости $(r, \varphi)$ некоторое коническое сечение. Выберем конус с углом раствора $\theta_{0}$ (на котором лежит траектория частицы), поместим его в фокус эллипса и будем катить без проскальзывания по плоскости след эллипса на конусе и есть искомая траектория в пространстве.

В случае $\alpha=0$ (отсутствие кулоновского центра) на плоскости получаются прямые и соответственно геодезические на конусе (задача Пуанкаре).

Искривленное пространство.
Обобщим приведенную геометрическую интерпретацию на случай движения частиц в искривленном пространстве.

Зададим гномоническую проекцию трехмерной сферы $S^{3} q_{0}^{2}+\boldsymbol{q}^{2}=$ $=R^{2}=k^{-1}$ в трехмерное пространство $\mathbb{R}^{3} \boldsymbol{r}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ по формулам
\[
r=\frac{q}{\sqrt{1-k q^{2}}},
\]

где $\boldsymbol{q}=\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right)$ – вектор, составленный из трех компонент четырехмерного вектора $\boldsymbol{q}$. Выберем сферические координаты в $\mathbb{R}^{3}$
\[
x_{1}=r \sin \theta \cos \psi, \quad x_{2}=r \sin \theta \sin \psi, \quad x_{3}=r \cos \theta
\]

и представим в них функцию Лагранжа
\[
L=\frac{1}{2\left(1+k r^{2}\right)}\left(\frac{\dot{r}^{2}}{1+k r^{2}}+r^{2} \dot{\theta}^{2}+r^{2} \sin \theta \dot{\varphi}^{2}\right)-\gamma R \cos \theta_{0} \dot{\psi}+\frac{\alpha q}{r} .
\]

Векторный интеграл обобщенного момента имеет вид
\[
M=\frac{1}{1+k r^{2}} \boldsymbol{r} \times \dot{\boldsymbol{r}}-\gamma \frac{\boldsymbol{r}}{|\boldsymbol{r}|} .
\]

Выбирая систему координат, в которой вектор $M$ направлен вдоль оси $O z$, получим
\[
\theta=\theta_{0}=\text { const }, \quad \dot{\theta}=0 \text {. }
\]

Используя циклический интеграл $p_{\psi}=\frac{\partial L}{\partial \psi}$ и интеграл энергии с учетом (11.25), получим
\[
E=\frac{1}{2}\left(\frac{\dot{r}^{2}}{\left(1+k r^{2}\right)^{2}}+\frac{1+k r^{2}}{r^{2}} c^{2}\right)-\frac{\alpha}{r}, \quad c=\frac{p_{\psi}+\gamma \cos \theta_{0}}{\sin \theta_{0}},
\]

что позволяет определить уравнение траектории
\[
\frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 E-k c^{2}+\frac{2 q \alpha}{r}-\frac{c^{2}}{r^{2}}}}=c \sin \theta_{0} d \psi .
\]

В переменных $(r, \psi)$, где $\varphi=\sin \theta_{0} \psi$, решение уравнения (11.26) снова определяет коническое сечение вида (11.23). Траектория также получается намоткой линии (11.23) на конус с центром в одном из фокусов. Аналогично задача Пуанкаре ( $\alpha=0$ ) приводит к геодезическим на конусе. Можно повторить все рассуждения для пространства Лобачевского.